Tentukan invers transformasi dari hasil kali kedua fungsi dalam kawasan frekuensi berikut : F1(s) =
1 s
dan
F2(s) =
1 s +1
Peny: Invers transformasi Laplace masing-masing fungsi tersebut tentu saja adalah f2(t) = e-t u(t)
f1(t) = u(t) dan
dengan menggunakan integral konvolusi yang diberikan oleh persamaan, diperoleh : t
f(t) = f1(t) * f2(t) = ³ u ( t − τ)e − τ dτ 0 t
= ³ e − τ dτ = −e − τ 0
t 0
= -e-t – (-e-0) = -e-t – 1 = 1 - e-t
6.4 Perluasan Pecahan Parsial Jika : m
¦b s
i
i
F(s) =
i =0
→ ni = akar-akar yang sama
ni
r
(6.8)
∏ (s + p ) i
i =1
Perluasan pecahan parsial dari fungsi rasional F(s) adalah : r
F(s) = bn +
ni
c ik
¦¦ (s + p ) i =1 k =1
(6.9)
k
i
Dimana bn = 0 kecuali m = n Koefisien-koefisien cik diberikan oleh : cik =
1 d ni − k akar − akar berulang (s + p i ) ni F(s) s = − p i ) (n i − k )! ds ni − k
[
]
Jika tak ada satupun akar-akar yang berulang, maka :
(6.10)
n
F(s) = bn +
C i1
¦s+p i =1
dan ci1 = (s + p i ) F(s)]s = −p i
(6.11)
i
Contoh : Selidiki fungsi rasional F(s) =
s 2 + 2s + 2 s 2 + 2s + 2 = s 2 + 3s + 2 ( s + 1)( s + 2)
Sehingga perluasan pecahan parsial : F(s) = b2 +
c11 c + 21 (s + 1) (s + 2)
Koefisien pembilang dan penyebut (s2) adalah = 1, m = n Koefisien-koefisien c11 dan c21 adalah :
ª s 2 + 2s + 2 º c11 = (s + 1) « » s = −1 ¬ (s + 1)(s + 2) ¼ =
(−1) 2 + 2(−1) + 2 1 − 2 + 2 =1 = (−1) + 2 1
ª s 2 + 2s + 2 º c21 = (s + 2) « » s = −2 ¬ (s + 1)(s + 2) ¼ =
(−2) 2 + 2(−2) + 2 4 − 4 + 2 = = -2 (−2) + 1 −1
Sehingga : F(s) = 1 +
6.5
Penerapan
1 2 − s +1 s + 2
Transformasi
Laplace
Diferensial Koefisien Linear
Dua golongan persamaan umum : n
¦ai i =0
di y = x , dimana y = keluaran dt i x = masukan ai = koefisien
Untuk
Penyelesaian
Persamaan
Sehingga : Syarat awal untuk persamaan di atas :
dk y dt k
≡ yo k , k = 0,1,...., n − 1
t = 0 −1
dimana yok merupakan tetapan-tetapan. Transformasi Laplace dari persamaan di atas diberikan oleh : n
ª §
¦ «a ¨© s i =0
¬
i
i
i −1 ·º Y (s) − ¦ s p −1− k yo k ¸» = x(s) k =0 ¹¼
n
i −1
i =0
k =0
¦ a i .s i Y(s) = X(s) + ¦ s i−1−k yo k ª i =1 º ª º « ¦ s i −1− k . yo k » x (s) » » Transformasi Laplace = Y(s) = «« + « k =0 i » i a i .s « ¦ a i .s » ¦ «¬ i =0 » » ¼ «¬ ¼ tanggapan terpaksa tanggapan bebas
Sehingga jawab waktu y(t) dari persamaan tersebut adalah : ª n p −1 i −1− k k º ª º yo » « ¦¦ a i s « x (s) » » » + α −1 « i =0 k = 0 n y(t ) = α −1 « n « » « a si » i a is ¦ i « » «¦ » i=0 ¬ i=0 ¼ ¬ ¼
Contoh: 1.
