-1-
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS 1. RELASI DAN FUNGSI Relasi himpunan A ke himpunan B yaitu korespondensi/hubungan semua anggota A dengan semua anggota B. Relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat ke satu anggota himpunan B disebut fungsi/pemetaan dari himpunan A ke B. Cara menyatakan relasi ada 4 cara, yaitu : 1. Dengan diagram panah 2. Dengan himpunan pasangan berurutan 3. Dengan grafik/diagram 4. Dengan rumus
Contoh 1: Diketahui himpunan A:{1,2,3) dan B:{1,2,3,4,5}. Nyatakan relasi “kurang satu dari” dari himpunan A ke himpunan B dengan 4 cara di atas ! Jawab
: 1. Dengan diagram panah A B 1 1 2 2 3 3 4 5 2. Dengan himpunan pasangan berurutan R:{(1,2),(2,3),(3,4)} 3. Dengan grafik/diagram B 5 4 3 2 1 0 A 1 2 3 4. Dengan rumus y = x + 1 jika y
A 1 2 3
B dan x A
B
Himpunan A disebut daerah asal (domain) a b c d e
Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) Himpunan {a,b,c} disebut daerah hasil (Range)
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-2-
Tidak semua daerah asal (Df) dan daerah hasil (Rf) terdefinisi. Misal
a 0 dan pecahan
a hanya terdefinisi jika
a terdefinisi jika b 0 b
Contoh 2: Tentukan Df dan Rf yang terdefinisi dari fungsi : a) f(x) =
Jawab
x3
b) f(x) =
x 1 2x 3
: a) f(x) = x 3 terdefinisi jika Jadi Df : {x/........…….. } Karena
b) f(x) =
x 3 0 atau .....
a 0 maka Rf : {y/…….........} x 1 terdefinisi jika 2 x 3 0 atau ...... 2x 3
Jadi Df:{x/.………......
x 1 f(x) = 2x 3
}
y=
x 1 2x 3
y(2x -3) = x + 1 2xy - 3y = x + 1 2xy - x = 3y + 1 x(2y - 1) = 3y + 1
x=
3y 1 2y 1
Syarat pecahan di atas terdefinisi jika ........... 0 atau y Jadi Rf:{y/.....………. }
......
LATIHAN SOAL
1.
Nyatakan relasi berikut dengan rumus ! A -1 0 1 2 3
a.
B -1 0 3 8
b. R : {(-3,-3),(-2,-1),(-1,1),(0,3),(1,5),(2,7)} c.
Y 17
11 7 3 X 2
4
7
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-3-
2. Mana yang merupakan fungsi ? Beri alasannya ! A B f A a. 1 a b. 1 f 2 b 2 3 c 3 4 d 4
A B
B f
c.
1 2 3 4
a b c
a b c d
3. Mana yang merupakan fungsi di bawah ini ? Beri alasannya ! a. R : {(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)} b. R : {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)} c. R : {(0,0),(1,1),(2,2),(3,3)} d. R : {(-1,1),(1,3),(2,4),(1,5)} 4. Mana yang merupakan fungsi di bawah ini ? Beri alasannya ! a.
Y
b.
Y
y=
x2 1
y=x+1
X
X
0
0
y 2 1 x
c.
d.
e
Y
Y
Y
y x3
x2 y 2 4 0
X
0
X
0
X
5. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari :
a. y = x + 1 d. y =
2
x 2x 4
b.
y
e. y =
x2 x 1
x2
c. y = f.
x2 5
y
x2 x x 1
2. MACAM-MACAM FUNGSI a.
Fungsi Konstan Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi konstan jika setiap elemen himpunan A berpasangan dengan tepat dengan sebuah elemen himpunan B. Fungsi konstan secara umum dinyatakan dengan y = f(x) = c, dengan c konstanta dan x R .
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-4-
Contoh 1: Lukislah garis y = 5 Jawab
:
Y
0
X
b. Fungsi Identitas Suatu fungsi disebut fungsi identitas jika untuk setiap anggota daerah asal dipasangkan dengan dirinya sendiri di daerah kawan. Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = x
c.
