PROSIDING
ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3
A–7 Aplikasi Sistem Orthonormal Di Ruang Hilbert Pada Deret Fourier Fitriana Yuli S. FMIPA UNY Abstrak Ruang hilbert akan dibahas pada papper ini. Aplikasi system orthonormal akan dikaji dan akan diaplikasikan pada ruanhg Hilbert. Dapat diketahui bahwa himpunan {u0 , u1 , u2 ,...} deret klasik fourier adalah bentuk 66ystem orthonormal lengkap di ruang Hilbert L2 (-π,π.). Sebagai akibatnya himpunan τ dari polynomial trygonometri adalah padat di L2 (−π , π ) Kata kunci: Sistem Orthonormal, Ruang Hilbert, Deret Fourier
A. Pendahuluan Analisis Fourier klasik pada mulanya berkembang dalam upaya mempelajari deret dan integral Fourier. Deret trigonometri yang kita kenal sekarang sebagai deret
Fourier pertama kali diperkenalkan oleh D. Bernoulli pada tahun 1750‐an, ketika ia mengkaji persamaan diferensial parsial untuk sebuah dawai bergetar. Bernoulli
sin
menemukan bahwa untuk
cos
/
/
maka fungsi
,
sin
/
merupakan solusi untuk setiap bilangan positip k. Deret fourier klasik
u(x,t) akan diaplikasikan sebagai system orthonormal di ruang Hilbert.
B. Pembahasan Inner Product Di Ruang Hilbert L2 (-π,π) didefinisikan bahwa untuk sembarang π
(u | v ) =
∫ u ( x)v( x)dx
, ∀x ∈ [−π , π ]
−π
Sistem Orthonormal di ruang Hilbert L2 (-π,π) didefinisikan Untuk sembarang X Ruang Hilbert atas R , dan {u0,u1,…} adalah system orthonormal yang dapat dihitung dalam X, yaitu ( u k / u m ) = δ km
untuk
semua k , m
Barisan u(x) dalam deret fourier didefinisikan sebagai : Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema ”M Matematika dan Pendidikan Karakter dalam Pembelajaran” pada tanggal 3 Desember 2011 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
PROSIDING
u ( x) := (2π ) −1/ 2
.
u2 m ( x ) := π −1/ 2 sin nx
ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3
u2 m −1 ( x) := π −1/ 2 cos nx
, untuk m=1,2,3, …
Preposisi 1. Himpunan {u0 , u1 , u2 ,...} membentuk suatu sistem orthonormal lengkap di ruang Hilbert L2 (-π,π.). Pembuktian Langkah 1 Akan ditunjukkan bahwa un merupakan sistem orthonormal yaitu memenuhi πi
(u n | u k ) = ∫ u n ( x)u k ( x)dx = δ nk . −π
Dalam deret fourier diketahui uk := π −1/ 2 sin kx ; un := π −1/ 2 cos nx Beberapa kemungkinan nilai ( Un | Uk ) yaitu A.