d 2 y dy dx + +y= 2 dt dt dt
ªd 2 y º / « 2 » = s2 Y(s) – syo – y(0+) = s2 Y(s) ¬ dt ¼ ª dy º / « » = s Y(s) – y(0) = s Y(s) ¬ dt ¼ ª dx º / « » = s X(s) – x(0) = s X(s) – x(0) ¬ dt ¼
ª d 2 y dy º /« 2 + + y» = dt ¬ dt ¼
ª dx º L« » ¬ dt ¼
s2 Y(s) + s Y(s) + Y(s) = s X(s) – x(0) Y(s) (s2 + 2 + 1) = s X(s) – x(0)
Y(s) =
sX ( s ) − x(0) s2 + s +1
s x ( 0) Y(s) = X ( s ) − 2 2 s + s +1 s +s +1 Keluaran Tanggapan terpaksa
Tanggapan bebas
Contoh : Untuk jaringan RC dibawah : C=1 + Teg. Masukan x
+ -
+
R=1
Y = keluaran
i -
a. Buatlah persamaan diferensial yang menghubungkan tegangan keluaran y dan tegangan masukan x b. Misalkan tegangan awal yang melintasi kapasitor C besarnya VC0 = 1 Volt dengan polaritas yang terlihat, dan misalkan x = 2e-t. dengan menggunakan teknik transformasi Laplace, carilah y sebagai fungsi waktu y(t).
Penyelesaian : a. Dari HTK :
1 i dt + R.i + VC 0 − α = 0 C³
y=R.i=1.i=i
x = ³ i dt + i + VC 0 x = VC0 +
³ y .dt + i
x = VC0 +
³ y .dt + y
dx dy = y+ dt dt b. Transformasi Laplace dari pers pada bagian a
b
dx dy = y+ dt dt
1
³ dt = 2 y
2
=0
0
sY(s) – y(0+) + Y(s) = sX(s) – x(0+) x = 2e-t → X(s) = α (2e-t)= dan x(0+)
2 s +1
Lim − t 2e = 2 t→0
sehingga untuk mencari y(0+), baas-batasnya diambil di kedua sisi dari persamaan tegangan semula : X(0+) =
Lim t →0
x(t ) =
t º Lim ª + V + « C 0 ³ ydt + y (0 )» t → 0¬ 0 ¼
X(0+) = VC0 + y(0+) Jadi y(0+) = X(0+) – VC0 = 2 – 1 = 1 Sehingga : Kemudian transfer fungsi y(t) adalah s Y(s) – y(0+) + Y(s) = s X(s) – X(0+) (s + 1) –1 +Y(s) = s X(s) – X(0+) Y(s) = = =
S 2 1 X(s) − + s +1 s +1 s +1 S § 2 · 2 .¨ ¸− s +1 © s +1¹ s +1 2s 1 − 2 s +1 (s + 1) Pecahan parsial
Yib =
C11 C 2s = + 12 2 2 (s + 1) (s + 1) (s + 1)
ª 2s º C11 = (s + 1) 2 « = -2 2 » ¬ (s + 1) ¼ s = −1 C12 =
d ª 2s º =2 (s + 1) 2 . « » ds ¬ (s + 1) 2 ¼ s = −1
Sehingga :
Y(s) = b + =
2 1 −2 + − 2 s + 1 s + 1 (s + 1)
1 −2 + 2 s +1 (s + 1)
ª 1 º ª 1 º Y(t) = -2 L−1 « + L−1 « 2 » » ¬ s + 1¼ ¬ ( s + 1) ¼ Y(t) = -2te-t + e-t Jadi persamaan fungsi waktu dari rangkaian diatas adalah : Y(t) = -2te-t + e-t
2. Untuk jaringan RC dalam skema di bawah C=1 + Teg. Masukan x
t
R=1
+ -
y
i y
a. Carilah
watak
sistem
atau
