JIMT Vol. 10 No. 1 Juni 2013 (Hal. 83 β 88 ) Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan ISSN
: 2450 β 766X
TRANSFORMASI FOURIER QUATERNION Resnawati Program Studi Matematika Jurusan Matematika FMIPA Universitas Tadulako Jalan Soekarno-Hatta Km. 09 Tondo, Palu 94118, Indonesia. Email :
[email protected] Abstrak Perluasan Transformasi Fourier (TF) ke bidang aljabar quaternion saat ini semakin berkembang. Transformasi fourier quaternion (TFQ) memiliki aplikasi penting dalam berbagai bidang, khususnya dalam bidang pengolahan citra. Sifat quaternion yang tidak komutatif terhadap perkalian menghasilkan tiga tipe dari TFQ. Tulisan ini akan menjelaskan TFQsatu sisibeberapa sifat penting termasuk konvolusinya.
I.
PENDAHULUAN Transformasi Fourier (TF) memiliki beberapa cabang penting yang telah banyak diaplikasikan
dalam berbagai bidang. Salah satu diantaranya adalah transformasi fourier diskrit (TFD). TFD merupakan transformasi fourier pada domain diskrit. Bracewell (2000) dalam Sangwine dan Ell (2012) menyatakan bahwa diantara kegunaan TFD adalah dalam pengolahan signal dan citra serta bidang lainnya. Bidang transformasi fourier (TF) saat ini telah mengalami perkembangan ke bidang aljabar quaternion yang dikenal dengan transformasi fourier quaternion (TFQ). Hitzer (2006) menyatakan bahwa TFQ aplikasi yang penting dalam persamaan differensial parsial, pengolahan citra dan implementasi optimasi secara numerik. Pada pengolahan data citra khususnya, Pei dkk (2001) menyatakan bahwa TFQ berperan dalam perbaikan citra, deteksi tepi dan kompresi citra. Quaternion sendiri merupakan perluasan bilangan-bilangan kompleks untuk aljabar empat dimensi dengan satu bagian real dan tiga bagian imajiner. Quaternion merupakan aljabar non komutatif namun memenuhi syarat asosiatif.Tulisan ini akan menunjukkan definisi TFQ satu sisi, beberapa sifat penting serta konvolusinya. II.
METODE PENELITIAN Penelitian ini merupakan penelitian bersifat kualitatif dengan melakukan kajian pustaka melalui pengumpulan dan mengkaji materi-materi yang berkaitan dengan penelitian seperti
82
quaternion dan TF. Selanjutnya dari materi tersebut, dilakukan penyusunan definisi dan teorema TFQ satu sisi. III.
HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1.
Aljabar Quaternion β Quaternion merupakan perluasan bilangan-bilangan kompleks untuk aljabar empat
dimensi yang awalnya berasal dari ketidak berhasilan perluasan bilangan kompleks untuk aljabar dimensi tiga (Triplets) karena operasi perkaliannya tidak bersifat tertutup berdasarkan elemen-elemen {1, π, π}. (Mawardi dkk, 2007) a.
Definisi Quaternion Quaternion merupakan kombinasi linier skalar real dan tiga satuan imajiner
orthogonal (dilambangkan i, j dan k) dengan koefisien-koefisien real, yang dituliskan sebagai H={q=q0 + iq1 + jq2 +kq3 }, q0 , q1 , q2 ................................................................... (1) dimana elemen-elemen i, j
dan k memenuhi sifat perkalian Hamiltonian sebagai
berikut : i2 =j2 =k2 = -1, ij= -ji=k, jk= -kj=i, ki= -ik=j ........................................................... (2) Quaternion ini dapat kita tuliskan secara
sederhana sebagai penjumlahan
skalar q0 dan quaternion 3D murni π,yaitu q= q0 + q= q0 + iq1 +jq2 + kq3 .............................................................................. (3) dimana q0 adalah bagian skalar dan dilambangkan dengan π0 = ππ(π) dan q = ππ1 + ππ2 + ππ3 dinamakan sebagai bagian vektor. Konjugat quaternion q diperoleh dengan mengganti tanda bagian vektor, yaitu q=q0 -q=q0 -iq1 -jq2 -kq3....................................................................................... (4) b.
Sifat-sifat Bilangan Quaternion Misalkan diberikan quaternion , π, π, Μ
πΜ
, maka berikut adalah sifat-sifat bilangan
quaternion : Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
Μ
i) π + π = πΜ
+ πΜ
ii)
Μ
Μ
Μ
= πΜ
πΜ
(sifat anti involusi) ππ
iii)
ππΜ
= πΜ
π (sifat assosiatif)
iv)
|π| = βππΜ
= βπ02 + π12 + π22 + π32
v)
π β1 = |π|2 .
