FUNGSI-FUNGSI INVERS

FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers

Departemen Matematika FMIPA IPB

Bogor, 2012

(Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

1 / 49

Topik Bahasan 1

Fungsi Satu ke Satu

2

Fungsi Invers

3

Fungsi Logaritma Natural

4

Fungsi Eksponen Natural

5

Fungsi Logaritma dan Eksponen Umum

6

Fungsi Trigonometri Invers

7

Telaah Konsep


Kalkulus I

Bogor, 2012

2 / 49

Beberapa Terapan Fungsi Invers Fungsi logaritma: Penentuan besaran skala gempa bumi (dalam skala Richter). Penentuan kekerasan suara (dalam desibel, dB).

Fungsi eksponen: Pertumbuhan populasi bakteri, populasi penduduk yang bergantung pada daya dukung lingkungan. Perhitungan banyaknya tabungan dengan bunga majemuk kontinu. Penentuan kandungan bahan radioaktif. Penentuan kapasisitas penyimpanan muatan listrik pada kapasitor blitz kamera.

Fungsi trigonometri invers: Posisi tempat duduk terbaik ketika menonton …lm di bioskop. Masalah-masalah nyata yang terkait pengukuran sudut.


Kalkulus I

Bogor, 2012

3 / 49

Fungsi Satu ke Satu

Fungsi Satu ke Satu De…nisi Fungsi f dikatakan fungsi satu ke satu (1-1) pada daerah fungsi Df jika x1 6= x2 ) f (x1 ) 6= f (x2 ) atau f (x1 ) = f (x2 ) )

x1 = x2

untuk setiap x1 , x2 2 Df . Uji garis datar akan memotong fungsi 1-1 tepat pada satu titik. Jika f naik ataukah turun pada interval I, maka f fungsi 1-1 pada I. (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

4 / 49

Fungsi Satu ke Satu

f (x ) = x3 f (x ) = x

0 0

Fungsi 1-1

Contoh (Fungsi 1-1) 1 2

f (x) = x3 fungsi 1-1 pada Df = R p f (x) = x fungsi 1-1 pada Df = [0, ∞)


Kalkulus I

Bogor, 2012

5 / 49

Fungsi Satu ke Satu

f (x ) = x 2

0

f (x ) = sin x

f Bukan Fungsi 1-1

Contoh (Fungsi 1-1) 1

2

f (x) = x2 bukan fungsi 1-1 pada ( ∞, ∞), tetapi fungsi 1-1 pada [0, ∞) f (x) = sin x bukan fungsi 1-1 pada R, tetapi fungsi 1-1 pada [ π/2, π/2]


Kalkulus I

Bogor, 2012

6 / 49

Fungsi Satu ke Satu

Soal (Identi…kasi Fungsi 1-1) Manakah di antara fungsi-fungsi berikut yang merupakan fungsi 1-1? Jelaskan! 1 2 3

f (x) = jxj

f (x) = 3x2 + 5x

4

f (x) = 3x + cos x x

0

1

2

3

4

f (x)

1

0

1

4

9

4

5

f (t) adalah tinggi badan seseorang pada saat berumur t tahun.


Kalkulus I

Bogor, 2012

7 / 49

Fungsi Invers

Fungsi Invers De…nisi Misalkan f fungsi 1-1 dengan daerah asal Df dan daerah hasil (wilayah) Wf . Fungsi invers f adalah f 1 yang bersifat y = f (x) , x = f dengan Df

1

= Wf , Wf

1

1

(1)

(y)

= Df . D f = W f −1

W f = D f −1 f

x•

•y - -1

f

y = f (x)⇔x = f −1 (y) (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

8 / 49

Fungsi Invers

Gra…k fungsi f garis y = x.

1

merupakan pencerminan gra…k fungsi f terhadap

y (b, a) •

y=x •

y = f -1(x) y = f(x)


Kalkulus I

(a, b)

x

Bogor, 2012

9 / 49

Fungsi Invers

Penentuan Fungsi Invers Ilustrasi Geometris

(a)

Langkah Aljabar Misalkan f fungsi 1-1, dengan y = f (x) . Untuk memperoleh f 1 :

(b)

Wf

D f −1

Df (c)

1

Tuliskan y = f (x) , Gambar (a), (b).

