Edu-Math; Vol. 3, Tahun 2012
EKSISTENSI BASIS ORTHONORMAL PADA RUANG HASIL KALI DALAM Muhammad Kukuh Abstraksi Suatu ruang vektor V yang dilengkapi oleh suatu operasi yang memenuhi beberapa aksioma tertentu dinamakan Ruang Hasil Kali Dalam (RHKD). Pada RHKD, dikenal juga istilah tentang basis. Himpunan yang merupakan basis yang memenuhi sifat tertentu dinamakan basis orthonormal. Pada penelitian ini akan ditunjukkan bahwa untuk setiap RHKD maka bisa ditentukan basis orthonormal yang diperoleh dari setiap basis yang ada. Kata Kunci : Ruang vektor, Ruang Hasil kali Dalam, Basis Orthonormal A.
Pendahuluan Dalam Aljabar Linear dikenal istilah mengenai Ruang Hasil Kali Dalam (RHKD) yaitu suatu ruang vektor yang dilengkapi oleh suatu operasi yang memenuhi beberapa aksioma tertentu. Sama hal nya pada ruang vektor, pada RHKD dikenal juga tentang basis dan yang lebih jauh mengenai basis orthonormal. Untuk mencari basis orthonormal bukanlah hal yang mudah. Untuk itu, peneliti dalm hal ini akan mengkaji bagaimana mencari basis orthonormal yang diperoleh dari basis yang ada.
B.
Eksistensi Basis Orthonormal Pada Ruang Hasil Kali Dalam
x y
2 Diberikan R x, y R adalah ruang vektor atas lapangan R.
x1 x , v2 2 R 2 adalah relasi R 2 R 2 R y1 y2 dengan definisi v1 v2 x1 x2 y1 y 2 . Dot product dari v1
Sifat-sifat dari dot product: 1. v1 v2 v2 v1 2. v1 v2 v1 v2 3.
v1 v2 v3 v1 v3 v2 v3
4. v1 v2 0 v1 v1 0 v1 0
1
Muhammad Kukuh, Eksistensi …
Sitat-sifat diatas akan digeneralisasikan pada sembarang ruang vektor V atas lapangan bilangan real R. Definisi Fungsi , : V V R Disebut hasil kali dalam dari ruang vektor V jika v1 , v2 , v3 V dan R berlaku: 1.
v1 , v2 v2 , v1
2.
v1 , v2 v1 , v2
3.
v1 v2 , v3 v1 , v3 v2 , v3
4.
v1 , v2 0
v1 , v1 0 v1 0 .
Jadi, R R R merupakan salah satu contoh hasil kali dalam pada R 2 . 2
2
Contoh: 1.
, : R2 R2 R
dengan
v1 , v2 2 x1 x2 3 y1 y 2
v1 , v2 R 2
merupakan
hasil
kali
dideffinisikan dalam karena
memenuhi: 1. v1 , v2 2 x1 x2 3 y1 y 2 2 x2 x1 3 y 2 y1 v2 , v1
2. v1 , v2 2x1 x2 3y1 y 2 2 x1 x2 3 y1 y 2 v1 , v2 3. v1 v2 , v3 2x1 x2 x3 3 y1 y 2 y3
2 x1 x3 2 x2 x3 3 y1 y3 3 y 2 y3 2 x1 x3 3 y1 y3 2 x2 x3 3 y 2 y3
v1 , v3 v2 , v3 4. v1 , v1 2 x1 3 y1 0 2
2
v1 , v1 0 2 x1 3 y1 0 2
2
x1 y1 0 . 2.
, : R2 R2 R
dengan
v1 , v2 x1 x2 2 y1 y 2
merupakan hasil kali dalam karena
v1 , v1 x1 2 y1 2
2
v1 , v1 bisa bernilai negatif misalnya untuk mengakibatkan 2
.
