Deret Fourier dan Transformasi Fourier

cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011

Bab 6 Deret Fourier dan Transformasi Fourier 6.1

Fungsi Periodik

Suatu fungsi dikatakan periodik jika nilai fungsi tersebut berulang untuk selang besaran tertentu. Secara definisi, dapat dikatakan bahwa suatu fungsi f (x) disebut periodik jika f (x + p) = f (x) untuk setiap x; bilangan p disebut sebagai perioda. Misalnya fungsi f (x) = sin x periodanya adalah 2πkarena 2πx sin(x + 2π) = sin x. Secara umum diperoleh perioda dari fungsi sin T adalah T . Gerak benda yang dinyatakan dalam gerak harmonik sederhana (simple harmonic motion) dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi sinus ataupun fungsi cosinus. Telah diuraikan disinggung sebelumnya bahwa bilangan kompleks (diagram Argand) dapat juga digunakan untuk menyatakan posisi benda. Hubungan antara penulisan bilangan kompleks dengan sinus dan cosinus juga telah dibahas pada BAB V, yaitu yang dapat dituiskan dalam bentuk z = x + iy = A(cos ωt + sin ωt) = Aeiωt

6.2

(6.1)

Nilai Rata-rata suatu Fungsi

Konsep nilai rata-rata suatu fungsi serupa dengan konsep rata-rata suatu kumpulan bilangan. Bila terdapat sekumpulan bilangan, maka nilai rata-rat bilangan tersebut adalah diperoleh dengan menjumlahkan bilangan-bilangan tersebut kemudian membaginya dengan banyaknya bilangan yang dijumlahkan. Demikian halnya dengan rata-rata suatu fungsi f (x). Misalkan ingin 117

Deret Fourier dan Transformasi Fourier

118

dicari rata-rata suatu fungsi f (x) dalam selang interval antara x = a sampai x = b. Rata-rata tersebut dapat diperoleh dengan menjumlahkan nilai fungsi f (x) di setiap nilai x kemudian membaginya dengan banyaknya x. Seperti halnya konsep integral sebagai penjumlahan strip-strip di bawah suatu fungsi sebagaimana yang telah di bahas pada BAB IV, maka penjumlahan fungsi dalam konsep rata-rata juga dinyatakan dalam bentuk integral. Dengan demikian rata-rata suatu fungsi f (x) pada interval [a, b] dapat dinyatakan sebagai Z b

f (x)dx

a

(6.2) b−a Tinjau dua buah fungsi yang dinyatakan dengan f (x) = sin2 x dan g(x) = cos2 x. Nilai rata-rata fungsi ini untuk interval [−π, π] (satu periode) adalah Z π

2 1 sin x [−π,π] = sin2 x dx 2π −π Z π

2 1 cos2 x dx cos x [−π,π] = 2π −π hf (x)i[a,b] =

Kemudian bila keduanya dijumlah, maka akan dapat dinyatakan Z π

2

2 1 sin x [−π,π] + cos x [−π,π] = (sin2 x + cos2 x) dx = 1 2π −π

Karena luas daerah di bawah kurva sin2 x dan cos2 xuntuk interval [−π, π] adalah sama, berarti dapat diperoleh bahwa sin2 x [−π,π] = hcos2 xi[−π,π] . Dengan demikian dapat dinyatakan

sin2 x

[−π,π]

1 = cos2 x [−π,π] = 2

(6.3)

Hal yang sama juga berlaku untuk sin2 nx dan cos2 nx

6.3

sin2 nx

[−π,π]

1 = cos2 nx [−π,π] = 2

(6.4)

Koefisien Fourier

Tinjau suatu fungsi periodik yang merupakan superposisi dari fungsi-fungsi harmonik sinus dan cosinus dalam bentuk 1 f (x) = a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + a3 cos 3x + . . . 2 + b1 sin x + b2 sin 2x + b3 sin 3x + . . .

