Transformasi Fourier

Transformasi Fourier

Aplikasi Transformasi Fourier – – – – –

Koefisien serapan Resolusi spektral Analisis profil garis Pola antena Studi derau (noise)

Teorema konvolusi dipergunakan dalam melakukan perkalian dua fungsi secara efisien Referensi: 1. Bracewell, R. 1965 The Fourier Transform Spectroscopy, Academic, New York 2. Bell, R.J. 1972 The Fourier Transform and Its Application, Mc.GrawHill, New York Transformasi Fourier

2

Definisi Tranformasi Fourier suatu fungsi: Spesifikasi amplitudoamplitudo dan fasefase sinusoidal yang jika dijumlahkan bersama menghasilkan fungsi baru

Tinjau fungsi F(x), maka Transformasi Fourier dari F(x): 

f ( ) 

 F ( x) exp(2ix)dx



x, : pasangan variabel Fourier Transformasi invers: 

F ( x) 

 f ( ) exp(2ix )d




3

Rumus Euler untuk F(x): sehingga

exp(ix )  cos x  i sin x F ( x)  FR ( x)  FI ( x) real

imajiner

















f ( )   FR ( x) cos 2xdx  i  FI ( x) cos 2xdx  i  FR ( x) sin 2xdx   FI ( x) sin 2xdx

Fungsi sinus dengan periode 1/

f ( )  f R ( )  f I ( ) : Fungsi kompleks


4

Kasus F(x) real Contoh: Spektrum fluks bintang

 FI ( x)  0, sehingga f ( ) 





 F ( x) cos 2xdx  i  F ( x) sin 2xdx R

R





FR ( x) : fungsi genap [ FR ( x)   FR ( x)], maka f ( ) 



F

R

( x) cos 2xdx



: f(σ) Tetap merupakan fungsi kompleks

Sifat genap FR(x) bersama sifat ganjil sin 2πσx  suku imajiner = 0

Bilangan kompleks: f ( )  f R ( )  if I ( )  f ( ) exp(i )



f ( )  f R ( ) 2  f I ( ) 2 tan 



1/ 2

: Amplitudo

f I ( ) ,  : sudut fase f R ( ) Transformasi Fourier

5

Kasus σ = 0 

f (0) 



 F ( x)dx  F (0)   f ( )d





Luas daerah di bawah fungsi semula

Aplikasi:

Dlm transformasi Fourier garis spektrum, σ = 0 berarti absorpsi garis total


6

Transformasi umum W W x 2 2 W W  1,   x  2 2

B( x)  0,

b( ) 

Fungsi kotak (Box function)



W /2



W / 2

 B( x) exp( 2ix )dx   exp( 2ix )dx

exp( 2ix ) 1 exp(iW )  exp( iW )   2i 2i W / 2 W /2



2i 2i

[sin W ]  W

sin W W


7

Fungsi delta (Fungsi ) Arti fisis : Pulsa,



  ( x)dx  1



Sifat-sifat: 1.  ( x)  0, x  0 (pulsa terjadi pada x=0) 2.  ( x  x1 ) 

(pulsa terjadi pada x=x1)

3. Perkalian fungsi dengan fungsi delta  ( x  x1 ) F ( x)   ( x  x1 ) F ( x1 ) 



  ( x  x ) F ( x)dx  F ( x )   ( x  x )dx  F ( x ) 1



1

1

1




8

Transformasi Fourier 

 ( x  x1 )

f ( )    ( x  x1 ) exp(2ix )dx 



 exp(2ix )   ( x  x1 )dx  exp(2ix1 ) 

 Amplitudo f(σ) tidak tergantung pada σ tapi pada suku fase linier 2πix1σ

Fungsi delta dapat dipergunakan untuk transformasi fungsi kosinus dan sinus Tinjau:

F ( x)   ( x  x1 )   ( x  x1 ) 







 f ( )    ( x  x1 ) exp( 2ix)dx    ( x  x1 ) exp( 2ix)dx  exp( 2x1 )  exp( 2x1 )  2 cos(2x1 ) F ( x   ( x  x1 )   ( x  x1 )  f ( )  2i sin(2x1 )


