DERET FOURIER
Oleh :
Nama
:
1. Neti Okmayanti
(2007.121.460)
2. Retno Fatin Amanah (2007.121.465) 3. Feri Febriansyha Kelas
:
6. L
Mata Kuliah
:
Matematika Lanjutan
Dosen Pengasuh
:
Fadli, S.Si
(2007.121.458)
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG 2010
DERET FOURIER A. Fungsi Periodik Bila f(x) merupakan fungsi periodik dalam interval (-L, L) yaitu periode 2L, maka f(x) dapat dinyatakan dalam bentuk deret yang disebut Deret Fourier: f(x)
=
∞ a0 nπx nπx + ∑ (a n cos + bn sin ) L L 2 n =1
an
=
1 nπx f ( x) sin dx ∫ L −L L L
dimana
n = 0, 1, 2, . . . . . 1 nπx = f ( x ) sin dx ∫ L −L L L
bn
bila f(x) periodik dalam interval (c, 2L), maka koefisien an dan bn dapat ditulis dalam bentuk : an
1 = L
c+2L
∫
f ( x) cos
c
nπx dx L n = 0, 1, 2, . . . . .
bn
1 = L
c +2 L
∫ c
f ( x) sin
nπx dx L
B. Syarat Dirichlet
Bila f(x) ditentukan dalam interval (-L , L) a. Bernilai tunggal b. Terbatas (bounded) c. Merupakan fungsi periodik diluar (-L, L) dengan periode 2L d. Kontinu kecuali pada beberapa titik diskontinu e. Mempunyai maksimum dan minimum yang berhingga
1
Maka deret Fourier konvergen ke : 1. f(x) di x dimana f(x) continu 2.
1 { f ( x + 0) + f ( x − 0)} untuk x dimana f(x) tidak kontinu. 2
C. Yang Sering Digunakan Pada Deret Fourier 1.
∫
u dv = u v -
∫ uv = u v1 – u
’
∫
v du atau
v2 + u’’ v3 - . . . . . dimana
u’ = turunan pertama v1 =
∫
v dx dan seterusnya
Contoh : 1.
3 ∫x
sin 2x dx =
3x2
−1 cos 2 x 2
6x
1 - sin 2 x 4
6
1 cos 2 x 8
0
1 sin 2 x 16
3x 2 6x − x3 6 cos 2 x − − sin 2 x + cos 2 x − sin 2 x 2 16 4 8
Jadi bagian kiri diturunkan sampai menjadi 0 dan bagian kanan di integralkan, kemudian dikalikan dari kiri ke kanan sesuai dengan arah panah, dimulai dengan tanda positif lalu negatif yang selalu berganti-ganti. −2< x<0
0 Perderetkan f(x) = 3
0< x<2
2
menurut deret Fourier:
(periode 4, L = 2) Penyelesian : Y 3
-2
0
2
X
2
a0
1 1 1 = 0 dx + ∫ 3 dx = 3 x ∫ 2 2 −2 20
a0
1 nπx 1 nπx = ∫ 0 cos dx + ∫ 3 cos dx 2 −2 2 20 2 0
2 0
=0
2
nπx 3.2 = 1 2 sin = 0, 2 0 nπ 2
1 nπr 1 nπr 0 sin dx + ∫ 3 sin dx ∫ 2 −2 2 20 2 0
bn =
n = 1, 2, . . . . . (sin n π = 0 )
2
nπx 3 3.2 = 1 2 − cos = (1 − cos nπ ), 2 0 nπ nπ 2
n = 1, 2, . . . . . bn = 0 untuk n genap
jadi: f (x) =
3 6 πx 1 3πx 1 5πx 1 7πx + (sin + sin + sin + sin + ...) 2 π 2 3 2 5 2 7 2
f (x) dapat ditulis sebagai berikut: (2n − 1)πx 3 6 ∞ 1 sin f (x) = + ∑ 2 π n =1 (2n − 1) 2
3
0< x <π
1 Perderetan f(x) = 2
menurut deret Fourier.