(6.5)

6.3 Koefisien Fourier

119

Karena sin nx dan cos nx mempunyai perioda sebesar 2π, maka berarti fungsi f (x) tersebut juga mempunyai perioda sebesar 2π. Kemudian dengan mengingat beberapa hubungan berikut ini Z π 1 sin mx cos nx dx = 0 (6.6) hsin mx cos nxi[−π,π] = 2π −π


hsin mx sin nxi[−π,π]

hcos mx cos nxi[−π,π]

Z π 1 = sin mx sin nx dx 2π −π   0, m 6= n = 12 , m = n 6= 0   0, m = n = 0

Z π 1 = cos mx cos nx dx 2π −π   0, m 6= n = 12 , m = n 6= 0   1, m = n = 0

Bila f (x) pada persamaan 6.5 dikalikan dengan

(6.7)

(6.8)

1 kemudian diintegralkan 2π

pada interval [−π, π] maka akan diperoleh Z π Z π Z π Z π a0 1 1 1 1 f (x) dx = dx + a1 cos x dx + a2 cos 2x dx + . . . 2π −π 2 2π −π 2π −π 2π −π Z π 1 + b1 sin x dx + . . . 2π −π yang memberikan Z π 1 a0 f (x) dx = 2π −π 2

=⇒

a0 =

1 π

Z

π

f (x) dx

(6.9)

−π

Kemudian koefisien a1 dapat diperoleh dengan mengalikan fungsi f (x) de1 cos x lalu mengintegralkannya dalam interval [−π, π] ngan 2π Z π Z π Z π a0 1 1 1 f (x) cos x dx = cos x dx + a1 cos2 x dx 2π −π 2 2π −π 2π −π Z π 1 + a2 cos 2x cos x dx + . . . 2π −π Z π 1 + b1 sin x cos x dx + . . . 2π −π


120

dan dengan menggunakan persamaan 6.6 - 6.8, maka akan diperoleh 1 2π

Z

π

1 f (x) cos x dx = a1 2π −π

Z

π

cos2 x dx = −π

a1 2

atau 1 a1 = π

Z

π

f (x) cos x dx −π

Cara yang sama dapat dilakukan untuk memperoleh koefisien an lainnya, yang secara umum memberikan 1 an = π

Z

π

f (x) cos nx dx

(6.10)

−π

1 sin x dan 2π kemudian mengintegralkannya pada interval [−π, π] maka akan diperoleh koefisien bn dengan cara yang sama yaitu yang dapat dinyatakan dalam bentuk umum sebagai berikut Selanjutnya bila fungsi f (x) tersebut di atas dikalikan dengan

1 bn = π

Z

π

f (x) sin nx dx

(6.11)

−π

Dengan cara seperti yang dijelaskan di atas, maka suatu fungsi periodik dapat diuraikan (dieskpansikan) ke dalam suatu deret sinus cosinus yang dikenal sebagai deret Fourier.

Contoh Suatu fungsi yang dinyatakan dengan

f (x) =

(

0, 1,

−π < x < 0, 0 < x < π,

uraikanlah fungsi f (x) tersebut dalam deret Fourier. Untuk mengekspansikan fungsi tersebut berarti harus dicari koefisien an dan

6.4 Deret Fourier dalam Bentuk Kompleks

121

bn yang bersesuaian dengan menggunakan persamaan 6.10 dan 6.11. Z 1 π f (x) cos nx dx π −π Z 0 Z π 1 0 · cos nxdx + 1 · cos nxdx = π −π 0 Z 1 π cos nxdx = π 0 ( 0, untuk n 6= 0, = 1, untuk n = 0


an =

Z 1 π f (x) sin nx dx π −π Z 0 Z π 1 0 · sin nxdx + 1 · sin nxdx = π −π 0 Z 1 π = sin nxdx π  0 0, untuk n genap, = 2  , untuk n ganjil nπ

bn =

Dengan demikian diperoleh

1 2 f (x) = + 2 π

sin x sin 3x sin 5x + + + ... 1 3 5

Uraian deret Fourier dari fungsi f (x) untuk n = 3, 9 dan 15 ditunjukkan dalam Gambar 6.1. Terlihat bahwa semakin banyak n yang digunakan, uraian deret Fourier akan semakin mendekati fungsi yang dimaksud.

