FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap anggota A mempunyai kawan tunggal anggota B. Contoh : f
A
f
f
B
A
a
f(a)
a
a
b
f(b)
b
b
c
f(c)
c
c
fungsi
B
fungsi
A
B
bukan fungsi
A. Beberapa Macam Fungsi Pendalaman Materi Pernahkah anda berpikir sebagai seorang yang bekerja di perusahaan penerbangan dan bertugas untuk membuat jalur penerbangan dan bertugas untuk membuat jalur penerbangan pesawat agar berjalan dengan baik? Mungkin dalam bayangan kita sangat sulit, tetapi prinsip dasar cara membuat jalur tersebut adalah fungsi yang akan kita pelajari pada bab ini. Perhatikan gambar rute penerbangan dari Bandung ke berbagai kota lain! Dalam bahasa matematika hubungan penerbangan tersebut dapat digambar sebagai berikut.
Beberapa Fungsi Khusus 1. Fungsi konstan apabila untuk setiap harga x Df selalu berlaku f(x) = bilangan tetap (konstanta). Contoh grafik fungsi konstan dapat dilihat pada gambar dibawah ini.
2. Fungsi identitas, apabila fungsi tersebut memasangkan setiap anggota domain dengan dirinya sendiri. 1
Contoh grafik fungsi identitas dapat dilihat pada gambar dibawah ini.
3. Fungsi modulus atau fungsi mutlak dapat dinyatakan dalam bentuk f(x) = x dan didefinisikan sebagai berikut. x jika x 0 x = - x jika x 0 Contoh grafik fungsi modulus f(x) = x - 2 dapat dilihat pada gambar dibawah ini.
4. Fungsi linear, apabila fungsi f: R R didefinisikan sebagai f(x) = ax + b, a dan b suatu konstanta, serta a 0. Contoh grafik fungsi linear f(x) = 2x + 1 dapat dilihat pada gambar dibawah ini.
5. Fungsi kuadrat, apabila fungsi f: R R didefinisikan sebagai f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b dan c suatu konstanta serta a 0. Bentuk grafik fungsi kuadrat berupa parabola. Contoh grafik fungsi kuadrat f(x) x2 – 2x – 2 dapat dilihat pada gambar dibawah ini.
6. Fungsi campuran, apabila fungsi tersebut merupakan gabungan dari banyak fungsi. 7. Fungsi genap dan fungsi ganjil. Fungsi f(x) disebut fungsi genap apabila berlaku f(-x) = f(x). Fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(-x) = -f(x).
Sifat-sifat Fungsi 1. f: A B adalah fungsi into apabila ada anggota b B yang bukan peta dari a A. 2. f: A B adalah fungsi injektif (satu-satu) apabila setiap b B yang mempunyai kawan di A, kawannya itu tunggal. 3. f: A B adalah fungsi surjektif (onto) apabila setiap b B mempunyai peta a A. 2
4. f: A B adalah fungsi bijektif (korespondensi satu-satu) apabila fungsi tersebut injektif sekaligus surjektif. Contoh :
fungsi injektif (fungsi satu-satu)
fungsi into
fungsi surjektif (fungsi onto)
fungsi bijektif
Materi Pengayaan Terdapat definisi lain dari fungsi sebagai berikut. Suatu relasi S adalah suatu fungsi jika dan hanya jika (a, b) S dan (a, c) S maka b = c. Contoh : 1. Relasi T dinyatakan dengan T = (x, y) y 3x. Tunjukkan T adalah fungsi ! Jawaban : Akan ditunjukkan bahwa jika (a, b) T dan (a, c) T maka b = c. Ambil (a, b) T maka b = 3a dan (a, c) T maka c = 3a. Karena b = 3a dan c = 3a maka b = c. Terbukti bahwa T adalah fungsi. 2. Diberikan relasi U = (x, y) y 2 3x . Selidiki apakah U suatu fungsi.
Jawaban : Ambil (a, b) U maka b2 = 3a Ambil (a, c) U maka c2 = 3a (Ingat bahwa (3, -3) dan (3, 3) keduanya anggota U) b2 = 3a dan c2 = 3a maka b2 = c2. Akan tetapi b2 = c2 tidak menyatakan bahwa b = c, melainkan b c Jadi U bukan fungsi. Contoh Soal ! 1. Suatu fungsi pada bilangan real dinyatakan dalam bentuk gambar dibawah ini.
a. Relasi manakah yang merupakan fungsi ? b. Jelaskan jawabanmu ! Jawaban : Relasi (a) merupakan fungsi Relasi (b) bukan fungsi Penjelasan Pada grafik (a) garis sejajar sumbu Y memotong grafik hanya di satu titik. Pada grafik (b) garis sejajar sumbu Y memotong grafik lebih dari satu titik sehingga grafik tersebut bukan merupakan grafik fungsi.
