1
DERET FOURIER
1. PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibahas pernyataan deret dari suatu fungsi periodik. Jenis fungsi ini menarik karena sering muncul dalam berbagai persoalan fisika, seperti getaran mekanik, arus listrik bolak-balik (AC), gelombang bunyi, gelombang Elektromagnet, hantaran panas, dsb. Sama halnya seperti pada uraian deret Taylor, fungsi-fungsi periodik yang rumit dapat dianalisis secara sederhana dengan cara menguraikannya ke dalam suatu deret fungsi periodik sederhana yang dibangun oleh fungsi ix
sin x dan cos x atau fungsi eksponensial e . Uraian deret fungsi periodik ini disebut uraian deret Fourier. Penamaan ini untuk menghargai jasa matematikawan Perancis Joseph Fourier, yang pertama kali merumuskan deret ini dalam sebuah makalah mengenai hantaran panas, yang dilaporkannya kepada akademi ilmu pengetahuan Perancis pada tahun 1807.
2. FUNGSI PERIODIK Definisi 1: Sebuah fungsi f(x) dikatakan periodic dengan periode T > 0, jika berlaku: f(x + T) = f(x) untuk samua x. catatan: (a) Jika T adalah periode terkecil, maka T disebut periode dasar, dan selang a < x < a + T , dimana a sebuah konstanta, disebut selang dasar fungsi periodik f(x). Untuk selanjutnya sebutan periode dimaksudkan bagi periode dasar ini. (b) Konstanta a pada selang dasar dapat dipilih sembarang, berharga nol atau negatif. Pilihan a = - T/2 sering digunakan untuk memberikan selang dasar yang simetris terhadap x = 0, yakni selang – T/2 < x < T/2.
2
Contoh fungsi periodik yang paling sederhana adalah fungsi sin x dan cos x, karena: sin (x ±2π) = sin x
dan cos (x ±2π) = cos x
Yang menunjukkan bahwa keduanya memiliki periode T = 2π. Dalam hal ini x adalah variabel sudut dengan satuan radian atau derajad. Bila x bukan merupakan variabel sudut, maka x harus dikalikan dengan suatu faktor alih p, sehingga px = α berdimensi sudut. Jadi satuan p adalah: [ satuan p ] =
[radian] [ Satuan x]
Misalkan x berdimensi panjang, dengan satuan meter (m), maka satuan p = rad/m. Dengan demikian pernyataan fungsi Sin dan Cos yang bersangkutan menjadi: sin x sin px
; cos x cos px
Jadi translasi sudut α = px sebesar satu periode T = 2π dapat dialihkan ke translasi variabel x sejauh + T, dengan syarat: px ± 2π = p ( x ± T )
Hubungan ini mengaitkan p dengan T melalui hubungan: p=
2π T
Dengan pernyataan faktor alih ini, sifat periodik fungsi sin px dan cos px diberikan oleh hubungan: sin px = sin p ( x ± T ); cos px = cos p ( x ± T )
Yang memperlihatkan bahwa sin px dan cos px adalah periodik dengan periode T. Khusus dalam hal T = 2π, maka p = 1. Salah satu contoh sederhana benda bermassa m yang digantungkan pada ujung sebuah pegas dengan tetapan pegas k.
k
titik kesetimbangan
3
Jika benda ditarik sejauh A dari kedudukan setimbangnya, kemudian dilepaskan, benda tersebut akan bergerak secara harmonik sederhana akibat adanya gaya pemulih yang arahnya selalu berlawanan dengan arah simpangan benda. Simpangan vertikal benda y(t) setiap saat t berubahubah dari kedudukan setimbangnya, menurut persamaan: y (t ) = A cos(ωt + Φ 0 ) Besaran A dan ω berturut-turut adalah amplitudo dan frekuensi sudut getaran, sedangkan Φ = (ωt + Φ 0 ) adalah fase getaran, dengan Φ0 sebagai fase awalnya, yang berdimensi sudut. Jika T adalah periode atau waktu getar (waktu yang diperlukan benda untuk melakukan satu kali getaran) yang diukur dalam satuan detik, maka
ω = 2π / T , bersatuan (rad/s). Dengan demikian ω merupakan faktor alih (p) yang membuat ωt berdimensi sudut.
3. DERET FOURIER Andaikan f(x) adalah sebuah fungsi periodik dengan periode T yang terdefinisikan dalam selang dasar a < x < a + T, yakni f(x) = f (x + T), maka fungsi f(x) dapat diuraikan dalam deret Fourier sebagai berikut: f ( x) =
a0 ∞ nπx nπx + ∑ (a n cos + bn sin ) 2 n =1 L L
Dengan koefisien-koefisien a0, an, dan bn yang disebut sebagai koefisienkoefisien Fourier, ditentukan oleh fungsi f(x) melalui hubungan integaral: a0 = an = bn =
1 L 1 L 1 L
a +T
∫ f ( x)dx a
a +T
∫
f ( x) cos
a a +T
∫ a
f ( x) sin
nπx dx L
nπx dx L
dengan T = periode dan L = ½ periode.
