TKE 2403
SISTEM PENGOLAHAN ISYARAT
Kuliah 4 – Transformasi Fourier (Bagian I)
Indah Susilawati, S.T., M.Eng.
Program Studi Teknik Elektro Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer Universitas Mercu Buana Yogyakarta 2009
1
KULIAH 4 SISTEM PENGOLAHAN ISYARAT TRANSFORMASI FOURIER Jika dikehendaki untuk melihat komponen spektral dari sinyal-sinyal nonperiodik, maka harus dipastikan bahwa τ → ∞ karena dalam interval t ∈ [−∞, ∞] mengandung informasi yang penting. Dengan mengingat kembali bentuk eksponensial dari deret Fourier ∞
∑c
x(t ) =
n = −∞
n
e jnω t
(70)
e − jnω t dt
(71)
dengan τ
cn =
1
τ
2
∫τ x(t )
−
2
Maka kombinasi kedua persamaan di atas akan menghasilkan pernyataan,
⎫ ⎧ τ2 ⎪ ⎪1 x(t ) = ∑ ⎨ ∫ x(t ' ) e − jnω t ' dt '⎬e jnω t n = −∞⎪τ τ ⎪ ⎭ ⎩ −2 ∞
(72)
dan untuk hal tersebut τ → ∞. Oleh karena jarak antar spektrum frekuensi adalah
ω = Δω =
2π
(73)
ω
maka spektrum ke – k terletak pada ωk = k Δω. Dari persamaan (73) terlihat bahwa
2
1
τ
=
Δω 2π
Dan persamaan (72) menjadi τ ⎧ ⎫ 2 ∞ 1 ⎪ ⎪ − jnω t ' x(t ) = dt '⎬ e jnω t Δω ⎨ ∫ x(t ' ) e ∑ 2 π n=−∞⎪ τ ⎪ ⎩− 2 ⎭
(74)
Dengan demikian jika τ → ∞, maka ωn menjadi semakin mendekati suatu nilai yang sama dan saat τ = ∞ maka ωn = Δω, sehingga penjumlahan (Σ) berubah menjadi integral terhadap dω. Dalam limit,
1 x(t ) = 2π
⎫ jω t ⎧∞ − jω t ' x t e dt ( ' ) ' ⎬ e dω ∫−∞⎨⎩−∫∞ ⎭ ∞
(75)
Jika didefinisikan
F [ x(t )] = X (ω ) =
∞
∫ x(t ) e
− jω t
dt
(76)
−∞
dengan F adalah notasi transformasi Fourier, maka persamaan (75) mengisyaratkan bahwa
1 F [ X (ω )] = x(t ) = 2π −1
∞
∫ X (ω ) e
jω t
dω
(77)
−∞
dimana F−1 adalah notasi untuk inverse transformasi Fourier. {x(t), X(ω)} disebut pasangan transformasi Fourier. Oleh karena keduanya terhubung secara unik, maka keduanya juga membawa informasi yang sama (identik), yang berbeda hanya domainnya saja. X(ω) menyajikan konten atau komponen frekuensi dari x(t) dan dapat dikatakan sebagai bentuk lain dari
3
spektrum. X(ω) mempunyai domain frekuensi sedangkan x(t) mempunyai domain waktu.
Suatu Fungsi yang Bukan Sebuah Fungsi Sebagai akibat dari definisi delta Kronecker δij, adalah sifat proyeksi bahwa ∞
∑a δ
i = −∞
i
ij
= aj
(78)
Hal ini menjadi sangat berguna dalam analoginya untuk integral, yaitu bahwa ∞
∫ f ( x) δ ( x, y ) dx = f ( y)
(79)
−∞
Bagaimana bisa menemukan fungsi sejenis ini? Perhatikan penjelasan berikut ini. Misalkan persamaan (75) dapat dinyatakan kembali sebagai persamaan (80) berikut ini.
⎧ 1 x(t ) = ∫ ⎨ 2π − ∞⎩
⎫ jω ( t − t ') e d ω ⎬ x(t ' ) dt ' ∫−∞ ⎭
∞
∞
(80)
Jika dibandingkan dengan persamaan (78), maka suku
1 2π
∞
∫e
jω ( t − t ' )
dω
−∞
memenuhi syarat untuk apa yang disebut fungsi delta. Faktanya adalah bahwa integral tersebut hanya bergantung pada t – t’, sehingga dapat didefinisikan pernyataan berikut,
1 δ (t , t ' ) = δ (t − t ' ) = 2π
∞
∫e
jω ( t −t ')
−∞
4
dω
(81)
Bagaimana bentuk δ (t – t’)? Misalkan t ≠ t’, maka dalam hal ini e
iω(t – t’)
akan berosilasi dengan
jangkauan tak berhingga saat t’ bervariasi dari − ∞ hingga ∞. Akibatnya hasil integralnya adalah nol. Misalkan t = t’ maka
1 δ ( 0) = 2π
∞
∞
1 d ω = ω =∞ ∫−∞ 2 π −∞
Sehingga diperoleh sebuah fungsi yang bernilai nol kecuali pada saat argumennya nol. Pada saat argumennya nol maka nilai fungsi ini adalah tak berhingga. Fungsi ini digambarkan sebagai berikut.
