HASIL KALI TENSOR: KONSTRUKSI, EKSISTENSI DAN KAITANNYA DENGAN BARISAN EKSAK

HASIL KALI TENSOR: KONSTRUKSI, EKSISTENSI DAN KAITANNYA DENGAN BARISAN EKSAK Samsul Arifin [email protected] Mahasiswa S2 Matematika FMIPA UGM

Dalam tulisan ini akan dibahas mengenai konstruksi hasil kali tensor dari dua buah modul, dan yang terpenting adalah eksistensi dan ketunggalannya. Kemudian akan dibahas juga mengenai eksistensi hasil kali tensor dua buah homomorfisma modul. Setelah itu akan diakahiri dengan pembahasan kaitan antara hasil kali tensor dengan barisan eksak. Kata kunci: tensor product, homomorfisma modul, barisan eksak. 1.Pendahuluan (Konstruksi Hasil Kali Tensor) Sebelum memasuki pembahasan tentang konstruksi hasil kali tensor dan eksistensinya, akan diberikan terlebih dahulu definisi pemetaan bilinear yang seimbang (balanced) yang akan sangat berperan dalam konstruksi hasil kali tensor dari dua buah modul, yaitu sebagai berikut. 1.1. Definisi (Hungerford, 1974): Diberikan ring R, R -modul kanan M , R -modul kiri N dan sebarang grup Abel  G,   . Pemetaan  : X  Y  G disebut fungsi bilinear dan seimbang atas R jika untuk setiap

x1 , x2  X , y1 , y2  Y dan r  R berlaku (i).   x1  x2 , y1     x1 , y1     x2 , y1  (ii).   x1 , y1  y2     x1 , y1     x1 , y2  (iii).   x1r , y1     x1 , ry1  (Balance) Di sini akan dibahas mengenai konstruksi hasil kali tensor dua buah modul. Misalnya Diberikan ring R, modul kanan X R dan modul kiri R Y . Dari sini dapat dibentuk himpunan:

X  Y   a, b  | a  X , b  Y  Selanjutnya, dari X  Y dapat dibentuk suatu grup abelian bebas F, yang generator-generator bebasnya adalah elemen-elemen dari X  Y , dinotasikan:

F  

 x, y  | x

 X , y Y 

    cij  xi , y j  | xi  X , y j  Y , cij  , untuk cij  0 yang berhingga banyak   i, j 

1

Perhatikan bahwa selalu ada monomorfisma natural i : X  Y  F dengan

 x, y   X  Y ,

untuk setiap

 x, y 

1 x, y  ,

yaitu dengan mengambil cij  1 . Dari grup abelian bebas F

tersebut, juga dapat dibentuk suatu subgroup H  y1, y2 , y3 yaitu subgroup yang dibangun oleh

y1, y2 , dan y3 dengan masing-masing berbentuk sebagai berikut: y1   x  x ', y    x, y    x ', y  y2   x , y  y '    x , y    x , y '  y3   xa, y    x, ay  Perhatikan

 x ', y '

juga

bahwa

 x ', y '  H ,

selalu

ada

proyeksi

kanonik

 :F F H

dengan

untuk setiap  x ', y '  F . Dari sini sudah bisa dibuat urutan pemetaan

sebagai beriku: i  X  Y   F  F H

Jika dibentuk    i maka akan berlaku:

  y1    i    x  x ', y    x, y    x ', y      i   x  x ', y    x, y    x ', y        x  x ', y    x, y    x ', y      x  x ', y    x, y    x ', y    H  H  0 F H

  y2     i    x , y  y '    x , y    x , y '      i   x , y  y '    x , y    x , y '   

    x, y  y '    x , y    x , y '      x , y  y '    x , y    x , y '    H  H  0 F H

  y3    i    xa, y    x, ay      i   xa, y    x, ay        xa, y    x, ay      xa, y    x, ay    H  H  0 F H , yang artinya  adalah suatu pemetaan bilinear R-balanced dari X  Y ke F H .