6.4

Deret Fourier dalam Bentuk Kompleks

Dalam pembahasan tentang bilangan kompleks, telah diuraikan bahwa fungsi sinus dan cosinus dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan kompleks yaitu sin nx =

einx − e−inx , 2i

cos nx =

einx + e−inx 2

(6.12)


122

1.2 1 0.8 0.6 0.4

n= 3

0.2

n=9 n= 15

0 -4

-2

0

2

4

-0.2

Gambar 6.1: Uraian deret Fourier dari fungsi f (x) untuk n = 3, 9 dan 15.

Dengan demikian berarti deret Fourier dapat pula dinyatakan dalam bentuk fungsi kompleks. f (x) = c0 + c1 eix + c−1 e−ix + c2 e2ix + c−2 e−2ix + . . . n=+∞ X cn einx =

(6.13)

n=−∞

Tinjau kembali persamaan 6.5 1 f (x) = a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + a3 cos 3x + . . . 2 + b1 sin x + b2 sin 2x + b3 sin 3x + . . . ix 2ix e + e−ix e + e−2ix a0 + a1 + a2 + ... = 2 2 2 ix e − e−ix e2ix − e−2ix + b1 + b2 + ... 2i 2i

Sehingga dapat dituliskan dalam bentuk

f (x) = c0 + c1 eix + c−1 e−ix + c2 e2ix + c−2 e−2ix + c3 e3ix + c−3 e−3ix + . . . n=+∞ X cn einx = n=−∞

(6.14)


123


Untuk memperoleh koefisien cn cara yang sama juga dilakukan sebagaimana ketika menentukan koefisien an dan bn . Perhatikan integral berikut ini Z π eikπ − e−ikπ eikx π ikx =0 (6.15) e dx = = ik −π ik −π

1 Dengan demikian bila fungsi f (x) dikalikan dengan kemudian diintegralk2π an dari x = −π hingga x = π, maka akan diperoleh Z π Z π 1 1 f (x)dx = c0 =⇒ c0 = f (x)dx 2π −π 2π −π Selanjutnya bila fungsi f (x) tersebut dikalikan dengan e−inx kemudian diintegralkan dari x = −π hingga x = π, maka akan diperoleh Z π Z π Z π 1 1 1 −inx −inx f (x)e dx = c0 e dx + c1 e−inx eix dx 2π −π 2π −π 2π −π Z π 1 + c−1 e−inx e−ix dx + . . . 2π −π yang memberikan nilai untuk koefisien cn yaitu Z π 1 f (x)e−inx dx cn = 2π −π

(6.16)

Uraian deret Fourier di atas adalah untuk fungsi dengan periode sebesar 2π dengan interval [−π, π]. Fungsi dengan periode 2π namun dengan interval lainnya yaitu misalnya [0, 2π] juga mempunyai bentuk ungkapan koefisien an , bn dan cn yang sama, hanya berbeda pada batas integralnya, yaitu Z 1 2π f (x) cos nx dx (6.17) an = π 0 Z 1 2π f (x) sin nx dx (6.18) bn = π 0 Z 2π 1 cn = f (x)e−inx dx (6.19) 2π 0 Bagaimana halnya dengan uraian untuk fungsi yang periodanya tidak sama dengan 2π tapi misalkan 2l (baik dalam interval [−l, l] ataupun [0, 2l])? Untuk mendapatkan ungkapan koefisien deret Fourier dalam nπx bentuk yang lebih umum tersebut perhatikanlah bahwa fungsi sin mempunyai pel rioda sebesar 2l, yang dapat ditunjukkan dengan nπ nπx nπx sin (x + 2l) = sin + 2nπ = sin l l l


124

Demikian juga halnya dengan fungsi cos

nπx l

dan einπx/l yang mempunyai

perioda sebesar 2l. Dengan demikian f (x) dalam persamaan 6.5 diuraikan menggunakan fungsi sinus dan cosinus yang mempunyai perioda 2l sehingga menjadi 1 πx 2πx 3πx f (x) = a0 + a1 cos + a2 cos + a3 cos + ... 2 l l l πx 2πx 3πx + b1 sin + b2 sin + b3 sin + ... l l l

(6.20)

Demikian juga f (x) pada persamaan 6.13 dapat dituliskan dalam bentuk f (x) = c0 + c1 eiπx/l + c−1 e−iπx/l + c2 e2iπx/l + c−2 e−2iπx/l + . . . n=+∞ X cn einπx/l =