4
Contoh 1. Diketahui fungsi f(x) sebagai berikut: 1, − π < x < 0 f ( x) = 0, 0 < x < π Periodik dengan periode 2π sehingga f(x + 2π) = f(x) Uraikan fungsi ini dalam uraian deret Fourier. Pemecahan: Menurut definisi fungsi periodik, periode fungsi f(x) di atas adalah T = 2π, dengan demikian L = ½ T = π, selang dasarnya –π < x < π, jadi a = - π. Di luar selang ini, f(x) didefinisikan sebagai perluasan selang dasar ke arah kiri dan kanan sumbu x, seperti terlihat pada Gambar 1. f(x) 1 x -5π
-4π -3π -2π
π
-π
2π
3π
4π
5π
Gambar 1
Koefisien-koefisien Fourier dapat dicari sebagai berikut: a0 = a0 = an =
1 L 1
π 1 L
a +T
∫
f ( x)dx =
a 0
π
∫
f ( x)dx =
−π
0
1
∫π dx = π ( x)
−
a +T
∫
π
1
f ( x) cos
a
= −π
0 π 1 ∫ (1)dx + ∫ (0)dx π −π 0
π =1 π
nπx 1 dx = L π π
π
∫π f ( x) cos
−
nπx dx L
1 1 a n = ∫ (1). cos nx.dx + ∫ (0) cos nxdx = π −π 0 π 0
0
0
∫ cos nx.dx
−π
1 1 1 (sin 0 + sin nπ ) = 0 a n = sin nx = π n −π n π
5
bn = bn =
1 L
π
a +T
∫
f ( x) sin
a
nπx 1 nπx dx = ∫ f ( x) sin dx L L π −π
π 0 1 0 1 ( 1 ). sin nx . dx ( 0 ) sin nxdx + = ∫ sin nx.dx ∫0 π −∫π π −π 0
1 1 1 (cos 0 − cos(nπ ) ) = − 1 (1 − (−1)n ) bn = − cos nx = − nπ nπ π n −π − 2 / nπ , n ganjil bn = 0, n genap
Dengan demikian, uraian Fourier untuk fungsi f(x) pada contoh ini adalah: f ( x) =
a0 ∞ nπx nπx + ∑ a n cos + bn sin , a n = 0 2 n =1 L L
f ( x) =
1 ∞ 2 nπx + ∑− sin π 2 n =1 nπ ganjil
f ( x) =
1 2 1 1 + − sin x − sin 3 x − sin 5 x − L 2 π 3 5
f ( x) =
1 2 1 1 − sin x + sin 3 x + sin 5 x + L 2 π 3 5
Contoh 2. Diketahui fungsi f(x) sebagai berikut: 1, 0 < x < 1 f ( x) = 0, 1 < x < 2 Periodik dengn periode 2 sehingga f (x + 2) = f(x) Uraikan fungsi ini dalam uraian deret Fourier. Pemecahan: Periode T = 2, sehingga L = ½ T = 1. selang dasarnya 0 < x < 2, jadi a = 0. Perluasan f(x) dalam daerah kiri dan kanan sumbu x dapat dilihat dalam Gambar 2.
f(x) 1 x
-6
-5
-4
-3
-2
-1 0 Gambar 2
1
2
3
4
5
6
6
Koefisien-koefisien Fouriernya dapat dicari sebagai berikut: a +T
1 a0 = L
∫ a
2 2 1 1 f ( x)dx = ∫ f ( x)dx =1∫ (1)dx + ∫ (0)dx 10 1 0
1
a 0 = ∫ dx = ( x) 0 = 1 1
0
a +T
1 an = L
∫ a
nπx 1 nπx f ( x) cos dx = ∫ f ( x) cos dx L 10 1 2
2 1 a n = ∫ (1). cos nπx.dx + ∫ (0) cos nπxdx = ∫ cos nπx.dx 1 0 0 1
1
1 an = (sin nx ) = 1 (sin nπ − sin 0 ) = 0 nπ nπ 0 bn =
a +T
1 L
∫ a
nπx 1 nπx dx = ∫ f ( x) sin dx L 10 1 2
f ( x) sin
2 1 bn = ∫ (1). sin nx.dx + ∫ (0) sin nxdx = ∫ sin nπx.dx 1 0 0 1
1
bn = −
1 (cos nπx ) = − 1 (cos nπ − cos 0) = − 1 ((−1)n − 1) nπ nπ nπ 0
2 / nπ , n ganjil bn = 0 , n genap
Dengan demikian, uraian Fourier untuk fungsi f(x) pada contoh ini adalah: f ( x) =
∞ a0 2 +∑ sin nπx 2 n =1 nπ ganjil
f ( x) =
1 2 2 2 + sin πx + sin 3π x + sin 5πx + L 2 π 3π 5π
f ( x) =
1 2 1 1 + sin πx + sin 3π x + sin 5πx + L 2 π 3 5
SYARAT DIRICHLET Persyaratan sebuah fungsi f(x) agar dapat dinyatakan dalam deret Forier ditentukan oleh syarat Dirichlet berikut:
7
Jika: (a) f(x) periodik dengan periode T (b) Bernilai tunggal serta kontinu bagian demi bagian dalam selang dasarnya; a < x < a + T, dan a +T
(c)
∫
f ( x) dx nilainya berhingga.
a
Maka deret Fourier di ruas kanan konvergen ke nilai : (1) f(x) di semua titik kekontinuan f(x) dan (2)
1 {lim f ( x0− ) + lim f ( x0+ )} di setiap titik ketakkontinuan x0 2
(pada daerah lompatan).