 i Perhatikan bahwa dari dua buah pemetaan di atas yaitu X  Y   F H , akan  F dan F 

dapat dibuat skema “besar” sebagai berikut: i  X  Y   F  F H    i X  Y  F H

Selanjutnya, didefinisikan " X R Y " adalah grup kuosien komutatif X R Y  F H . Dari proses-proses

i  X  Y   F  F H

di

atas,

maka

dapat

dituliskan

  x, y    x, y   H  x  y untuk setiap  x, y   F . Dengan notasi ini, X R Y adalah suatu grup komutatif, dimana generator-generator dari x  y memenuhi:

2

   x  x ', y    x, y    x ', y    0   x  x ', y     x, y     x ', y   0  x  x ', y   H    x, y   H    x ', y   H   0

 x  x '  y   x  y    x ' y   0  x  x '  y   x  y    x ' y     x, y  y '    x, y    x , y '    0   x, y  y '     x, y     x , y '   0  x, y  y '  H    x, y   H    x, y '   H   0 x   y  y '   x  y    x  y '  0 x   y  y '   x  y    x  y '    xa, y    x, ay    0   xa, y     x, ay   0  xa, y   H    x, ay   H   0

... *

... **

xa  y  x  ay  0 xa  y  x  ay ... ***

Perhatikan bahwa dari sifat-sifat tersebut akan berakibat

 x  y  a  xa  y  x  ay

... ****

untuk setiap x  X , y Y , dan a  R . Butir-butir (*) sampai dengan (****) inilah yang akan menjadi sifat-sifat operasi “  ” pada X R Y . 2.Eksistensi Hasil Kali Tensor Setelah dibahas konstruksi hasil kali tensor dari dua buah modul di atas, bahwa dua buah  i  F H bisa dibentuk “secara alamiah” dari dua buah modul pemetaan X  Y   F dan F  yaitu modul kanan X R dan modul kiri R Y untuk suatu ring R. Dengan kata lain, hasil kali tensor juga selalu bisa dibentuk dari suatu modul kanan dan modul kiri yang “seolah-olah” dikalikan tersebut, padahal struktur keduanya berbeda. Proposisi berikut diperlukan untuk menunjukkan eksistensi hasil kali tensor dari dua buha modul.

3

2.1.Proposisi (Hazewinkel, 2005): Diberikan ring R, grup abelian G, modul kanan X R , dan modul kiri

R

X . Untuk sebarang

pemetaan bilinear R-balanced f : X  Y  G , ada dengan tunggal pemetaan g : X  Y  G sedemikian hingga diagram

komutatif, yaitu berlaku f  g  . Bukti: Misalkan diberikan sebarang suatu pemetaan bilinear R-balanced f : X  Y  G . Karena F adalah grup abelian bebas, maka akan ada dengan tunggal homomorfisma grup

komutatif, yaitu berlaku f  f i , dimana i adalah pemetaan embedding natural dari X  Y ke F. Selanjutnya karena f adalah pemetaan bilinear R-balanced, maka f juga merupakan pemetaan bilinear R-balanced, yaitu pemetaan yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:

f  x  x ', y   f  x, y   f  x ', y  f  x, y  y '   f  x, y   f  x , y '  f  xa, y   f  x, ay  Perhatikan bahwa: f  x  x ', y   f  x, y   f  x ', y  f  x  x ', y   f  x, y   f  x ', y   0 f

  x  x ', y    x, y    x ', y    0 4

f  x, y  y '   f  x , y   f  x , y '  f  x, y  y '   f  x, y   f  x , y '   0 f

  x, y  y '    x, y    x , y '    0 f  xa, y   f  x, ay  f  xa, y   f  x, ay   0 f

  xa, y    x, ay    0

 

sehingga berlaku H  Ker f dengan H  y1 , y2 , y3 untuk suatu

y1   x  x ', y    x, y    x ', y  , y2   x, y  y '   x, y    x, y '  , y3   xa, y    x, ay . Dari sini diperoleh bahwa ada dengan tunggal homomorfisma grup g : F H  G sedemikian hingga diagram

komutatif,

g g

yaitu

berlaku

 i    g  

f g .

