Deret dan Transformasi Fourier Risanuri Hidayat, Jurusan Teknik Elektro dan Teknologi Informasi, FT UGM, Negeri Ngayogyakarta Hadiningrat 55281, INDONESIA
[email protected] (
[email protected])
Dalam tulisan ini akan dijelaskan domain frekuensi untuk isyarat periodis dan nonperiodis yang mempunyai penyelesaian secara analitik, khususnya Transformasi Fourier. 1.1
Deret Fourier
1.1.1 Deret Fourier untuk isyarat Periodis kontinyu Sebuahisyaratperiodispastiakanmempunyaipersamaan,
.............................................. (1) Untuksemua t (waktu).T adalahperiodewaktuketikafungsimulaiterulang. Setiapfungsi yang periodis ternyata dapat dinyatakan dengan superposisi fungsi sinus dan kosinus. Telah diketahui bahwa sin ωt fungsi trigonometri dan co sωt yang periodic dengan periode T = 1 / f = 2π / ω, dengan f adalah frekuensi dalam siklus per detik (Hz) dan ω adalah frekuensi sudut dalam radian / det. Gambar 1 menunjukkan fungsi periodis, dengan T0 = 2Π/ ω0 : periode fundamental. ω0 = frekuensi fundamental
Gambar 1.Contoh isyarat periodis
Suatu isyarat periodis dengan periode T0 dapat dinyatakan sebagai jumlahan isyaratisyarat cosines dan/atau sinus dengan periode-periode kelipatan dari T0
x (t ) =
+∞
∑a e k
jkω0t
............................................................................................... (2)
k = −∞
Dengan ak adalah koefisien atau komponen ke-k, dan k= 0,±1,±2, ... . Untuk k=0 maka akdisebut komponen dc. Untukk=±1maka ak disebut komponen fundamental. Dan untuk k=±2, ±3,..maka ak disebut komponen harmonik ke –k. Ketika k=0 dikeluarkan dari sigma, dan k hanya dituliskan dari +1Æ∞, maka persamaan menjadi
x ( t ) = a0 +
+∞
∑a e k
jkω 0 t
k = +1
+ a − k e − jkω0 t
.............................................................. (3)
Jika a* adalah conjugate kompleks dari a, kemudian ganti k dengan –k, maka dari persamaan di atas akan didapatkan bahwa a*-k=ak atau a*k=a-k. Sehingga persamaan menjadi +∞
x (t ) = a0 + ∑ ak e jkω0t + ak*e − jkω0t k =1
................................................................... (4)
Penjumlahan konjugate kompleks dari persamaan di atas menghasilkan +∞
{
x (t ) = a0 + 2∑ Re ak e jkω0t k =1
}
.............................................................................. (5)
Jika ak = Ak e jθk +∞
{
x(t ) = a0 + 2∑ Re Ak e j ( kω0 t +θ k k =1
}
.................................................................... (6)
Diketahui bahwa jika ada bilangan kompleks z=x+iy, maka Re{z} adalah bagian real dari z, yaitu x. Persamaan menjadi +∞
x (t ) = a0 + 2 ∑ Ak Cos ( kω0 t + θ k ) k =1
......................................................................(7)
Dan jikaakdinyatakandenganak= Bk + j Ck,makadapatdibuktikanbahwa
+∞
x (t ) = a0 + 2∑ [Bk Cos(kω0t ) − Ck Sin( kω0t )] k =1
....................................................(8)
1.1.2 Koefisien Fourier ak Anggap bahwa sinyal periodis yang diberikan dapat diwakili dengan persamaan (2), maka akan dijelaskan bagaimana menentukan koefisien ak. Kalikan kedua sisi (2) dengan e − jnω0t , akan diperoleh
x (t ).e − jnω 0 t =
+∞
∑a e k
jkω 0 t
.e − jnω 0 t
k = −∞
..............................................................(9)
Integralkan kedua sisi dari 0 ke T0 = 2π/ω0 , sehingga T0
∫ x(t ).e
− jnω 0 t
0
dt =
T0 + ∞
∫ ∑a e k
0 k = −∞
jkω 0 t