3
Cara untuk menentukan suatu grafik merupakan fungsi adalah tarik sembarang garis lurus sejajar dengan kodomain. (i) Jika semua garis yang ditarik memotong grafik di satu titik saja, grafik itu adalah fungsi. (ii) Jika ada garis yang ditarik memotong grafik lebih dari satu titik, maka grafik itu bukan fungsi. Cara ini dikenal dengan nama metode garis lurus. 2. Gambarlah grafik fungsi konstan f(x) = 5, x R Jawaban :
3. Ditentukan suatu fungsi berikut. x - 1, untuk x 3 F(x) = x 2 2, untuk - 2 x 3 2x 3, untuk x - 2 a. Tentukan f(1), f(-3),, f(4) b. Gambarlah grafiknya c. Tentukan Rf Jawaban : a. f(x) = x – 1, untuk x > 1 f(4) = 4 – 1 = 3 f(x) = x2 – 2, untuk –2 x 3 f(1) = 12 – 2 = -1 f(x) = 2x + 3, untuk x < -2 f(-3) = 2(-3) + 3 = -3 b.
c. Rf = y y R 4. Dari fungsi kuadrat f: x ax2 + bx + c, nilai dari fungsi-fungsi f(0) = 1, f(-1) = 6, dan f(2) = -3. tentukan a, b dan c. Jawaban :
4
5. Ditentukan fungsi identitas B pada A = {-8, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8}. a. Lengkapi daftar berikut ! x
0
2
4
6
8
B(x) b. Gambarlah grafik B pada R! Jawaban : a. x -8 -4 -2 0
2
4
6
8
2
4
6
8
B(x)
-8
-8
-4
-4
-2
-2
0
b.
6. Selidiki fungsi-fungsi berikut genap atau ganjil ! a. f(x) = cos x + 2 b. f(x) = 5 sin x c. f(x) = x4 – 2x2 d. f(x) = 6x + 5 e. f(x) = x 2 5 Jawaban : a. f(x) = cos x + 2 f(-x) = cos (-x) + 2 = cos x + 2 f(-x) = f(x) Jadi fungsi f(x) = cos x + 2 adalah fungsi genap. b. f(x) = 5 sin x f(-x) = 5 sin (-x) = -5 sin x f(-x) = -f(x) Jadi fungsi f(x) = 5 sin x adalah fungsi ganjil. c. ………….. d. ………….. e. …………...
7. Ditentukan : A = {4, 9, 16, 25, ….} B = {2, 3, 4, 5, ….} Suatu fungsi dari A ke B disajikan dengan rumus f: x adalah fungsi bijektif. Jawaban :
5
x . Tunjukkan bahwa f: x
x
f: A B dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan f = {(4, 2), (9, 3), (16, 4), (25, 5), ….}. setiap b B mempunyai tetap satu kawan a A, atau a berkorespondensi satusatu dengan B atau f: A B bijektif. Soal-Soal Latihan 1 A. Pilihlah jawaban yang tepat ! 1. Grafik fungsi f(x) = y ditunjukkan oleh gambar …. a. d.
b.
e.
c.
2.
3.
4.
5.
6.
Apabila diketahui f(x) = x, grafik yang terbentuk merupakan fungsi …. a. konstan d. campuran b. identitas e. kuadrat c. modulus Fungsi h: R R ditentukan oleh h(x) = x2 – 1. Jika h(p) = 80, nilai p adalah …. a. d. 80 80 b. 9 e. 81 c. 79 Apabila fungsi linear f: x ab + b, nilai fungsi f(2) = 4 dan f(-1) = 5, nilai a dan b adalah …. 1 2 1 2 a. a = - ; b = d. a = - ; b = 4 3 3 3 3 2 1 1 2 b. a = ; b = e. a = ; b = -4 3 3 3 3 2 1 c. a = 4 ; b = 3 3 Fungsi h: A R, A = {1, 3, 4, 6} ditentukan oleh h(x) = 2x + 2. Range dari h adalah …. a. {1, 3, 4, 6} d. {6, 8, 10, 12} b. {2, 6, 8, 12} e. {6, 8, 10, 14} c. {4, 8, 10, 14} Grafik disamping merupakan grafik fungsi …. a. f(x) = 2x b. f(x) = x2 + 2x + 2 c. f(x) = 2x2 d. f(x) = 2 e. f(x) = 2x + 2 6
7.
Grafik fungsi modulus ditentukan oleh gambar …. a. d.
b.
e.
c.
8.
Fungsi f: R R ditentukan oleh f(x) = 2 x. Apabila x = -1, 0, 1, 2 dan 5. anggota dari daerah asal yang mempunyai peta 256 adalah …. a. {-1} d. {5} b. {0} e. { } c. {2}
9.
Nilai-nilai dari sebuah fungsi kuadrat sebagai berikut. f(0) = 1, f(-1) = 6, f(2) = -3. Fungsi kuadrat tersebut adalah ….. a. f(x) = x2 – 4x + 1 d. f(x) = x2 + 1 b. f(x) = x2 + 4x – 1 e. f(x) = x2 + 4x 2 c. f(x) = x – 1 10. Ditentukan suatu fungsi adalah sebagai berikut. x - 1, untuk x 4 g(x) = x 2 2, untuk - 2 x 4 2x 3, untuk x - 2 Nilai Rf untuk f(1), f(-3), f(5) adalah …. a. Rf = y y 4 d. b.
Rf = y y R
c. Rf = y y 4 11. Fungsi ganjil ditunjukkan oleh …. a. f(x) = x4 b.
f(x) =
x2 9
e.
d. e.
Rf = y y - 2 Rf = y y - 2
f(x) = 4 sin x x2 2 f(x) = x4
c. f(x) = 2 cos x 12. Diketahui fungsi f: R R dengan f(x) = x2 + ax – 5. Jika f(3) = 13, nilai a adalah …. a. 3 d. 9 b. 5 e. 12 7
c.
6 Fungsi f: A B yang dinyatakan oleh diagram panah tersebut adalah fungsi …. a. into d. surjektif b. onto e. bijektif c. injektif
13.