9

Untuk sejumlah n buah fungsi delta (n) dengan selang Δx Fungsi Shah (III)

III ( x) 



  ( x  nx), n : bilangan bulat

n  

Transformasi III: sejumlah  fungsi delta,

III ( )    ( 

n ) x Selang antar puncak pada III(σ)=kebalikan selang pada III(x)


10


11

Cuplik & jendela data Penggunaan III(x): Perkalian dg suatu fungsi kontinu yg hasilnya sama dengan apabila fungsi dicuplik (sampled) pada titik-titik x=nΔx

D( )  III ( ) F ( )

Profil garis yang diukur

Fungsi garis spektrum Jendela data : Fungsi kotak (B) yang merepresentasikan rentang pengambilan data (t, λ,x,..)

D( )  B( ) III ( ) F ( ) Transformasi Fourier

12

Konvolusi  Transformasi Fourier dari suatu perkalian fungsi

F ( x)G( x)

Perkalian fungsi

 K ( ) 



 f ( ) g (  

1

)d 1



K ( )  f ( )  g ( ) Arti konvolusi: K(σ) dievaluasi titik demi titik, integrasi dilakukan thd σ1 dengan σ tetap. Fungsi g(σ- σ1) digeser sebesar σ thd f(σ) ke arah kiri. Perkalian f(σ) dan g(σ- σ1) dibentuk dan luas daerah perkalian = K(σ). Perubahan σ pergeseran g(σ- σ1) ke posisi baru Sifat:

f ( )  g ( )  g ( )  f ( ) Transformasi Fourier

13


14

Konvolusi fungsi  Transformasi fungsi  terhadap seluruh σ  nilai =1

F ( x)   ( x)  F ( x) F ( x)   ( x  x1 )  F ( x  x1 )  F(x) berpindah sejauh posisi fungsi  Konvolusi fungsi gaussian dan profil dispersi g ( ) 







1



exp( 

x2



2 2 2 ) exp( 2  ix  )  exp(     ) 2

Dua gaussian yang dikalikan: g a ( ) g b ( )  exp(  2  a2 2 ) exp(  2  b2 2 )  exp(  2  c2 2 ),  c2   a2   b2

Konvolusi 2 gaussian menghasilkan gaussian lain

Konvolusi 2 profil dispersi (a dan b) menghasilkan profil dispersi baru dengan lebar paro

 c   a  b


15

Konvolusi gaussian dan profil dispersi  Fungsi Voigt

G ( x) 

1

1 

exp( 

x2

2 2 2 )  g (  )  exp(   1  ) 2

1

 22 F ( x)   f ( )  exp( 2 2  ) 2 2  x  2 1

v( )  exp( 12 2 ) exp( 2 2  )


16

Aplikasi astronomi: Deteksi obyek Lihat: Adinugroho, A.S. 2005, TA, Dep. Astronomi, FMIPA, ITB


17

Teorema resolusi Keterbatasan instrumen  waktu, lebar pita, jendela pengukuran, dll Tinjau : Data D(x) diukur dari fungsi masukan F(x) via daerah W (didefinisikan oleh kotak satuan B(x)

D( x)  B( x) F ( x)  d ( )  b( )  f ( ) W sin W dan b( )  W


18

Bagi b(σ) ciri yang tajam dalam f(σ) merupakan pulsa  konvolusi menyebabkan musnah. Untuk memisahkan ciri tajam dalam f(σ) : lebar W  1/W < lebar ciri tajam

Keterbatasan bentang (span) pengukuran ril: Komponen frekuensi tinggi akan ‘hilang’ oleh transformasi Fourier  frekuensi yang meliputi d(σ) dengan x < W yang eksis

Struktur ril dalam transformasi dibatasi hingga Δσ1/W


19

Sampling dan aliasing Tinjau

d ( )  b( )  III ( )  f ( ) Anggap B(x) sangat lebar  b(σ)  impuls, sehingga

d ( )  III ( ) f ( ) Jarak antara fungsi-fungsi  dalam III(σ) = 1/Δx Konvolusi f(σ) dan III(σ): f ( )  0 utk  

