ISOMETRI DAN HASIL KALI TRANSFORMASI
DI SUSUN OLEH : KELOMPOK II 1. Ari Anggeraini
(4007121 )
2. Elftria
( 40070 )
3. Maryana
( 4007144 )
4. Sudar sih
( 4007205 )
5. Ibnu Harlis Firmansah
(4007230 )
4. Samini
( 4007236 )
PROGRAM STUDY PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA (STKIP- PGRI) LUBUKLINGGAU 2009/2010
1
ISOMETRI 1. Pengertian Isometri Secara umum
isometri adalah suatu isometri yang mempertahankan jarak
(panjangnya suatu ruas garis ). Telah kita lihat di atas bahwa suatu pencerminan atau reflexi pada sebuah garis g adalah suatu transformasi yang mengawetkan jarak atau juga dinamakan suatu isometri Kecuali untuk mengawetkan jarak antara dua titik .Suatu isometri memiliiki sifat –sifat berikut : Teorema 4.1 Sebuah isometri bersifat : a) menetapkan garis menjadi garis b) mengawetkan besarnya sudut antara dua garis c) mengawetkan kesejajaran dua garis Bukti : a) Adaikan g sebuah garis dan T sebuah isometri .Kita akan membuktikan bahwa T(g)=h adalah suatu garis juga .
B1
..B
A g
Gambar 4.1
A1 h
1
Ambil A ∈ g maka A =t(A) ∈ h, B 1 = T(B) ∈ h : melalui A1 dan B 1 ada suatu garis . misalkan h1 . 1. Untuk ini kita buktikan : h 1 ⊂ h i) Buktikan h 1 ⊂ h Ambil
x 1 ⊂ h1 oleh karena bidang kita adalah bidang Euclides. Kita
Andaikan ( A1 XB1 ) artinya A1 X + B 1 X = A1 B 1 .Oleh karena itu T suatu isometri .Jadi suatu transformasi maka ada x sehingga T(X)= X 1 dan oleh karena itu T suatu isometri maka AX = A1 begitu pula XB = B 1 jadi pula AX+ XB =AB ini b erarti bahwa A . X . B segaris pada g ini berarti lagi bahwa X 1 = T ( X ) ∈ h sehingga h 1 ⊂ h sebab bukti serupa berlaku untuk posisi X 1 dengan ( X 1 . A1 .B 1 ) atau ( A1 .B1 . X 1 ) . ii) Buktikan h ⊂ h1 Ambil lagi Y ∈ h Maka ada Y ∈ g sehingga T(Y) = Y dengan Y misalkan (AYB) artinya Y ∈ g dan AY + YB =AB .Oleh karena itu T sebuah isometri
2
maka A1Y = AY ..Y 1 B 1 = YB. A1 B 1 = AB sehingga A1Y 1 + Y 1 B1 = A1 B1 ini berarti bahwa A1 .Y .B 1 garis yaitu garis yang melalui A1 dan B 1 Oleh karena h satusatunya garis yang melalui A1 dan B 1 maka Y ∈ h1 .Jadi haruslah h ⊂ h1 Bukti serupa berlaku untuk keadaan ( A Y B ) atau (A B Y ). Sehingga h = h1 .Jadi kalau g sebuah garis maka h =T(g) adalah sebuah garis b) Ambil sebuah ∠ ABC Dengan segitiga persamaannya adalah
A1
A
B1
B
C1
C Gambar 4.2
tt tt Andaikan A1 = T ( A).B 1 = T ( B ).C 1 = T (C ) menurut (A) maka AB dan BC adalah rr rr r r r r garis lurus .Oleh karena itu ∠ABC = AB ∪ BC maka ∠A1 B1C 1 = B1 A1 ∪ B1C 1 sedangkan
A1 B 1 = AB.B 1C 1 = BC .C 1 A1 = CA
sehingga
∆ABC .∆A1 B 1C 1. jadi
∠A1 B 1C 1 = ∠ABC sehingga suatu isometri mengawetkan besarnya sebuah sudut .