2

Nyatakan x dalam y (x = f 1 (y)), Gambar (c).

3

Tukar x dan y sehingga diperoleh y = f 1 (x) , Gambar (d).

W f −1 (d)

W f −1

W f −1

D f −1


D f −1

Kalkulus I

Bogor, 2012

10 / 49

Fungsi Invers

f ( x) = 2 x − 2

f ( x) = x 2 , x ≥ 0

f −1 ( x) =

1 x +1 2 f −1 ( x) = x , x ≥ 0

Contoh Tentukan fungsi invers bagi fungsi 1-1 berikut. 1

y = f (x) = 2x

2

y = f (x) = x2 , x x y = f (x) = x+1

3

(y) = y/2 + 1 ) f 1 (x) = x/2 + 1. p p 0 ) x = f 1 (y) = y ) f 1 (x) = x.

2)x=f


1

Kalkulus I

Bogor, 2012

11 / 49

Fungsi Invers

Suatu Fungsi dengan Inversnya Saling Membatalkan 1

(y) = x y = f (x) , f (y) = x Karenanya berlaku sifat pembatalan: y = f (x) , f 1

f

1

f f

(f (x)) = x, x 2 Df 1

(2)

(x) = x, x 2 Wf

Contoh 1 2

y = f (x) = 2x , f x2 , x

y = f (x) = f f 1 (x) = x.


1

(x) = x/2 ) f

0,f

1

(x) =

Kalkulus I

1

x1/2

(f (x)) = f f )f

1

1

(x) = x.

(f (x)) =

Bogor, 2012

12 / 49

Fungsi Invers

Turunan Fungsi Invers Misalkan y = f (x) , x = f dy/dx = f 0 (x) , dx/dy = f

1

(y) . O 0

1 0

(y) = f 1 (f (x)) Dengan penurunan implisit terhadap y pada f (x) = y: dx f 0 (x) =1 dy dx 1 1 = 0 = , atau dy f (x) dy/dx 1 1 0 f 1 (y) = 0 = 0 f (x) f (f 1 (y)) dx dy f


1 0

=

(y) =

1 dy/dx

(3)

1 1 = 0 0 f (x) f (f 1 (y))

Kalkulus I

Bogor, 2012

13 / 49

Fungsi Invers

Ilustrasi Geometris Gradien Fungsi dan Inversnya f

1

0

(y) =

f0

1 1 = 0 f (f 1 (y)) (x)

y

y l2 • (d, c)

(b, a) •

m2 =

y=x

l1 •(c, d) • (a, b)

c−a 1 = d − b m1


(b, a) •

l2 y=x l1 •(a, b)

y = f -1(x)

x

x y = f(x)

( f )' (b ) = f '1(a ) −1

dx 1 = dy dy dx

Kalkulus I

Bogor, 2012

14 / 49

Fungsi Invers

Gradien Fungsi dan Inversnya

f ( x) = x3 − 2

f ( x) = x 2 , x ≥ 0

m1 = f '(2) = 3(2) 2 = 12

m1 = f '(2) = 2(2) = 4

1 1 ' m2 = ( f −1 ) (6) = = m1 12

1 1 ' m2 = ( f −1 ) (4) = = m1 4


Kalkulus I

Bogor, 2012

15 / 49

Fungsi Invers

Soal (Turunan Fungsi 1-1) 1

2

Misalkan g adalah fungsi invers dari f dan f (4) = 5, f 0 (4) = 2/3. Hitung g0 (5). Jika f (x) = 3x + cos x, tentukan a b

3

1

f f

(1) (1) .

1 0

Jika f (x) = x +

p


x, tentukan f

1 0

Kalkulus I

(6) .