Jika

diambil

  i,

maka

akan

berlaku

i  f i  f , sehingga berakibat diagram

juga komutatif, yaitu berlaku f  g  . Selanjutnya tinggal ditunjukkan bahwa g adalah tunggal. Diberikan g ' : F

H

 G adalah homomorfisma grup sebarang yang lain, maka akan

diperoleh g '   f yang artinya g '  i   g '   f   g   i  f i atau  g '   i  f i . 5

Karena sifat f yang tunggal, maka g '   f sehingga berakibat g '   f  g  , dan karena sifat  yang surjektif berakibat g  g ' . Dengan demikian terbukti bahwa g bersifat tunggal. Definisi dari hasil kali tensor dari dua buah modul adalah sebagai berikut. 2.2.Definisi (Hungerford, 1974): Diberikan R -modul kanan X , R-modul kiri Y dan sebarang grup Abel  G,   . Grup Abel

X R Y beserta fungsi bilinear dan seimbang  disebut hasil kali tensor dari X dan Y jika untuk setiap pemetaan bilinear dan seimbang  : X  Y  G terdapat dengan tunggal pemetaan

 : X R Y  G sedemikian hingga diagram berikut komutatif, yaitu    .

Elemen-elemen dari X R Y adalah



2.3.Contoh (Dauns, 1994): 1) Untuk sebarang 2  n  , jika

iI



xi  yi xi  X dan yi  Y .

n  n adalah ideal di

dan

adalah himpunan

bilangan rasional (yang masing-masing juga merupakan -modul), maka berlaku  n  0 . Setiap elemen v  berbentuk v  nq untuk suatu q  . Oleh karena itu, untuk setiap v 

dan w  1w 

n

dapat diperoleh:

v 1   nq  1   nq   1  n   q  n 1  n   q  0

2) Jika p  q 

n

0

masing-masing adalah bilangan prima, maka sebagai



n

-modul berlaku

q  0 . Perhatikan bahwa gcd  p, q   1 sehingga sp  tq  1 untuk suatu

p 

s, t  . Selanjutnya untuk sebarang m 



 



 

p 

p

dan n 

  

q berlaku:

  

 

m  n  m  n 1  m  n s p  tq  m  n s p  m  n tq  s pm  n  m  tqn



 0

p

 

n  m0

q

0

p q

0

p q

0



p q

6

3) Misalnya diambil p  2, q  3 , maka diperoleh

2



3

 0 . Perhatikan bahwa gcd  2,3  1

sehingga s2  t 3  1 untuk suatu s, t  . Selanjutnya untuk sebarang m  berlaku:



 



 













2

dan n 

 

m  n  m  n 1  m  n  3  2   m  n  2   m  n  3  2m  n  m  n3  0 2 n  m0

3

0

2

3

0

2

3

0

2

3



3

Proposisi berikut menjelaskan bahwa hasil kali tensor bersifat tunggal, yaitu jika ada hasil kali tensor yang lain dari modul-modul X R dan R Y , maka akan isomorfis dengan X R Y . 2.4.Proposisi (Hazewinkel, 2005): Diberikan ring R, modul kanan X R dan modul kiri R Y . Jika  X R Y ,   maka berlaku: 1) 2)

 X R Y ,  adalah hasil kali tensor dari X dan Y. Jika T ,  ' sebarang hasil kali tensor dari X

dan Y, maka ada isomorfisma grup

 : X R Y  T dengan  '    , yaitu diagram

komutatif. Bukti: 1) Berdasarkan Proposisi 2.1. 2) Diketahui

T ,  ' 

adalah sebarang hasil kali tensor dari X dan Y. Karena  ' adalah

pemetaan bilinear A-balanced, maka ada  : X R Y  T dengan  '    . Dengan cara sama, karena  : X  Y  X  A Y adalah suatu pemetaan bilinear R-balanced maka dengan definisi hasil kali tensor, aka nada  : T  X R Y dengan   '  . Oleh karena itu berlaku

     dan  '     ' , dan karena  dan  ' bersifat tunggal maka   dan   tersebut adalah pemetaan identitas, yang artinya bahwa  adalah suatu ismomorfisma.