Gambar 4.3
Kita harus memperlihatkan bahwa a1 // b1 andaikan a1 memotong b1 di sebuah titik P 1 jadi P 1 ∈ a 1 dan P∈b. Oleh karena Tsebuah transformasi maka ada P sehingga T(P)= P 1 dengan P ∈ a dan P∈b. ini bearti bahwa a memotong b di pjadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa a // b.
g Gambar 4.8
3
Contoh : Diketahui garis t lingkaran l dengan pusat D dan ∆ABC seperti pada gambar 4.1 B1
C 1
A a) Lukislah Mg ( ∆ABC )= ∆A1 B 1C 1 4.1. Isometri langsung dan isometri lawan Perhatikan gambar
4.9a ini. Anda melihat suatu transformasi T
yang
memetakan segi tiga ABC pada segitiga A1 B1C1 misalnya sebuah pencerminan pada garis g . A1
C1 B2 B B1
A
C2
C
A2 C
B A Gambar 4.9a
O Gambar 4. 9b
Tampak apabila pada segitiga s ,urutan keliling adalah A → B → C adalan berlawanan dengan putar an jarum jam ,maaka pada putarannya, yaitu segitiga A1 B1C1 urutan kelilig A 1 → B1 → C1 adalah sesuai dengan putaran jarum jam pada 4. 9b anda juga lihat suatu isometri yaitu suatu rotasi ( putaran ) mengelilingin sebuah titik 0 . Untuk membahas lebih lanjut fenomena isometri diatas .Kita perkenalkan konsep orientasi tiga titik tak segaris .andaikan ( P1 .P2 P3 ) ganda tiga titik yang tak segaris .maka melalui P1 .P2 danP3 ada tepat satu lingkaran kita dapat mengelilingin I berawal
1
misalnya dari P1 kemudian sampai di P2 .P3 dan akhirnya kembali ke P1 .Apabila AR AH keliling ini ini sesuai dengan putaran arah jarum jam , maka di katakan bahwa ganda tiga titik ( P1 .P2 P3 )
memiliki orientasi yang sesuai ddengan putaran arah jarum jam
(atau orientasi yang negatif ). Apabila arah keliling itu berlawanan dengan arah putaran jarum jam ,maka dikatakan bahwa ganda tiga titik ( P1 .P2 P3 ) memiliki orientasi yang
4
berlawanan dengan putaran arah jarum jam ( atau orientasi yang positif ) .Jadi pada gambar 4.9a
(A. B .C ) memiliki orientasi positif
sedangkan ( A1 B1C1 ) memiliki
orientasi yang negatif .Pada gambar 4.9b orientasi (ABC) adalah positif dan orientasi (
A2 B2 C 2 ) tetap positif . Jadi pencerminan pada gambar 4.9a mengubah orientasi sedangkan putaran pada gambar 4.9b mengawetkan orientasi . Definisi : 1) Suatu transformasi T mengawetkan suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik tak segaris
( P1 .P2 P3 )
orientasi
sama
dengan
ganda
( P1 .P2 P3 )
dengan
P1 = T ( P1 ).P2 = T ( P2 ).P3 = T ( P 3 ). 2) Suatu transformasi T membalik suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik yang tak segaris
( P1 .P2 P3 ) orientasinya tidak sama dengan orientasi peta –petanya
( P1 .P2 P3 ) dengan P1 = T ( P1 ).P2 = T ( P2 ).P3 = T ( P 3 ). Definisi : Suaatu transformasi dinamakan langsung apabila tranformasi itu mngawetkan orientasi : suatu transformasi dinamakan transformasi lawan apabila transformasi itu mengubah orientasi .Salah satu sifat yang penting dalam geometri transformasi kita ialah: Teorema 4.2 : Setiap reflexi pada gris adalah suatu isometri lawan . Teorema ini tanpa bukti Tidak setiap isometri adalah isometri lawan . Anda dapat melihat pada gambar 4.9b Di situ isometri kita ( yaitu rotasi pada titik 0 ) adalah sebuah isometri langsung Oleh karena itu dapat kita kemukakan teorema berikut . Tanpa bukti Disitu isometri kita (yaitu rotasi pada titik 0 ) adalah sebuah isometri langsung