Kemungkinan
inner
product
ke-1
yaitu
πi
(U n | U k ) = ∫ π −1 / 2 Cos nx.π −1 / 2 Sin kxdx −π
Ada dua kemungkinan untuk nilai n dan k yaitu 1. Nilai n = k πi
(U n | U k ) = ∫ π −1 / 2 Cos nx.π −1 / 2 Sin nxdx −π
π
= π −1 ∫ 1 / 2 [sin ( nx − nx ) + sin ( nx + nx )]dx −π
π
= π −1 ∫ 1 / 2 [sin 0 + sin 2nx ]dx −π
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 3 Desember 2011 MA ‐ 67
PROSIDING
=π
−1
ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3
π
∫
1 / 2 [0 + sin 2nx ]dx
−π
Batas dibagi menjadi 2 yaitu dari
− π ≤ x ≤ 0 dan 0 ≤ x ≤ π karena nilai
integralnya sama maka hanya dihitung salah satu kemudian dikalikan 2
= 2 x (π
−1
π
∫
1 / 2 (sin 2nx ) dx )
0
π
= 2 x ( π −11 / 2[1 / 2 (− cos 2nx) ]0 ) = 2 x ( π −11 / 2(1 / 2 (− cos 2nπ − (− cos 0) ) = 2 x ( π −11 / 2(1 / 2 (−1 − (−1) ) =2x0 = 0 = δ nk 2. Nilai n ≠ k πi
(U n | U k ) = ∫ π −1 / 2 Cos nx.π −1 / 2 Sin kxdx −π
π
= π −1 ∫ 1 / 2 [sin ( nx − kx) + sin ( nx + kx)]dx −π
π
= π −1 ∫ 1 / 2 [sin ( n − k ) x + sin ( n + k ) x]dx −π
π
π
−π
−π
= π −1 ∫ 1 / 2 sin (n − k ) x dx + π −1 ∫ 1 / 2 sin (n + k ) x dx = 2 x π −1 .1 / 2. [1 /(n − k ) − cos (n − k ) x]π 0 + 2 x π −1 .1 / 2. [1 /( n + k ) − cos (n + k ) x]π 0
= 2 x π −1 .1 / 2. [
− cos (n + k )0 − cos (n − k )π − cos (n − k )0 − cos (n + k )π −( )] + 2 x π −1 .1 / 2. [ )] −( n−k n+k (n − k ) (n + k )
= 2 x ( π −11 / 2(1 / 2 (−1 − (−1) ) + 2 x ( π −11 / 2(1 / 2 (−1 − (−1) )
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 3 Desember 2011 MA ‐ 68
PROSIDING
ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3
= 2 x 0 + 2x 0 = 0 = δ nk πi
⎧0 , n = k Nilai (U n | U k ) = ∫ π −1 / 2 Cos nx.π −1 / 2 Sin kxdx = ⎨ ⎩0 , n ≠ k −π B
.
Kemungkinan
inner
product
ke-2
yaitu
πi
(U n | U k ) = ∫ π −1 / 2 cos nx.π −1 / 2 cos kxdx −π
πi
(U n | U k ) = ∫ π −1 / 2 cos nx.π −1 / 2 cos kxdx −π
Kemungkinan nilai n dan k yaitu 1. Nilai n=k
sin 2nπ sin 0 πi −1 .1 / 2 [π ] + =2 xπ − ] 2 x π −1 .1 / 2 [ n n 2 2 (U n | U k−)1 = ∫ π −1/π2 cos nx.π −1−/ 12 cos nxdx sin 2nx π = 2 x π .1 /−π2 [ x ] 0 + 2 x π .1 / 2 [ ]0 2n
=π
π
∫
−1
1 / 2 [cos ( nx − nx ) + cos ( nx + nx )]dx
−π
π
= π −1 ∫ 1 / 2 [cos 0 + cos 2nx]dx −π
π
π
= π −1 ∫ 1 / 2 cos 0 dx + π −1 ∫ cos 2nx dx −π
π
π
−π
−π
−π
= π −1 ∫ 1 / 2 . 1 dx + π −1 ∫ cos 2nx dx Batas dibagi menjadi 2 yaitu dari
− π ≤ x ≤ 0 dan 0 ≤ x ≤ π karena nilai
integralnya sama maka hanya dihitung salah satu kemudian dikalikan 2 = 1 + 0 = δ nk 2. Nilai n ≠ k πi
(U n | U k ) = ∫ π −1 / 2 cos nx.π −1 / 2 cos kxdx −π
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 3 Desember 2011 MA ‐ 69
PROSIDING
ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3
πi
(U n | U k ) = ∫ π −1 / 2 cos nx.π −1 / 2 cos kxdx −π
=π
−1
π
∫