π < x < 2π
(periode 2π, L = π) Penyelesaian:
2
Y 1 2π
π
X
a0 =
=
an =
=
1
π 1
π 1
π 1
π
2π
∫
f ( x)dx =
0
π
1
∫ 1dx +
π
0
1
2π
π
∫ π
2dx =
{x] +2 x] } π 1
2π
π
π
0
{(π ) + (4π − 2π )} = 1 + 2 = 3 2π
∫
f ( x)dx =
0
π
∫
1
π
π
∫ 1. cos
cos nxdx +
0
0
1
π
nπx
π
dx +
1
π
2π
∫π 2. cos
nπx
π
dx
2π
∫
2 cos nxdx
π
π
2π
1 2 = sin nx + sin nx = 0 nπ 0 nπ 2 bn =
=
1
π 1
π
2π
∫ 0
f ( x)dx =
1
π
π
∫ 1.sin nx dx + 0
π
π
∫ 1. sin 0
1 π
nπx
π
dx +
1
π
2π
∫
2.sin nx dx
π 2π
1 2 = − cos nx + − cos nx nπ 0 nπ π
4
2π
∫ 2. sin π
nπx
π
dx
= − = bn =
1 1 2 2 cos nπ + + cos nπ − ; (cos 0 = cos 2π) nπ nπ nπ nπ
1 (cos nπ − 1), nπ
n = 1,2, . . . . , bn = 0 untuk n gebap
2 (2n − 1)π
D. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi f(x) dikatakan fungsi genap (symmetric) bila : f(-x) = f(x) Perderetan fungsi genap tidak memuat suku-suku sinus, jadi bn = 0 a0
an
=
=
π
1
π
∫
f ( x)dx =
−π
π
1
π
∫π
2
π
π
∫ f ( x).dx 0
f ( x)cos nx dx =
−
2
π
f ( x).cos nx dx
Fungsi f(x) dkatakan ganjil (kew synnetric) bila: f(-x) = -f(x). Perderetan fungsi ganjil hanya memuat suku-suku sinus, jadi a0 dan an = 0 bn
=
π
1
π
∫
f ( x) sin nx dx =
−π
2
π
π
∫
f ( x).sin nx dx
0
Contoh Soal : 1. Perderetkan f(x) = x2,
-π ≤ x ≤ π (periode 2π)
Fungsi ini adalah fungsi genap, jadi bn = 0 a0
=
1
π
π
∫π
f ( x)dx =
−
=
2 (π 3 ) 3π
=
2π 2 3
2
π
x π∫
2
.dx =
0
5
2 3 x 3π
π 0
an
=
π
1
∫π f ( x) cos
π
−
nπx
π
dx =
2
π
π
∫x
2
. cos
0
nπx
π
=
π 2 x 2x 2 ( sin nx + 2 cos nx − 3 sin nx) 0 π n n n
=
2
(0 +
π
2π cos nπ + 0) n2
4 (−1) n 2 n
π2
cos nx
2x
-
2
−1 cos nx n2
0
−1 sin nx n3
dx
2
=
x2
1 sin nx n
(−1) n cos nx 2 3 n =1 n π3 cos x cos 2 x cos 3x cos 4 x Atau = − 4( 2 − + − + .... 3 1 22 32 42
Jadi f(x) = x2=
∞
+ 4∑
2. Perderetkan f(x) = x,
0<x<2
Dalam sinus ½ jangkauan, atau biasa disebut perderetkan dalam deret sinus Penyelesaian: (disini yang dicari hanya bn) 2 nπx f ( x) sin dx ∫ L0 L L
bn
=
− 2x −4 2 nπx nπx nπx = ∫ x sin dx = cos − 2 2 sin 20 2 nπ 2 2 n π 2
−4 = cos nπ nπ nπx 2 n =1 4 πx 1 2πx 1 3πx 1 4πx Atau = (sin − sin + sin − sin − 4 2 2 2 3 2 4 2 ∞
Jadi f(x) =
−4
∑ nπ cos nπ sin
6
]
2 0
nπx 2
x2
sin
1
−2 nπx cos nπ 2
0
−4 nπx sin 2 2 2 n π
E. Sinus dan Cosinus Fourier ½ - Jangkauan Sinus fourier atau cosinus fourier ½ jangkauan adalah suatu deret yang hanya memuat suku-suku dari sinus atau cosinus. Pada sinus ½ jangkauan atau cosinus, fungsi hanya didefinisikan dalam setengah interval yaitu (0, L). Sinus ½ jangkauan, dalam interval (-L,L) merupakan fungsi ganjil demikian juga cosinus ½ jangkauan, merupakan fungsi genap dalam (-L, L) Jadi pada sinus ½ jangkauan yang dicari hanya bn, demikian juga pada cosinus ½ jangkaun yang divari hanya a0 dan an. Untuk sinus ½ jangkauan : (dalam deret sinus)
2 nπx bn = ∫ f ( x) sin dx, a0 dan an = 0 L0 L L
untuk cosinus ½ jangkauan (dalam deret cosinus) L
a0 =
2 f ( x)dx L ∫0
an =
2 nπx f ( x) cos dx, bn = 0 ∫ L0 L L
Contoh Soal Perderetkan f(x) = ex untuk 0 < x < π, dalam deret sinus. Penyelesaian : 2 nπx = f ( x) sin dx ∫ L0 L L
bn
2 −1 1 1 e sin nx dx = ( e x cos nx + 2 e x sin nx − 2 ∫ e x sin nx dx ) = ∫ π 0 n n n n 0 2
2
π
x
π
2 n2 1 1 = − e x cos nx + 2 e 2 sin nx 2 π n +1 n n 0
7
=
2 n (1 − e π cos nπ 2 π n +1
1 + eπ 2 1 + eπ 1 + eπ f(x) = ex = ( 2 sin x + 2 2 sin 2 x + 3 2 sin 3x − ....) π 1 +1 2 +1 3 +1
0< x<
1 2. Perderetkan f(x) = − 1
a 2
ex
sin nx
ex
− cos nx n
ex
− sin nx n2
dalam cosinus.
