Matematika15.wordpress.com
LEMBAR AKTIVITAS SISWA – FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS FUNGSI Yang bukan merupakan fungsi nomor: Nama Siswa
: ___________________
Kelas
: ___________________
______________________________________________________
Maka dapat disimpulkan bahwa:
Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.2
3.3
3.4 3.5 4.2
4.3
4.4
Fungsi/ Pemetaan adalah ________________________________
Memahami konsep fungsi dan menerapkan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) pada fungsi Menganalisis konsep dan sifat suatu fungsi dan melakukan manipulasi aljabar dalam menentukan invers fungsi dan fungsi invers. Memahami dan menganalisis sifat suatu fungsi sebagai hasil operasi dua atau lebih fungsi yang lain. Memahami konsep komposisi fungsi dengan menggunakan konteks sehari-hari dan menerapkannya. Mengolah data masalah nyata dengan menerapkan aturan operasi dua fungsi atau lebih dan menafsirkan nilai variabel yang digunakan untuk memecahkan masalah. Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata terkait fungsi invers dan invers fungsi. Menrancang dan mengajukan masalah dunia nyata yang berkaitan dengan komposisi fungsi dan menerapkan berbagai aturan dalam menyelesaikannya.
______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ Contoh:
A
B
a
1
b
2
c
3
Daerah asal/Domain = __________________________________ Daerah Kawan/ Kodomain = ______________________________
A. PENGERTIAN FUNGSI (REVIEW)
Daerah Hasil/Range = ____________________________________
Kegiatan 1 Perhatikan beberapa bentuk relasi dibawah! Menentukan Domain dan Range Fungsi 1) Domain adalah batas-batas nilai x agar f(x) terdefinisi Dalam menentukan daerah asal (domain) fungsi y = f(x) adalah menentukan nilai-nilai x supaya y = f(x) ada nilainya (terdefinisi). Beberapa syarat agar suatu fungsi terdefinisi: 1. y =
f(x) g(x)
2. y = f(x) 3. y =
f(x)
4. y =
g(x) f(x) g(x)
→
Syarat: g(x) ≠ 0
→
Syarat: f(x) ≥ 0
→
Syarat: g(x) > 0
→
Syarat:
f(x) g(x)
≥ 0 dan g(x) ≠ 0
Contoh: Jika f(x) = Yang merupakan fungsi nomor:
Jawab:
_____________________________________________________
1
x2 x 2 − x−6
, tentukan domain fungsi f.
Matematika15.wordpress.com
2.
3. Tentukan domain dan range dari grafik suatu fungsi berikut: a.
Df = _____________________
Rf = _____________________ 2) Range adalah batas-batas nilai f(x) dari domainnya. Daerah hasil bergantung dari daerah asal (Df) fungsi. b.
Contoh:
Df = _____________________
2
Jika f(x) = x + 2x – 3, tentukan Rf jika: Rf = _____________________
a. Df = {x| -4 ≤ x < 2 , x ∈ R } b. Df = {x| x ∈ R} Jawab: c.
2
Perhatikan gambar f(x) = x + 2x – 3 dibawah!
Df = _____________________
a. Jika Df untuk fungsi f dibatasi Rf = _____________________
-4 ≤ x < 2 maka dapat dilihat Range fungsi f : -4 ≤ y ≤ 5 d.
b. Jika Df untuk fungsi f x ∈ R
Df = _____________________
maka dapat dilihat Range Rf = _____________________
fungsi f : y ≥ -4
4. Tentukan domain dan range dari fungsi berikut:
Latihan 1
a. f(x) = −4x + 20
1.
Jawab:
2
Matematika15.wordpress.com
b. g(x) =
15x 10 + 2x 6 + x 2 + 5
e. h(x) = 5x + 10
15x−90
Jawab:
Jawab:
c. f(x) =
2
f. g(x) = x – 4
x 2 − 2x−15 x 2 + 5x+6
Jawab:
Jawab:
d. f(x) =
2
x 2 − 2x−15
g. f(x) = log (2x – 18)
x 2 + 5x+6
jawab:
Jawab:
3
Matematika15.wordpress.com
B. OPERASI ALJABAR FUNGSI
3.
Bila f dan g fungsi, maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dapat dinyatakan sebagai berikut: 1. (f+g)(x) = f(x) + g(x) 2. (f-g)(x) = f(x) – g(x)
Jawab:
3. (f . g) (x) = f(x) . g(x) 4. (f:g) (x) = f(x) : g(x)
Nilai Fungsi Nilai suatu fungsi didapat dengan cara mensubtitusi nilai pengganti variabel ke dalam bentuk fungsi.
4.
Contoh: Tentukan nilai fungsi f(x) = 12x – 5 untuk x = 2. Jawab:
Jawab:
Untuk x = 2 → f(2) = 12 (……) – 5 = …………. – 5 = ………….. Maka nilai fungsi f(x) = 12x – 5 untuk x = 2 adalah …………….. 5.
Latihan 2 1.
Jawab:
6. 2.
Jawab: Jawab:
4
Matematika15.wordpress.com
7.
11.
Jawab: Jawab:
12.
8.
Jawab:
Jawab:
13. 9.
Jawab:
Jawab:
14. 10.
Jawab: Jawab:
5
Matematika15.wordpress.com
15.
20.
Jawab:
Jawab:
16.
Jawab:
21.
Jawab: 17.
Jawab:
18.
C. KOMPOSISI FUNGSI Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru. Misalkan: f : A B dan g : B C Jawab:
19.