πΜ
(Invers qβ β\{0}
83
3.2.
Transformasi Fourier (TF) Definisi dan sifat-sifat TF pada bagian ini merujuk pada Mawardi dkk. (2013) yang
dinyatakan sebagai berikut. a.
Definisi Transformasi Fourier Misalkan π adalah sebuah fungsi yang terletak di πΏ1 (β ). Transformasi fourier
dari π dinyatakan sebagai
β± {π}(π) = πΜ(π) =
β 1 β« π(π₯)π βπππ₯ ππ₯ .......................................................... β2π ββ
(5)
sedangkan invers dari πΜ(π) dinyatakan sebagai
β±β1 [β±{π}](π₯) = π(π₯) = b.
β 1 β« πΜ(π)π βπππ₯ ππ .................................................... β2π ββ
(6)
Sifat-Sifat Transformasi Fourier Sifat-sifat dasar bagi TF ditunjukkan sebagai berikut.
ο·
Linearitas Jika dua buah fungsi π, π β πΏ1 (β ), dan πΌ, π½ adalah sebarang konstanta, maka :
β±{πΌπ + π½π}(π) = πΌβ±{π}(π)β±{π}(π) + π½ ............................................... (7) ο·
Pergeseran Misalkan fungsi π β πΏ1 (β ), pergeseran π didefinisikan oleh ππ π(π₯) = π(π₯ β π), maka :
β±{ππ π}(π) = π βπππ β±{π}(π) ................................................................... (8) ο·
Modulasi Misalkan
π β πΏ1 (β ),
dan
π0 β β.
Modulasi
π
didefinisikan
oleh
ππ0 π(π₯) = π ππ0π₯ π(π₯), transformasi fourier dari modulasi π didefinisikan oleh :
β±{ππ0 π}(π) = β±{π}(π β π0 ) ................................................................ (9) ο·
Pergeseran frekuensi-waktu Misalkan π β πΏ1 (β), dan π0 β β. TF dari pergeseran ini berbentuk
β±{ππ0 ππ0 π}(π) = π βππ0π₯ π(π β π0 ) ...................................................... (10) 3.3.
Transformasi Fourier Quaternion (TFQ) satu sisi Bagian ini akan dijelaskan definisi TFQ satu sisi serta sifat-sifat dasar yang penting
bagi TFQ, dimana π(π₯) = π0 (π₯) + ππ1 (π₯) + ππ2 (π₯) + ππ3 (π₯) adalah fungsi bernilai quaternion. a.
TFQ satu sisi Definisi : Misalkan π suatu fungsi bernilai quaternion, dan π2 = β1. TFQ satu sisi pada
π β πΏ1 (β ; β), adalah fungsi β±π {π}: β β β yang diberikan oleh :
84
β±π {π}(π) = πΜπ (π) = β«β π (π)π βπππ₯ ππ₯ .................................................... (11) dimana π₯ = π₯π, π = ππ,
dan eksponensial quaternion π βπππ₯ adalah kernel Fourier
quaternion yang dapat diubah menjadi : π βπππ₯ = cos ππ₯ β π sin ππ₯ ..................................................................... (12) Berdasarkan
bentuk Euler pada perkalian eksponensial quaternion di atas,
maka persamaan (11) dapat ditulis dalam bentuk
β±π {π}(π) = β«β2 π (π)(cos ππ₯ β π sin ππ₯)........................................................... (13) Teorema 1 (Invers TFQ satu sisi) Berdasarkan definisi TFQ satu sisi, maka diperoleh invers untuk TFQ satu sisi adalah sebagai berikut 1
βπππ₯ ππ ........................................ (14) β±β1 π [β±π {π}](π) = π(π₯) = (2π) β«β β±π {π}(π)π
Selanjutnya kita akan menunjukkan empat sifat dasar dari TFQ satu sisi. Teorema 2 (Linearitas) Misalkan fungsi π, π β πΏ1 (β), dan πΌ, π½ adalah sebarang konstanta, maka
β±π {πΌπ + π½π}(π) = πΌβ±π {π}(π) + π½ β±π {π}(π) ................................................... (15) Bukti. Berdasarkan definisi TFQ satu sisi, diperoleh
β±π {πΌπ + π½π}(π) = β« (πΌπ(π₯) + π½π(π₯)) π βπππ₯ ππ₯ β
= β« πΌπ(π)π βπππ₯ ππ₯ + β« π½π(π)π βπππ₯ ππ₯ β
β
= πΌ β±π {π}(π) + π½β±π {π}(π) dengan demikian teorema 2 terbukti. Teorema 3 (Pergeseran) Misalkan fungsi π β πΏ1 (β), pergeseran π didefinisikan oleh ππ π(π₯) = π(π₯ β π), maka pergeseran TFQ satu sisi didefinisikan oleh
β±π {ππ π(π₯)}(π) = β±π {π}(π)π βπππ ..................................................................... (16) Bukti.