14. Diagram panah yang menunjukkan fungsi bijektif adalah …. a. d.
b.
e.
c.
15. Perhatikan diagram panah berikut !
Fungsi f: A B yang digambarkan oleh diagram panah disamping adalah fungsi …. a. into d. injektif dan into b. onto e. bijektif c. injektif
B. Kerjakan soal-soal berikut dengan tepat! 1.
Fungsi pada R ditentukan dengan f(x) =
36 x 2
a. Carilah (bila ada) f(0), f(1), f( 11 ), dan f(-7). b. Carilah x bila f(x) ada Jawaban :
2.
Ditentukan suatu fungsi sebagai berikut 4 untuk x - 2 f(x) = x 2 untuk - 2 x 2 3x - 2 untuk x 2 a. Tentukan f(0), f(1), f(5) dan f(-3) b. Gambarlah grafiknya c. Tentukan range fungsi (Rf) Jawaban :
8
3.
4.
5.
Apakah fungsi-fungsi berikut merupakan fungsi genap, ganjil atau bukan keduanya? a. f(x) = sin x + cos x b. f(x) = 2x2 + sin x 2x 4 2 c. f(x) = x2 Jawaban : Ditentukan A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 4, 9, 25} Fungsi f: A B disajikan dengan aturan: f: n n2, jika n ganjil f: n 4, jika n genap Tunjukkan bahwa fungsi f: A B adalah onto. Jawaban : Fungsi h: R R didefinisikan dengan h(x) = px2 + qx + r, p , q, dan r bilangan konstanta. Buktikan bahwa jika g(x) = h(x + 1) – h(x), fungsi g(x) merupakan fungsi linear! Jawaban :
B. Aljabar Fungsi Dalam operasi bilangan, kita mengenal empat macam operasi yaitu +, -, x dan :. Keempat macam operasi pengerjaan tersebut dapat kita gunakan pada operasi fungsi berikut ini. 1. Jumlah dan selisih dua fungsi menghasilkan fungsi lagi. (f + g) (x) = f(x) + g(x) dan (f – g) (x) = f(x) – g(x). Dengan Df + g = Df Dg dan Df – g = Df Dg 2. Perkalian dua fungsi menghasilkan fungsi (f · g) (x) = f(x) · g(x) dengan D f g = Df Dg 3. Pembagian sebuah fungsi dengan fungsi yang lain menghasilkan fungsi berikut. f f(x) ( x) dengan Df/g = Df Dg , g(x) 0. g(x) g Contoh Soal 1. Fungsi konstan dan fungsi identitas. Fungsi konstan f1: x 3 Fungsi identitas f2: x x Jika kedua fungsi dijumlahkan, tentukan hasil operasi dua fungsi tersebut, kemudian gambarkan grafik untuk f: R R. Jawaban : f1 + f2: x 3 + x atau x + 3 Tabel untuk beberapa nilai x adalah sebagai berikut. Nilai x Fungsi 3
-5 3
-4 3
-3 3
-2 3
-1 3
0 3
1 3
2 3
3 3
4 3
5 3
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x+3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Grafik fungsi f: R R dapat digambarkan pada sistem koordinat berdasarkan tabel sebagai berikut.
2.
Fungsi kuadrat dengan fungsi linear. f1: x x2 + 2x – 4 f2: 2x – 4 Tentukan selisih dua fungsi tersebut, kemudian gambarkan grafik untuk f: R R. Jawaban : f1 – f2: x (x2 + 2x – 4) – (2x – 4) f1 – f2: x x2 Tabel untuk beberapa harga x sebagai berikut. Nilai x Fungsi -4 2 x + 2x - 4 4 2x – 4 x2
-3 -1
-2 -4
-1 -5
0 -4
1 -1
2 4
3 4 11 20
-12 -10 -8
-3
-4
-2
0
2
4
16
1
0
1
4
9
16
9
4
Grafik fungsi f: R R dapat digambarkan pada sistem koordinat berdasarkan tabel sebagai berikut.
3.
Fungsi linear dengan fungsi linear f: x x + 1 f: x x – 3 Tentukan hasil kali dua fungsi tersebut dan gambarkan grafiknya. Jawaban : f1 · f2: x (x + 1) (x – 3) f1 · f2: x x2 – 2x – 3
10
Tabel untuk beberapa harga x sebagai berikut. Nilai x Fungsi x+1
-4 -3
-3 -2
-2 -1
-1 0
0 1
1 2
2 3
3 4
4 5
x–3
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
x2 – 2x – 3 21 12
5
0
-3
-4
-3
0
5
Grafik fungsi f: R R dapat digambarkan pada sistem koordinat berdasarkan tabel sebagai berikut.
4.
Fungsi kuadrat dengan fungsi linear f1: x x2 – 3x + 2 f2: x x – 2 f Tentukan 1 dan gambarkan grafiknya. f2 Jawaban : f1 x 2 3x 2 :x atau f2 x-2
x 2 3x 2 ,2 x-2 ( x - 2) (x - 1) y= ,2 x-2 y=x–1 y=
Tabel untuk beberapa harga x adalah sebagai berikut. Nilai x Fungsi -4 -3 -2 2 x – 3x + 2 30 20 12
-1 6
0 2
1 0
2 0
3 2
4 6
x–2
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
x–1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
11
Grafik fungsi f: R R berdasarkan tabel adalah sebagai berikut.