Contoh 3. Pada contoh 2 di atas (Perhatikan Gambar 2!); Tentukanlah konvergen ke nilai berapa deret fourier tersebut di titik-titik kekontinuan x =
1 3 3 −5 , , , , 2 2 4 2
dan di titik-titik ketakkontinuan x = 0, 1, 2, 3. Pemecahan Menurut syarat dirichlet, maka •
•
di titik-titik kekontinuan: x = 1/2
konvergen ke 1
x = 3/4 konvergen ke 1
x = 3/2
konvergen ke 0
x = -5/2 konvergen ke 0
di titik-titik ketakkontinuan: x=0
konvergen ke ½ (0 + 1) = ½
x=1
konvergen ke ½ (1 + 0) = ½
x=2
konvergen ke ½ (0 + 1) = ½
x = -3
konvergen ke ½ (1 + 0) = ½ .
8
4. FUNGSI GANJIL DAN FUNGSI GENAP Perhitungan koefisien-koefisien Fourier sering kali dipermudah, jika fungsi f(x) yang diuraikan memiliki sifat istimewa tertentu, yakni genap atau ganjil terhadap sumbu x = 0 (sumbu f(x)). Keduanya didefinisikan sebagai berikut: Definisi 2. Sebuah fungsi f(x) adalah: (a) genap, jika berlaku f(-x) = f(x) (b) ganjil, jika berlaku f(-x) = - f(x) untuk semua x dalam daerah definisi f(x). Sebagai contoh, fungsi x2 dan cos x adalah fungsi genap, karena (-x)2 = x2 dan cos (-x) = cos x. Sedangkan fungsi x dan sin x adalah fungsi ganjil, karena (-x) = -(x) dan sin (-x) = - sin (x). Pada umumnya fungsi pangkat genap dari x seperti (x2, x4, x6 , . . .) merupakan fungsi genap dan fungsi pangkat ganjil dari x seperti (x, x3, x5, . . .) merupakan fungsi ganjil. Dengan definisi di atas dapat dicari contoh-contoh lain dari kedua fungsi ini. Untuk menentukan koefisien-koefisien Fourier a0, an, dan bn dari fungsi periodik genap dan ganjil ini dipergunakan perumusan berikut: a 0 = 2 f ( x ) dx L ∫0 Jika f ( x) genap 2 L nπx a n = L ∫ f ( x ) cos L dx 0 bn = 0 L
Dalam hal ini dikatakan f(x) teruraikan dalam deret cosinus (bn = 0). a0 = 0 Jika f ( x) ganjil an =0 L bn = 2 ∫ f ( x ) sin nπx dx L L0
9
Dalam hal ini, f(x) dikatakan teruraikan dalam deret sinus (an = 0). Seperti biasa L = ½ T = ½ periode.
Contoh 4. Diketahi fungsi: f ( x) = x 2 , −
1 1 <x< 2 2
Periodik dengan periode 1, sehingga f(x + 1) = f(x). Nyatakan fungsi tersebut dalam deret Fourier. Pemecahan : Fungsi f(x) = x2 adalah suatu fungsi genap T = 1, sehingga L = ½ T = 1/2 , akan teruraikan dalam deret cosinus. bn = 0, a0 dan an dapat ditentukan sebagai berikut: L
2 2 a 0 = ∫ f ( x)dx = L0 1 2
1/ 2
0
2 2 nπx dx = f ( x) cos ∫ L L0 1 2 L
an =
∫
1/ 2
41 1 1 x dx = 4 x 3 = = 38 6 3 0 2
1/ 2
∫x 0
2
cos
nπx dx L
1/ 2
a n = 4 ∫ x 2 cos 2nπxdx 0 1/ 2
1 1 2 a n = 4 x 2 cos 2nπx + 2 x cos 2nπx − sin 2nπx 2 2 ( 2 nπ ) ( 2 nπ ) 2 nπ 0 1 cos nπ a n = 4 2 ( 2 nπ ) an =
1 (−1) n π 2 n2
Dengan demikian uraian deret Fourier untuk f(x) = x2 dengan selang dasar -½ < x < ½ adalah:
10
f ( x) =
a0 ∞ nπx + ∑ a n cos , 2 n =1 1/ 2
1 1 f ( x) = + 2 12 π
bn = 0
(−1) n cos 2nπx ∑ 2 n =1 n ∞
1 6πx 1 2πx 4πx + 2 − cos 2 − cos 2 − cos 2 − L 12 π 1 2 3 1 1 2πx 4πx 6πx f ( x) = − 2 cos 2 + cos 2 + cos 2 + L 12 π 1 2 3 f ( x) =
Contoh 5 Diketahui fungsi: f ( x) = x
; −
π 2
<x<
π 2
Periodik dengan periode π, sehingga f (x + π) = f(x). Nyatakan fungsi tersebut dalam deret Fourier. Pemecahan: Fungsi f(x) = x adalah fungsi ganjil dengan T = π, sehingga L =
π 2
, akan
teruraikan dalam deret sinus. a0 = 0, an = 0, bn dapat dicari sebagai berikut:
2 nπx 2 f ( x) sin dx = ∫ L0 L π /2 L
bn =
π /2
π /2
∫ 0
x sin
nπx dx π /2 π /2
4 1 1 bn = x sin 2 nxdx = − x cos 2 nx + sin 2 nx π ∫0 π 2n ( 2n ) 2 0 4