Fungsi Modulus (Mutlak) Suatu fungsi disebut fungsi modulus jika setiap anggota daerah asal dipasangkan ke harga modulus/mutlaknya di daerah kawan. Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = x
x dibaca “harga mutlak x” yang besarnya :
x, jika x 0 x x, jika x 0 Misal : 2 2 0 0 3 ( 3) 3
Contoh 2: Lukislah kurva y = 2 x 5 Jawab
: Dengan menggunakan bantuan tabel : x y Kurvanya :
0 …
1 …
2 …
2,5 …
3 …
4 …
5 …
Y
0
X
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-5-
d. Fungsi Linear Fungsi linear yaitu fungsi yang berderajat satu atau pangkat tertinggi dari variabel/peubahnya hanya satu. Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = mx + c, dimana m adalah gradien/arah/kemiringan garis dan c adalah konstanta. Fungsi linear berupa garis lurus. Contoh 3: Lukislah garis y = 2x + 3 Jawab
: Untuk melukis suatu garis tertentu syaratnya minimal diketahui dua titik. Misal x = 0 maka y = …. atau melalui titik ( … , … ) Misal y = 0 maka x = …. atau melalui titik ( … , … ) Y
0
e.
X
Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat yaitu suatu fungsi yang berderajat dua atau pangkat tertingi dari variabelnya dua. Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) =
Contoh 4: Lukislah kurva Jawab
ax 2 bx c , dimana a 0, a, b, c R
y x2 2 x 8
: Cara melukisnya : 1. Titik potong dengan sumbu X jika y = …
0 x 2 2 x 8 0 (............)(.............) 2.
x=… , x=… Titik potong dengan sumbu Y jika x = …
y = …. 3. Titik Puncak = TP = ( …. , ….. 4. Beberapa titik bantu jika perlu. X -2 -1 0 1 Y … … … … Kurvanya : Y
0
) = …. 2 …
3 …
4 …
X
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-6-
3. SIFAT-SIFAT FUNGSI Sifat-sifat fungsi ada 4 , yaitu : a. Fungsi Injektif (Satu-satu) Jika
a1 , a2 A, a1 a2 maka f (a1 ) f (a2 )
b. Fungsi Surjektif (Onto) Jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B (daerah kawan). c. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu) Jika dan hanya jika fungsi f bersifat injektif dan surjektif.
LATIHAN SOAL 1.
Fungsi-fungsi berikut termasuk fungsi into, fungsi onto, fungsi satu-satu atau fungsi korespondensi satu-satu dari : a.
1 2 3
a b c
b.
1 2 3
a b c
c.
1 2 3
a b c d
d.
1 2 3 4
a b c
2. Lukislah fungsi-fungsi berikut ini :
y 3x 2 b. 4 x 3 y 12 c. y 5 a.
x 2 2x 8 2 e. y x 4x f. y x 3 d. y
g. y 2 x 4 1
x 1, untuk x 5 y 6, untuk x 5 x, untuk x 3 2 i. y x , untuk 3 x 6 1 x, untuk x 6 h.
4. ALJABAR FUNGSI Misalkan diketahui dua fungsi f(x) dan g(x) yang akan dioperasikan secara aljabar, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut : 1.
f
g ( x) f ( x) g ( x) 2. ( f g )( x) f ( x) g ( x) 3. ( f .g )( x) f ( x).g ( x) 4.
f f ( x) ( x) , g ( x) 0 g ( x) g
Contoh 1: Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = 2x – 1. Tentukan :
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-7-
a. (f + g)(x) Jawab
:
b. (f – g)(x)
c. (f x g)(x)
d.
f (x ) g
a. (f + g)(x) = …. b. (f – g)(x) = …. c. (f x g)(x) = …. d.
f (x ) = …. g
LATIHAN SOAL 1.
Tentukan rumus f + g, f – g , g – f dan f x g, untuk f dan g pada R dengan ketentuan sebagai berikut : f(x) = 2x + 3 , g(x) = 3 – 5x
2. Tentukan
f f lalu tentukan domainnya agar merupakan fungsi dari : g g
a. f(x) = 2 – 3x, g(x) = 3 + 5x b.