Soal-soal Latihan 2 A. Pilihlah jawaban yang tepat ! 1. Diketahui fungsi f: R R, g: R R, dan h: R R dengan f(x) = x2 – 3x + 2 dan g(x) = 2x + 3. apabila h = f + g, fungsi h adalah …. a. h(x) = 2x3 + 2 d. h(x) = -x + 2 b. h(x) = x2 – x + 5 e. h(x) = 2x2 – 3x + 5 c. h(x) = x2 – 5x – 1 2. Perhatikan gambar berikut.
3.
4.
Gambar tersebut diperoleh apabila fungsi kuadrat f(x) = x2 – x – 2 dikurangkan dengan fungsi …. a. f(x) = x – 2 d. f(x) = x + 2 b. f(x) = 2 – x e. f(x) = 2 + x2 c. f(x) = -x – 2 Diketahui f: R R, g: R R, h: R R dengan f(x) = 4 dan h(x) = x2 + x – 4. Apabila h = f + g, fungsi g adalah …. a. g(x) = x2 + x d. g(x) = x2 + 4 2 b. g(x) = x + x – 4 e. g(x) = x2 – x + 4 c. g(x) = x2 + x – 8 Diketahui f: R R, g: R R, h: R R dengan f(x) = -x + 3 dan g(x) x2 – 9. apabila h = 9 – f, grafik fungsi h yang sesuai adalah …. a. c. e.
b.
d.
12
Diketahui f: x y f1: x x2 – 4x – 5 f2: x x + 1 f Apabila g = 1 , fungsi g adalah …. f2 a. g(x) = x + 1 d. g(x) = x – 5 b. g(x) = x – 1 e. g(x) = x2 – 4x – 5 c. g(x) = x + 5 6. Fungsi konstan f: x 5 dikalikan dengan fungsi kuadrat g: x -x2 + 2x diperoleh fungsi …. a. -x2 + 2x + 5 d. 5x2 + 10x 2 b. -x + 2x – 5 e. -5x2 + 10x 2 c. x – 2x + 5 7. Fungsi kuadrat –x2 + 2x dibagi dengan fungsi linear x – 2 dihasilkan …. a. x d. -x + 2 b. -x e. 2x c. x – 2 8. Fungsi linear x + 1 dikalikan dengan fungsi linear x – 4 diperoleh fungsi …. a. linear d. identitas b. konstan e. modulus c. kuadrat 9. Grafik berupa garis lurus dapat dihasilkan melalui perkalian dua fungsi, yaitu fungsi …. a. kuadrat dengan fungsi kuadrat d. linear dengan fungsi konstan b. kuadrat dengan fungsi linear e. konstan dengan fungsi kuadrat c. linear dengan fungsi linear 10. Fungsi f: x g(x) = y f1: x x2 – 3x – 4 f2: x x – 4 f Apabila g = 1 , fungsi g adalah …. f2 a. g(x) = x – 1 d. g(x) = x + 4 b. g(x) = x + 1 e. g(x) = x – 3 c. g(x) = x – 4 5.
B. Kerjakan soal-soal berikut dengan tepat ! Tentukan hasil operasi dua fungsi berikut, kemudian tunjukkan dengan grafik untuk f: R R! 1. Fungsi f(x) = 5x + 6 ditambah dengan fungsi g(x) = -8. Jawaban : 2.
Fungsi linear f(x) = 2x + 3 dikalikan fungsi konstan g(x) = - 2 Jawaban :
3.
Fungsi kuadrat f(x) =
1 2 1 x x - 3 2 dengan fungsi konstan g(x) = 2. 2 2
Jawaban : 4.
Fungsi identitas f(x) = x dikurangi dengan fungsi linear g(x) = x – 1 Jawaban :
5.
Fungsi kuadrat f(x) = x2 – x + 2 dibagi dengan fungsi linear g(x) = x – 1 Jawaban :
13
C. Fungsi Komposisi Pendalaman Materi Sebutir kerikil yang dijatuhkan kedalam air akan membentuk lingkaran-lingkaran pada permukaannya. Jari-jari lingkaran itu bertambah panjang mengikuti waktu, yang dirumuskan dengan r = 4t. masalahnya adalah, bagaimana hubungan luas lingkaran terhadap waktu? Misalkan L luas lingkaran, dan dirumuskan dengan L = r2. Dikatahui bahwa r = 4t, maka L menjadi suatu fungsi komposisi dari waktu (t), yang dirumuskan: L = r2 = (4t)2 = 16t2
Dalam subbab ini kita akan mempelajari fungsi komposisi seperti dalam uraian masalah diatas. Fungsi komposisi atau fungsi komposit merupakan fungsi tunggal yang merupakan komposisi dari dua fungsi atau lebih. Jika f: A B dan g: B C, h: A C disebut fungsi komposisi dari f dan g ditulis g f. jadi, h(x) = g f(x) = g(f(x)).
Contoh :
Fungsi komposisi f g terdefinisi apabila Rg Df dengan pembatasan atau tidak dengan pembatasan anggota Dengan. Sifat komposisi fungsi sebagai berikut. 1. (f g) (g f) 2. (f (g h) = ((f g) h) = (f g h) 3. (f l) = (l f) = f; l adalah fungsi identitas.