Gambar 26. Fungsi delta Perilaku ini sangat istimewa atau mungkin aneh karena sepertinya δ(x) tidak seperti fungsi yang lain. Namun dalam pembahasan di mata kuliah ini akan disebut bahwa δ(t) adalah sebuah fungsi seperti fungsi-fungsi lainnya. Fungsi δ(t) juga muncul dalam konteks lain, misalnya y
I ( y ) = ∫ δ ( x) dx −∞
Jika y < 0 maka hasil integralnya sama dengan nol karena δ (x) = 0 untuk x ∈ [−∞, ∞]. 5
Jika y > 0 maka integralnya dapat dinyatakan menjadi, ∞
I ( y ) = ∫ δ ( x ) dx = 1 −∞
karena δ (x) = 0 untuk y < x < ∞. Sehingga integral tak tentu dari δ (x) adalah sebuah fungsi yang bernilai nol untuk y < 0 dan bernilai 1 untuk y ≥ 0. Ini merupakan definisi dari sebuah fungsi yang disebut fungsi undak (step function) atau juga disebut fungsi Heaviside H(y). Perhatikan gambar berikut.
Gambar 27. Fungsi undak (step function) atau fungsi Heaviside
Atau secara matematis dapat dinyatakan bahwa
d H ( x) = δ ( x) dx
(82)
Atau dengan cara lain (dengan argumen yang berbeda),
d H ( x − a) = δ ( x − a) dx
(83)
Sehingga fungsi delta dapat dinyatakan sebagai turunan dari fungsi undak.
6
Transformasi Fourier Untuk Fungsi Periodik Setelah mempelajari transformasi Fourier untuk sinyal non-periodik, maka berikut akan dibahas mengenai transformasi Fourier untuk sinyal periodik. Misalkan sebuah sinyal sederhana x(t) berikut. x(t) = sin (Ω t) Maka transformasi Fourier-nya dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.
X (ω ) = F [sin (Ω t )] ∞
= ∫ sin (Ω t ) e − jω t dt −∞ ∞
=
(
)
1 − jΩ t − jω t jΩ t ∫−∞ 2 j e − e e dt ∞
∞
1 1 j ( Ω −ω ) t e dt e j ( − Ω −ω ) t dt = − ∫ ∫ 2 j −∞ 2 j −∞ =
π j
δ (ω − Ω) −
π j
δ (ω + Ω)
Sehingga secara singkat dapat dinyatakan,
F [sin (Ω t )] =
π j
π δ (ω − Ω) − δ (ω + Ω) j
(84)
Maka spektrum dari sebuah gelombang sinus hanya mempunyai komponen tak – nol (non – zero components) pada ω = ±Ω dan dapat digambarkan seperti Gambar 28 berikut. Perhatikan bahwa amplitude komponen-komponennya adalah
π j
dan −
π j
sehingga sebenarnya dibutuhkan untuk membuat plot
amplitude dan fasenya. amplitude = X (± Ω) = ±
7
π j
=π
fase = arc tan (−π ) = −72,33 o dan fase = arc tan (π ) = 72,33 o
Gambar 28. Spektrum fungsi sinus
Dan untuk fungsi cosinus, dengan cara yang sama dapat pula diperoleh spektrumnya.
X (ω ) = F [cos (Ω t )] ∞
= ∫ cos (Ω t ) e − jω t dt −∞ ∞
=
∫ 2 j (e 1
jΩ t
)
+ e − jΩ t e − jω t dt
−∞
∞
∞
1 1 j ( Ω −ω ) t = + e dt e j ( − Ω −ω ) t dt ∫ ∫ 2 j −∞ 2 j −∞ =
π j
δ (ω − Ω) +
π j
Sehingga secara singkat dapat dinyatakan,
8
δ (ω + Ω)
F [cos (Ω t )] =
π j
π
δ (ω − Ω) +
j
δ (ω + Ω)
(85)
Dan spektrumnya diperlihatkan pada Gambar 29.