1 / 2 [cos (nx − kx ) + cos ( nx + kx )]dx
−π
π
= π −1 ∫ 1 / 2 [cos ( n − k ) x + cos ( n + k ) x ]dx −π
π
π
= π −1 ∫ 1 / 2 cos ( n − k ) xdx + π −1 ∫ 1 / 2 cos ( n + k ) x dx −π
−π
Batas dibagi menjadi 2 yaitu dari
− π ≤ x ≤ 0 dan 0 ≤ x ≤ π karena nilai
integralnya sama maka hanya dihitung salah satu kemudian dikalikan 2
= 2 x π −1 .1 / 2 [
sin ( n + k ) x π sin( n − k ) x π ] 0 + 2 x π −1 .1 / 2 [ ]0 n−k n+k
= 2x0+2x0 = 0
= δ nk
πi ⎧1 , n = k Nilai (U n | U k ) = ∫ π −1 / 2 cos nx.π −1 / 2 cos kxdx = ⎨ ⎩0 , n ≠ k −π πi
C. Kemungkinan inner product ke-3 yaitu (U n | U k ) = ∫ π −1 / 2 sin nx.π −1 / 2 sin kxdx −π
Kemungkinan nilai n dan k 1. Nilai n=k πi
(U n | U k ) = ∫ π −1 / 2 sin nx.π −1 / 2 sin nxdx −π
=π
−1
π
∫
1 / 2 [cos ( nx − nx ) − cos ( nx + nx )]dx
−π
π
= π −1 ∫ 1 / 2 [cos 0 − cos 2nx]dx −π
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 3 Desember 2011 MA ‐ 70
PROSIDING
=π
−1
π
∫
−π
1 / 2 cos 0 dx − π
−1
π
π
−π
−π
ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3
π
∫
cos 2nx dx
−π
= π −1 ∫ 1 / 2 . 1 dx − π −1 ∫ cos 2nx dx Batas dibagi menjadi 2 yaitu dari − π ≤ x ≤ 0
dan 0 ≤ x ≤ π karena nilai
integralnya sama maka hanya dihitung salah satu kemudian dikalikan 2
= 2 x π −1.1/ 2 [x]π 0 − 2 x π −1.1/ 2 [ = 2 x π −1 .1 / 2 [π ] − 2 x π −1 .1 / 2 [
sin 2nx π ]0 2n
sin 2nπ sin 0 ] − 2n 2n
= 1 – 0 =1 = δ nk 2. Nilai n ≠ k πi
(U n | U k ) = ∫ π −1 / 2 sin nx.π −1 / 2 sin kxdx −π
π
= π −1 ∫ 1 / 2 [cos (nx − kx) − cos ( nx + kx)]dx −π
π
= π −1 ∫ 1 / 2 [cos ( n − k ) x − cos ( n + k ) x ]dx −π
π
π
= π −1 ∫ 1 / 2 cos ( n − k ) xdx − π −1 ∫ 1 / 2 cos ( n + k ) x dx −π
−π
Batas dibagi menjadi 2 yaitu dari
− π ≤ x ≤ 0 dan 0 ≤ x ≤ π karena nilai
integralnya sama maka hanya dihitung salah satu kemudian dikalikan 2
= 2 x π −1 .1 / 2 [
sin ( n + k ) x π sin( n − k ) x π ] 0 − 2 x π −1 .1 / 2 [ ]0 n−k n+k
= 2 x 0 - 2 x 0 = 0 = δ nk πi ⎧1 , n = k −1 / 2 −1 / 2 ( U | U ) sin nx . sin kxdx = = π π Nilai ⎨ n k ∫ ⎩0 , n ≠ k −π
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 3 Desember 2011 MA ‐ 71
PROSIDING
ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3
Terbukti (U n | U k ) = δ nk yaitu •
Terbukti bahwa un merupakan Sistem Orthonormal
Langkah 2 Dengan menggunakan Corollary 4 yaitu bahwa r = span{u 0 , u1 ,...} , barisan polynomial trygonometri adalah padat di L2(-π,π). Jelas bahwa deret fourier merupakan polynomial trygonometri maka un padat di L2(-π,π). Langkah 3 Dengan menggunakan Teorema 3.A yaitu barisan yang merupakan Sistem Orthonormal di ruang Hilbert X atas K apabila padat di X maka Lengkap di X dan berlaku sebaliknya. •
Terbukti bahwa himpunan {u0 , u1 , u2 ,...} deret klasik fourier adalah bentuk sistem orthonormal lengkap di ruang Hilbert L2 (-π,π.).