bn =
4 π (−1) n − cos nx = − n π 4n
Dengan demikian uraian deret Fourier untuk f(x) = x dengan selang dasar −
π 2
<x<
π 2
adalah:
11
∞
f ( x) = ∑ bn sin n =1 ∞
f ( x) = ∑ − n =1
nπx L
∞ (−1) n (−1) n nπx sin = ∑− sin 2nx π / 2 n =1 n n
sin 2 x sin 4 x sin 6 x f ( x) = − + − L 2 3 1
5. DERET FOURIER JANGKAUAN SETENGAH Dalam suatu persoalan fisika, fungsi f(x) mungkin hanya terdefinisikan dalam suatu selang positif; 0 < x < L. Oleh karena itu seringkali perlu untuk memperluasnya ke seluruh sumbu x, baik ke arah sumbu x positif maupun ke arah sumbu x negatif. Dalam hal ini ada 3 pilihan yang dapat dilakukan sebagai berikut: (1) Fungsi f(x) diperluas menjadi fungsi periodik tidak ganjil – tidak genap (seperti pada contoh 1) dengan periode T = L; dan selang dasarnya 0 < x < L, dengan L sembarang positif. (2) Selang dasar 0 < x < L diperluas ke selang negatif secara simetris terhadap sumbu x = 0 menjadi – L < x < L, dan fungsi f(x) diperluas menjadi fungsi periodik dengan periode T = 2L. Dalam hal ini kita mempunyai dua pilihan yakni memperluas fungsi f(x) sebagai fungsi genap fc(x) atau fungsi ganjil fs(x). Contoh 6 Diketahui sebuah fungsi yang terdefinisi pada setengah daerah: f(x)
x, 0 < x < 1 f ( x) = 1, 1 < x < 2
Sket:
1 x 0
1
2
12
Nyatakan fungsi ini dalam: (a) deret Fourier fungsi cosinus (fungsi genap) (b) deret Fourier fungsi sinus (fungsi ganjil) (c) deret Fourier fungsi cosinus – sinus (fungsi tidak genap – tidak ganjil). Pemecahan: (a) Pernyataan fungsi dalam deret Fourier cosinus (fungsi genap) Untuk membentuk fungsi genap, maka selang dasar (0 < x < 2) di atas diperluas ke selang negatif menjadi (-2 < x < 2), dan fungsi f(x) diperluas menjadi fungsi periodik genap {f(-x) = f(x)} dengan periode T = 2L = 4 (karena L = 2) seperti ditunjukkan pada gambar berikut: fc(x)
x -6
-5
-4
-3
-2
-1 0
1
2
3
4
5
6
Untuk fungsi genap ini bn = 0, a0 = dan an ditentukan sebagai berikut: L 1 2 1 2 1 2 2 2 3 a0 = ∫ f ( x)dx = ∫ xdx + ∫ (1)dx = x + x 1 = L0 2 0 2 1 2 0
an =
L 1 2 2 2 nπx 2 nπx nπx nπx f ( x ) cos dx = x cos dx + ( 1 ) cos dx + (1) cos dx ∫ ∫ ∫ ∫ L0 L 2 0 2 2 2 1 1 1
2
2 nπx 4 nπx 2 nπx an = x sin + cos + sin 2 2 ( nπ ) 2 0 nπ 2 1 nπ nπx − 1 cos ( nπ ) 2 4 2 4 a1 = − 2 , a2 = − 2 , a3 = − 2 , a1 = 0, dst π π 9π an =
4
2
Maka diperoleh pernyataan deret Forier cosinus untuk f(x), sebagai berikut:
13
f ( x) =
a0 ∞ nπx , bn = 0 + ∑ a n cos 2 n =1 L
f ( x) =
3 4 1 πx 1 2πx 1 3πx − 2 cos + cos + cos + L 4 π 1 2 2 2 9 2
(b) Pernyataan fungsi dalam deret Fourier sinus (fungsi ganjil) Untuk membentuk fungsi ganjil, maka selang dasar (0 < x < 2) di atas diperluas ke selang negatif menjadi (-2 < x < 2), dan fungsi f(x) diperluas menjadi fungsi periodik ganjil {f(-x) = -f(x)} dengan periode T = 4 ( L = 2) seperti ditunjukkan pada gambar berikut:
f(x)
-6
-4
-5
-3
-2
1
-1 0
2
3
4
5
6
Untuk fungsi ganjil ini a0 = 0, an = 0, dan bn ditentukan sebagai berikut: bn =
L 1 2 2 nπx 2 nπx nπx = + f ( x ) sin dx x sin dx (1) sin dx ∫ ∫ ∫ L0 L 2 0 2 2 1 1
2
2 nπx 4 nπx 2 nπx + bn = − x cos cos cos + − 2 2 ( nπ ) 2 0 nπ 2 1 nπ 4 nπx 2 bn = sin − cos nπ 2 2 nπ ( nπ ) 1 1 4 + 2π 4 + 6π b1 = , b4 = − , dst , b2 = − , b3 = − 2 2 π 2π π 9π
Maka diperoleh pernyataan deret Fourier sinus untuk f(x), sebagai berikut: ∞
f ( x) = ∑ bn sin n −1
nπx , a 0 = 0, a n = 0 L
4 + 2π πx 1 2πx 4 + 6π 3πx sin f ( x) = − + L sin − sin 2 2 2 π 2 9π 2 π
