TKE 2403
SISTEM PENGOLAHAN ISYARAT
Kuliah 5 – Transformasi Fourier (Bagian II)
Indah Susilawati, S.T., M.Eng.
Program Studi Teknik Elektro Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer Universitas Mercu Buana Yogyakarta 2009
1
KULIAH 5 SISTEM PENGOLAHAN ISYARAT TRANSFORMASI FOURIER (Bagian II)
Teori Konvolusi Misalkan ada suatu hasil kali dari 2 sinyal, kira-kira seperti apakah transformasi Fourier-nya? ∞
F [ y1 (t ) y 2 (t )] =
∫ y (t ) y 1
2
(t ) e − jω t dt
(86)
−∞
Pertama, yi(t) dituliskan sebagai inverse transformasi Fourier dari Yi(ω) sebagai berikut.
1 yi (t ) = 2π
∞
∫ Y (ω ) e
jω t
i
dω
(87)
−∞
Maka substitusi persamaan (87) ke persamaan (86) menjadi,
⎧ 1 F [ y1 (t ) y 2 (t )] = ∫ ⎨ 2π − ∞⎩ ∞
∞
∫ Y1 (α ) e
−∞
jα t
⎫⎧ 1 dα ⎬ ⎨ ⎭⎩ 2π
⎫ − jω t jΩ t Y ( ) e d Ω Ω ⎬ e dt 2 ∫−∞ ⎭ ∞
Dengan cara mengubah urutan pengintegralan, maka pernyataan di atas dapat dinyatakan kembali sebagai,
1 2π
⎧1 ∫−∞ −∫∞⎨⎩ 2π ∞
∞
⎫ j ( Ω + α −ω ) t e dt ⎬ Y1 (α ) Y2 (Ω) dα dΩ ∫−∞ ⎭ ∞
Dan suku yang berada di dalam kurung adalah merupakan fungsi delta, sehingga, 2
1 F [ y1 (t ) y2 (t )] = 2π
∞
∞
∫ ∫ δ (Ω + α − ω ) Y (α ) Y (Ω) dα dΩ 1
2
(88)
− ∞ −∞
atau
1 F [ y1 (t ) y 2 (t )] = 2π
∞
∫
−∞
⎧∞ ⎫ ⎨ ∫ δ (Ω + α − ω ) Y1 (α ) dα ⎬ Y2 (Ω)dΩ ⎩−∞ ⎭
Dan dengan menggunakan sifat proyeksi fungsi delta, persamaan tersebut dapat ditulis kembali menjadi,
1 F [ y1 (t ) y 2 (t )] = 2π
∞
∫ Y (ω − Ω) Y (Ω)dΩ 1
2
(89)
−∞
Pernyataan di sebelah kanan tanda sama dengan disebut konvolusi (convolution) dari dua fungsi Y1(ω) dan Y2(ω) dan sering dituliskan dengan notasi sebagai berikut.
1 Y1 (ω ) ∗ Y2 (ω ) = 2π
∞
∫ Y (ω − Ω) Y (Ω)dΩ 1
2
(90)
−∞
Hasil yang sama juga diperoleh jika digunakan
1 Y1 (ω ) ∗ Y2 (ω ) = 2π
∞
∫ Y (α ) Y (ω − α )dα 1
2
(91)
−∞
Persamaan (89) seringkali disebut dengan teori konvolusi. Dengan cara analisis yang sejenis, dapat diperlihatkan bahwa
F [Y1 (ω )Y2 (ω )] = −1
∞
∫
y1 (t − τ ) y2 (τ ) dτ
−∞ ∞
=
∫
y1 (τ ) y2 (t − τ ) dτ
−∞
3
(92)
Teori Parseval Misalkan konvolusi dari fungsi Y(ω) dengan dirinya sendiri sebagai berikut.
1 Y (ω ) ∗Y (ω ) = 2π
∞
∫ Y (ω − Ω) Y (Ω)dΩ
−∞
= F [ y (t ) y (t )] ∞
= ∫ [ y (t )]2 e − jωt dt −∞
Jika ω = 0 maka
1 2π
∞
∞
∫ Y (−Ω) Y (Ω)dΩ = ∫ [ y(t )]
−∞
2
dt
(93)
−∞
Dan jika ∗
∞
Y (−Ω) = ∫ [ y(t )] e
− jΩ t
−∞
⎛∞ ⎞ dt = ⎜⎜ ∫ [ y (t )] e − jΩ t dt ⎟⎟ = Y (Ω) * ⎝ −∞ ⎠
Maka
1 2π
∞
∫ Y ( Ω)
∗
−∞
∞
Y (Ω)dΩ = ∫ [ y (t )]2 dt −∞
Atau dinyatakan
1 2π
∞
∫
−∞
∞
Y (Ω) dΩ = ∫ [ y (t )]2 dt 2
(94)
−∞
Persamaan ini disebut teori Parseval yang menyatakan bahwa jika didefinisikan daya dari sebuah fungsi z(.) sebagai ∞
P[ z (.)] =
∫ z (.)