Bogor, 2012

16 / 49



De…nisi Fungsi logaritma natural ln x =


Z x 1 1

t

(4)

dt , x > 0

Kalkulus I

Bogor, 2012

17 / 49


Gra…k Fungsi Logaritma Natural f (x) = ln (x) = 1

2

3

Rx

1 dt, 1 t

x>0)

Gra…k ln x

f 0 (x) = 1/x (berdasarkan TDK 1) ) f fungsi naik pada Df = (0, ∞). f 00 (x) = 1/x2 < 0 ) f cekung ke bawah pada Df = (0, ∞). Z x 1 ln(x) = dt = 1 t 8 > > <0 , 0<x<1 > < 0 , x=1 > > > : >0 , x>1


f (x ) = ln x

0

Kalkulus I

1

Bogor, 2012

18 / 49


Turunan Fungsi Logaritma Natural

Dx ln x = Dx ln u =


Kalkulus I

1 x 1 Dx u u

(5)

Bogor, 2012

19 / 49


Soal Tentukan turunan fungsi berikut 1

f (x) = ln jxj

2

f (x) = sin ln

p

x2 + 1

Solusi

8 < ln x , x>0 f (x) = ln jxj = (perhatikan x 6= 0) : ln ( x) , x < 0 8 > < 1/x , x>0 1 0 f (x) = Dx ln jxj = = 1 > x : ( 1) = 1/x , x < 0 x ) 1 Dx ln jxj = , x 6= 0 x


Kalkulus I

Bogor, 2012

(6)

20 / 49


Sifat-sifat Logaritma Natural

Teorema Jika x, y bilangan positif, dan r bilangan rasional, maka


1.

ln 1 = 0

2.

ln (x y) = ln x + ln y

3.

ln (x/y) = ln x

4.

ln xr = r ln x

Kalkulus I

(7)

ln y

Bogor, 2012

21 / 49


Contoh (Sifat Logaritma) Gunakan turunan untuk menunjukkan ln (x a) = ln x + ln a


Kalkulus I

Bogor, 2012

22 / 49


Integral Terkait Fungsi Logaritma

Dx ln jxj =

R 1 dx x


1 , x

x 6= 0

= ln jxj + C,

Kalkulus I

(8) x 6= 0

Bogor, 2012

23 / 49


Soal Tentukan integral berikut R dx , jawab: ln jln xj + C 1 x ln x R 1 4x3 2 dx, jawab: ln 2 0 4 R 1+x 3 tan x dx, jawab: ln jsec xj + C


Kalkulus I

Bogor, 2012

24 / 49


Teknik Penurunan Logaritmik Teknik penurunan logaritmik e…sien dalam menentukan turunan fungsi bernilai positif yang melibatkan: pangkat berupa variabel (misal: xx , xln x ), perkalian/pembagian/pangkat beberapa suku. Teknik: Untuk menurunkan y = f (x) dengan teknik penurunan logaritmik, 1 2 3

O y0 Turunkan masing-masing sisi terhadap x ) = Dx [ln f (x)] . y y0 = y Dx [ln f (x)] = f (x) Dx [ln f (x)] . Logaritmakan kedua sisi ) ln y = ln f (x).


Kalkulus I

Bogor, 2012

25 / 49


Soal Gunakan teknik penurunan logaritmik untuk menentukan y0 dari fungsi-fungsi berikut. 1 2 3

4

y = xx , x > 0

p

y0 6= x xx

1 !!

x2 + 3 2x + 1 , x>5 x 5 y = xn , n : bilangan real (dengan de…nisi turunan dan turunan implisit, baru diturunkan untuk n bilangan rasional) y2 (ln x 1) xy = yx , x, y > 0, y 6= e, jawab: 2 x (ln y 1) y=


Kalkulus I

Bogor, 2012

26 / 49


Fungsi Eksponen Natural Fungsi logaritma natural, ln, merupakan fungsi 1-1. Karenanya ln mempunyai fungsi invers dan disebut fungsi eksponen natural. Untuk setiap bilangan real x, fungsi eksponen natural ex = exp (x) = ln

1

(9)

x

Hubungan ln dengan exp y = ex , x = ln y Bilangan Euler e bersifat ln e = 1 , e = 2.71828... (bilangan irasional, tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan) (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