7

3.Eksistensi Hasil Kali Tensor Homomorfisma Modul Kejadian khusus dari Definisi 2.2 di atas adalah sebagai berikut. Perhatikan bahwa jika diberikan ring R, modul kanan X R dan X 'R , modul kiri R Y dan R Y ' , kemudian diberikan juga homomorfisma

b

modul

f :X X'

dengan

a

f a  X '

dan

g :Y Y '

dengan

g  b   Y ' , serta pemetaan bilinear  : X  Y  X  Y . Berdasarkan proposisi di atas, jika

C  X ' Y ' maka untuk sebarang pemetaan bilinear h : X  Y  X ' Y ' akan ada dengan tunggal homomorfisma grup h ' : X  Y  X ' Y ' dengan a  b h '  a  b   f  a   g  b  sedemikian hingga h  h '  . Untuk selanjutnya, dinotasikan h '  f  g .

Penjelasan di atas tertuang dalam Akibat 3.1 berikut. 3.1.Akibat (Hungerford, 1974): Diberikan ring R, modul kanan X R dan X 'R , modul kiri

R

Y dan

R

Y ' . Jika diberikan

homomorfisma modul f : X  X ' dan g : Y  Y ' , maka ada dengan tunggal homomorfisma grup f  g : X R Y  X 'R Y ' dengan a  b Bukti: Diketahui

b

g b 

f  a  untuk setiap a  X

f : X  X ' dengan a

untuk

setiap

b Y

f  a   g  b  untuk setiap a  b  X R Y .

adalah

h : X  Y  C  X 'R Y ' dengan  a, b 

homomorfisma

dan g : Y  Y ' dengan

modul.

Perhatikan

bahwa

f  a   g  b  untuk setiap  a, b   X  Y merupakan

suatu pemetaan bilinear, yaitu sebagai berikut. Untuk sebarang a1 , a1  X , b1 , b1  Y , dan r  R berlaku:

h  a1  a2 , b1   f  a1  a2   g  b1    f  a1   f  a2    g  b1    f  a1   g  b1     f  a2   g  b1    h  a1 , b1   h  a2 , b1  h  a1 , b1  b2   f  a1   g  b1  b2   f  a1    g  b1   g  b2     f  a1   g  b1     f  a1   g  b2    h  a1 , b1   h  a1 , b2 

h  a1r , b1   f  a1r   g  b1   f  a1   g  rb1   h  a1 , rb1 

8

Oleh

karena

itu,

akan

terdapat

dengan

tunggal

suatu

homomorfisma

grup

h : X R Y  C  X 'R Y ' sedemikian hingga diagram

komutatif, yaitu berlaku h  h  , dengan

h  a  b   hi  a, b   h  a, b   f  a   g  b 

a b

untuk setiap a  A, b  B . Homomorfisma tunggal tersebut dinotasikan dengan h  f  g . Dengan demikian terbukti bahwa jika diberikan homomorfisma modul g :Y Y ',

maka

ada

dengan

tunggal

f  g : A R B  A 'R B ' dengan a  b

hasil

kali

tensor

f : X  X ' dan

homomorfisma

modul

f  a   g  b  untuk setiap a  b  X R Y .

Teorema berikut diperlukan untuk menunjukkan bahwa setiap barisan kanan eksak yang ditensorkan dengan suatu modul juga akan menghasilkan barisan kanan eksak. 3.2.Teorema (Hungerford, 1974): Jika R adalah ring dengan elemen identitas dan X R , RY adalah R-modul uniter, maka berlaku

A R R  A dan R R B  B . Bukti: Perhatikan bahwa karena R adalah  R, R  -bimodul, maka R R Y adalah R-modul kiri dengan

 r ',  r  b 

r 'r b

untuk

setiap

r  b  R R Y

dan

r ' R .