5
BAB V HASIL KALI TRANSFORMASI
Definisi : Andaikan F dan G dua transformasi, dengan F = V →V G = V →V Maka oroduk atau komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G 0 F didefinisikan sebagai : ( G 0 F ) (P) = G [ F (P) ] . V P ∈ V Teorema 5.1 : Jika F : V → V dan G : V → V masing – masing suatu transformasi, maka hasil kali H = G 0 F : V → V adalah juga suatu transformasi Buktikan : Untuk inni harus di buktikan dua hal yaitu 1) H subjektif . 2) H injektif 1) Oleh karena F transformasi maka daerah nilai F adalah seluruh bidang V , dan daerah asal G juga seluruh bidang V sebab G transformasi juga. Ambil y ∈ V : apakah ada x sehingga H (x ) = y ? Karena G transformasi maka untuk setiap y ∈ V ada z ∈ V sehingga y = G (z) ,karena F suaatu transformasi maka pada z ini ada x
∈ V sehingga z = F (X) . maka y = [Z (x ) ] atau y = G [ F (X) atau y = ( G o F ) (X) Jadi y = H (x ). 2) Untuk membuktikan bahwa H injektif ,harus kita perlihatkan bahwa kalau P ≠ Q maka H (P) ≠ H (Q ) Andaikan H (P ) = H (Q ) ,maka G [ F (P ) ] = G [F (Q ) ] Oleh karena G injektif maka F (P) = F (G ) .Karena F injektif maka pula P = Q ini bertentangan dengan pengandaian bahwa P ≠ Q Jaadi pemisalan bahwa H (P ) = H (Q ) tidak benar .Sehingga haruslah H (P) ≠ H (Q ) Contoh soal : Andaikan G sebuah garis dan T sebuah transformasi F : V → V yang didefinisikan sbagai berikut X ∈ g maka T (X) = X JIKA x ∉ g maka T ( X ) adalah titik tengah ruas garis dari x ke g 9 gammbar 5. 1 ) yang tegak lurus x h
T (X)
x
g
Gambar 5. 1
6
Jelas T suatu transformasi ( buktikan ) .Apakah T suatu transformasi ? Ambil kemudian transformassikan kedua. Misalkan sebagai berikut : Ambil sebuah garis h ⊥ g dan M h adalah reflexi dari garis h jadi hasilkali M h [ T ( x ) ]= Y adalah suatu tranformasi pula sehingga Y = ( M h o T ) (X ) Apakah hasil kali ini merupakan isometri selidiki pada contoh di atas kebetulan M h o T = T o M h untuk membuktikanlah ini ambil gambar 5. 1 garis g sebagai sumbu x suatu sistim koordinat ortogonal dan garis h sebagai sumbu Y .Titik potong h dan g kita ambil sebagai titik asal. Andaikan x = ( x, y ) maka T (x) = ( x,
1 1 y ) dan M h [T ( x) ]= (- x, y ) 2 2
Oleh karena M h [T (X ) ]=T[ M h (X) maka M h o T ( x )= T o M h akan tetapi sifat komutatif tersebut tidak selalu berlaku .untuk memperlihatkan ini ambil lagi garis g dan garis h yang tidak tegak lurus pada g lihat gambar 5.2 x
h T(x )
g T[ M h (x)] T [ M h (x)] Gambar 5.2
M h (x)
Tampak bahwa M h [T (x)] ≠ T[ M h (x)] .Jadi M h o T ≠ T o M h .Dari contoh di atas dapat di katakan bahwa apabila S dan T transformasi maka SoT ≠ ToS Buktikanlah bahwa memang
M h [T (x)] ≠ T[ M h (x)] pada gambar 5.2 .Hasil kali
transformasi yang telah di bahas di atas tidak hanya terbatas pada dua transformasi andaikan T1 , T2 ,transformasi – transformasi.Kita dapat menyusun terlebih dahuluhasil kali T1 o T2 kemudian dikalikan dengan T3 untuk hasil kali transformasi kita tulis T3 ( T2 .
T1 ) Jadi andaikan : P 1 = T1 ( P ).P 1 = T2 ( P 1 ).P 1 = T3 ( P 1 ).P
( T3 ( T2 . T1 ) (P) = T3 ( T2 . T1 (P))) = T3 ( T2 ( P 1 ) ) = ( T3 ( P 1 ) = P 1.....
