53
Modul 8. (Pertemuan 12 s/d 16) DERET FOURIER 8.1 FUNGSI PERIODIK DAN FUNGSI KONTINU TERPOTONG Definisi Fungsi f disebut fungsi periodik bila terdapat p > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x berlaku f ( x + p) = f ( x). Nilai p > 0 terkecil yang memenuhi f ( x + p) = f ( x) untuk setiap x disebut perioda dari fungsi f. Contoh-contoh 1. Fungsi-fungsi f ( x) = sin x dan g ( x) = cos x adalah fungsi periodic dengan perioda 2π . 2. Fungsi-fungsi F ( x) = sin (nx) dan G ( x) = cos (nx), n = 1, 2,K adalah juga fungsi periodic dengan perioda 2π / n. 3. Suku banyak (polynomial) yang berderajat n ≥ 1 adalah tidak periodic. 4. Fungsi H ( x) = tg x adalah periodik dengan perioda π . Definisi Fungsi f disebut fungsi kontinu terpotong dalam suatu interval bila: (i)
interval tersebut dapat dibagi menjadi subinterval-subinterval yang banyaknya berhingga di mana f kontinu dalam setiap sub interval; dan
(ii)
lim f ( x) adalah berhingga di mana a adalah titik-ujung sebarang dari x→ a
subinterval-subinterval di atas.
y
54
x
Contoh-contoh 1.Fungsi f ( x) = [ x] pada interval [0, 10] adalah kontinu terpotong. 2. Fungsi g ( x) = x pada interval [−1, 1] yang kontinu, jelas juga kontinu terpotong.
1. Fungsi h pada interval [0, 3] dengan
−1 h(x) = x − 1 x2 − 4 5
, ,
0 ≤ x < 1 1≤ x < 2
,
2 ≤ x ≤ 3
adalah kontinu terpotong, tetapi tidak kontinu di x=1 maupun di x=2. ASSIGNMENT 1. Dibentuk fungsi y = f (x) pada interval [0, 5) sebagai berikut:
f ( x) = x + n pada interval [n, n + 1), n = 0,1,K, 4. Buktikan bahwa fungsi y = f ( x) kontinu terpotong pada interval [0, 5).
2. Dibentuk fungsi y = g (x) pada interval [-2, 2] sebagai berikut:
55
g ( x) = cos(πnx) pada interval [n, n + 1), n = −2,−1, 0, 1, g (2π ) = cos(2π ) = 1. Buktikan bahwa fungsi g kontinu terpotong pada interval [-2, 2].
8.2 DERET FOURIER Misalkan f adalah fungsi periodik dengan perioda 2 L yang didefinisikan pada interval (-L, L). Deret Fourier dari f adalah: f ( x) =
a0 ∞ nπx nπx + ∑ an cos + bn sin 2 n =1 L L
di mana koefisien-koefisien Fourier an dan bn adalah
an =
1 L nπx f ( x) cos dx, n = 0, 1, 2, K ∫ L −L L
bn =
1 L nπx f ( x) sin dx, n = 1, 2, K ∫ L − L L
Contoh 1. Carilah deret Fourier dari fungsi f di mana
0 , − 5 < x < 0 f ( x) = 3 , 0 < x < 5
dengan perioda 10.
Solusi: Perioda dari f adalah 2 L = 10, sehingga L = 5. Dengan formula di atas diperoleh
56
an =
1 5 1 0 nπx nπx f ( x) cos dx = ∫ 0 ⋅ cos dx + ∫ 5 −5 5 −5 5 5
5
nπx dx 5
∫ 3 ⋅ cos 0
5
3 5 nπx 3 5 3 nπx {sin(nπ ) − sin o} = 0, n = 1, 2,K = ∫ cos dx = sin = 5 0 5 5 nπ 5 x = 0 nπ 3 5 a0 = ∫ 1 dx = 3; 5 0
bn =
5 1 5 1 0 nπx nπx nπx f ( x ) sin dx 0 sin dx + 3 ⋅ sin = ⋅ dx ∫ ∫ ∫ 5 5 0 − − 5 5 5 5 5 5
3 5 nπx 3 5 3 nπx (1 − cos(nπ )),K n = 1, 2,K. = ∫ sin cos dx = − = 0 5 5 nπ 5 5 x = 0 nπ
0 -5 < x < 0 3 0<x<5
f(x) =
Perioda = 10
3 -5
5
10
15
20
Jadi deret Fourier dari fungsi f adalah f ( x) = =
a0 ∞ nπx nπx 3 ∞ 3(1 − cos(nπ ) ) nπx sin + ∑ an cos + bn sin = + ∑ 2 n =1 nπ 5 L L 2 n =1 3 6 πx 1 3πx 1 5πx + sin + sin + sin + L 2 π 5 3 5 5 5
ASSIGNMENT
57
1. Carilah deret Fourier dari fungsi f ( x) = x , 0 < x < 2π dengan perioda 2π . 2
2. Carilah deret Fpurier dari fungsi
3 , 0< x<5 f ( x) = denga period 10. − 3 , − 5 < x < 0 3. Carilah deret Fpurier dari fungsi
sin x , f ( x) = 0 ,
0 ≤ x ≤π
π < x < 2π
dengan perioda 2π .