2
d.
−∞
Maka dayanya dipertahankan (preserved) oleh transformasi Fourier.
4
Pengaruh Ukuran Sampel Berhingga Dalan kenyataan yang sebenarnya, sinyal tidak pernah diukur dari t = −∞ sampai t = ∞. Apa pengaruhnya pada transformasi Fourier jika hanya mengambil suatu bagian waktu tertentu saja dari sebuah sinyal? Dengan menggeser titik asal pada koordinat waktu, dapat diasumsikan bahwa sinyal diukur dari t = −τ / 2 hingga t = τ / 2. Dengan demikian integral Fourier-nya menjadi, τ
X (ω ) =
2
∫τ x(t ) e
−
− jω t
dt
(95)
2
Atau dapat dinyatakan dengan cara berikut.
X (ω ) =
∞
∫ w(t ) x(t ) e
− jω t
dt
(96)
−∞
Dengan w(t) adalah fungsi jendela (window function), yang dalam hal ini berbentuk kotak (rectangular). Perhatikan Gambar 34.
Gambar 34. Fungsi jendela kotak
5
Persamaan (96) merupakan transformasi sebuah hasil kali, sehingga menurut teori konvolusi maka ∞
1 F [ w(t ) x(t )] = 2π
∫ W (Ω) X (ω − Ω)dΩ
(97)
−∞
Pada pembahasan terdahulu telah ditemukan transformasi Fourier untuk fungsi yang berbentuk seperti pada Gambar 34 yaitu,
⎛ Ωτ ⎞ sin ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ W (Ω) = Ω 2
(98)
Sehingga
1 F [ w(t ) x(t )] = 2π
∞
∫
( )
Ωτ 2 Ω 2
sin
−∞
X (ω − Ω) dΩ
(99)
Ini merupakan rumus umum, untuk melihat bagaimana pengaruhnya maka misalkan x(t) adalah gelombang sinus x(t) = sin (αt) dengan spektrum
X (ω ) =
π j
[δ (ω − α ) − δ (ω + α )]
atau secara grafis digambarkan pada Gambar 35. Persamaan (99) memberikan
1 F [ w(t ) x(t )] = 2π
∞
∫
−∞
( )π
Ωτ 2 Ω 2
sin
j
[δ (ω − Ω − α ) − δ (ω − Ω + α )]dΩ
Integral suku yang pertama menghasilkan
6
(100)
( )
(
)
(
)
(ω −α )τ ∞ sin Ωτ sin 1 1 π 2 2 [δ (ω − Ω − α )]dΩ = (ω −α ) Ω ∫ 2 j −∞ 2 2j j 2
Integral suku yang kedua menghasilkan
( )
(ω +α )τ ∞ sin Ωτ sin 1 1 π 2 2 [δ (ω − Ω + α )]dΩ = (ω +α ) Ω ∫ 2 j −∞ 2 2j j 2
Sehingga hasil akhirnya dapat dinyatakan
(
(ω −α )τ
1 ⎧⎪ sin 2 F [ w(t ) sin(αt )] = ⎨ 2 j ⎪⎩ (ω −2α )
)
−
(
(ω +α )τ 2 ( ω +α ) 2
sin
)⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
Secara grafis persamaan (101) diperlihatkan pada Gambar 36.
Gambar 35. Spektrum fungsi sinus
7
(101)
magnitude Gambar 36. Spektrum gelombang sinus dikonvolusikan dengan jendela kotak Puncak-puncak pada spektrum mempunyai lebar 4π / τ , dan akan semakin lebar saat τ semakin kecil. Sehingga pengaruh jendela kotak terletak pada lebar puncak-puncak pada spektrum yang dihasilkan. Saat τ Æ ∞ maka akan diperoleh karakterisasi frekuensi yang tajam.