Contoh Soal ! 1. Diketahui fungsi f: R R dan g: R R ditentukan oleh rumus f(x) = x2 – 1 dan g(x) = x – 1. Tentukan: a. (f g) (x); b. (g f) (x) Jawaban : a. (f g) (x) = f(g(x)) = f(x – 1) = (x- 1)2 – 1 = x2 – 2x b. (g f) (x) = g(f(x)) = g(x2 – 1) = (x2 – 1) – 1 = x2 – 2 2. Diketahui f: R R ditentukan oleh f(x) = 2x – 3 dan g: x x 2 R ditentukan oleh x - 2 . Tunjukkan nilai x yang mengakibatkan fungsi komposisi g f tidak g(x) = terdefinisi. Jawaban : Untuk x = 2 f(2) = 2 · 2 – 3 = 1
14
x = 4 f(4) = 2 · 4 – 3 = 5 (g f) (x) = g(f(x)) = g(2x – 3) = (2x - 3) - 2 = (g f) (2) =
2x - 5 2 2 5
= 1 tidak terdefinisi (g f) (4) = 2 4 5 = 3 Jadi, untuk x = 2 fungsi komposisi g f tidak terdefinisi. 3. Diketahui fungsi f: R R dan g: R R dan h: R R dinyatakan dengan rumus f(x) = 3x – 1, g(x) = x2 – 1, dan h(x) = x + 2. Tentukan : a. (h g f)(x) b. (f g h)(x) Jawaban :
4. Diketahui fungsi f: R R dan g: R R dengan f(x) =
x x dan g(x) = . Tentukan x 1 x -1
nilai fungsi komposisi (f g)(5). Jawaban :
5. Tunjukkan bahwa sifat komutatif pada kedua fungsi g(x) = x2 dan h(x) = x + 2 tidak berlaku. Jawaban :
6. Jika g(x) = 3x + 2 dan fungsi komposisi (f g)(x) = 9x2 + 12x, tentukan f(x). Jawaban : Cara I (f g)(x) = 9x2 + 12x f(g(x)) = 9x2 + 12x f(3x + 2) = 9x2 + 12x = (3x + 2)2 – 4 f(x) = x2 – 4 Cara II (f g)(x) = 9x2 + 12x adalah fungsi kuadrat dan g(x) = 3x + 2 adalah fungsi linear, maka f(x) adalah fungsi kuadrat. Misal f(x) = ax2 + bx + c (f g)(x) = 9x2 + 12x f(g(x)) = 9x2 + 12x f(3x + 2) = 9x2 + 12x a(3x + 2)2 + b(3x + 2) + c = 9x2 + 12x 9ax2 + 12ax + 4a + 3bx + 2b + c = 9x2 + 12x 9ax2 + (12a + 3b)x + (4a + 2b + c) = 9x2 + 12x Koefisien x2 : 9a = 9 a=1 Koefisien x : 12a + 3b = 12 4a + b = 4 a = 1 b = 0 Suku bilangan tetap : 4a + 2b + c = 0 4+0+ c=0 15
c = -4 Jadi, f(x) = x – 4 2
Soal-Soal Latihan 3 A. Pilihlah Jawaban yang tepat ! 1. Fungsi f: A B dan fungsi g: B C ditunjukkan oleh gambar berikut.
Range dari g f adalah a. {a, b, c, d} b. {1, 2, 3, 4,5} c. {k, l, m, n, o} 2.
4.
5.
6.
7.
{1, 4, 5} {k, m, n}
Diketahui fungsi f: R R; g: R R, f(x) =
x 2 dan g(x) = · (g f)(x) = …. x 1 2x - 1 x x 1 2x x 1
2x 2 d. x -1 x -1 b. e. x 1 2 c. x-1 Diketahui fungsi f = {(1, 3), (2, 5), (3, 3), (4, 5), (5, 2)} dan fungsi g = {(1, 4), (2, 1), (3, 4), (4, 1), (5, 1)}. f: A B dan g: B C Himpunan Rf Dg pada komposisi g f adalah …. a. {1, 2, 3, 4, 5} d. {1, 3, 4} b. {1, 4} e. {3, 5} c. {{2, 3, 5} Diketahui f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x – 1. apabila (h g f)(x) = 2x, h(x) adalah …. a. x d. 2x + 1 b. 2x e. 1 c. x – 1 Fungsi f: R R; g: R R; h: R R dinyatakan dengan rumus: f(x) = 2x + 1, g(x) = x – 2, dan h(x) = x2 + 1. Apabila (f g h)(x) = 1, nilai x adalah …. a. 1 d. 4 b. 2 e. 5 c. 3 x Diketahui fungsi f: R R; g: R R, dengan f(x) = x2 – 5 dan g(x) = . Nilai dari 2x 3 (f g)(-3) adalah …. a. -1 d. -5 b. -3 e. -6 c. -4 Diketahui fungsi f: R R; g: R R; h: R R dengan f(x) = 2x, g(x) = x + 1 dan h(x) = 10x – 5. Apabila (f g)(x), nilai x adalah …. 3 3 a. d. 8 8 2 1 b. e. 5 2 2 c. 5 a.
3.
d. e.
16
Diketahui fungsi f: R R; g: R R; h: R R dengan f(x) = 2x2, g(x) = x – 5, dan h(x) = x . Nilai fungsi komposisi (f g h)(1) adalah …. a. 2 d. 32 b. 8 e. 64 c. 16 9. Apabila f: R R, f(x) = 3x2 – 1, R bilangan real dan l(x) = x adalah fungsi identitas, (l f)(-3) adalah …. a. -3 d. 26 b. 1 e. 27 c. 3 10. Diketahui fungsi f: R R; g: R R dengan (f g)(x) = (2x – 3) 2. Apabila g(x) = x + 2, nilai f(-2) adalah …. a. 12 d. 81 b. 36 e. 121 c. 49 8.