Fungsi baru h = (g o f) : AC disebut fungsi komposisi dari f dan g. Ditulis: h (x ) = ( g o f )( x) = g (f (x ) )
Jawab:
( g o f ) ( x) = g (f ( x )) a d a h a n y a j ik a R f ∩ D g ≠ Ø
Nila i fu n g s i ko mp o s is i (g o f )( x) u n tu k x = a a d alah (go f )(a ) = g( f (a ))
6
Matematika15.wordpress.com
Contoh: Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut f = {(0,1), (2,4), (3,-1),(4,5)} dan g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)} Tentukanlah: a) (f o g) c) (f o g)(1) b) (g o f) d) (g o f)(4) Jawab: a) (f o g) = {(2,1), (1,4), (5,-1)} b) (g o f) = {(0,2), (4,3)} c) (f o g)(1) = 4 d) (g o f)(4) = 3
2.
Jawab:
3. Contoh: f : R R ; f(x) = 2x² +1, g : R R ; g(x) = x + 3 Tentukan : a) (f o g)(x) c) (f o g)(1) b) (g o f)(x) d) (g o f)(1) Jawab : a) (f o g)(x) = f (g (x ) ) = f (x + 3 ) = 2( x+ 3 )² +1 = 2(x² + 6x + 9) + 1 = 2x²+12x+19
Jawab:
b) (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x²+1) = 2x² + 1 + 3 = 2x² + 4
4.
Beberapa Sifat Fungsi Komposisi:
Jawab:
Jika f : A B ; g : B C ; h : C D, maka berlaku: i. ( f o g ) ( x) ≠ (g o f)(x)
(tidak komutatif)
ii. ( ( f o g ) o h ) ( x) = ( f o ( g o h ) ) ( x)
(sifat asosiatif)
iii. ( f o I ) ( x) = ( I o f ) ( x) = f ( x)
(elemen identitas)
I(x) = x fungsi identitas
5.
Latihan 3 1. Jawab:
Jawab:
7
Matematika15.wordpress.com
6.
10.
Jawab: Jawab:
11. 7.
Jawab: Jawab:
8.
12.
Jawab:
Jawab:
13. 9.
Jawab: Jawab:
8
Matematika15.wordpress.com
14.
18.
Jawab: Jawab:
15.
Jawab:
16. D. INVERS FUNGSI
Jawab:
f(x) -1 f (x)
= {(1,a), (2,b), (3,c)} = {(a,1), (b,2), (c,3)}
Prinsip Invers: 17.
y = f(x) x = f(y) contoh : -1 f(x) = 2x - 5 f (x) = … Jawab: Mis : y = 2x - 5 (yang berarti x = f -1(y))
Jawab:
2x = y + 5 x=
y5 2
f -1(x) =
9
x5 2
Matematika15.wordpress.com
Latihan 4
Jawab:
1.
6.
2.
Jawab:
7.
3.
Jawab:
Jawab: 8.
Jawab: 4.
Jawab:
9.
Jawab:
5.
10
Matematika15.wordpress.com
10.
14.
Jawab:
Jawab:
11.
15.
Jawab:
Jawab:
12.
16.
Jawab: Jawab:
13.
17.
Jawab:
Jawab:
11
Matematika15.wordpress.com
18.
22.
Jawab:
Jawab:
19.
23.
Jawab:
Jawab:
24. 20.
Jawab: Jawab:
25. 21.
Jawab:
Jawab:
12
Matematika15.wordpress.com
INVERS FUNGSI KOMPOSISI
fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi f(x).
f(x) = [g -1 o (g o f)](x)
g(x) = [(g o f) o f -1](x) = (g o f)( f -1(x))
Contoh: 2
Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x) = 2x + 2x – 12, tentukan rumus fungsi f(x)!
(f o g) -1 (x) = (g -1 o f -1)(x) SIFAT-SIFAT INVERS: -1
= g o f (x)
-1
= f o g (x)
1. (f o g) (x) 2. (g o f) (x) -1
-1
-1
-1
-1
-1
3. f o f (x)
= f o f (x) = x = I
-1 -1
4. (f ) (x)
= f(x)
Latihan 5
5. f o g (x)
= h(x)
1. -1
f(x)
= h o g (x) -1
g(x) = f o h (x) Contoh; Diketahui fungsi f(x) = 2x – 3 dan g(x) =
1 1 , x 3x 1 3
Jawab: .
-1
Tentukan (f o g) (x)! Jawab (f o g)(x) = 2(
1 ) – 3 = 2 3(3x 1) 9x 1 3x 1 3x 1 3x 1
2.
Misalkan y = (f o g)(x) y = 9x 1 3x 1
Jawab:
y(3x+1) = -9x – 1 3xy + y = -9x – 1 3xy + 9x = -y – 1 x (3y + 9) = -(y + 1) x=
(y 1) 3y 9
3.
(f o g) (x) = x 1 -1
3x 9
MENENTUKAN FUNGSI JIKA FUNGSI KOMPOSISI DAN SEBUAH FUNGSI LAIN DIKETAHUI Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa menentukan
Jawab:
13
Matematika15.wordpress.com
4.
9.
Jawab: Jawab:
10. 5. Jawab: Jawab:
11.
6.
Jawab: Jawab:
7.
12.
Jawab: Jawab:
8. 13.
Jawab: Jawab:
14
Matematika15.wordpress.com
14.
Jawab:
15.
Jawab:
16.
15