Diferensiasi dan Integrasi Misalkan transformasi Fourier sebuah turunan •
F [ x(t )] =
∞
dx
∫ dt e
− jω t
dx sebagai berikut, dt
dt
(102)
−∞
Untuk menyelesaikan persamaan (102) dibutuhkan rumus integrasi bagian per bagian yaitu:
{
} {∫ u(t )dt}dvdt dt
∫ u(t ) v(t ) dt = v(t ) ∫ u(t )dt − ∫
Dengan menggunakan integral bagian per bagian ini pada persamaan (102) dan memisalkan u (t ) =
dx − jω t dan v(t ) = e maka diperoleh dt
8
∞
•
dx
∫ dt e
F [ x(t )] =
− jω t
dt
−∞
[
= e
− jω t
]
∞
∞
x(t ) −∞ −
[
]
∫ x(t )(− jω ) e
− jω t
dt
−∞
(103)
∞
= e − jω t x(t ) −∞ + ( jω ) X (ω ) Catatan : Sebuah sinyal x(t) akan mempunyai transformasi Fourier jika sinyal tersebut mempunyai daya yang besarnya berhingga, yaitu ∞
∫ x(t )
2
dt = C < ∞
(104)
−∞
Jika x(t) adalah fungsi sinus maka sinyal sinus merupakan sinyal yang dayanya tak berhingga, namun di pembahasan yang lalu diketahui bahwa transformasi Fourier-nya adalah fungsi delta (yang merupakan fungsi yang sebenarnya bukan fungsi). Dengan demikian maka suku pertama pada persamaan (103) akan menjadi nol sehingga, ∞
•
F [ x(t )] =
dx
∫ dt e
− jω t
dt = ( jω ) X (ω )
(105)
−∞
Dari persamaan (105) diketahui bahwa diferensiasi atau penurunan pada domain waktu ekivalen atau sama dengan perkalian dengan faktor jω dalam domain frekuensi. Dalam hal ini juga berlaku bahwa,
⎡⎛ d n x ⎞⎤ F [ x ( n ) (t ] = F ⎢⎜⎜ n ⎟⎟⎥ = ( jω ) n X (ω ) ⎣⎝ dt ⎠⎦
(106)
Misalkan, t
z (t ) =
∫ x(τ ) dτ
−∞
•
sedemikian sehingga z (t ) = x(t ) , maka ini berarti bahwa dari persamaan (105),
9
⎡t ⎤ F ( z ) = X (ω ) = ( jω ) F [ z (t )] = ( jω ) F ⎢ ∫ x(τ ) dτ ⎥ ⎣−∞ ⎦ •
Atau
⎡t ⎤ X (ω ) F ⎢ ∫ x(τ ) dτ ⎥ = jω ⎣−∞ ⎦
(107)
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa integrasi dalam domain waktu ekivalen dengan pembagian oleh jω dalam domain frekuensi.
Tanggapan Frekuensi dan Tanggapan Impuls Tinjau sistem berikut, ••
•
m y + c y + k y = x(t )
(108)
Persamaan di atas dicirikan dalam domain waktu oleh fungsi diferensial orde dua yang bergantung pada x(t) – menjadikannya cukup sulit untuk diselesaikan. Bagaimana jika diselesaikan dalam domain frekuensi? Dengan mengambil transformasi Fourier pada kedua sisi pada persamaan (108) maka diperoleh, • ⎡ •• F ⎢m y + c y + k ⎣
⎤ y ⎥ = F [x(t )] ⎦
(109)
Transformasi Fourier merupakan operator linier yaitu memiliki sifat yang dinyatakan pada persamaan berikut. F [ax1 (t ) + bx 2 (t )] = aF [ x1 (t )] + bF [ x 2 (t )]
= aX 1 (ω ) + bX 2 (ω )
(110)
Aplikasi persamaan (110) pada persamaan (109) menghasilkan
⎡ •• ⎤ ⎡•⎤ mF ⎢ y ⎥ + c F ⎢ y ⎥ + k F [ y ] = F [x(t )] ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
10
(111)
Dan dengan menggunakan persamaan (106) diperoleh m (jω)2 Y(ω) + c (jω) Y(ω) + k Y(ω) = X(ω) atau
(−m ω2 + j c ω + k) Y(ω) = X(ω)
(112)
1 − mω + jcω + k
(113)
Jika didefinisikan
H (ω ) = maka diperoleh
2
Y(ω) = H(ω) X(ω)
(114)
Fungsi H(ω) sering disebut dengan istilah tanggapan frekuensi atau frequency response. Misalkan dicari inverse transformasi Fourier dari persamaan (114), maka diperoleh ∞
y (t ) =
∫ h(τ ) x(t − τ ) dt
(115)
h(t ) = F −1 [H (ω )]
(116)
−∞
dalam hal ini
Apakah h(t) mempunyai arti yang penting? Misalkan x(t) = δ(t) maka dari persamaan (115), ∞
y (t ) =
∫ h(τ ) δ (t − τ ) dt = h(t )
−∞
Maka dengan demikian h(t) adalah penyelesaian dari ••
•
m h + c h + k h = δ (t )
(117)
Fungsi h(t) sering disebut dengan istilah tanggapan impuls atau impulse response.
11
Misalkan bahwa x(t) = ejωt, maka substitusi pada persamaan (115) menghasilkan ∞
y (t ) = ∫ h(τ ) x(t − τ ) dt −∞ ∞
= ∫ h(τ ) e jω ( t −τ ) dt −∞
=e
jω t
∞
∫ h(τ ) e
(118) jωτ
dt
−∞
= H (ω ) e jω t Dengan demikian jika x(t) merupakan suatu fungsi harmonik ejωt, maka keluarannya adalah ejωt dikalikan dengan tanggapan frekuensinya.
12