B. Kerjakan soal-soal berikut dengan benar ! 1 1 1. Diketahui f: R R; g: R R, f(x) = 1 - 2 dan g(x) = 1 + 2 . Tentukan f(g(x)) dengan x x g(f(x)). Jawaban : 2.
Diketahui fungsi f: {(3, a), (5, b), (7, c)} dan fungsi g = {(q, 1), (k, 2), (l, 3), (m, 4)}, f: A B dan g: B C. selidikikah fungsi komposisi g f terdefinisi atau tidak. Jawaban :
3.
Diketahui fungsi f: R R; g: R R dan h: R R dengan f(x) = x2 + 2, g(x) = 2x – 1, dan 1 h(x) = x + 1, tentukan nilai fungsi komposisi (f g h)(x) untuk x = - . 2 Jawaban :
4. 5.
x2 Jika f(x) dan l adalah fungsi identitas, tunjukkan bahwa f l = l f = f. 2 x Diketahui fungsi f: R R; g: R R dengan (f g)(x) = (2x + 4)(x – 3) tentukanlah : a. Nilai g(3) jika f(x) = 3x – 1 b. Nilai f(-2) jika g(x) = 2x + 1 Jawaban :
Soal Pengayaan
x dan g(x) = 1 x 2 tentukan (jika mungkin) niali dari : x -1 a. (f g)(0) b. (f g)( 8 ) c. (g f)(0) Jawaban :
1.
Jika f(x) =
2.
Jika f(x) = x3 + 2 dan g(x) =
2 , tentukan rumus fungsi berikut dan daerah asalnya : x -1
a. (f g)(x) b. (g f)(x) Jawaban :
17
3.
Dalam waktu x tahun, sebuah perusahaan alat berat mampu menghasilkan 100 + x + 2x 2 unit mesin per tahun. Harga penjualan mesin per unit meningkat sesuai rumus P = 500 + 6x. Tuliskan rumus pendapatan tahunan dari perusahaan tersebut setelah x tahun! Jawaban :
4.
Pada pukul 12.00, pesawat A terbang kearah utara dengan kecepatan 400 km/jam. Satu jam kemudian pesawat B terbang kearah selatan dengan kecepatan 300 km/jam. Dengan mengabaikan kelengkungan bumi dan dianggap kedua pesawat terbang pada ketinggian yang sama, tentukan rumus J(t) yaitu jarak antara dua pesawat tersebut t jam setelah pukul 12.00. (terdapat dua rumus untuk J(t), yaitu untuk 0 t 1 dan t > 1) Jawaban :
5.
Tuliskan f(x) = log Jawaban :
x 2 1 sebagai suatu komposit dari empat fungsi.
D. Fungsi Invers Pendalaman Materi Suatu fungsi f: x y adalah himpunan pasangan berurutan (x, y) sedemikian sehingga tidak ada dua pasangan berurutan (x, y) yag memiliki nilai x yang sama. Akan tetapi, beberapa pasangan berurutan (x, y) tersebut mungkin memiliki nilai y yang sama. Jika pada suatu fungsi f tidak ada dua pasangan berurutan (x, y) yang memiliki nilai y yang sama, maka terdapat suatu fungsi f-1 yang disebut fungsi invers. Jadi, misalkan f: X Y maka f-1: Y X. Invers suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi. Jika invers suatu fungsi juga merupakan fungsi, invers tersebut dinamakan fungsi invers dari fungsi semula. Syarat agar invers suatu fungsi merupakan fungsi invers adalah sebagai berikut. Fungsi f mempunyai invers jika dan hanya jika f fungsi bijektif (korespondensi satu-satu). Daerah hasil f adalah daerah asal f-1 dan daerah asal f adalah daerah hasil f-1. Dalam menentukan fungsi invers f-1 suatu fungsi f, maka f harus terdefinisi agar nilai y yaitu peta dari x oleh f ada. ax b -1 - dx b Jika f(x) = , f (x) = cx d cx - a Materi Pengayaan Jika suatu fungsi f tidak memiliki fungsi invers, kita dapat membatasi domainnya sehingga fungsi yang terbatas tersebut memiliki invers, misalnya fungsi f didefinisikan dengan 1 4 x 2 dengan domain x - 2 x 0dan range y 0 y 1, maka tentukan f-1, y= 2 domain dan rangenya. Untuk menyelesaikannya kuadratkan kedua ruas persamaan sehingga diperoleh : 4y2 = 4 – x2 …. (1) 1 4 x 2 juga menghasilkan 4y2 = 4 – x2. akan tetapi perlu diingat bahwa kuadrat dan y = 2 Sekarang akan kita abaikan hal ini, dan menyelesaikan persamaan (1), maka didapat : x = + 2 1 y 2 …. (2) Persamaan (2) ini bukanlah persamaan yang tepat, karena kita hanya dapat menggunakan satu tanda saja. Ingat bahwa domain f adalah x - 2 x 0, artinya kita hanya dapat menggunakan tanda minus (-). Akibatnya fungsi invers f-1 adalah : 18
x = -2 1 y 2
Domain dari f-1 adalah y 0 y 1, dan rangenya adalah x - 2 x 0.
(Jika kita memiliki domain dari fungsi f adalah x - 2 x 2, maka f-1 tidak ada).