Untuk

sebarang

r1  b1 , r2  b2  R R Y dan a, b  R berlaku:

a  r1  b1  r2  b2   a  r1  r2  b1  b2   a  r1  r2    b1  b2    ar1  ar2   b1  b2    ar1  b1    ar2  b2 

 a  b  r1  b1    a  b  r1   b1   ar1  br1   b1   ar1  b1    br1  b1   ab  r1  b1    ab  r1   b1  a  br1   b1  a  br1   b1   a b  r1  b1   1 r1  b1   1r1  b1  r1  b1 f  r , b   rb Perhatikan juga bahwa f : R  Y  Y adalah pemetaan bilinear dengan  r , b  untuk setiap  r , b   R  B . Untuk sebarang r, r ', r"  R dan b, b '  B berlaku: 9

f  r  r ', b    r  r ' b  rb  r ' b  f  r , b   f  r ', b  f  r , b  b '  r  b  b '  rb  rb '  f  r , b   f  r , b '  f  rr ", b    rr " b  r  r " b   f  r , r " b  Oleh karena itu, terdapat dengan tunggal suatu homomorfisma grup  : R R Y  Y dengan

 r  b

  r  b   rb

 : B  R R Y dengan b

untuk

setiap

 r  b   R R Y .

Perhatikan

bahwa

terdapat

  b   1R  b untuk setiap b  Y sedemikian hingga:

   b       b     1  b   1.b  b, dan     r  b      r  b      rb   1  rb  1.r  b  r  b, yang artinya bahwa    iB dan    iRR B . Dengan demikian terbukti bahwa  adalah suatu isomorfisma, atau terbukti R R Y  Y . Dengan cara yang sama akan diperoleh juga

A R R  A . 4.Kaitan Antara Hasil Kali Tensor dengan Barisan Eksak Setelah diberikan definisi dan contoh hasil kali tensor dua buah modul, selanjutnya akan diberikan sifat hasil kali tensor pada suatu barisan eksak. 4.1.Proposisi (Hungerford, 1974): Diberikan ring R dan modul kiri

R

f g A dan R B . Jika A   B   C   0 adalah suatu

barisan eksak kanan dan D adalah R-modul kanan, maka barisan 1D  f 1D  g D R A   D R B   D R C  0 juga merupakan suatu barisan eksak kanan (sebagai grup abelian). Bukti: f g Diketahui A   B   C   0 adalah suatu barisan eksak kanan. Akan ditunjukkan bahwa 1D  f 1D  g D R A   D R B   D R C  0

i   ii  Im 1D  f   Ker 1D  g  , dan  iii  Im 1D  f   Ker 1D  g  .

juga merupakan barisan eksak. Dalam hal ini harus dibuktikan:

Im 1D  g   D R C,

1) Karena g adalah suatu epimorfisma, berdasarkan hipotesis bahwa setiap generator d  c dari

D  C adalah berbentuk d  g  b   1D  g  d  b  untuk suatu b  B . Oleh karena itu, Im 1D  g  memuat semua generator dari D R C , dan dengan demikian terbukti bahwa Im 1D  g   D R C . 2) Karena Ker  g   Im  f  maka akan diperoleh g f  0 dan berlaku:

1D  g 1D  f   1D  g 1D  1D  g  f  1D1D  g1D   1D f  gf   1D  g  f  gf  1D  gf  1D  0  0, 10

dan dengan demikian terbukti bahwa Im 1D  f   Ker 1D  g  . 3) Misalkan diberikan  :  D R B    D R B  Im 1D  f  adalah epimorfisma kanonik. Berdasarkan

2),

maka

akan

terdapat

suatu

homomorfisma

grup

 :  D R B  Im 1D  f     D R C  dengan

   d  b    1D  g  d  b   d  g  b  untuk setiap d  b  D R B . Untuk lebih jelasnya, perhatikan hal berikut:    D R B   D R B  

 Im 1D  f     D R C 

   :  D R B      D R C 

Dalam hal ini akan ditunjukkan bahwa 

merupakan suatu isomorfisma. Dengan

menggunakan fakta ini, akan mengakibatkan Im 1D  f   Ker 1D  g  . Pertama,

d, c

akan

ditunjukkan

bahwa

 :  D  C     D R B  Im 1D  f 

dengan

  d  b  , dimana g  b   c untuk suatu b  B . Perhatikan bahwa terdapat minimal

satu b  B karena g adalah suatu epimorfisma. Jika g  b '  c maka berlaku g  b  b '  0 dan b  b '  Ker  g   Im  f  , dan oleh karena itu berlaku b  b '  f  a  untuk suatu a  A . Selanjutnya, karena d  f  a   Im 1D  f  dan   d  f  a    0 , maka akan diperoleh:

  d  b     d  b ' f  a       d  b ' d  f  a      d  b '    d  f  a      d  b ' . Oleh karena itu, terbukti bahwa  terdefinisi dengan baik. Perhatikan juga bahwa  merupakan pemetaan bilinear, yaitu untuk setiap d1 , d2  D, c1 , c2  C, dan r  R berlaku sebagai berikut.