Corollary 2.
∀u ∈ L2 (−π , π ) deret fourier klasik konvergen di L2 (-π,π) yaitu lim
m →∞
π
m
−π
k =1
−1 2 ∫ (u ( x) − 2 a0 − ∑ ak cos kx + bk sin kx) dx = 0
Bukti π
lim
m →∞
∫
−π
m
(u ( x) − 2−1 a0 − ∑ ak cos kx + bk sin kx) 2 dx = k =1
∞
u(x) disubstitusi oleh u ( x) = −2−1 a0 − ∑ ak cos kx + bk sin kx diperoleh k =1
π
lim
m →∞
∫
−π
∞
m
k =1
k =1
((2−1 a0 − ∑ ak cos kx + bk sin kx) − 2−1 a0 − ∑ ak cos kx + bk sin kx) 2 dx
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 3 Desember 2011 MA ‐ 72
PROSIDING
π
∫π ((2
−1
−
ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3
∞
∞
k =1
k =1
a0 − ∑ ak cos kx + bk sin kx) − 2−1 a0 − ∑ ak cos kx + bk sin kx ) 2 dx
π
∫π (0) dx 2
−
=0 Terbukti lim
m →∞
π
m
−π
k =1
−1 2 ∫ (u ( x) − 2 a0 − ∑ ak cos kx + bk sin kx) dx = 0
Lemma 3
Untuk setiap fungsi f ∈ C[ −π , π ] dengan f (−π ) = f (π ), ∀ε ≥ 0, ∃ fungsi p ∈ τ sehingga || f − p ||c[ −π ,π ] < ε
BUKTI Langkah 1 Misal f fungsi genap yaitu f (− x ) = f ( x ) . Fungsi ini dipenuhi oleh φ ( x ) := cos x yang merupakan fungsi yang menurun tajam pada interval [0,π], y → f (φ −1 ( y )) kontinyu pada interval [-1,1], berdasar teorema Aproksimasi Weirstrass yaitu untuk fungsi kontinyu terdapat polynomial p ( y ) = c0 + c1 y + ... + cn y n sehingga max | f (φ −1 ( y ) − p ( y )) |< ε ,
−1≤ y ≤1
Oleh karena itu terdapat p ( y ) = c0 + c1 y + ... + cn y n dan berlaku max | f (φ −1 ( y ) − p ( y )) |< ε , misal y =cos x,
−1≤ y ≤1
max | f (φ −1 (cos x ) − p (cos x )) |< ε , q(x):=p(cosx) maka diperoleh
−1≤ y ≤1
max | f ( x) − q( x) |< ε , 0≤ x ≤π
Terbukti untuk f fungsi genap terdapat polynomial q sehingga berlaku Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 3 Desember 2011 MA ‐ 73
PROSIDING
ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3
max | f ( x) − q( x) |< ε
−π < x <π
Langkah 2 Misal f fungsi ganjil yaitu f ( − x ) = − f ( x ) untuk setiap x ∈ [−π , π ] , nilai f (0) = f (π ) = 0 . Dipilh δ > 0 dan dibentuk
⎧ π (x − δ ) ⎪ f ( π − 2δ ) jika 0 < δ ≤ x ≤ π − δ ⎪ g ( x) := ⎨ ⎪ jika 0 ≤ x ≤ δ atau π − δ ≤ x ≤ π ⎩⎪0 Diketahui g(x):=-g(-x) jika −π ≤ x ≤ 0 . Saat f kontinyu seragam di interval [ −π , π ] berdasar teorema Waitress diperoleh max | f ( x) − g ( x) |< ε / 2 untuk nilai −π ≤ x ≤π
δ >0 yang cukup kecil . Saat x →
g ( x) di[−π , π ] kontinyu di [−π , π ] karena g(x) kontinyu sehingga ada sin( x)
q ∈ τ berlaku max | −π ≤ x ≤π
g ( x) − q( x) |< ε / 2 , misalkan r ( x ) := q ( x ) sin x diperoleh sin( x)
max |
g ( x) q( x) − |< ε / 2 sin( x) sin( x)
max |