Jika suatu fungsi f memiliki invers yang tidak dapat dirumuskan maka invers fungsinya tersebut dapat diberi sebuah nama baru dan menjadi fungsi yang sangat berguna. Misalnya fungsi f yang didefinisikan y = 2 x dengan domain x - x dan range
y 0 x
Perhatikan bahwa grafik y = 2 x naik jika x bertambah, dan tidak ada dua nilai x yang menghasilkan nilai y yang sama sehingga f-1 ada. Masalahnya adalah kita tidak dapat menyelesaikan rumus dari x terhadap y. fungsi f -1 menjadi suatu fungsi baru, yang dinamakan logaritma dari y dengan bilangan pokok 2 atau x = 2log y.
Contoh Soal ! 1. Diketahui fungsi f: R R dengan f(x) x2 + 1. apakah invers fungsi f merupakan fungsi invers ? Jawaban : f(x) x2 + 1, misal y = f(x) y = x2 + 1 x2 =y–1 x = + y -1 Dari y = x2 + 1, jika y < 1, tidak ada x Df yang dipetakan ke y < 1 sehingga f tidak surjektif . Dari x = + y - 1 , jika y > 1 mempunyai dua kawan, yaitu x = y - 1 sehingga f tidak injektif. Jadi, f tidak bijektif atau f-1 bukan merupakan fungsi invers. 3x 2 2. Diketahui f: R R dirumuskan dengan f(x) = x -1 a. Tentukan fungsi invers dari f b. Tentukan domain dan range dari f c. Tentukan p jika f-1(p) = 5. Jawaban :
Soal-soal latihan 4 A. Pilihlah Jawaban yang tepat ! 3x 4 1. Fungsi invers dari f(x) adalah …. 2x - 1 2x - 1 a. d. 3x 4 x 4 b. e. 2x - 3
2x - 3 x 4 x 4 2x 3
19
c. 2.
3.
4.
x , fungsi inversnya yaitu f-1(x) adalah …. x -1 x -1 x a. d. x x 1 x1 1 b. e. x x x c. x -1 3x - 2 Diketahui fungsi f: R R dirumuskan dengan f(x) = . Agar f-1(k) = 1, nilai k adalah x …. a. 1 d. 4 b. 2 e. 5 c. 3 4x - 3 Fungsi f: R R ditentukan oleh f(x) = . Agar fungsi tersebut terdefinisi, maka Rf 9x - 2 adalah …. 4 a. x x R d. x x R, x 9 Jika f(x) =
b. c. 5.
7.
x x R, x x x R, x
4 9 9 4
e.
9 x x R, x 4
ax b . Fungsi invers dari f adalah …. px q b - qx f-1(x) = px - a qx b f-1(x) = ax q
Diketahui fungsi f: R R dengan rumus f(x) =
px q d. ax b px - q b. f-1(x) = e. ax - b b qx c. f-1(x) = px - a 2x Apabila f(x) = , f-1 (5) adalah …. 2x - 5 1 1 a. -3 d. 8 2 1 1 b. e. 3 2 8 c. 0 1 Fungsi invers dari f adalah f-1(x) = , fungsi f adalah …. x 1 a. x d. x b. -x e. x + 1 1 c. x
a.
6.
3x - 4 2x 1
f-1(x) =
20
8.
Fungsi f: R R dirumuskan dengan f(x) =
2x 1 1 , apabila f-1(a) adalah , nilai a adalah 3x 2
…. 1 4 d. 2 3 1 b. e. 2 2 3 c. 4 9. Fungsi yang mempunyai fungsi invers adalah …. a. f(x) = x3 d. f(x) = x2 + 1 b. f(x) = x2 – 1 e. f(x) = x2 2 c. f(x) = 2x + 1 10. Diketahui f: R R ditentukan f(x) = 5 - x , maka …. a. f-1(-2) = 1 d. f-1(2) = 2 b. f-1(-1) tidak terdefinisi e. f-1(1) = -2 c. f-1(0) = 5
a.
-
B. Kerjakan soal-soal berikut dengan tepat ! 1. Apabila f(x) = 4x3 + 1, tentukan : a. fungsi invers dari f b. nilai c jika f-1(c) = 2 Jawaban : 2.
Tentukan fungsi inversnya ! 5x a. f(x) = 4x - 3 x -1 b. g(x) = 5-x Jawaban :
3.
Dari fungsi-fungsi berikut, tentukan fungsi yang mempunyai invers. a. y = 2x + 1 c. y = x 2 x -1 b. y = 2x2 + 1 d. y = 2 x 1 Jawaban :
4.
Diketahui f: R R dirumuskan dengan f(x) =
4x - 2 2x 1
Tentukan : a. fungsi invers dari f b. domain dan range dari f c. q jika f-1(q) = 3 Jawaban : 5.
Diketahui fungsi f: R R dengan f(x) = 1 – 2x2 . tunjukkan bahwa invers fungsi f bukan merupakan fungsi invers. Jawaban :
E. Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi Pendalaman Materi Sama seperti fungsi yang lainnya, fungsi komposisi juga dapat ditentukan inversnya. Pengertian fungsi invers dari fungsi komposisi.
21
Jika fungsi komposisi dari fungsi f dan g adalah fungsi h atau h = (f g), fungsi invers dari fungsi komposisi adalah h-1 = (f g)-1 Rumus fungsi invers suatu fungsi komposisi dapat diperoleh : 1. langsung dari fungsi komposisinya 2. dengan mengkomposisikan fungsi-fungsi invers penyusunnya dengan membalik urutannya: (f g)-1 = g-1 f-1 (f g h)-1 = h-1 g-1 f-1 Perhatikan diagram berikut.