dan
bukan
Edu-Math; Vol. 3, Tahun 2012
Definisi
v V , v
v, v
v2 v1 v1 v2
Diketahui v1 v2 v1
v1 v2
v2
2
2
v1 , v1 x1 y1
2
v2 , v2 x2 y 2
2
v1 v2
2
2
2
2 v1 v2 cos ………….. (I)
2
2
x1 x2 y1 y 2 2
2
x1 2 x1 x2 x2 y1 2 y1 y 2 y 2 2
2
2
2
x1 y1 x2 y 2 2x1 x2 y1 y 2 2
2
v1
2
v2
2
2
2
2 v1 , v2 ……………………….. (II)
dari (I) dan (II) diperoleh
2 v1 , v2 2 v1 v2 cos cos
v1 , v2 v1 v2
adalah sudut antara v1 & v2 V . Teorema
v1 , v 2 v1 v 2 Bukti: 1) v1 0
v1 , v2 0, v2 0.v2 , v2 0 v2 , v2 0 v1 , v2 0 v1 v2 0 analog untuk kasus v 2 0 2) a) misalkan v1 1 3
Muhammad Kukuh, Eksistensi …
bentuk v3 v2 v1 , v2 v1
v3
2
v3 , v3 v2 v1 , v2 v1 , v2 v1 , v2 v1
v2 , v2 2 v1, v2 v2 v2
2
2
v1 , v2
v1 , v2
2
2
v1, v2
2
v1, v1
0
2
v2 v1 ,v2 v1 , v2 1. v2 v1 v2 b) Untuk v1 1 bentuk v3
v1 v3 1 v1
v 2 v3 , v 2
v2
v1 , v2 v1
v2
1 v1 , v2 v1
v2 v1 v1 , v2 .
Teorema Diberikan ruang vektor V, maka v1 , v2 V berlaku
v1 v2 v1 , v2 0 . Bukti 1. Diketahui v1 v 2 akan ditunjukkan v1 , v2 0
cos
v1 , v2 v1 v2
0 v1 , v 2 0 .
2. Diketahui v1 , v2 0 akan ditunjukkan v1 v2
cos 4
v1 , v2 v1 v2
0 90 v1 v2 .
Edu-Math; Vol. 3, Tahun 2012
Definisi Diberikan V ruang vector dan X V , X v1 , v 2 ,..., v n . Himpunan X disebut himpunan orthogonal jika dan hanya jika v1 , v2 X , v1 v2 , v1 , v2 0 .
Definisi Diberikan V ruang vektor, X V , X v1 , v 2 ,..., v n . Himpunan X disebut himpunan orthonormal Jika dan hanya jika 1. X orthogonal 2. vi X , vi 1 . Keistimewaan himpunan orthonormal dalam ruang vektor V. Sifat:(keistimewaan ke-1) X V , X v1 , v2 ,..., vn , jika X orthonormal maka X bebas linear. Bukti X v1 , v 2 ,..., v n untuk 1v1 2 v2 ... n vn 0 akan ditunjukkan
1 2 ... n 0 n
v , v i 1
i i
j
1v1 2 v2 ... n vn , v j
0, v j 1v1 , v j 2 v2 , v j ... j v j , v j ... n vn , v j 0 1 v1 , v j 2 v2 , v j ... j v j , v j ... n vn , v j 0 0 0 ... j ... 0
j 0. j 1,2,..., n Karena berlaku untuk sembarang 1 2 ... n 0 . Jadi X terbukti bebas linear.
maka
Definisi: Vektor nol tegak lurus terhadap setiap vektor.
X V , X v1 , v2 ,..., vn Untuk sembarang y V jelas bahwa
5
Muhammad Kukuh, Eksistensi … n y, v1 v1 y, v2 v2 ... y, vn vn y, vi vi V i 1 . n y y , vi vi V i 1
Sifat:(keistimewaan ke-2)
X V , X v1 , v2 ,..., vn orthonormal , Untuk sembarang n
y V , y y , v n vi X i 1
Bukti Ambil sembarang v j X akan dibuktikan n
y y , vi vi , v j y , v j i 1
n
y y , vi vi , v j 0 i 1
n
i 1
y , vi vi , v j
n
y , v j y , vi vi , v j i 1
n
y , v j y , vi vi , v j i 1
y, v j y, v1 v1 , v j y, v2 v2 , v j ... y, v j v j , v j ... y, vn vn , v j
y, v j y, v j 0 . Karena berlaku untuk sembarang j 1,2,..., n maka n
y y, vi vi , v j 0 . i 1
Teorema: Diberikan V ruang vektor berdimensi berhingga. Setiap ruang hasil kali dalam V yang tak nol mempunyai basis orthonormal. Bukti: V adalah ruang vektor berdimensi hingga. Untuk setiap xi V dengan xi 1, subhimpunan 6
xi
senantiasa orthonormal. Sekarang
Edu-Math; Vol. 3, Tahun 2012
pandang subhimpunan orthonormal X k v1 , v2 ,..., vk di V. Menurut sifat diatas, subhimpunan X k bebas linear. Jika X k membangun V bukti selesai. Sekarang misalkan X k tidak membangun V, dan misalkan S adalah subruang yang dibangun oleh X k . Ambil vektor y V tetapi
y S . Tulis k
z y y , vi vi , vi . i 1
Diperoleh z S . Menurut sifat diatas, vektor z orthogonal pada semua vektor vi X k . Dengan demikian, diperoleh subhimpunan di V
z bersifat orthonormal, jadi bebas linear. Cara z memperoleh subhimpunan orthonormal X k 1 seperti ini dapat kita lanjutan, selama subruang yang dibangun oleh subhimpunan X k 1 tidak yaitu X k 1 X k
sama dengan V. Karena dimensi ruang vektor V hingga, proses ini berhenti. Akhirnya diperoleh suphimpunan orthonormal X k v1 , v2 ,..., vk yang membangun ruang vektor V. dengan kata lain. X adalah basis orthonormal dari V. Diberikan V adalah ruang hasil kali dalam hingga dengan dim(V ) n . Ada basis orthonormal dalam V, sebut B e1 , e2 ,..., en .