(6.21)

n=−∞

Kemudian dengan menggunakan beberapa persamaan sebagaimana persamaan 6.6 − 6.8, namun dengan perioda dan interval yang berbeda 1 2l

Z

l

sin −l

nπx mπx cos dx l l

  0, nπx mπx 1 sin dx = 12 , sin  2l −l l l  0,   Z 0, mπx nπx 1 l cos cos dx = 21 ,  2l −l l l  1, Z

l

=0

(6.22)

m 6= n m = n 6= 0 m=n=0

(6.23)

m 6= n m = n 6= 0 m=n=0

(6.24)

Selanjutnya dengan proses yang sama sebagaimana ketika mendapatkan koefisienkoefisien Fourier di atas, maka akan diperoleh (untuk interval [−l, l]) 1 an = l bn =

1 l

Z

l

nπx dx l

f (x) sin

nπx dx l

−l l

Z

1 cn = 2l

f (x) cos

−l

Z

l

f (x)e−inπx/l dx −l

(6.25)



sedangkan untuk interval [0, 2l] dapat dinyatakan Z 1 2l nπx an = dx f (x) cos l 0 l Z nπx 1 2l dx f (x) sin bn = l 0 l Z 1 2l f (x)e−inπx/l dx cn = 2l 0

125

(6.26)

Contoh Ekspansikan fungsi berikut f (x) =

(

0, 1,

0 < x < l, l < x < 2l,

dalam deret Fourier. Fungsi tersebut didefinisikan dalam interval [0, 2l], bila digunakan koefisien cn maka dapat dinyatakan Z 1 2l f (x)e−inπx/l dx cn = 2l 0 Z Z 1 2l 1 l −inπx/l 0·e dx + 1 · e−inπx/l dx = 2l 0 2l l Z 1 2l −inπx/l 1 e−inπx/l 2l (e−2inπ − e−inπ ) = e dx = = 2l 2l −inπ/l l −2inπ  l 0, n genap 6= 0 = 1 − , n ganjil inπ dan juga Z 1 1 2l f (x)dx = c0 = 2l l 2 Dengan demikian diperoleh 1 3iπx/l 1 −3iπx/l 1 1 iπx/l −iπx/l f (x) = − e −e + e − e + ... 2 iπ 3 3 3πx πx 1 1 2 + sin + ... sin = − 2 π l 3 l Plot uraian Fourier fungsi tersebut untuk l = 1 ditunjukkan dalam gambar 6.2.


126

1.2 1 0.8 0.6 0.4

n=3 n=7

0.2

n = 17

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.2

Gambar 6.2: Uraian deret Fourier dari fungsi f (x) untuk n = 3, 7 dan 17 dengan l = 1.

6.5

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Suatu fungsi f (x) dikatakan sebagai fungsi genap jika f (−x) = f (x). Misalnya adalah f (x) = x2 , f (x) = cos x dan lain sebagainya. Sedangkan suatu fungsi f (x) dikatakan sebagai fungsi ganjil jika f (−x) = −f (x). Contoh fungsi ganjil adalah f (x) = x, f (x) = sin x, f (x) = x3 dan lain sebagainya. Secara grafis fungsi genap ditandai dengan kesimetrian terhadap sumbu vertikal sedangkan fungsi ganjil ditandai dengan kesimetrian terhadap titik pusat koordinat. Dengan sifat kesimetrian fungsi genap dan fungsi ganjil tersebut, maka dapat dituliskan bahwa  Z l Z l  2 f (x) dx, jika f (x) fungsi genap f (x) dx = (6.27) 0  −l 0, jika f (x) fungsi ganjil

Tinjau suatu fungsi f (x) yang merupakan fungsi ganjil dan fungsi lain g(x) yang merupakan fungsi genap. Misalkan perkalian kedua fungsi tersebut dinyatakan dengan h(x) = f (x)g(x). Dengan menggunakan sifat fungsi ganjil dan fungsi genap dapatlah dinyatakan bahwa h(−x) = f (−x)g(−x) = −f (x)g(x) = −h(x) Hal tersebut menunjukkan bahwa hasil perkalian dua fungsi yang berbeda (yang satu fungsi ganjil dan yang lain fungsi genap) akan menghasilkan fungsi