Contoh soal 1. Diketahui f: R R dan g: R R ditentukan oleh f(x) = 3x + 2 dan g(x) = 5 – 2x. tentukan fungsi invers dari fungsi h = (g f). Jawaban : Fungsi komposisi h(x) = (g f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2) = 5 – 2(3x + 2) = 1 – 6x h(x) = a a = 1 – 6x 1- a x = 6 1 a h-1(a) = 6 1 x h-1(x) = 6 1- x Jadi, fungsi invers dari fungsi komposisi h(x) = (g f)(x) adalah (g f)-1(x) = . 6 2. Ditentukan f: R R dan g: R R yang dirumuskan f(x) = x – 4 dan g(x) = 5 – 2x. Tentukan rumusan untuk : a. fungsi f-1(x); b. fungsi g-1(x) c. fungsi (g f)-1 dan (f g)-1 Jawaban :
Soal-soal latihan 5 A. Pilihlah jawaban yang tepat 1.
Diketahui fungsi f: R R dan g: R R yang ditentukan oleh f(x) = – 1. Rumus untuk (g f)-1(x) adalah …. 2x a. d. 1 - 2x 5 x b. e. - 2x x 1 c. 2
-5 2x 1 -5- x - 2x
22
x - 2 dan g(x) = 2x 2x 1
2.
Diketahui fungsi f(x) = adalah …. 1 x2 a. x 2 1 1 x b. x -1 c.
3.
x 1 dan g(x) = x2 Df = x x 0, x R. Rumus untuk (g f)-1(x) x -1 d. e.
1- x x 1 1- x 1 x
1 x x 1
Diketahui fungsi f: R R dan g: R R yang dirumuskan dengan f(x) = 1 -
1 x dan g(x) = 2
2x – 4. Jika peta dari (g f)-1(x) = 1, nilai x adalah …. a. -3 d. 3 b. -1 e. 5 c. 2 4.
5.
6.
7.
8.
Diketahui fungsi f: R R dan g: R R. Jika f(x) =
x 2x dan g(x) = , nilai (g f)-1(2) x 1 x -1
adalah …. a. -1 d. 3 b. 0 e. 7 c. 1 Diketahui fungsi f, g dan h adalah fungsi-fungsi pada R; f(x) = 2 + x, g(x) = 5x dan h(x) = 3x + 2. Rumus untuk (f g h)-1(x) adalah …. x - 12 a. x – 2 d. 15 x x -6 b. e. 2 6 x-2 c. 3 Diketahui fungsi f: R R dan g: R R dan h: R R didefinisikan dengan f(x) = 3x – 3, g(x) = 2 – x, dan h(x) = x3 – 1. Rumus untuk (h g f)-1(x) adalah …. 3 x 1 5 - 3 x 1 a. 1 d. 3 3 3 6-x 3- x b. 3 e. 3 3 3 3- x c. 1 + 3 Diketahui fungsi f: R R dan g: R R dan h: R R didefinisikan dengan f(x) = x – 1, g(x) = 4 – x, danm h(x) = 2x + 5. nilai dari (g h f)-1(2) adalah …. 7 2 a. d. 2 7 5 2 b. e. -1 2 5 2 c. 5 Diketahui f, g, dan h adalah fungsi-fungsi pada R serta ditentukan f(x) = 5 – 2x, g(x) = x + 6, dan h(x) = x – 4. Jika peta dari (f g h)-1(x) = 3, nilai x adalah …. a. -5 d. -2 b. -4 e. -1 c. -3
23
Diketahui fungsi f, g dan h adalah fungsi-fungsi pada R serta ditentukan f(x) = 2x – 2, g(x) = 3x dan h(x) = 2 – x. Jika peta dari (f g h)-1(x) = 1, nilai x adalah …. a. -8 d. 4 b. -4 e. 8 c. 1 x2 10. Diketahui fungsi f, g dan h adalah fungsi-fungsi pada R dengan f(x) = , g(x) = 3x - 5 x dan h(x) = 2x – 3. nilai dari (f g h)-1(-2) adalah …. x 1 1 5 a. -2 d. 2 2 4 b. e. 3 7 3 c. 5 9.
B. Kerjakan soal-soal berikut dengan tepat ! 1. Fungsi f: R R ditentukan dengan rumus f(x) = 5x + 2 dan g: R R ditentukan dengan rumus g(x) = 6 – 7x . tentukan rumus untuk (f g)-1(x). Jawaban : 2.
Diketahui (f g)-1(x) = 2x3 – 7, tentukan f(x). Jawaban :
3.
Jika f-1 dan g-1 berturut-turut adalah invers dari fungsi f dan fungsi g, dengan f(x) = x + 1 1 dan g(x) = , x 0, tentukan : x a. (f f-1)(x) b. (g-1 g)(x) c. (f g)-1(x) Jawaban :
4.
Diketahui fungsi f: R R, g: R R dan h: R R yang didefiniskan dengan f(x) = 2x – 6, g(x) = 3 + x, dan h(x) = x3 – 1. Tentukan : a. (f g h)(x) b. (f g h)-1(x) c. f-1(x), g-1(x) dan h-1(x) Jawaban :
5.
Diketahui fungsi f, g dan h adalah fungsi-fungsi pada R dengan f(x) = 4 – x, g(x) = 2x + 2, dan h(x) = 5x. Tentukan nilai x jika petanya oleh (h-1 g-1 f-1) adalah –1. Jawaban :
24