β±π {ππ π(π₯)}(π) = β« π(π₯ β π) π βπππ₯ ππ₯ β
Misalkan π‘ = π₯ β π, maka persamaan di atas menjadi
β±π {ππ π(π₯)}(π) = β« π(π) π βππ(π‘+π) ππ₯ β
85
= β« π(π) π βπππ₯ π βπππ ππ₯ β
= β±π {π}(π)π βπππ . dengan demikian teroema 3 terbukti. Teorema 4 (modulasi) Misalkan π β πΏ1 (β), dan π0 β β. Modulasi π didefinisikan oleh ππ0 π(π₯) = π(π₯)π ππ0π₯ , transformasi fourier dari modulasi π didefinisikan oleh
β±π {ππ0 π}(π) = β±π {π}(π β π0 ) ....................................................................... (17) Bukti. Dari definisi TFQ satu sisi diperoleh
β±π {ππ0 π}(π) = β±π {π(π₯)π ππ0π₯ }(π) = β« π (π₯)π ππ0π₯ π βπππ₯ ππ₯ β
= β« π (π₯)π βπ(πβπ0)π₯ ππ₯ β
= β±π {π}(π β π0 ). dengan demikian, teorema modulasi fungsi quaternion terbukti. Teorema 5 (Pergeseran frekuensi-waktu) Misalkan π β πΏ1 (β). Jika komposisi translasi dan modulasi fungsi π didefinisikan sebagai ππ0 ππ π(π₯) = π(π₯ β π₯0 )π ππ0π₯ , maka TFQ satu sisi berbentuk
β±π {ππ0 ππ π}(π) = β±π {π}(π β π0 )π π(πβπ0)π₯0 .................................................... (18) Bukti.
β±π {ππ0 ππ π}(π) = β±π {π(π₯ β π₯0 )π ππ0π₯ }(π) = β« π (π₯ β π₯0 )π ππ0π₯ π βπππ₯ ππ₯ β
Misalkan π‘ = π₯ β π₯0 , maka
β±π {ππ0 ππ π}(π) = β« π (π‘)π ππ0(π‘+π₯0) π βππ(π‘+π₯0) ππ₯ β
= β« π (π‘)π βπ(πβπ0)π‘ π π(πβπ0)π₯0 ππ₯ β
= β±π {π}(π β π0 )π π(πβπ0)π₯0 . b.
Teorema Konvolusi pada TFQ satu sisi Di antara sifat penting dalam TFQ adalah konvolusi dan korelasi. Pada bagian
ini akan ditunjukkan definisi konvolusi dan korelasi untuk TFQ satu sisi serta konjugatnya.