6.5 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

127


ganjil. Sedangkan jika keduanya merupakan fungsi ganjil atau keduanya merupakan fungsi genap maka akan diperoleh hasil kali keduanya berupa fungsi genap. Telah diperoleh sebelumnya ungkapan koefisien deret Fourier an dan bn dalam bentuk yang umum sebagaimana dinyatakan dalam persamaan 6.25. nπx menghasilkan Dalam hal ini jika f (x) adalah fungsi ganjil, maka f (x) cos l fungsi ganjil (karena fungsi cosinus adalah fungsi genap) sehingga berdasarkan persamaan 6.27 dapat diperoleh 1 an = l

Z

l

f (x) cos −l

nπx dx = 0 l

nπx menghasilkan fungsi genap, sehingga dengan persaSedangkan f (x) sin l maan 6.27 diperoleh 1 bn = l

Z

l

2 nπx dx = f (x) sin l l −l

Z

l

f (x) sin 0

nπx dx l

nπx menghasilkSebaliknya jika f (x) adalah fungsi genap, maka f (x) cos l an fungsi genap sehingga berdasarkan persamaan 6.27 dapat diperoleh an =

1 l

Z

l

f (x) cos −l

2 nπx dx = l l

Z

l

f (x) cos 0

nπx dx l

nπx menghasilkan fungsi ganjil, sehingga dengan persaSedangkan f (x) sin l maan 6.27 diperoleh 1 bn = l

Z

l

f (x) sin −l

nπx dx = 0 l

Jadi dapat disimpulkan  an = 0 Z Jika f (x) fungsi ganjil maka nπx 2 l  bn = f (x) sin dx l 0 l  Z nπx 2 l  f (x) cos dx an = Jika f (x) fungsi genap maka l 0 l  bn = 0

(6.28)

(6.29)


128

6.6

Teorema Parseval

Tinjau persamaan 6.5, yang dapat dituliskan kembali dalam bentuk ∞

∞

X X 1 bn sin nx an cos nx + f (x) = a0 + 2 1 1

(6.30)

Nilai rata-rata suatu fungsi dalam interval [−π, π] telah dijelaskan pada bagian awal BAB ini. Bila dicari nilai rata-rata dari fungsi [f (x)]2 untuk selang [−π, π] maka dapat dituliskan

[f (x)]

2

D

[−π,π]

Z

π

[f (x)]2 dx

(6.31)

−π

E

2

= 12 a0 , (an cos nx)2 [−π,π] = Dengan mengingat bahwa [−π,π]

2 1 2 1 2 a dan (bn sin nx) [−π,π] = 2 bn , maka dapat dinyatakan 2 n

[f (x)]

2

[−π,π]

1 = 2π

Z

2 1 a 2 0

1 = 2π

π 2

[f (x)] dx = −π

1 a0 2

2

∞

∞

1X 2 1X 2 + a + b (6.32) 2 1 n 2 1 n

Persamaan 6.32 merupakan salah satu bentuk teorema Parseval.

6.7

Transformasi Fourier

Deret Fourier sebagaimana yang diuraikan pada bagian terdahulu digunakan untuk mengekspansi suatu fungsi periodik. Bagaimana halnya dengan fungsi nonperiodik? Fungsi nonperiodik dapat dipandang sebagai fungsi periodik dengan periode tak hingga. Tinjau kembali persamaan 6.20 yang menunjukkan uraian deret fourier untuk fungsi yang periodik dengan interval [−l, l]. Jika digunakan variabel nπ , maka persamaan tersebut dapat dituliskan kembali sebagai baru ωn = l ∞ ∞ X a0 X + an cos ωn x + bn sin ωn x f (x) = 2 n=1 n=1

(6.33)

6.7 Transformasi Fourier

129

dengan 1 a0 = l

Zl

f (τ ) dτ

Zl

f (τ ) cos ωn τ dτ

Zl

f (τ ) sin ωn τ dτ

−l

1 an = l

(6.34)