x
14
(c) Pernyataan deret Fourier sinus-cosinus (fungsi tidak ganjil-tidak genap) untuk membentuk fungsi periodik ini, tinggal memperluas f(x) ke kiri dan ke kanan sumbu x dengan periode T=2 (L=1) seperti pada gambar berikut :
Koefisien-koefisien Fourier ao, an, dan bn dapat ditentukan sebagai berikut : ao =
T 1 2 1 1 1 = + f ( x ) dx x dx (1) dx = x 2 ∫ ∫ ∫ L0 10 1 2
an =
T 1 2 1 nπx 1 π = + f ( x ) cos dx x cos n x dx (1) cos nπxdx ∫ ∫ ∫ L0 L 10 1 1
1 0
+x
2 1
=
3 2
2
1 1 1 sin nπx + cos nπx + sin nπx = x 2 (nπ ) 1 nπ 0 nπ n 1 (− 1) − 1 (cos nπ − 1) = 2 2 = π n (nπ )2 2 − 2 2 , n ganjil = nπ 0 , n genap
1
bn =
T 1 2 1 1 f ( x ) sin n x dx = x sin n x dx + (1) sin nπxdx π π ∫ ∫ ∫ L0 10 1 1
2
1 1 1 = − x cos nπx + sin nπx + − cos nπx 2 (nπ ) 1 nπ 0 nπ 1 =− cos 2nπ nπ 1 =− nπ
Sehingga pernyataan deretnya adalah :
15
f ( x) =
∞ ∞ 3 2 1 + ∑ (− 2 2 cos nπx) + ∑ − sin nπx 4 n =1 nπ nπ n =1 ganjil
6. DERET FOURIER EKSPONENSIAL Pernyataan deret Fourier suatu fungsi periodik dapat pula dibangun dari fungsi eksponensial, dengan menggunakan hubungan Euler sbb : e
±i
nπx L
= cos
nπx nπx ± i sin , L L
i2 = − 1
dengan menyisipkan :
cos
nπx e = L
i
nπx L
+e 2
−i
nπx L
dan
sin
nπx e = L
i
nπx L
−e 2i
−i
nπx L
ke dalam pernyataan deret Fourier dari suatu fungsi periodik, sbb : f ( x) =
a0 ∞ nπx nπx + ∑ (a n cos + bn sin ) 2 n =1 L L
didapat : nπx −i i nLπx a e +e L f ( x ) = 0 + ∑ an 2 n =1 2 ∞
∞ a (a − ibn ) ei f (x ) = 0 + ∑ n 2 n =1 2
nπx L
a0 ∞ (an − ibn ) i +∑ e 2 n=1 2
nπx L
f (x ) =
nπx −i ∞ i nLπx e −e L + ∑ bn 2i n =1 ∞
+∑
(an + ibn ) e− i nLπx
n =1
+
−1
∑
n =−∞
2
(a−n + ib−n ) ei nLπx 2
Indeks jumlah n pada deret ke dua telah dinamakan ulang dengan –n. Jika didefinisikan :
(a− n + ib− n ) / 2, n < 0 Cn = a0 / 2 , n=0 (a − ib ) / 2 , n > 0 n n maka
didapat
pernyataan
eksponensial sbb :
fungsi
periodik
dalam
deret
Fourier
16
f (x ) =
∞
∑ Cn e
i
nπx L
n = −∞
Koefisien Cn dapat dicari dengan persamaan integral berikut :
C0 =
a +T
∫ f (x ) dx
1 T
a
dan a +T
∫ f ( x )e
1 Cn = T
−i
nπx L
dx
a
Contoh 7 Tentukan pernyataan Fourier Eksponensial dari fungsi periodik pada contoh 1 ! Pemecahan : Fungsi periodik pada contoh 1 adalah : 1, − π < x < 0 f ( x) = 0, 0 < x < π Berarti T = 2π dan a = π. Koefisien-koefisien Fourier eksponensial ditentukan sebagai berikut :
Co = = Cn =
1 T
a +T
∫ a
1 2π 1 T
f ( x)dx =
0
1
∫π dx = 2π x
−
a +T
1 = 2π
1 2π
∫
f ( x )e
− inπx L
a 0
∫π e
−
0 −π
π
∫
f ( x)dx =
=
π 1 = 2π 2
−π
dx =
π 0 1 ( 1 ) dx + ( 0 ) dx ∫ ∫0 2π −π
0 − inπx − inπx π 1 π π ( 1 ) e dx ( 0 ) e dx + ∫ ∫ 2π −π 0 0
− inx
1 1 − inx 1 dx = e = (1 − cos nπ ) 2π − in −π − 2inπ
i , n ganjil = nπ 0 , n genap Maka diperoleh uraian deret Fourier eksponensial sebagai berikut :
17
f ( x) =
∞
∑C e
n = −∞
=
inx
n
1 i 1 1 1 1 + ........ − e − 5ix − e − 3ix − e − ix + eix + e3ix + e5ix + .......... 2 π 5 3 3 5
Untuk membandingkan hasil ini dengan hasil yang diperoleh pada Contoh 1, maka kita gunakan kembali hubungan Euler diatas :
(
) (
(
)
) (
)
1 i ix 1 1 + e − e −ix + e 3ix − e −3ix + e 5ix − e −5ix + .......... 2 π 3 5 1 1 e ix − e −ix 1 e 3ix − e −3ix 1 e 5ix − e −5ix + + .......... = − + 2 π i 3 i i 5 1 1 2 sin x 2 sin 3 x 2 sin 5 x = − + + + .......... 2 π 1 3 5
f ( x) =
=
1 2 sin x sin 3 x sin 5 x − + + + .......... 2 π 1 3 5
Persis sama seperti hasil pada contoh 1.