sebuah
persamaan
diferensial
yang
menghubungkan tegangan keluaran y dan tegangan masukan x. b. Misalkan tegangan awal yang melintasi kapasitor C besarnya Vc0 = 1 volt dengan polaritas yang terlihat, dan misalkan x = 2e-t. Dengan menggunakan teknik transformasi Laplace. Peny: a. Dari HTK :
1 i dt + R.i + VC 0 = x C³ x = VC0 +
1 i dt + R.i C³
x = VC0 +
³ i dt + R.i
x = VC0 +
³ y dt + y
karena y = R. i = i Dengan mendiferensialkan kedua sisi :
dy dx +y= dt dt
b. Transformasi Laplace dari P.D yang didapatkan dalam a) adalah
dy dx +y= dt dt sY(s) – y(0+) + Y(s) = sX(s) – x(0+) dimana X(s) =/ (2e − 2t ) =
Lim 2 2 dan x(0+) = =2 t → 0 s +1 s +1
Untuk mencari y(0+), batas-batasnya diambil di kedua sisi dari persamaan tegangan semula : X(0+) =
t º Lim ª + V + « C 0 ³ ydt + y( t )» = VC0 + y(0 ) t → 0¬ 0 ¼
Sehingga : Y(0+) = x(0+) – VC0 = 2 – 1 = 1 Kemudian transfer fungsi y(t) adalah s Y(s) – y(0+) + Y(s) = s X(s) – X(0+) (s + 1) Y(s) = s X(s) – X(0+) + y(0+) Y(s) =
S X (0 + ) 1 X(s) − + s +1 s +1 s +1
=
S § 2 · 2 1 .¨ + ¸− s +1 © s +1¹ s +1 s +1
=
2s 1 s 2 − 2s − 1 − = (s + 1) 2 s + 1 (s + 1) 2 (s + 1)
Gunakan pecahan parsial Y(s) = b + =
C11 C C + 12 + 21 2 (s + 1) s + 1 (s + 1)
1+ 2 −1 =0 0
Jawaban : 4.40.
Dengan menggunakan integral konvolusi carilah invers transformasi Laplace dari :
1 s(s + 2) Peny :
ª1 º ª 1 º -2t α −1 « » = u ( t ) dan α −1 « » = e u(t), maka s s + 2 ¬ ¼ ¬ ¼
ª§ 1 ·§ 1 ·º t −2τ α −1 «¨ ¸¨ ¸» = ³ u ( t − τ)e ¬© s ¹© s + 2 ¹¼ 0+ t
³e
=
−2τ
dτ =
0+
4.41.
1 (1 − e − 2 t ) 2
Tentukan teorema harga akhir dari fungsi f(t) yang ditransformasi Laplacenya adalah : F(s) =
2(s + 1) s(s + 3)(s + 5) 2
Dari teorema harga akhir Lim s→0
sF(s) = =
Lim
2s(s + 1) s → 0 s(s + 3)(s + 5) 2 2 2 = (3)(25) 75
4.4.3. Carilah perluasan pecahan parsial dari fungsi F(s) =
10 (s + 4)(s + 2) 3
Peny: Perluasan pecahan parsial F(s) adalah : F(s) = b4 +
C13 C11 C12 C14 + + + 3 2 (s + 2) (s + 4) (s + 2) (s + 2)
b4 = 0 C11 = (s + 2)3 . F(s)
s = −2
ª º 10 = (s + 2)3 . « 3» ¬ (s + 4)(s + 2) ¼ s = −2 =
C12 =
10 10 10 =5 = = s + 4 (−2) + 4 2
ª º· d§ 10 ¨ (s + 2) 3 « ¸ 3 »¸ ¨ ds © ¬ (s + 4)(s + 2) ¼ ¹ s = −2
=
d ª 10 º ds «¬ s + 4 »¼ s = −2