/j
/j
x 0 Gambar 29. Spektrum fungsi cosinus
Untuk selanjutnya, perhatikan sebuah fungsi periodik dengan periode
τ = 2π / Ω, yang secara umum dinyatakan dengan ∞
∞
n =1
n =1
x(t ) = a 0 + ∑ a n cos (n Ω t ) + ∑ bn sin (n Ω t ) Maka transformasi Fouriernya adalah ∞
an [δ (ω − nΩ) + δ (ω + nΩ)]+ n =1 2 ∞ bn [δ (ω − nΩ) + δ (ω + nΩ)] ∑ n =1 2 j
X (ω ) = 2 π a0 δ (0) + ∑
∞
∞ 1 1 = 2 π a0 δ (0) + ∑ (a n − jbn ) δ (ω − nΩ) + ∑ (a n + jbn ) δ (ω + nΩ) n =1 2 n =1 2
Sehingga transformasi Fourier yang dihasilkan dari fungsi periodik, secara umum merupakan rentetan fungsi delta yang tak berhingga (infinite train of deltas). Spektrumnya diperlihatkan pada Gambar 30 berikut.
9
Gambar 30. Spektrum fungsi periodik secara umum
Transformasi Fourier Sebuah Pulsa (Impulse) Salah satu bentuk fungsi yang banyak digunakan dalam praktitek adalah pulsa kotak dengan durasi τ seperti digambarkan berikut.
Gambar 31. Sebuah pulsa kotak
Atau secara matematis dinyatakan dengan persamaan,
⎧1 ⎪ P (t ) = ⎨τ ⎪0 ⎩
jika t < jika t ≥
τ 2
τ
2
Dan transformasi Fourier-nya adalah τ
X (ω ) =
1
τ
2
∫τ
−
e − jω t dt
2
10
Dengan substitusi e
jωt
= cos (ω t) – j sin (ω t), maka integral untuk suku yang
kedua sama dengan nol (karena sinus adalah fungsi ganjil).
⎡ τ2 ⎤ ⎡ τ2 ⎤ ⎢1 ⎥ ⎢1 ⎥ X (ω ) = ⎢ ∫ cos(ω t ) dt ⎥ − ⎢ j ∫ sin(ω t ) dt ⎥ τ τ ⎢⎣ −τ2 ⎥⎦ ⎢⎣ −τ2 ⎥⎦ τ
=
1
τ
2
∫ cos(ω t ) dt = −
τ
2
sin(ω t )
ωτ
τ 2 −τ 2
⎛ ωτ sin⎜ 2 = ⎝
⎞ ⎛ ωτ ⎞ ⎛ ωτ ⎞ ⎟ sin⎜ ⎟ ⎟ sin⎜ − ⎠− ⎝ 2 ⎠= ⎝ 2 ⎠ ωτ ωτ ⎛ ωτ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
dan spektrum dari X(ω) dapat digambarkan sebagai berikut.
Gambar 32. Spektrum pulsa kotak
11
Fungsi X(ω) tersebut mempunyai nilai nol pada saat
ω=
2n ω
τ
Misalkan bahwa dayanya terkonsentrasi pada rentang −2π / τ hingga 2π / τ, maka hal ini berarti jika τ Æ 0 (pulsa makin sempit), daya atau energi akan didistribusikan pada rentang frekuensi yang lebih lebar. Dalam limit, pulsa fungsi delta adalah energi yang terbatas dengan durasi yang infinitesimal dan ∞
X (ω ) = ∫ δ (t ) dt = 1 −∞
Pulsa yang lebih realistis dapat dinyatakan dengan half-cosine sebagai berikut.
⎧ ⎛π t ⎞ τ ⎪⎪cos⎜ τ ⎟ jika t < 2 P(t ) = ⎨ ⎝ ⎠ τ ⎪0 jika t ≥ ⎪⎩ 2 Fungsi ini secara grafis diperlihatkan pada Gambar 33. Dan transformasi Fouriernya dinyatakan τ 2
X (ω ) = ∫ cos(α t ) cos(ω t ) dt −
τ
2
dengan α = π / τ. Maka dapat diperoleh, τ
1 2 X (ω ) = ∫ {cos([α + ω ] t ) + cos([α − ω ] t )} dt 2 τ −
2
12
⎛ (α + ω )τ ⎞ ⎛ (α − ω )τ ⎞ sin ⎜ sin ⎜ ⎟ ⎟ 1 2 2 ⎝ ⎠ 1 ⎝ ⎠ = + 2 ⎛ (α + ω )τ ⎞ 2 ⎛ (α − ω )τ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Dalam limit saat τ Æ 0 maka α Æ 0 dan spektrum pulsa kotak dengan semua frekuensinya dapat dinyatakan kembali.
Gambar 33. Pulsa half-cosine
13