7. IDENTITAS PARSEVAL Sekarang akan dicari bagaimana hubungan antara harga rata-rata kuadrat fungsi f(x) dalam selang dasarnya dengan koefisien-koefisien Fourier. Hasilnya dikenal sebagai identitas Parseval atau hubungan kelengkapan (Completeness Relation) yang bentuknya bergantung pada rumusan pernyataan deret Fourier yang digunakan. Untuk deret Fourier yang diuraikan dalam bentuk : f ( x) =
ao ∞ nπx ∞ nπx + ∑ an cos + ∑ bn sin 2 n =1 L n =1 L
Jika fungsi pada ruas kiri dan ruas kanan dikuadratkan, maka akan diperoleh :
nπx ∞ nπx ao ∞ f ( x) = + ∑ an cos + ∑ bn sin L n =1 L 2 n =1 2
2
2
∞ ∞ nπx mπx nπx mπx nπx mπx 2 a f ( x) = o + ∑ ∑ an am cos cos + 2an bm cos sin + bn bm sin sin L L L L L L 2 n =1 m =1 2
18
Kemudian jika dicari rata-rata kuadrat pada selang dasarnya, dengan cara mengintegrasi ruas kiri dan kanan, maka didapat : 1 T
a +T
∫ a
1 f ( x) dx = T 2
a +T
∫ a
2
1 ∞ ∞ ao dx + ∑∑ T n =1 m =1 2
a +T
n m
∞
∫ 2a b
n m
nπx mπx cos + L L
cos
a
∞ a +T
1 ∑∑ T n =1 m =1
cos
a
∞ a +T
1 ∞ ∑∑ T n =1 m =1
∫ a a
∫ b b
n m
sin
a
nπx mπx sin + L L
nπx mπx sin L L
atau 1 T
a +T
∫
2
1 a0 1 ∞ ∞ 2 T 1 ∞ ∞ δ mn + ∑∑ (0 ) + (T ) + ∑∑ an am 2 T 2 T n=1 m=1 T n=1 m=1
f ( x) dx = 2
a
1 ∞ ∞ 2 T δ mn bnbm ∑∑ T n=1 m=1 2
maka bentuk hubungannya adalah sebagai berikut : 1 T
a +T
∫ a
ao 2 1 ∞ 2 2 f ( x) dx = + ∑ an + bn 2 2 n =1 2
Ruas kiri adalah harga rata-rata kuadrat fungsi f(x) dalam selang dasarnya a < x < a + T, sedangkan ruas kanan adalah jumlah kuadrat semua koefisien Fourier. Untuk uraian deret Fourier dalam bentuk eksponensial, f ( x) =
∞
∑ Cn e
inπx L
n =−∞
maka bentuk hubungannya adalah sebagai berikut :
1 T
a +T
∫ a
f ( x) dx = 2
∞
∑C
n = −∞
2 n
Secara fisis, jika f(x) merupakan fungsi periodik dari suatu besaran fisika, misalnya simpangan getaran mekanik (system pegas), maka untuk x = t adalah variabel waktu, maka pernyataan :
19
T
1 2 2 p = f (t ) dt ∫ T −T 2
Menyatakan daya rata-rata (Joule/s) dari getaran tersebut dalam suatu periode T. Dengan demikian identitas Paseval, mengaitkan daya rata-rata dengan separuh jumlah kuadrat amplitudo setiap harmonik penyusun periodik. Secara matematik, ruas kiri dari identitas Parseval memberikan jumlah deret bilangan diruas kanannya, seperti pada contoh berikut :
Contoh 8 Gunakan identitas Paseval untuk mencari jumlah deret bilangan yang bersangkutan dengan uraian deret Fourier dari fungsi f(x) pada contoh.4. Pemecahan Pada contoh 4, f(x) = x2 dengan periode 1 dan selang dasarnya adalah −
1 1 <x< , memiliki uraian deret Fourier dengan koefisien-koefisien 2 2
sebagai berikut : n 1 1 (− 1) ao = , an = 2 2 6 π n
n = 1, 2, 3........, bn = 0
Harga rata-rata kuadrat dari f(x) = x2 ditentukan sebagai berikut : 1 2
1 2
1 2
1 1 1 1 = + = 5 32 32 80
2 1 1 x 2 dx = ∫ x 4 dx = x 5 ∫ 1 1 5 1 −
2
−
2
−
1 2
Menurut identitas Paseval, nilai rata-rata kuadrat ini sama dengan ao 2 1 ∞ 2 2 + ∑ ( an + bn ) , sehingga : 2 2 n =1
20
2 2 4 2 1 1 1 ∞ 1 (− 1) = + ∑ 80 12 2 n =1 π 2 n 2 ∞ 1 1 1 1 1 = + , atau 4 ∑ 4 80 144 2 π n =1 n ∞
1 2π
4