=
− 10 − 5 10 10 = = = s + 4 (−2) + 4 4 2
C21 =
1 d2 (3 − 1)! ds 2
§ ª º· 10 ¨ (s + 2) 3 « » ¸¸ s = −2 3 ¨ ( s + 4 )( s + 2 ) ¬ ¼¹ ©
=
1 d ª 10 º 2 ds «¬ s + 4 »¼
=
1 ª d ª d § 10 ·º º ¨ ¸ » « 2 ¬ ds «¬ ds © s + 4 ¹»¼ ¼
=
1 ª d § − 10 « ¨ 2 ¬ ds ¨© (s + 4) 2
=
1 § 0 − (−10)(25 + 8) · 1 § − (−205 − 80) · 1 § 205 + 80 ¸¸ = ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¨ 2 2 2 2 2 ¨© ((s + 4) 2 ) 2 ¹ 2 © ((s + 4) ) ¹ 2 © ((s + 4) )
=
1 § 20(−2) + 80 · 1 § 40 · 40 5 ¨ ¸= ¨ ¸ = = 2 ¨© ((−2 + 4) 2 ) 2 ¸¹ 2 © 16 ¹ 32 4
·º ¸¸» ¹¼
ª º 10 C14 = (5 + 4 )« 3» ¬ (s + 4)(s + 2) ¼ s = −4
=
10 ( − 4 + 2) 3 s = − 4
=
10 10 − 5 = = 3 −8 4 ( − 4 + 2)
· ¸¸ ¹ s = −2
Jadi F(s) =
5 5 5 5 − + − 3 2 4 ( s + 2 ) 4 ( s + 4) (s + 2) 2(s + 2)
f(t) = st2e-2t –
s -2t s -2t s -4t e + e – e 2 4 2
4.46. Dengan menggunakan teknik transformasi Laplace, carilah tanggapan terpaksa dari persamaan diferensial
d2y dy dx + 4 + 4 y = 3 + 2 x , dimana x(t) = e-3t, t > 0 2 dt dt dt ªd2yº α « 2 » = s 2 Y (s) − sYo − y(0 + ) = s 2 Y(s) ¬ dt ¼
x(t) = e-3t
ª dy º α « » = sY(s) − y(0 + ) = sY (s) ¬ dt ¼
x(s) = α e −3t =
ª dx º α « » = sX(s) − X(0 + ) = sX (s) − 1 ¬ dt ¼
dan x(0+) =
[ ]
Sehingga : s2 Y(s) + 4s Y(s) + 4 Y(s) = 3 (sX(s) –1) + 2 X(s) Y(s) (s2 + 4s + 4) = 35 X(s) – 3 + 2 X(s) Y(s) (s2 + 4s + 4) = 35 X(s) + 2 X(s) – 3 Y(s) =
3sX(s) + 2X(s) − 3 (s 2 + 4s + 4)
=
3sX(s) + 2X(s) 3 − 2 2 s + 4s + 4 s + 4s + 4
=
(3s + 2) X(s) 3 − 2 (s + 2) (s + 2) 2 tanggapan terpaksa
Yb =
(3s + 2)X (s) 1 , X(s) = 2 s+3 (s + 2)
(3s + 2)§¨ =
Yb =
tanggapan bebas
1 · ¸ ©s + 3¹ (s + 2) 2
3s + 2 (s + 2) 2 (s + 3)
1 s+3
Lim = e-3t = 1 t→0
Penyelesaiannya menggunakan pecahan parsial : Yb = b3 +
C11 C12 C 31 + + 2 (s + 2) (s + 3) (s + 2)
b3 = 0
§ · 3s + 2 ¸¸ C11 = (s+2)2 ¨¨ 2 © (s + 2) (s + 3) ¹ s = −2 =
C12 =
(3(−2) + 2) − 6 + 2 = -4 = (−2 + 3) 1 § · d 3s + 2 ¸¸ (s + 2) 2 ¨¨ 2 ds © (s + 2) (s + 3) ¹ s = −2
=
d ª 3s + 2) º ds «¬ s + 3 »¼ s = −2
=
3(s + 3) − (3s + 2) (s + 3) 2
=
3s + 9 − 3s − 2 7 7 = = =7 2 2 (s + 3) (s + 3) s = −2 (−2 + 3) 2
§ · 3s + 2 ¸¸ C31 = (s + 3)¨¨ 2 © (s + 2) (s + 3) ¹ s = −3 =
3s + 2 3(−3) + 2 − 7 = -7 = = 2 1 (s + 2) (−3 + 2) 2
Sehingga : Yb = 0 – =