a <x
( periode 2a) Y
Penyelesaian : 1
-a
a/2
a X
-1
a0
=
=
an
=
2 a
a/2
2 a
a/2
2 a
a/2
∫ 1.dx + 0
∫ 1.dx + 0
∫ 0
a
2 2 a/2 2 a (−1).dx = [x]0 + [− x ]a / 2 = 1 − 1 = 0 ∫ a a/2 a a a
2 2 a/2 2 a (−1).dx = [x]0 + [− x]a / 2 = 1 − 1 = 0 ∫ a a/2 a a
nπx 2 nπx dx + ∫ (−1) cos dx a a a/2 a a
1. cos
8
nπx 2 = sin a 0 nπ
nπx 2 − sin a a / 2 nπ
a/2
=
a
2 2 4 nπ nπ nπ sin + sin = sin , untk n genap a an = 0 nπ 2 nπ 2 nπ 2
(2m − 1)π (2m − 1)πx 2 f(x) = cos ∑ 2 π n =1 ( 2m) − 1 4 πx 1 3πx 1 5πx atau = (cos − cos + cos − ...) π a 3 a 5 a 4
∞
sin
F. Harmonic Analisis
Untuk mendapatkan konstante dari deret fourier dari data-data yang diberikan digunakan suatu formula yaitu : a0 =
1
π
2π
∫
f ( x)dx = 2
0
1 2π − 0
2π
∫ f ( x)dx. 0
a0 = 2 (mean dari f(x) dalam interval (0, 2π). an = 2 (mean dari f(x) cos nx dalam interval (0,2π). b0 = 2 (mean dari f(x) sin nx dalam interval (0, 2π).
Contoh:
Tentukan konstante a0, a1, a2, b1, dan b2 dari deret Fourier dari data-data yang diberikan sebagai berikut: x
0
1
2
3
4
5
f(x)
9
18
24
28
26
20
9
Penyelesaian : x
x/3
Sin x / 3
Cos x / 3
f(x)
f(x) sin x / 3
f(cos) x / 3
0
0
0
1
9
0
9
1
/3
0,687
0,5
18
15,606
9
2
2/3
0,687
-0,5
24
20,808
-12
3
3/3
0
-1
28
0
-28
4
4/3
-0,687
-0,5
26
-22,542
-13
5
5/3
-0,687
0,5
20
-17,340
10
125
-3,468
-25
a0 = 2 (mean dari f(x) = 2 x 125/6 = 41,66 a1 = 2 (mean dari f(x) cos x/3 = 2x(-25 / 6) = -8,33 b1 = 2 (mean dari f(x) sin x/3 = 2x (-3,468/6) = -1.156 Jadi
a0 πx πx + a1 cos + ... + b1 sin + ... 2 3 3 πx πx = 20,83 – 8,33 cos + −1,156 sin + .... 3 3
f(x)
=
Identitas Parsevel Bila deret Fourier dari f(x) konvergen uniform ke f(x) dalam interval (-L, L) maka:
a 02 1 L 2 { f ( x ) } dx = + ∑ (a n2 + bn2 ) ∑ L −L 2 Contoh:
Buktikan:
π4 90
=
1 1 1 1 + 4 + 4 + 4 + .... 4 1 2 3 4
10
Bila diberikan :
π2
x2 =
3
π
1
π
(−1) n cos nx( f ( x) = x 2 ,−π ≤ x ≤ π) 2 n =1 n ∞
+ 4∑
∫ ( f ( x))
dx
a0 2
=
an
=
4 (−1) n n2
2 4 π 5
=
∞ 1 2π 2 2 1 ( ) + 16∑ 4 2 2 1 n
2π 4 5
2π 2 = 3
−π
2
4
π2
π4 90
=
Diberikan deret : x2 =
atau a 0
3
2(9 − 5) 4 π = 16 45
Hitung :
π
ο
21 5 2 5 = x dx = x = π ∫ π 0 π 5 0 5π
2
2π 2 3
2
1 ∞ 16 +∑ 4 2 1 n
∞
1
∑n
4
1
1 1 1 1 + 4 + 4 + 4 + ....... 4 1 2 3 4
π2 3
(−1) n cos nx, 2 n =1 n ∞
+ 4∑
1 1 1 1 − 2 + 2 − 2 + ..... 2 1 2 3 4
Untuk x = 0 didapat: 0=
0=
π2 12
π2 3
(−1) n cos 0 2 n =1 n ∞
+ 4∑
π2
1 1 1 1 − 4( 2 − 2 + 2 − 2 + ...) 3 1 2 3 4
= (
1 1 1 1 − + − + ...) 12 2 2 32 4 2
11
-π ≤ x ≤ π
LEMBAR KERJA 2 1. Perderetan f(x) = x
−2≤ x≤0
menurut deret fourier
6≤ x≤2
Dimana periode 4, L = 2 2. Perderetan f(x) = x3, − π < π < π periode (2 π ) Dimana f(x) = x3, adalah fungsi ganjil! 3. Perderetan f(x) = cos x, 0 < x < π , ke dalam deret sinus!
12