  d1  d 2 , c1     d1  d 2   c1     d1  c1  d 2  c1     d1  c1     d 2  c1     d1 , c1     d 2 , c1 

  d1 , c1  c2     d1   c1  c2     d1  c1  d1  c2     d1  c1     d1  c2     d1 , c1     d1 , c2 

  d1r , c1     d1r  c1     d1  rc1     d1 , rc1  Dari

sini,

akan

terdapat

dengan

tunggal

suatu

homomorfisma

grup

 :  D R C     D R B  Im 1D  f  dengan

d  c

  d  c   i  d , c     d , c     d  b  , dimana g b   c.

Oleh karena itu, semua generator d  c  D R C berlaku:





   d  c      d  b    d  g  b   d  c 11

dimana   merupakan pemetaan identitas. Dengan cara sama,   juga merupakan pemetaan identitas, sehingga terbukti bahwa  merupakan suatu isomomorfisma. Proposisi di atas menyatakan bahwa jika suatu barisan eksak kanan ditensorkan dengan suatu modul, maka belum tentu barisan yang baru juga eksak kanan. Namun hal ini tidaklah berlaku sebaliknya, contoh penyangkalnya dijelaskan dalam Contoh 4.3 di bawah. Perhatikan kembali bahwa pada barisan eksak kiri, tidak berlaku bahwa barisan hasil kali tensornya selalu eksak kiri juga. Untuk itu, khusus untuk barisan eksak kiri diperoleh definisi khusus sebagai berikut. 4.2.Definisi (Hungerford, 1974): f Diberikan barisan eksak kiri dari R -modul kiri 0  A   B. Setiap R -modul kanan N disebut modul datar (flat) jika I N  f : N R A  N R B juga injektif. Definisi untuk R -modul datar kiri diperoleh dengan cara analog. Berikut merupakan contoh-contoh modul-modul yang flat dan tidak flat. 4.3.Contoh: (1) Untuk setiap ring A, A adalah A-modul flat. Misalnya adalah -modul flat, karena untuk f g  A   A2 maka dengan menggunakan hasil kali tensor sebarang barisan eksak 0  A1 

dengan

-modul kanan

f g   A    A2 juga merupakan , 0   A1 

barisan eksak. (2) Setiap ruang vektor V atas lapangan F adalah modul flat, artinya V adalah F-modul flat. Lebih lanjut, setiap A-modul bebas adalah A-modul flat, karena untuk sebarang barisan eksak f g 0  A1   A   A2 maka dengan menggunakan hasil kali tensor dengan F -modul

f g V F A  V F A2 juga merupakan barisan eksak. kanan V, 0  V F A1 

(3) Jika A adalah daerah integral dan I adalah ideal proper tak nol di A, maka A I bukan merupakan A-modul flat. Misalnya diberikan ideal proper 2

2  f:

2

 ,z

bukanlah 2 z dan  : 0   

 modul



flat,

2 ,z f I

karena

z2

2 2  



0      f

2 ,

, maka dengan

adalah barisan eksak, tetapi  I

2 2 

bukan barisan eksak. Perhatikan bahwa untuk suatu

2 

zz 

2

2

berlaku

 z   2z  z , dan berlaku:  f  I   4  4  2.4  0  8  0  0  12  0  2.6  0   f  I   6  6  , yang artinya bahwa fungsi  f  I  f 

I

2

 z  z

pada daerah integral

 f  z  I

2

2

2

2

bukan merupakan fungsi injektif.

12

5.Daftar Pustaka [1] Dauns, J, Modules and Rings, 1994, Cambridge University Press, United Kingdom. [2] Hazewinkel et al, Algebras, Rings and Modules, 2004, Kluwer Academics Publishers, New York. [2] Hungerford, T. W. , Algebra, 2000, Springer Verlag, New York.

13