4 7 7 + − 2 s+2 s+3 (s + 2)
7 4 7 − − 2 s + 2 (s + 2) s+3
karena : −1
ª 1 º
³ «¬ s + 2 »¼ = e
−1
ª
1
³ «¬ (s + 2)
2
-2t
º -2t » = te ¼
−1
ª 1 º
³ «¬ s + 3 »¼ = e
-3t
maka :
ª 1 º ª 1 º ª 1 º − 7α −1 « y(t) = 7 α −3 « − 4α −1 « 2 » » ¬s + 2 ¼ ¬ s + 3 »¼ ¬ (s + 2) ¼ y(t) = 7e-2t – 4te-2t – 7e-3t
Contoh : Untuk jaringan RC dibawah : C=1 + Teg. Masukan x
+ -
+
R=1
Y = keluaran
i -
c. Buatlah persamaan diferensial yang menghubungkan tegangan keluaran y dan tegangan masukan x d. Misalkan tegangan awal yang melintasi kapasitor C besarnya VC0 = 1 Volt dengan polaritas yang terlihat, dan misalkan x = 2e-t. dengan menggunakan teknik transformasi Laplace, carilah y sebagai fungsi waktu y(t).
Penyelesaian : c. Dari HTK :
1 i dt + R.i + VC 0 − α = 0 C³ x = ³ i dt + i + VC 0 x = VC0 +
³ y .dt + i
x = VC0 +
³ y .dt + y
dx dy = y+ dt dt
y=R.i=1.i=i
d. Transformasi Laplace dari pers pada bagian a b
dx dy = y+ dt dt
1
³ dt = 2 y
2
=0
0
sY(s) – y(0+) + Y(s) = sX(s) – x(0+) x = 2e-t → X(s) = α (2e-t)= dan x(0+)
2 s +1
Lim − t 2e = 2 t→0
sehingga untuk mencari y(0+), baas-batasnya diambil di kedua sisi dari persamaan tegangan semula : X(0+) =
Lim t→0
x (t ) =
t º Lim ª + «VC0 + ³ ydt + y(0 )» t → 0¬ 0 ¼
X(0+) = VC0 + y(0+) Jadi y(0+) = X(0+) – VC0 = 2 – 1 = 1 Sehingga : Kemudian transfer fungsi y(t) adalah s Y(s) – y(0+) + Y(s) = s X(s) – X(0+) (s + 1) –1 +Y(s) = s X(s) – X(0+) Y(s) = = =
S 2 1 X(s) − + s +1 s +1 s +1 S § 2 · 2 .¨ ¸− s +1 © s +1¹ s +1 2s 1 − 2 s +1 (s + 1) Pecahan parsial
Yib =
C11 C 2s = + 12 2 2 (s + 1) (s + 1) (s + 1)
ª 2s º C11 = (s + 1) 2 « = -2 2 » ¬ (s + 1) ¼ s = −1 C12 =
d ª 2s º (s + 1) 2 . =2 « » ds ¬ (s + 1) 2 ¼ s = −1
Sehingga : Y(s) = b + =
−2 2 1 + − 2 s +1 s +1 (s + 1)
−2 1 + 2 s +1 (s + 1)
ª 1 º ª 1 º Y(t) = -2 α −1 « + α −1 « 2 » ¬ s + 1»¼ ¬ (s + 1) ¼
Y(t) = -2te-t + e-t Jadi persamaan fungsi waktu dari rangkaian diatas adalah : Y(t) = -2te-t + e-t
Soal : 1.
Tentukan y(t) dari persamaan transformasi Laplace di bawah ini : X(s) =
10(s + 2) (s + 1) 2 (s + 3)
2. L=1
R=2 X = 2e-2t
it
V(t)
C=1
+ -
L
di 1 + Ri + ³ i dt = x(t), dt C
L
di + Ri + y = x(t) dt
L
di 2 di + R + dy 2 dt dt
y(t) =
1 i dt C³
y