27 / 49


Gra…k Fungsi Eksponen Natural Karena ex merupakan invers dari ln x, gra…k fungsi ex merupakan pencerminan ln x terhadap garis y = x. f (x) = ln x , f 1 (x) = ex : Df 1 = Wf = ( ∞, ∞) , Wf 1 = Df = (0, ∞) y = ln −1 x = e x

y=x

e

y = ln x

1 1


Kalkulus I

e

Bogor, 2012

28 / 49


Karena ex merupakan invers dari ln x, maka berdasarkan sifat pembatalan fungsi terhadap inversnya pada pers. (2), berlaku: eln x = x, x > 0 (10)

ln ex = x, x 2 R


Kalkulus I

Bogor, 2012

29 / 49


Sifat-sifat Eksponen Natural

Teorema Jika x, y adalah bilangan real, maka


1.

ex + y = ex ey

2.

ex

3.

(ex )y = ex y

y

= ex /ey

Kalkulus I

(11)

Bogor, 2012

30 / 49


Contoh (Sifat Eksponen) Gunakan sifat logaritma (7) dan sifat pembatalan (10) untuk menunjukkan ex+y = ex ey .


Kalkulus I

Bogor, 2012

31 / 49


Turunan Fungsi Eksponen Natural dy = ? dx Kedua ruas dilogaritmakan: ln y = ln (ex ) = x y = ex ,

Cara I: turunkan langsung terhadap x: ln y = x 1 dy dy =1) = y = ex . y dx dx

Cara II: turunkan terhadap y, gunakan turunan fungsi invers (3): x = ln y 1 dx = dy y dy 1 = = y = ex . dx dx/dy


Kalkulus I

Bogor, 2012

32 / 49


Turunan dan Integral Fungsi Eksponen Natural

Dx ex = ex (12)

Dx eu = eu Dx u

R


ex dx = ex + C

Kalkulus I

(13)

Bogor, 2012

33 / 49


Soal Hitung 1 2 3

4

d dx

e2x+1 ln x h i d ln(2x+1) / 2x + 1 e ( ) dx d dx

x

(xx ) dengan membuat xx = eln x = ex ln x dan tunjukkan hasilnya sama dengan menggunakan penurunan logaritmik R 2 2 xe x +1 dx, jawab: 12 e1 x + C.


Kalkulus I

Bogor, 2012

34 / 49


Fungsi Logaritma dan Eksponen Umum De…nisi Fungsi eksponen umum dengan basis a 2 R f (x) = ax Fungsi logaritma umum dengan basis a adalah invers dari ax , a > 0, a 6= 1 f

1

(x) = loga x

Kaitan: y = ax , x = loga y (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

35 / 49



Kalkulus I

Bogor, 2012

36 / 49


Turunan dan Integral Fungsi Eksponen Umum

x

Berdasarkan persamaan ax = eln a = ex ln a , diperoleh d x a = ax ln a dx d u du a = au ln a dx dx Z


ax dx =

(14)

ax +C ln a

Kalkulus I

(15)

Bogor, 2012

37 / 49


Kaitan Logaritma Umum dan Logaritma Natural

y = loga x , x = ay x = ay , ln x = y ln a , y =

ln x ln a

y = loga x ,


Kalkulus I

ln x ln a

(16)

Bogor, 2012

38 / 49


Turunan dan Integral Fungsi Logaritma Umum

y = loga x =

ln x dy 1 ) = ln a dx x ln a Dx loga x = Dx loga u =


Kalkulus I

1 x ln a 1 Dx u u ln a

(17)

Bogor, 2012

39 / 49


Perlukah Basis Selain e?

Pada uraian sebelumnya, terungkap 2 fakta penting: x

1. ax

= eln a = ex ln a , a > 0 ln x , a > 0, a 6= 1 2. loga x = ln a Kedua persamaan tersebut menunjukkan bahwa semua fungsi logaritma umum dan eksponsial umum dengan basis a dapat dinyatakan dengan basis natural e. Semua perhitungan, termasuk turunan dan integral dengan basis umum a dapat dinyatakan dengan basis natural e.