.e − jnω0 t dt ...............................................(10)
T0 adalah periode fundamentaldari fungsi x(t)), dan integral kemudian dihitung selama satu periode ini. Integrasi dan penjumlahan dari persamaan di atas menghasilkan, T0
∫ x(t ).e 0
− jnω 0 t
⎡T0 j ( k − n )ω t ⎤ 0 dt = ∑ ak ⎢ ∫ e dt ⎥ k = −∞ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ...............................................(11) +∞
Lihat integral di dalam kurung []. Untuk k≠n, kedua integral di sisikananadalah nol. Untuk k= n, nilai e0 di sisikirisamadengan l, sehingganilai integralnya adalah T0. Secararingkaskemudiankitamendapatibahwa T0
⎡T0 , k = n j ( k − n )ω0t = e dt ⎢ 0, k ≠ n ∫0 ⎣ .......................................................................(12)
Persamaan di atas hanya akan mempunyai nilai ketika k=n. Integralsepanjang interval T0 menghasilkan ekspresi
T0
∫ x(t ).e
− jnω 0 t
0
T0
∫ x(t ).e
− jnω 0 t
⎡T0 j ( k − n )ω t ⎤ 0 dt = ∑ ak ⎢ ∫ e dt ⎥ k = −∞ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ +∞
dt = an .T0 ......................................................(13)
0
Koefisien Fourier ak dapat dengan mudah didefinisikan sebagai berikut, an =
1 T0
T0
∫ x(t ).e
− jnω0t
dt
....................................................................................(14)
0
Ringkasnya, jika x (t) adalah sebuah fungsi dengan serangkaian representasi Fourier, [yaitudapatdinyatakansebagaikombinasi linear darieksponensialkompleksharmonic], maka koefisien diberikan oleh persamaan di atas ini. Pasangan persamaan dapat ditulis ulang di bawah ini,
x (t ) =
+∞
∑ a .e k
jkω0t
k = −∞ T
1 0 ak = ∫ x (t ).e − jkω0t dt T0 0
...............................................................................(15)
Koefisien ak disebut koefisien deret Fourier atau koefisien spektral Komponen dc = a0terjadi ketika k = 0:
a0 =
1 x (t )dt T0 T∫0
.......................................................................................(16)
Contoh 1: Isyarat kotak yang periodis terlihat seperti pada Gambar 2 berikut. Tentukan koefisien Fourier-nya.
Gambar 2.
Isyarat iniperiodisdenganperiode fundamental T0, sehingga frekuensidasarnya adalah ω0 = 2πf0 dan f0 = 1/T0. Persamaan (1) dipakai untukmenghitungkoefisienderet Fourier dari fungsi x (t). Interval yang dipakai adalah (- T0/ 2< t
1 a0 = T0
+T 1
∫ dt =
−T 1
2T1 T0
Sepertidisebutkansebelumnya, a0adalah nilai rata-rata x(t). Untuk k≠0 didapatkan,
1 ak = T0
+T 1
∫e
− jkω0t
dt = −
−T 1
+T 1
1 jkω0T0
ak =
⎡e kω0T0 ⎢⎣
ak =
2 sin kω0T1 sin kω0T1 = kω0T0 kπ
2
jkω0T1
k ≠ 0, ω0T0 = π
−e 2j
− jkω0T1
⎤ ⎥ ⎦
e
− jkω0t −T 1
Gambar 3. Koefisien deret Fourier untuk isyarat kotak periodis dengan (a) T0=4T1, (b) T0=8T1, (c) T0=16T1
. 1.1.3 Deret Fourier untuk isyarat Periodis diskret Sebuahisyaratperiodisdiskret niscaya memenuhipersamaan,
...........................................................................................(16) Periode fundamental adalah nilai N, dan ω0= 2Π/Nadalah fundamental frekuensi.Sebagaimana deret Fourier untuk isyarat kontinyu, deret untuk isyarat diskret ini mempunyai bentuk yang sama sebagai berikut,
x[n] =
∑a
k
.e jkω0n
∑a
k
.e jk(2πk(2π ...............................................................................(17)
k= N
x[n] =
k= N
Persamaan ini dinyatakan sebagai deret Fourier untuk isyarat (waktu) diskret dan ak adalah koefisien deret Fourier.