f(x) = x, g(x) =
c. f(x) =
x2 x
x 2 1 , g(x) = x + 1
3. Jika f(x) = 2x – 5 dan g(x) = x + 7 dengan f dan g fungsi-fungsi pada bilangan real, maka tentukan : a. rumus f + g, g – f dan f x g b. (f + g)(5), (f – g)(2) dan (f x g)(-1) c. Gambar grafik f + g, g – f dan f x g 4. Fungsi f(x), g(x) dan h(x) di definisikan sebagai berikut : f(x) = {(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} g(x) = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} h(x) = {(2,1),(3,2),(4,3),(5,4)} Tentukan : a. f + g, f + h dan g + h b. f – g, f – h dan g – h c. f x g, f x h dan g x h
5. FUNGSI KOMPOSISI Fungsi komposisi berarti gabungan dari beberapa fungsi. f x
g y
h
z
f memetakan x ke y ditulis y = f(x) g memetakan y ke z ditulis z = g(y) h memetakan x ke z ditulis z = h(x) h merupakan komposisi dari fungsi f dilanjutkan g ditulis h = g o f dibaca “g noktah f” atau “g bundaran f” z = h(x) = g(y) = g(f(x)) Karena h(x) = (gof)(x), maka : (gof)(x) = g(f(x))
Begitupun untuk komposisi tiga fungsi akan berlaku :
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-8-
(gofoh)(x) = g(f(h(x)))
2
Contoh 1: Jika f(x) = 2x-1 , g(x) = 3x+4 dan h(x) = 3x , maka tentukan : a) (fog)(x) b) (fogoh)(x) c) (goh)(-2) Jawab
:
a) (fog)(x) = ……. b) (fogoh)(x) = ………. c) (goh)(-2) = g(h(-2)) = ....………..
Contoh 2: Diketahui f(x) = 2x-1 dan (fog)(x) = 6x+5, maka tentukan g(x) ! Jawab
: (fog)(x) = f(g(x)) .... = .... ………….
Contoh 3: Diketahui f(x) = 3x-2 dan (gof)(x) = Jawab
9 x 2 12 x 7 , maka tentukan g(x) !
: (gof)(x) = g(f(x)) ... = .... x = .... Misal y = .... Sehingga : g(y) = ..... = ..... Jadi g(x) = ....
LATIHAN SOAL
1.
Jika f(x) = 5x - 3, g(x) =
1 2 dan h(x) = 2 x 1 , maka tentukan : x 1
a. (foh)(x)
b. (hog)(2)
c. (fogoh)(x)
d. (gofoh)(x)
e. (hofog)(2)
f. (gohof)(
1 ) 5
2. Tentukan : a. Jika f(x) = 4x + 3 dan (fog)(x) = 5x - 1, maka g(x) = .... b. Jika g(x) = 2x - 3 dan (fog)(x) = 10x+7, maka f(x) = ....
12 x 2 12x 1 , maka g(x) = .... 2 d. Jika g(x) = 3x - 5 dan (gof)(x) = 3x 9 x 5 , maka f(x) = .... 2 2 e. Jika g(x) = x x 1 dan (gof)(x) = x 5x 5 , maka f(x) = .... c. Jika f(x) = 2x + 1 dan (gof)(x) =
3. Jika f(x) = 3 - 2x, h(x) =
x 2 2x 2 dan (hof)(a) = 37, maka tentukan a !
4. Diketahui f(x) = 3x – 4 dan g(x) = 2x + p . Apabila f o g = g o f , maka tentukan nilai p ! 5. Jika f(x) = x + 2 dan (gof) (x) =
2 x 2 4 x 1 , maka tentukan g(2x) !
6. SIFAT-SIFAT FUNGSI KOMPOSISI Untuk mengetahui sifat-sifat fungsi komposisi, kita gunakan contoh-contoh berikut :
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-9-
Contoh 1: Misal f(x) = 3x + 2 dan g(x) = x – 1. Tentukan : a. (fog)(x) b. (gof)(x) Jawab
: a. (fog)(x) = …. b. (gof)(x) = ….
Jadi bersifat : ….
2
Contoh 2: Jika f(x) = x , g(x) = 2x – 2 dan h(x) = 3x, maka tentukan : a. ((fog)oh)(x) b. (fo(goh))(x) Jawab
: a. (fog)(x) = … ((fog)oh)(x) = …. b. (goh)(x) = …. (fo(goh))(x) = ….
Jadi bersifat : ….
Contoh 3: Jika f(x) = 2x + 1 dan I(x) = x, maka tentukan : a. (foI)(x) b. (Iof)(x) Jawab
: a. (foI)(x) = …. b. (Iof)(x) = ….
Jadi bersifat : …..
LATIHAN SOAL
1.