Δx

0.5  f ( )  III ( ) x

Menghasilkan f(σ) yg terpisahpisah Sebaliknya, terjadi saling tumpang tindih

 ALIASING

Δx’=1/Δx


20

Parameter  N 

0.5 x

Frekuensi pancung (Nyquist frequency)

Mengatasi aliasing D(x): Besaran yang diukur, d(σ) dihitung amplitudo f(σ) pada σ σN tdk dapat diketahui. Secara umum f(σ) << utk σ >> 1. f(σ)0, σ σN : Hitung d(σ), konstruksi kembali F(x) dg mengambil invers d(σ) untuk σNσσN 2. Kasus ‘tumpang tindih’  tidak ada solusi unik Ulangi pengukuran dg selang data (Δx) diperkecil Transformasi Fourier

21

Metode numerik transformasi Fourier Referensi: 1. Press et al. 1993 “Numerical recipes: The art of scientific computing”, Cambridge Univ. Press

2. Gray 1992 “The Observation and analysis of stellar photosphere”, Cambridge Univ. Press 3. Bloomfield 1976 “Fourier analysis of time series: An introduction”, John Wiley & Sons 4. Brault & White 1971 Astron. & Astrophys. 13, pp. 169-189

 Awal perhitungan numerik: Formula kuadratur untuk memecahkan integral f(σ) dan F(x)  Algoritma Cooley-Tukey (metode penjumlahan bersarang/nested summation) : Fast Fourier Transform Transformasi Fourier

22

Kebutuhan algoritma Cooley-Tukey: 1. Titik-titk sepanjang kurva fungsi yang akan ditransformasikan N=pangkat 2 bilangan bulat. N=2n, n=1,2,…. 2. Titik-titik tersebar dengan interval absis yang seragam Tinjau

D( )  B( ) III ( ) F ( )  D( x)  D( jx)  D( j ) x : interval, j : 0  ( N  1), j   utk N data 

 d ( )   D( x j ) exp 2ix j x 

N 1

  D( j ) exp 2i ( jx) x 0

Nyatakan σ=kΔσ, Δσ: selang titik-titik pada d(σ), k: bilangan bulat N 1

d ( )  d (k )   D( j ) exp( 2ijk x )x 0


23

Frekuensi tertinggi yang dapat diharapkan untuk memperoleh informasi:

N 

1 2x

Asumsi: Jika terdapat N titik yang mendefinisikan D(x)  N nilai dari d(σ)

dihitung Implikasi: Jika d(σ) membentang simetri dlm σ  ada N/2 titik di sekitar 0:  1   N  xN

N /2 1 x  N

N 1

d (k )   D( j ) exp 2ijk / N x 0 N 1

D( j )   d (k ) exp  2ijk / N 

Teknik transformasi (& invers transformasi) Fourier cepat Umumnya diambil Δx=1

0


24

Rambatan derau antar domain dlm transformasi Fourier Nyatakan E(x): galat pengukuran F(x), sehingga F ( x)  F0 ( x)  E ( x)  f ( )  f 0 ( )  e( ) Teorema: 







2 2 E ( x ) dx  e   ( )d

Pengukuran dilakukan dalam rentang terbatas : L  rentang nilai σ transformasi: ±l x0  L



 / 2

E ( x)dx  2

2 e  ( )d

(*)

 / 2

x0

x0 : harga awal. Dapat ditulis

E 2L  e 2L

Relasi fundamental


25

Data yang ditransformasikan biasanya berbentuk numerik. Jika digunakan transformasi Fourier cepat (FFT), untuk N data yang berselang sama Δx, maka (*) menjadi N 1

N 1

2 E ( x )  x  e  j  ( j ) 2

0

0

 0.5 N  2 x Definisikan simpangan baku L  xN ,

1/ 2

 E (x j )   e ( j )  s x    ; s     0 ( N  1)   0 ( N  1  s x2 L  s2  N 1

 s  s x

2

N 1

2

L  s x xL  s x x N  Transformasi Fourier

1/ 2

Derau kedua domain sebanding 26

Transformasi Fourier

Recommend Documents