1.1.4 Koefisien Fourier ak untuk isyarat diskret Sebagaimana pada isyarat kontinyu, untuk menentukan koefisien ak,kalikan kedua sisi dengan ݁ ିఠబ , akan diperoleh
∑a e
x[n ].e − jrω 0 n =
k
jkω 0 n
.e − jrω 0 n
k= N
.................................................(18)
Integralkan kedua sisi dari 0 ke N , dan ω0 = 2π/N, sehingga
∑ x[n ].e
− jr ( 2π / N ) n
∑ x[n ].e
− jr ( 2π / N ) n
∑ x[n ].e
− jr ( 2π / N ) n
=
n= N
∑ ∑a e
jk ( 2π / N ) n
∑ ∑a e
j ( k − r )( 2π / N ) n
∑ a ∑e
j ( k − r )( 2π / N ) n
k
.e − jr ( 2π / N ) n
n= N k = N
=
n= N
k
n= N k = N
=
n= N
k
k= N
Lihat sigma untuk
∑e
j ( k − r )( 2π / N ) n
n= N
..................(19)
. Untuk k≠r, nilainya adalah nol. Untuk k= n, nilai e0
n= N
sama dengan l, sehingga nilai sigma adalah N. Secara ringkas kemudian kita mendapati bahwa
∑e
j ( k − r )( 2π / N ) n
n= N
⎡N , k = r =⎢ ⎣ 0, k ≠ r ..........................................................................(20)
Sigma sepanjang interval N menghasilkan ekspresi
∑ x[n ].e
− jr ( 2π / N ) n
∑ x[n ].e
− jr ( 2π / N ) n
n= N
=
∑a
k= N
k =r
N
= ar N
n= N
Sehingga ak dapat dinyatakan sebagai,
........................................................(21)
ak =
1 N
∑ x[n ].e
− jkn ( 2π / N )
n= N
.....................................................................(22)
Pasangan persamaan dapat ditulis ulang di bawah ini, x[n ] =
∑ a .e k
jkn ( 2π / N )
k= N
ak =
1 N
∑ x[n].e
− jkn ( 2π / N )
n= N
.........................................................................(23)
Koefisien ak disebut koefisien deret Fourier atau koefisien spektral Komponen dc = a0terjadi ketika k = 0:
a0 =
1 N
∑ x[n]
n= N
...........................................................................................(24)
Contoh 2. Isyarat kotak diskret periodis terlihat seperti pada Gambar 3 berikut. Tentukan koefisien Fourier-nya.
Gambar 3. Isyarat kotak diskret periodis
Komponen dc = a0adalah:
a0 =
1 N
+ N1
∑
x[ n ] =
n=− N 1
2 N1 + 1 N
Koefisien Fourier secara umum adalah, ak =
1 N
N1
∑e
− jkn ( 2π / N )
n=− N 1
Persamaan di atas dapat diuraikan menjadi
1 ⎡ N 1 − jkn ( 2π / N ) − N 1 − jkn ( 2π / N ) ⎤ + ∑e ∑e ⎥ N ⎢⎣ n =1 n = −1 ⎦ N1 1 a k = a 0 + ∑ e + jkn ( 2π / N ) + e − jkn ( 2π / N ) N n =1 ak = a0 +
[
]
⎡ e + jα + e − jα ⎤ cos(α ) = ⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦
a k = a0 +
2 N
a k = a0 +
2 N
⎡ e + jkn ( 2π / N ) + e − jkn ( 2π / N ) ⎤ ∑ ⎢ ⎥ 2 n =1 ⎣ ⎦ N1
N1
∑ cos(kn 2π / N ) n =1
N1
Na k = (2 N 1 + 1) + 2.∑ cos( kn 2π / N ) n =1
Gambar 5. Koefisien Deret Fourier untuk isyarat kotak diskret dengan (2N1+1)=5, dan (a) N=10, (b) N=20, dan (c) N=40.