1 v V v 1e1 2 e2 ... n en v B 2 R n n 1 w V v 1e1 2 e2 ... n en wB 2 R n n vB wB 11 2 2 ... n n
Sifat (Keistimewaan 3)
v, w vB wB
7
Muhammad Kukuh, Eksistensi …
Bukti
v, w 1e1 2 e2 ... n en , 1e1 2 e2 ... n en n
n
e , e
i 1
i i
j 1
n
n
i 1
j 1
j
j
i ei , j e j n
n
i ei , j e j i 1 j 1
n
n
i ei , j e j i 1 j 1 n
n
i j ei , e j i 1 j 1
n n 1, i j i j , ingat ei , e j i 1 j 1 0, i j vB wB .
Definisi V ruang hasil kali dalam,
S V ,.S v V v x, x S v V v, x 0, x S. Sifat (Keitimewaan 4) V ruang vektor atas lapangan R, S subruang V. Bukti: Ambil sembarang v1 , v2 , x S dan 1 , 2 R
1v1 2 v2 , x 1v1 , x 2 v2 , x 1 v1 , x 2 v2 , x 1 0 2 0 0 .
Jadi 1v1 2 v2 , x S .
Ingat! Untuk V ruang vektor dan S x1 , x2 ,, xk V maka
S = Subruang yang dibangun oleh S 8
Edu-Math; Vol. 3, Tahun 2012
= Subruang terkecil yang memuat S = S , S adalah subruang yang memuat S. Sifat (Keistimewaan 5) V ruang vektor atas lapangan R dan S V , S S . Bukti
x S x s, s S atau x, s 0 n
y S y i si , i R, si S i 1
n
x, y x , i s i i 1
n
x, i s i i 1
n
i x, s i i 1 n
i 0 0 . i 1
Soal Diketahui V suatu ruang hasil kali dalam dan X x1 , x2 ,..., xk suatu basis dari V. Dari basis X buatlah suatu basis orthonormal. Jawab Bentuk u1
u2 u3 u4
un
x1 x1
x 2 x2 , u1 u1 x 2 x2 , u1 u1 x3 x3 , u1 u1 x3 , u 2 u 2 x3 x3 , u1 u1 x3 , u 2 u 2 x4 x4 , u1 u1 x4 , u 2 u 2 x4 , u 3 u 3 x4 x4 , u1 u1 x4 , u 2 u 2 x4 , u 3 u 3 xn xn , u1 u1 xn , u2 u2 ... xn , un1 un1
xn xn , u1 u1 xn , u2 u2 ... xn , un1 un1 9
Muhammad Kukuh, Eksistensi …
C.
Diperoleh himpunan merupakan basis orthonormal di V yang diperoleh dari X. Penutup Berdasarkan uraian di atas diperolah beberapa keistimewaan basis orthonormal, yaitu : 1. Setiap Basis Orthonormal bersifat bebas linear 2. Setiap Basis Orthonormal dapat ditemukan vektor yang orthogonal dengan setiap vektor pada Basis Orthonormal tersebut 3. Hasil kali dalam dua vektor merupakan hasil kali masing-masing koordinat dari dua vektor terrsebut. 4. Suatu himpunan yang orthogonal merupakan subruang bagi ruang vektornya. 5. Setiap Himpunan Orthogonal Ortogonal juga terhadap himpunan . 6. Untuk suatu basis dapat diperoleh basis ortonormal yaitu
u1
u2 u3 u4
un
10
x1 x1
x 2 x2 , u1 u1 x 2 x2 , u1 u1 x3 x3 , u1 u1 x3 , u 2 u 2 x3 x3 , u1 u1 x3 , u 2 u 2 x4 x4 , u1 u1 x4 , u 2 u 2 x4 , u 3 u 3 x4 x4 , u1 u1 x4 , u 2 u 2 x4 , u 3 u 3 xn xn , u1 u1 xn , u2 u2 ... xn , un1 un1
xn xn , u1 u1 xn , u2 u2 ... xn , un1 un1
.