1 | . | g ( x) − q( x) | < ε / 2 sin x
−π ≤ x ≤π
− π ≤ x ≤π
max | g ( x) − q ( x) | < max | sin x | ε / 2
− π ≤ x ≤π
− π ≤ x ≤π
max | g ( x) − r ( x) |< 1 x ε / 2
− π ≤ x ≤π
max | g ( x) − r ( x) |< ε / 2 maka
−π ≤ x ≤π
max | f ( x) − r ( x) |= max | f ( x) − g ( x) + g ( x) − r ( x) |
−π ≤ x ≤π
−π ≤π ≤π
≤ max | f ( x ) − g ( x) | + max | g ( x) − r ( x) | −π ≤ x ≤π
− π ≤ x ≤π
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 3 Desember 2011 MA ‐ 74
PROSIDING
ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3
≤ ε /2+ε /2 ≤ε
Terbukti
untuk
f
fungsi
ganjil
terdapat
r ( x ) sehingga
berlaku
max | f ( x) − r ( x) |< ε
−π ≤ x ≤π
Langkah 3 Dalam kasus yang umum, digunakan dekomposisi fungsi yaitu f ( x) = 2−1 ( f ( x) + f (− x)) + 2−1 ( f ( x) − f (− x)) kemudian diterapkan langkah 1 untuk fungsi genap dan langkah 2 untuk fungsi ganjil dengan menerapkan Teorema nilai rata-rata Waitress dan ketaksamaan segitiga sehingga diperoleh f ( x ) − f ( − x ) = 0 untuk x = [0, π ]
Corollary 4
Himpunan τ dari polynomial trygonometri adalah padat di L2 (−π , π ) Bukti Misal u ∈ L2 (−π , π ) dan misal X := C[ a, b]
diberikan ε > 0 . Dengan preposisi 7 yaitu
−∞ < a < b < ∞,
dengan
himpunan
Polynomial
p ( x) = a 01 + a1 x + ... + a n x n dengan ai bilangan real adalah padat di X sehingga untuk u elemen polynomial p(x) dapat diperoleh fungsi kontinyu C[ −π , π ] yang padat di L2 (−π , π ) artinya terdapat fungsi kontinyu f := [−π , π ] → R sehingga π
2
|| u − f ||≡ ( ∫ (u ( x) − f ( x)) dx )1/ 2 < ε −π
Dengan mengganti fungsi kontinyu f didekat titik x=π dapat diasumsikan bahwa f(-π)=fπi) dengan lemma 3 maka terdapat fungsi q ∈ r sehingga || f − q ||≤ ε Sehingga dapat diperoleh Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 3 Desember 2011 MA ‐ 75
PROSIDING
ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3
|| u − q ||=|| u − f + f − q ||
|| u − q ||≤|| u − f || + || f − q || || u − q ||≤ ε + ε || u − q ||≤ 2ε
Terbukti τ padat di L2 (−π , π ) C. Penutup
Berdasarkan uraian di atas dapat diketahui bahwa himpunan {u0 , u1 , u2 ,...} deret klasik fourier adalah bentuk sistem orthonormal lengkap di ruang Hilbert L2 (-
π,π.). Sebagai akibatnya himpunan τ dari polynomial trygonometri adalah padat di L2 (−π , π )
DAFTAR PUSTAKA Conway,John B.,1990,” A Course in Functional Analysis “,2 ed, Springer-Verlag,New York Hendra Gunawan, 2007,” naskah pidato guru besar ITB”, FMIPA ITB Bandung
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Yogyakarta, 3 Desember 2011 MA ‐ 76