1.2
Transformasi Fourier
1.2.1 Transformasi Fourier untuk isyarat kontinyu Sebagaimana pada uraian tentang Deret Fourier, fungsi periodis yang memenuhi persamaan (1) dapat dinyatakan dengan superposisi fungsi sinus dan kosinus. Deret Fourier sebuah fungsi periodis dinyatakan sebagai,
x (t ) =
+∞
∑ a .e k
jkω0t
...........................................................................................(25)
k = −∞
DenganT0 = 2Π/ ω0 : periode fundamental. ω0 : frekuensi sudut fundamental, f0 = 1/T0. Sedangkan koefisien deret Fourier dinyatakan dengan persamaan,
1 ak = T0
+ T0 2
∫ x(t ).e
− jkω0t
dt
−T0 2
..................................................................................(26)
atau + T0 2
T0 ak =
∫ x(t ).e
−T0 2
− jkω0t
dt ....................................................................................(27)
Ketika T0 bertambah besar, yang berarti ω0 mengecil, maka jarak antar koefisien Fourier menjadi semakin kecil juga (merapat). Gambar 5 memperlihatkan bahwa jarak antar koefisien Fourier semakin rapat. Ketika T0 bernilai sangat besar, maka koefisien Fourier sangat rapat dan menjadi fungsi kontinyu ketika T0 Æ∞. Ketika T0 bernilai sangat besar, T0 Æ∞, maka koefisien Fourier dinyatakan dengan,
+∞
T0 ak =
∫ x(t ).e
− jkω0t
dt ...................................................................................(28)
−∞
Dengan X(ω)=T0ak dan ω=k ω0 maka persamaan menjadi,
X (ω ) =
+∞
∫ x(t ).e
− jωt
dt ..................................................................................(29)
−∞
Gambar 6. Fungsi Aperiodis dan Fungsi Periodis. (a) fungsi aperiodis, (b) fungsi periodis dengan periode T0
Sebagaimana terlihat pada Gambar 6, Fungsi Aperiodis dapat dilihat sebagai fungsi periodis dengan T0 Æ∞. Diketahui bahwa
T0 = 2π / ω0 , dan ω = kω0 ak =
1 1 X ( kω0 ) = X (ω ) T0 T0
Maka persamaan (25) menjadi,
x (t ) = x (t ) =
+∞
1
∑T
k = −∞
0
1 2π
+∞
X (ω )e jωt
∑ X (ω )e ω ω
k = −∞
j t
0
...........................................................................(30)
Ketika T0 Æ∞, sehingga ω0 Ædω. Dengan demikian persamaan (30) menjadi berbentuk integral,
1 x (t ) = 2π
+∞
∫ X (ω )e
jωt
dω .............................................................................(31)
−∞
Persamaan pasangan Transformasi Fourier adalah,
1 x (t ) = 2π X (ω ) =
+∞
∫ X (ω )e
jωt
dω
−∞
+∞
∫ x(t ).e
−∞
− jωt
dt ............................................................................(32)
Contoh 3: Terdapat isyarat kotak dengan persamaan sebagai berikut,
Tentukan Trnasformasi Fourier dari isyarat tersebut. Jawab: Transformasi Fourier dapat ditentukan dengan persamaan (32), sehingga ditemukan
Hasilnya dapat dilihat seperti pada Gambar 7.
Gambar 7. Isyarat Kotak dan Transformasi Fourier-nya.
Contoh 4: Ketika sebuah isyarat x(t) mempunyai Transformasi Fourier sebagai berikut,
Carilah persamaan isyarat tersebut, Jawab: dengan persamaan (32) isyarat x(t) dapat ditemukan
Isyarat x(t) dan Kawasan Frekuensinya terlihat seperti pada Gambar 8.
Gambar 8. Pasangan Transformasi Fourier dalam contoh 4.
1.2.2 Transformasi Fourier untuk isyarat diskret Sebagaimana pada isyarat kontinyu aperiodis, isyarat diskret apriodis juga dapat dipertimbangkan sebagai isyarat diskret periodis dengan periode tak terhingga. Ketika periode isyarat semakin besar dan semakin besar, maka deret Fourier akan semakin mendekati menjadi Transformasi Fourier. Ketika sebuah runtun isyarat aperiodis x[n] yang mempunyai durasi tertentu. Katakanlah N1, sehingga x[n]=0 jika |n|>N1. Gambar 9(a) adalah sebuah ilustrasi isyarat ini. Dari isyarat aperiodis ini dapat direkayasa sebuah runtun periodis yang diperhitungkan untuk hanya periode pertama, sebagaimana digambarkan pada Gambar 9(b). Ketika periode N membesar, maka x[n] menjadi mendekati tak periodis. Ketika NÆ∞, maka x[n] menjadi tak periodis. Persamaan dalam bentuk Deret Fourier untuk isyarat periodis, Gambar 9(b), diketahui dari persamaan (23) sebagai berikut, x[n ] =