Kalkulus I

Bogor, 2012

40 / 49


Fungsi Trigonometri Invers Landasan

−1

−1

f ( x) = sin x

•

y=x

• f ( x) = sin x

Fungsi trigonometri tidak bersifat 1-1 pada daerah fungsinya. Dengan membatasi daerah fungsi, fungsi-fungsi trigonometri dapat dibuat 1-1, sehingga memiliki fungsi invers. Contoh perhitungan:

•

sin x = 1 , x = sin 1 2 π. cos x = 12 , x =

1

(1) =

tan x = 1 , x = tan 1 4 π.

1

(1) =

cos

• (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

1

1 2

= 13 π.

Bogor, 2012

41 / 49



De…nisi 1

y = sin

1

2

y = cos

1x

y = tan

1x

3

x , x = sin y, y 2 [ π/2, π/2]

, x = cos y, y 2 [0, π ] , x = tan y, y 2 ( π/2, π/2)


Kalkulus I

Bogor, 2012

42 / 49


Menurunkan Fungsi Trigonometri Invers Contoh Tentukan turunan y = tan

1x

O y = tan 1 x , tan y = x Solusi

sec2 y (dy/dx) = 1 dy/dx =

1 = cos2 y = sec2 y


p

1 1 + x2

Kalkulus I

2

=

1 1 + x2 Bogor, 2012

43 / 49


Turunan Fungsi Trigonometri Invers Dengan cara serupa, dapat ditunjukkan Dx sin

1

Dx cos

1x

x= p

=

1 x2 1

1

p

1

jxj < 1

,

x2

jxj < 1

,

1 1 + x2 1 Dx cot 1 x = 1 + x2 1 p Dx sec 1 x = , jxj x2 1 Dx tan

Dx csc


1x

1x

=

=

1 p jxj x2 Kalkulus I

1

(18)

jxj > 1 ,

jxj > 1 Bogor, 2012

44 / 49


Integral Terkait Fungsi Trigonometri Invers Setiap rumus pada tabel formula (18) menghasilkan sebuah rumus integral. Dua yang terpenting: Z

1

p

x2

dx = sin

1 Z 1 dx 1 + x2

1

x+C (19)

= tan

1x+C

Formula (19) dapat diperumum menjadi Z Z

p

1

dx = sin

a2 x2 1 dx 2 a + x2

=

1

1 tan a

x + C, a > 0 a 1

(20)

x + C, a 6= 0 a

(lihat soal). (Departemen Matematika FMIPA IPB)

Kalkulus I

Bogor, 2012

45 / 49


Soal Hitung integral berikut: R π/2 sin x 1 dx, jawab: 14 π 0 1 + cos2 x Z 1 x p dx, a > 0, jawab: sin 1 2 +C a a2 x2 Z 1 3 dx, 2 a + x2 R x+4 x 4 dx, jawab: 12 ln x2 + 4 + 2 tan 1 +C x2 + 4 2


Kalkulus I

Bogor, 2012

46 / 49

Telaah Konsep

Telaah Konsep I Kuis Benar-Salah

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fungsi f (x) = sin x, x 2 [0, π ] fungsi 1-1. ln x2 = 2 ln x, x 6= 0. p

d 11 dx

2

p

= e 2 ln π . Jika a < b, maka ea < eb . Jika x > 0, maka (ln x)4 = 4 ln x. ln (2ex ) = 1, x 2 R. ln 2ex+1 ln 310 > 10. Fungsi invers dari y = 1 + ex adalah y = ln (x 1 sin 1 x = . sin x d x x 1. dx (5 ) = x 5 π

1) .

(xe ) = xe .


Kalkulus I

Bogor, 2012

47 / 49

Telaah Konsep

Telaah Konsep II Kuis Benar-Salah

d 12 dx 13

14

15

Z

(ln π ) =

1 . π

1 dx = ln 2 jxj + C. x Z e2 1 dx = 2. 1 x Z 10 1 1 ln 10 = dx = 1. 1 x


Kalkulus I

Bogor, 2012

48 / 49

Telaah Konsep

Tentang Slide

Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPA IPB) Versi: 2012 (sejak 2009) Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)


Kalkulus I

Bogor, 2012

49 / 49

FUNGSI-FUNGSI INVERS

Recommend Documents