Jika f(x) = 4x - 3, g(x) = a. fog gof d. go(hof) = (goh)of
1 2 , h(x) = x 1 dan I(x) = x, maka buktikan : x b. foh hof c. fo(goh) = (fog)oh e. goI = Iog = g
f. hoI = Ioh = h
x , maka buktikan : x 1 b. (foh)(-1) (hof)(-1)
2. Jika f(x) = 10x - 1, g(x) = 3x + 4 dan h(x) = a. (fog)(2) (gof)(2) c. ((fog)oh)(1) = (fo(goh))(1) 3. Jika f(x) = 2x + 3, g(x) =
d. (ho(gof))(m) = ((hog)of)(m)
5 x 2 1 dan h(x) = 6 x 2 , maka buktikan :
a. (foh) (2) (hof) (2) c. ((hog)of) (3) = (ho(gof)) (3)
b. (gof) (-1) (fog) (-1) d. (fo(goh)) (s) = ((fog)oh) (s)
7. INVERS SUATU FUNGSI Perhatikan gambar berikut ini : A B
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-10-
y merupakan peta dari x oleh fungsi f dan x merupakan f x
peta dari y oleh fungsi
f 1 maka dikatakan fungsi f dan
f 1 saling invers.
y
f 1 f 1 ( y )
Jadi y = f(x) dan x =
fof x f 1
Sifat invers :
1
of x I ( x )
Syarat fungsi mempunyai invers jika fungsi itu korespondensi satu-satu. Cara menentukan invers dari y = f(x) : 1. Ubah y = f(x) menjadi x = g(y)
f
2. Ubah x = g(y) menjadi
1
( y) g ( y)
3. Ubah y dengan x
Contoh 1: Tentukan invers dari y = 5x + 3 Jawab
: y = 5x + 3 5x = .... x = ....
f 1 ( y) .... f 1 ( x) Contoh 2: Tentukan invers dari Jawab
:
y
y
3x 1 3 2x
3x 1 y( ..... 3 2x
) = 3x - 1
................ ................ x ( ...... ) x
= .......... = .......... = ..... = .....
f 1 ( x) ........
Contoh 3: Jika f(x) =
Jawab
: f(x) =
5 , maka tentukan daerah asal dan daerah hasil f ! x 1
5 x 1
y = .....
....
= .... x = .... Jadi daerah asal Df:{x/
.....
} dan daerah hasil Rf: {y/
.......
}
LATIHAN SOAL 1.
Tentukan invers dari :
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-11-
x 1 x3 5x 1 f. f(x) = 3 2x 5 4 g. f(x) = x3 2x 1 3 h. f(x) = 4 5x
a. f(x) = 4x + 5
e. f(x) =
2 x 1 3 3 c. f(x) = x2 2x 5 d. f(x) = 4 b. f(x) =
2 1 , maka tentukan f (2) x3
2. Jika f(x) =
5
3. Jika f(x) =
2 ( x 4) dan f 1 (a) 5 , maka tentukan a ! 3
4. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari : a.
f ( x)
5 x x2
b.
f ( x)
x 1
c.
f ( x) x 2 4 x
8. INVERS FUNGSI KOMPOSISI A
gof
C
gof 1
B f
g
x
y
f
f 1og 1
1
fog 1 g 1of 1
z
g 1
gof 1 Contoh 1: Jika f(x) = 5x - 3 dan g(x) = 2 + 4x, maka tentukan : a) Jawab
: a)
fog 1 x b) g 1of 1 ( x)
fog x f g x = f(...........) = ....... y = .... x = .....
fog 1 x ......
b) f(x) = 5x - 3 y = 5x - 3 x = ....
f 1 ( x) ..... g 1of 1 ( x) = .....
g(x) = 2 + 4x y = 2 + 4x x = ....
g 1 ( x) .....
Contoh 2: Diketahui
f ( x)
3 1 dan g(x) = 4x - 1. Tentukan fog 3 x 1
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-12-
Jawab
:
fog x f g x = ...... y = ..... ...... = .... x = .....
fog 1 x ...... fog 1 3 ......
LATIHAN SOAL 1.
Jika f(x) = 2x + 1 dan g(x) = 6x - 7, maka tentukan : a.
( gof ) 1 ( x)
2. Jika f(x) =
b.
( g 1of 1 )( x)
c.
( f 1og 1 )( x)
4. Diketahui f(x) =
( fogoh) 1 ( x) 1
5 x 2 5 dan g(x) = 2x - 3. Tentukan :
( fog )1 ( x)
5. Jika f(x) = 3x dan g(x) =
6. Jika f(x) =
( fog ) 1 (5)
1 x 3 dan ( gof )1 ( x) x 2 , maka tentukan g(x) ! 2
3. Jika f(x) = 3 + 2x, g(x) = 2 + x dan h(x) = 2x, maka tentukan x jika
a.
d.
b.
( g 1of 1 )( x)
1 x 1 , maka tentukan ( fog ) 1 (3) 2
1 2 1 dan g(x) = maka tentukan fog ( x ) x 1 3 x
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