−l

1 bn = l

−l

sebagaimana persamaan 6.25. Dengan demikian persamaan 6.33 menjadi 1 f (x) = 2l

Zl

−l

∞

1X f (τ ) dτ + cos ωn x l n=1 ∞

Zl

f (τ ) cos ωn τ dτ

Zl

f (τ ) sin ωn τ dτ

−l

1X + sin ωn x l n=1

(6.35)

−l

Kemudian karena ∆ω = ωn+1 − ωn =

π (n + 1)π nπ − = l l l

1 ∆ω = l π

=⇒

maka dapat dituliskan kembali 1 f (x) = 2l

Zl

f (τ ) dτ

−l

  Zl Zl ∞ X ∆ω cos ωn x f (τ ) cos ωn τ dτ + sin ωn x f (τ ) sin ωn τ dτ  + π n=1 −l

−l

Untuk fungsi nonperiodik, sebagaimana telah disebutkan di atas, berarti l → ∞, dan ∆ω → dω. Maka dapat dituliskan   Z∞ Z+∞ Z+∞ 1  f (τ ) sin ωτ dτ  dω f (τ ) cos ωτ dτ + sin ωx cos ωx f (x) = π 0

−∞

−∞


130

Jika kemudian digunakan notasi 1 A(ω) = π

Z+∞ f (τ ) cos ωτ dτ

−∞

Z+∞ f (τ ) sin ωτ dτ

1 B(ω) = π

−∞

Maka dapat dinyatakan f (x) =

Z∞

A(ω) cos ωx dω +

Z∞

B(ω) sin ωx dω

(6.36)

0

0

Persamaan 6.36 tersebut di atas dikenal sebagai ungkapan integral Fourier (Fourier Integral ) atau juga sering dinyatakan sebagai transformasi Fourier. Jika f (x) mempunyai sifat sebagai fungsi ganjil atau fungsi genap, maka ungkapan integral Fourier dapat menjadi lebih sederhana. Jika f (x) meruZ+∞ Z+∞ f (x) dx. f (x) dx = 2 pakan fungsi genap, maka f (−x) = f (x) dan −∞

0

Selain itu f (τ ) sin ωτ menjadi bersifat fungsi ganjil sehingga B(ω) = 0. Dengan demikian jika f (x) merupakan fungsi genap, maka diperoleh integral Fourier cosinus1 : Z∞ f (x) = A(ω) cos ωx dω 0

2 A(ω) = π

Z∞

(6.37)

f (x) cos ωx dx

0

Sedangkan jika f (x) merupakan fungsi ganjil maka f (−x) = −f (x) dan Z+∞ f (x) dx = 0, selanjutnya f (x) cos ωx bersifat fungsi ganjil sehingga dipe-

−∞

roleh A(ω) = 0. Dengan demikian diperoleh ungkapan integral Fourier sinus: 1

Beberapa buku teks menggunakan ungkapan yang sedikit berbeda berkaitan dengan konstanta dalam integral Fourier. Misalnya dalam buku BOAS, ungkapan inq R∞ 2 tegral Fourier cosinus dinyatakan sebagai f (x) = A(ω) cos ωx dω dan A(ω) = π 0 q R∞ 2 f (x) cos ωx dx π 0

6.7 Transformasi Fourier

131

f (x) =

Z∞

B(ω) sin ωx dω

0

2 B(ω) = π

Z∞

(6.38) f (x) sin ωx dx


0

Integral Fourier dapat juga diungkapkan dalam bentuk fungsi eksponen, yaitu dalam bentuk Z+∞ C(ω)eiωx dω f (x) = −∞

1 C(ω) = 2π

(6.39)

Z+∞ f (x)e−iωx dx

−∞

Contoh 1 Suatu fungsi nonperiodik dinyatakan dengan ( 1, −1 < x < 1 f (x) = 0, |x| > 1 Nyatakanlah fungsi tersebut dalam bentuk integral Fourier. Fungsi f (x) tersebut merupakan fungsi genap, sehingga dapat dinyatakan 2 A(ω) = π

Z∞

2 f (x) cos ωx dx = π

0

Z1

cos ωx dx =

0

2 sin ω = π ω f (x) =

Z∞

A(ω) cos ωx dω

0

2 = π

Z∞ 0

sin ω ω

cos ωx dω

2 [sin ω − 0] ωπ

Deret Fourier dan Transformasi Fourier

Recommend Documents