1
∑n n =1
4
=
1 1 1 − = 80 144 180
Sehingga :
1 2π 4 π 4 = = ∑ 4 180 90 n =1 n ∞
atau 1+
1 1 1 π4 + + + ..... = 2 4 34 4 4 90
Contoh 9 Gunakan identias Parseval untuk mencari jumlah deret bilangan yang bersangkutan dengan uraian Fourier dari fungsi f (x) pada contoh.7. Pemecahan : Pada contoh 7, f (x) diuraikan dalam deret Fourier eksponensial dengan periode T = 2 π dan selang dasar - π < x< π . Koefisien Fourier dari uraian tersebut adalah : Co =
1 i dan C n = untuk n ganjil (1, 3, 5, ….) 2 nπ
Harga rata-rata kuadrat dari f (x) dalam selang (- π < x< π ) ditentukan sebagai berikut : 1 2π
π 0 2 1 1 ∫ 1 dx + ∫ 0 2 dx = ( ) π = 2π 2 0 −π
Menurut identitas Paseval, harga rata-rata kuadrat ini sama dengan ∞
∑C
n = −∞
2 n
, sehingga :
21
∞ 1 2 = (Co ) 2 + ∑ Cn 2 n = −∞ 2
∞ 1 1 i = ( )2 + ∑ , n 2 2 n = −∞ nπ
ganjil
2
1 1 1 ∞ i = + ∑ , n 2 4 π 2 n = −∞ n
ganjil
2
1 1 1 ∞ i = + 2∑ 2 , n 2 4 π n =1 n 1 1 2 ∞ 1 = + ∑ , n 2 4 π 2 n =1 n 2
ganjil ganjil
atau ∞
2
π
2
n =1 ganjil
∞
∑
n =1 ganjil
1
∑n
2
=
1 1 1 − = 2 4 4
1 π2 = n2 8
1 1 1 π2 1 + 2 + 2 + 2 + .......... = 3 5 7 8
8. SPEKTRUM FOURIER Uraian Fourier suatu fungsi periodik f(x), pada dasarnya adalah uraian fungsi f(x) dalam komponen-komponen harmoniknya, yakni berbagai komponen frekuensinya. Jika P merupakan frekuensi harmonik dasarnya, maka frekuensi harmonik ke-n, Pn, diberikan oleh hubungan : Pn = n.P Dengan P =
, n = 1, 3, 5,……
2π , dimana T merupakan periode dasarnya. T
Himpunan semua komponen frekuensi Pn = n.P yang membentuk fungsi periodik f(x) ini disebut spektrum frekuensi atau spektrum fungsi f(x) dan dikenal sebagai spektrum Fourier. AMPLITUDO HARMONIK Spektrum
frekuensi
seringkali
divisualkan
secara
grafis,
dengan
menggambarkan Amplitudo masing-masing harmoniknya. Untuk uraian
22
deret Fourier cosinus, sinus, amplitudo harmonik ke-n ditentukan sebagai berikut : Suku ke-n dari uraian deret Fourier cosinus-sinus dapat dituliskan : S n ( x) = a n cos
nπx nπx + bn sin L L
yang juga dapat dituliskan dalam fungsi tunggal cosinus sebagai berikut : S n ( x) = An cos(
dengan An =
nπx + δn) L
an + bn 2
2
dan δ n = arc tg
(−bn ) an
Koefisien An dan δ n berturut-turut disebut amplitudo dan fase awal harmonik ke-n, dengan Ao =
ao
2
dan δ o = 0
Grafik barisan amplitudo setiap harmonik An terhadap n (n = 0,1,2,3, 4,……), berbentuk pancang bejarak sama, yang dikenal sebagai spektrum garis.
Contoh 10 Gambarkan spektrum garis untuk pernyataan deret Fourier fungsi periodik f(x) pada contoh 1. Pemecahan Dari hasil perhitungan contoh 1, didapatkan koefisien-koefisien Fourier sebagai berikut : 2 a o = 1, a n = 0, dan bn = − , n = 1, 3, 5...... nπ
Jadi amplitudo masing-masing harmoniknya adalah :
23
ao 1 = 2 2
Ao =
2 −2 2 0 + , n = 1, 3, 5.... = = nπ nπ nπ 2
An =
an + bn = 2
2
2
2
δo = 0 δ n = arc tg (
2 − bn − 3π ) = arc tan ( nπ ) = , tetap an 1 2
Sketsa spektrum Fourier (spektrum garis) fungsi periodik ini digambarkan sebagai berikut : Ao =
1 , 2
A1 =
2
π
A2 = 0,
,
A3 =
2 , 3π
A4 = 0,
A5 =
2 , 5π
A6 = 0,..........