7
Kita dapat mengalihkan sebagai berikut : ( T3 ( T2 . T1 ) (P)= ( T3 . T2 ) ( T1 (P) ) = ( T3 . T2 ) (P) = T3 ( T2 (P) = T3 ( P 1 ) = P Jadi hasil kali transformasi bersifat asosiatif bahwa
kita dapat juga mengatakan
T3 ( T2 . T1 ) = ( T3 . T2 ). T1 =
Latihan soal ! Diketahui garis t a) Lukislah sebuah ∆ABC sehingga Mt ( ∆ABC ) = ∆ABC . (Artinya oleh Mt . ∆ABC dan hasil reflexi pada t berimpit ) b) Lukislah sebuah lingkaran yang berhimpit dengan petanya oleh Mg . c) Lukislah sebuah segi empat yang berhimpit dengan petanya oleh Mg. Penyelesaian : a)
C
sehingga Mt ( ∆ABC ) = ∆ABC
A
B
b) l
Mt (l)= l
5) . Diketahui garis g = { (x,y )| x + 2y = 1 }dan h = {(x,y )| x = -1 }.Tulislah sebuah persamaan garis g 1 = Mg (h). Penyelesaian : g {( x.y) | x + 2y = 1} dan h = { (x ,y ) | x = -1 } g = x + 2y = 1
h = x = -1
x = 0 →y = 2 y = 0 →x = 1
8
h
y
1 2
-1
1 X = -1
x X + 2y = 1
h = -1 g = x + 2y = 1 ( -1 ) + 2y = 1 2y = 2 y=1 Jadi garis persamaan yang di maksud yaitu g = { ( x,y ) | y = 1 } 6). Diketahui garis g = { (x , y) | 3x – y + 4 = 0 } dan garis h = { (x, y ) | y = 2 }.Tulislah persamaan g aris g 1 =
M h (g).
Penyelesaian : g = { x,y ) | 3x – y + 4 =0 dan garis h = { ( x,y ) | y =2 } h=y=2 g → 3x − y + 4 = 0 M h (g) = g 3x – 2y + 4=0 3x – 2 + 4 = 0 3x + 2 = 0 3x = -2 X=-
2 3
2 Maka persamaan garis yang dimaksud adalah g = { (x,y)| x = - } 3 7. Diketahui garis – garis g = { (x,y) | y = 0 },h = { (x,y) | y = x } dan k ={ (x,y) | x = 2}
Tulislah persamaan garis – garis berikut : a) M g (h) c) M g (g )
b) M h (g ) d) M h (k )
Penyelesaian : Diketahui g = { (x,y) | y = 0 } h = { (x,y) | y = x } k ={ (x,y) | x = 2 }
9
a) M g (h)
=y=x 0=x ∴x = 0
Jadi persamaan yang di maksud { ( x,y ) | x =0 } b) M h (k ) = x = 2 y =0 c) M g (g ) = y = 0 Hal 65. 1. Pada gambar 4 .10 pada tiga titik tak segaris P,Q,R :T dan S isometri – isometri P 1 = T ( P).Q = T ( P ), R 1 = T ( R) sedangkan P 1 = S ( P).Q1 = S (Q).R11 = S ( R )
dengan
termasuk golongan manakah T dan S itu ? R1 .
P”
Q. P1 . P.
R” Q1
R.
Q”
Penyelesaian : P ,Q,R : T dan S adalah isometri P 1 = T ( P), Q1 = T (Q), R1 = T ( R) R1 . Q P1 . P.
Q1
R.
Berlawanan arah jarum jam Searah jarum jam Maka T = Isometri lawan
P” =S (p) , Q” = S(P), R” =S (P) Q
P”
R” P
R Searah jarum jam
Q”
Searah jarum jam
Maka S= Isometri langsung 1)Diketahui garis – garis g dan h dan titik – titik P dan Q Lukislah : a) A = M g [ M h ( p )] b) B = M h [ M g ( p )] c) C = M h [ M h ( p )] d) D = M h [ M h ( k )]
10
e) R Sehingga M g [ M h ( R )] = Q f) Apakah M g oM h = M h oM g ? mengapa ? Penyelesaian : a) A = M g [ M h ( p )] M h ( p) = P1 M h ( p1 ) = A b) B = M h [ M g ( p )] M g ( p ) = p" M h ( p" ) = B
c) C = M h [ M h ( p )] M h ( p') = p' M h ( p') = C d) D = M h [ M h ( k )] M h (k ) = k ' M h (k ' ) = k = k ' = D e) M h [ M g ( R )] = Q
M h [ M g ( R )] = Q
M g ( R) = R'
//
M h ( R' ) = Q f) M g oM h ≠ M (h)oM g karena : A = M g [ M h ( P )]
P=C K=K’=D
M h ( p ) = p'
//
M g ( p' ) = p' B= M h [ M g ( P )] M g ( p) = p' ' M h ( p' ' ) = B
Q
B
g
h M h ( p)
R’
11