86
Definisi Misalkan π, π β πΏ1 (β). Konvolusi π dan π, yang dinotasikan dengan π β π didefinisikan sebagai (π β π)(π₯) = β« π(π‘)π(π₯ β π‘)ππ‘ . β
Teorema 6 (Konvolusi TFQ satu sisi) Misalkan π, π β πΏ1 (β) adalah dua fungsi bernilai quaternion. TFQ satu sisi dari konvolusi π, π dinyatakan oleh β±π {π β π}(π) = β±π {π}(π)β±π {π0 (π₯ β π‘)}(π) + πβ±π {π}(π)β±π {π1 (π₯ β π‘)}(π) + πβ±π {π}(π)β±π {π2 (π₯ β π‘)}(π)πβ±π {π}(π)β±π {π3 (π₯ β π‘)}(π) ......... (19) Bukti. Misalkan π, π β πΏ1 (β). TFQ satu sisi dari konvolusi π, π dinyatakan oleh
β±π {π β π}(π) = β« β«
β β
π(π‘)π(π₯ β π‘)π βπππ₯ ππ₯ππ‘
Misalkan π¦ = π₯ β π‘, maka
β±π {π β π}(π) = β« β« π(π‘)π(π¦)π βππ(π¦+π‘) ππ¦ππ‘ β β
= β« β« π(π‘)π(π¦)π βπππ‘ π βπππ¦ ππ¦ππ‘ β β
= β« π(π‘) β« π(π¦)π βπππ¦ ππ¦ π βπππ‘ ππ‘ β
β
= β« π(π‘)β±π {π} (π)π βπππ‘ ππ‘. β
Mengingat sifat nonkomutatif terhadap perkalian pada quaternion, maka fungsi π(π‘) akan didekomposisi menjadi π(π‘) = π0 (π‘) + ππ1 (π‘) + ππ2 (π‘) + ππ3 (π‘), sehingga diperoleh
β±π {π β π}(π) = β« (π0 (π‘) + ππ1 (π‘) + ππ2 (π‘) + ππ3 (π‘))β±π {π} (π)π βπππ‘ ππ‘ β
= β« (π0 (π‘)β±π {π}(π) + ππ1 (π‘)β±π {π}(π) + ππ2 (π‘)β±π {π}(π) β
+ππ3 (π‘)β±π {π}(π) )π βπππ‘ ππ‘ .................................................... (20)
Karena π0 , π1 , π2 , π3 adalah fungsi bernilai riil dengan variabel π‘, maka persamaan (20) dapat ditulis menjadi
β±π {π β π}(π) = β« (β±π {π}(π)π0 (π‘) + πβ±π {π}(π)π1 (π‘) + πβ±π {π}(π)π2 (π‘) β
+πβ±π {π}(π)π3 (π‘)) Γ π βπππ‘ ππ‘ .............................................. (21)
87
Persamaan (21) dapat disederhanakan menjadi
β±π {π β π}(π) = β±π {π}(π) β« π0 (π‘)π βπππ‘ ππ‘ + πβ±π {π}(π) β« π1 (π‘)π βπππ‘ ππ‘ β
β
+πβ±π {π}(π) β«β π2 (π‘)π βπππ‘ ππ‘ + πβ±π {π}(π) β«β π3 (π‘)π βπππ‘ ππ‘ ...... (22) Berdasarkan definisi TFQ satu sisi, maka persamaan (22) dapat dinyatakan sebagai berikut. β±π {π β π}(π) = β±π {π}(π)β±π {π0 }(π) + πβ±π {π}(π)β±π {π1 }(π) + πβ±π {π}(π)β±π {π2 }(π) πβ±π {π}(π)β±π {π3 }(π) ............................................................... (23) Karena π¦ = π₯ β π‘, maka sebagai bentuk akhir β±π {π β π}(π), substitusi nilai π¦, diperoleh β±π {π β π}(π) = β±π {π}(π)β±π {π0 (π₯ β π‘)}(π) + πβ±π {π}(π)β±π {π1 (π₯ β π‘)}(π) +πβ±π {π}(π)β±π {π2 (π₯ β π‘)}(π)πβ±π {π}(π)β±π {π3 (π₯ β π‘)}(π) ...... (24) dengan demikian teorema 6 terbukti. IV.
KESIMPULAN Berdasarkan hasil dan pembahasan, penelitian ini memperoleh rumusan definisi TFQ satu sisi
serta teorema terkait sifat linearitas, pergeseran, modulasi dan pergeseran waktu-frekuensi. Definisi konvolusi serta TFQ satu sisi bagi konvolusinya juga diperoleh. DAFTAR PUSTAKA [1]
Hitzer, E.M.S. 2007. Quaternion Fourier Transform on Quaternion Fields and Generalizations : Proceeding of Functions Theories in Higher Dimensions .
[2]
M. Bahri, Asahino R. 2011. Two Dimensional Quaternionic Windowed Fourier Transform, -
Approach to Scientific Principles, Prof. Goran Nikolic (Ed.). ISBN: 978-953-307-231-9. [3]
M. Bahri, Surahman. 2012. Fast Quaternion Fourier Transform.
[4]
M. Bahri, Zulfajar, Asahino R. 2013. Convolution and Correlation Theorem for Linear
Canonical Transform and Properties. [5]
Sangwine, S.J., Ell T.A. 2012. Complex and hypercomplex Discrete Fourier Transform on Matrix Exponential Form of Eulerβs Formula : Applied Mathematics and Computation 219 hal. 644-655.
[6]
Supri. 2012. Transformasi Fourier dua sisi. Makassar.
[7]
Surahman. 2012. Konvolusi dan Cross-Correlasi untuk Transformasi Fourier Quaternion . Makassar.
88