2/π 1/2 An
2/3π 2/5π 0
1
2
3
4
5
2/7π 6
7
n
Untuk pernyataan deret Fourier eksponensial, karena Cn bernilai kompleks, maka dengan menuliskannya dalam bentuk eksponensial,
C n = C n e iθ n
fungsi f(x) dapat dituliskan dalam bentuk uraian : f ( x) =
n
∑
n = −10
Cn e
i(
nπ x +θ n ) L
dengan :
C n = C n , dan θ n = argument (Cn)
berturut-turut adalah amplitudo dan fase awal harmonik ke-n, yang berlaku untuk semua nilai bulat n dari -∞ sampai ∞.
24
Contoh 11 Gambar spektrum garis uraian Fourier eksponensial fungsi periodik f(x) pada contoh 7. Pemecahan : Dari hasil perhitungan contoh 7 diperoleh koefisien-koefisien Fourier sebagai berikut : Co =
1 i , Cn = , n = .... − 5, − 3, − 1, 1, 3, 5,........ 2 nπ
Jadi amplitude masing-masing harmonik adalah : Co =
1 i i , Cn = Cn = = n = ± 1, ± 3, ± 5,........ 2 nπ nπ
Sedangkan fase awalnya ; θ o = 0, θ n = arg (C n ) = arg (
i π )= . nπ 2
Sketsa spectrum garis fungsi periodic ini digambarkan sebagai berikut : Co =
1 1 1 1 1 1 1 , C1 = , C −1 = , C 3 = , C −3 = , C5 = , C −5 = , 2 π π 3π 3π 5π 5π
dst Cn 1/2 1/π
1/π 1/3π
1/3π
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
9. PENERAPAN PADA GELOMBANG BUNYI Jika sebuah gelombang bunyi yang merambat melalui udara sampai ketelinga kita dan kita mendengarnya, maka tekanan udara ditempat kita berada akan berubah-ubah terhadap waktu (akibat terjadi rapatan dan renggangan udara disebabkan rambatan gelombang bunyi
n
25
yang merupakan gelombang longitudinal). Andaikan perubahan tekanan udara diatas dan dibawah tekanan atmosfir dilukiskan oleh suatu grafik pada gambar berikut ini :
Maka untuk menentukan harga frekuensi yang kita dengar, dapat dilakukan dengan cara menguaraikan fungsi p(t) kedalam deret Fourier. Periode (T) dari fungsi p(t) diatas adalah
1 , yang berarti gelombang 262
1 1 bunyi berulang 262 kali tiap detik. Sehingga L = T = . 2 524
Dari gambar diatas jelas terlihat bahwa fungsi p(t) merupakan fungsi ganjil, maka koefisien-koefisien Fourier yang ada hanya bn saja (ao = 0, an = 0). bn ditentukan sebagai berikut : 2 nπt p (t ) sin dt ∫ L0 L L
bn =
1 11048 524 = 2 (524) ∫ (1) sin 524πt dt + ∫ (− 7 ) sin 524πt dt 8 1 0 1048 2 − 15 nπ 7 = cos + 1 + cos nπ nπ 8 2 8
dari sini dapat ditentukan harga-harga bn untuk beberapa harga n sebagai berikut :
26
2 7 1 1 − = π 8 4π 2 15 7 15 n = 2 → b2 = +1+ = 2π 8 8 4π n = 1 → b1 =
2 7 1 1 − = 3π 8 12π 2 15 7 n = 4 → b4 = − +1+ = 0 4π 8 8 n = 3 → b3 =
1 7 1 − = 8 20π 2 15 7 15 n = 6 → b6 = +1+ = 6π 8 8 12π n = 5 → b5 =
2 5π
n = 7 → b7 =
2 7 1 1 − = 7π 8 28π
dan seterusnya .
dengan demikian kita dapatkan : 10
p(t ) = ∑ bn sin 524πt n =1
1 15 1 1 sin(524πt ) + sin(524.2πt ) + sin(524.3πt ) + 0. sin(524.4πt ) + sin(524.5πt ) 4π 4π 12π 20π 15 + sin(524.6πt ) + ..... 12π 1 sin(524πt ) 30 sin(524.2πt ) sin(524.3πt ) sin(524.5πt ) 30 sin(524.6πt ) = { + + + + + ..... 4π 1 2 3 5 6
=
Ingat kembali bahwa dalam suatu gerak harmonik sederhana, energi ratarata sebanding dengan kuadrat amplitude kecepatan, hal yang sama untuk gelombang bunyi, intensitas gelombang bunyi (energi rata-rata yang menumbuk satuan luas pendengaran perdetik) akan sebanding dengan rata-rata kuadrat dari selisih tekanan udara. Dengan demikian dalam uraian deret Fourier untuk p(t), maka intensitas untuk setiap harmonik
}
27
akan sebanding dengan kuadrat koefisien Fourier yang terkait. Jadi intensitas relative dari setiap harmonik untuk contoh diatas adalah :
n
=1
Intensitas = 1 Relatif
2
3
225
1
9
4
5
0
1
25
6
7
25
1
49
8
….
0
…