∑ a .e k
jkn ( 2π / N )
k= N
ak =
1 N
∑ x[n].e
n= N
− jkn ( 2π / N )
............................................................................(33)
Gambar 9. Fungsi Aperiodis dan Fungsi Periodis. (a) fungsi aperiodis, (b) fungsi periodis dengan periode T0
Untuk NÆ∞, maka ak =
+∞
1 N
∑ x[n].e
− jkn ( 2π / N )
N = −∞ +∞
ak N =
∑ x[n].e
− jkn ( 2π / N )
N = −∞
Jika envelope didefinisikan X(ω)=akN, maka persamaan menjadi, X (ω ) =
+∞
∑ x[n ].e
− jkn ( 2π / N )
N = −∞
........................................................................(34)
Terlihat pada Gambar 9, fungsi aperiodis diskret dapat dilihat sebagai fungsi periodis dengan N Æ∞. Diketahui bahwa
N = 2π / ω0 , dan ω = kω0 ak =
1 1 X ( kω0 ) = X (ω ) N N
Maka persamaan (33) dan (34) menjadi,
x[n ] =
1 N
X (ω ) =
∑ X (kω ).e 0
jkω0 n
k= N +∞
∑ x[n].e
.........................................................................(35)
− jknω0
N = −∞
Diketahui bahwa ω0 =2π/N, sehingga 1/N=ω0/2π, persamaan (35) dapat dituliskan kembali menjadi, x[n ] =
1 2π
X (ω ) =
∑ X (kω ).e 0
jkω0 n
.ω0
k= N
+∞
∑ x[n].e
........................................................................(36)
− jknω0
N = −∞
Ketika N Æ∞, maka ω0 Æ dω, dan ω = kω0 . Persamaan (36) membentuk persamaan pasangan Transformasi Fourier sebagai berikut, x[ n ] =
1 2π
X (ω ) =
∫π X (ω ).e
jωn
dω
2
+∞
∑ x[n ].e
................................................................................(37)
− jnω
N = −∞
Di sini tampak bahwa X(ω)ej ωn adalah periodis dengan periode 2π. Contoh 5: Sebuah isyarat diskret kotak mempunyai persamaan sebagai berikut,
Dengan N1 = 2. Tentukan Transformasi Fourier isyarat tersebut.
Jawab: Dengan N1 = 2, X (ω ) dapat dicari yaitu,
X (ω ) =
+2
∑e
N = −2
− jnω
=e
j 2ω
+e
jω
+e
− jω
+e
− j 2ω
1.3
Transformasi Fourier Diskret (DFT)
Analisis Fourier merupakan metode yang sangat efisien untuk untuk analisis dan sintesis sinyal. metode ini sangat erat cocok untuk digunakan pada komputer digital atau untuk implementasi di hardware digital. Transformasi Fourier Diskret (DFT, Discrete Fourier Transform) digunakan untuk sinyal durasi berhingga. Misal x[n] adalah sebuah sinyal dengan durasi terbatas; dan integer N sehingga
x[n] = 0 untuk x[n] diluar interval 0 ≤ n ≤ N ................................................(38) Asumsikan bahwa x[n] periodis dengan periode N, dari (23) koefisien Fourier diperoleh dengan ak =
1 N
∑ x[n ].e
− jkn ( 2π / N )
n= N
Menjadi ak =
1 N
N −1
∑ x[n ].e
− jkn ( 2π / N )
..........................................................................(39)
n =0
Koefisien-koefisien dari persamaan di atas adalah DFT dari x[n]. Dengan demikian, isyarat diskret x[n] tak periodis dengan panjang N dapat diasumsikan sebagai isyarat periodis dengan periode N. Dari (39) Transformasi Fourier Diskret adalah,
1 N
X (k ) =
N −1
∑ x[n ].e
− jkn ( 2π / N )
..........................................................................(39)
n =0
Persamaan (39) disebut dengan Transformasi Fourier Diskret (DFT, Discrete Fourier Transform). Ketika x[n] dianggap periodis dengan periode N, dari (23) isyarat tersebut dibentuk dari koefisien-koefisien Fourier sebagai berikut,
∑ a .e
x[n ] =
k
jkn ( 2π / N )
k= N N −1
x[n ] = ∑ X ( k ).e
.............................................................................(40) jkn ( 2π / N )
n =0
Persamaan (40) disebut dengan Transformasi Fourier Diskret Balik (IDFT, Inverse Discrete Fourier Transform). Persamaan (39) dan (40) membentuk pasangan Transformasi Fourier Diskret (DFT), yaitu, X (k ) =
1 N
N −1
N −1
∑ x[n].e n =0
x[n ] = ∑ X ( k ).e n =0
− jkn ( 2π / N )
jkn ( 2π / N )
.......................................................................(41)