8.3: KONDISI DIRICHLET
Misalkan fungsi f (x) memenuhi syarat-syarat: 1. f (x) didefinisikan dan bernilai tunggal pada interval (-L, L), kecuali mungkin pada titik-titik yang banyaknya berhingga pada (-L, L); 2. f (x) periodik di luar (-L, L) dengan perioda 2L; 3. f (x) dan f ' ( x) kontinu terpotong pada (-L, L). Maka deret Fourier dari f (x) , yaitu dengan
an =
1 L nπx f ( x) cos dx, n = 0, 1, 2, K ∫ L −L L
bn =
1 L nπx f ( x) sin dx, n = 1, 2, K ∫ L −L L
konvergen ke a. f (x) bila x titik kontinu; f ( x + 0) + f ( x − 0) b. bila x titik diskontinu. 2 Dalam hal ini,
a0 ∞ nπx nπx + ∑ an cos + bn sin 2 n =1 L L
58
f ( x + 0) =
lim
t → x , kanan
f (t ),
f ( x − 0) = lim f (t ). t → x , kiri
Contoh
1. Pada contoh di muka telah diperoleh bahwa deret Fourier dari fungsi
0 , − 5 < x < 0 f ( x) = 3 , 0 < x < 5
dengan perioda 10,
adalah f ( x) = =
a0 ∞ nπx nπx 3 ∞ 3(1 − cos(nπ ) ) nπx sin + ∑ an cos + bn sin = + ∑ 2 n =1 nπ L L 2 n =1 5 3 6 πx 1 3πx 1 5πx + sin + sin + sin + L. 2 π 5 3 5 5 5
Berapakah nilai-nilai dari f (x) harus diberikan di x = −5, x = 0 dan x = 5 supaya deret Fourier dari f (x) konvergen ke f (x) pada interval − 5 ≤ x ≤ 5 ? Solusi: Karena f (x) memenuhi kondisi Dirichlet, deret Fourier dari f (x) konvergen f (x) pada titik-titik di mana f (x) kontinu dan konvergen ke ke { f ( x + 0) + f ( x − 0)}/ 2 pada titik-titik di mana f (x) diskontinu. Pada titik-titik diskontinu x = −5, x = 0 dan x = 5 , deret Fourier dari f (x) berturut-turut konvegen ke (3 + 0) / 2 = 3 / 2. Jadi , bila didefinisikan kembali f (x) sebagai berikut:
3 / 2 f (x) = 0 3
,
x = − 5, x = 0, x = 5
,
− 5 < x < 0
,
0 < x < 5
maka deret Fourier dari f (x) akan konvergen pada interval − 5 ≤ x ≤ 5 .
ASSIGNMENT
59
1. Menggunakan deret Fourier dari fungsi f ( x) = x , 0 < x < 2π dengan perioda 2π , buktikan bahwa 2
1 1 1 π2 + + + L = . 12 22 32 6
8.4: DERET SINUS/COSINUS FOURIER SETENGAH JELAJAH
Deret sinus atau cosinus Fourier setengah jelajah adalah deret Fourier yang hanya mengandung suku-suku dari fungsi sinus atau cosinus saja (termasuk konstan). Bila diinginkan deret setengah jeljah dari suatu fungsi, maka fungsi tersebut didefinisikan pada interval (0, L) kemudian fungsi tersebut didefinisikan sebagai fungsi ganjil atau genap pada iterval (-L, L) dengan perioda 2 L. Untuk deret sinus setengah jelajah dari f (x) :
an = 0, n = 0,1, 2,K; bn =
2 L nπx f ( x) sin dx, n = 1, 2,K. ∫ 0 L L
Sedangkan untuk deret cosinus setengah jelajah dari f (x) :
bn = 0, n = 1, 2,K; an =
Contoh
2 L nπx f ( x) cos dx, n = 0,1, 2,K. ∫ L 0 L
1. Diberikan f ( x) = sin x, 0 < x < π . Tentukan deret cosinus Fourier setengah jelajah dari fungsi tersebut.
60
Solusi Dalam hal ini
bn = 0, n = 1, 2,K; an =
2 L nπx f ( x) cos dx, n = 0,1, 2,K. ∫ L 0 L
Sehingga didapat
an =
2
π
∫
π
0
sin x cos (nx ) dx =
1
π
π
∫ {sin( x + nx) + sin( x − nx)} dx 0
π
1 cos (( n + 1) x ) cos ((n − 1) x ) 1 1 − cos (( n + 1)π ) cos ((n − 1)π ) − 1 = − + + = π n +1 n −1 n +1 n −1 x =0 π 1 1 + cos ( nπ ) 1 + cos ( nπ ) − 2(1 + cos( nπ )) =. − , n = 2, 3,K. = n −1 π n +1 π ( n 2 − 1) a0 =
2
π
∫
π
0
sin x dx =
2
π
π
( − cos x ) x = 0 =
Jadi,
f ( x) = =
2
π 2
π
−
2
∞
∑ π n=2
−
4
π
, a1 =
2
π
∫
π
0
π
2 sin 2 x sin x cos x dx = = 0. π 2 x =0
{1 + cos(nπ )} cos(nx) n2 − 1
4 cos(2 x) cos(4 x) cos(6 x) + 2 + 2 + L. 2 π 2 −1 4 −1 6 −1
ASSIGNMENT 1. Diberikan f ( x) = cos x, 0 < x < π . Tentukan deret sinus Fourier setengah jelajah dari fungsi tersebut. 2. Diberikan f ( x) = x, 0 < x < 2. Tentukan deret sinus dan cosinus Fourier setengah jelajah dari fungsi tersebut.
61
