BAB 3 : INVERS MATRIKS PEMBAGIAN MATRIKS DAN INVERS MATRIKS Pada aljabar biasa, bila terdapat hubungan antara 2 besaran a dengan x sedemikian sehingga ax=1, maka dikatakan x adalah kebalikan dari a dan nilainya x=1/2a=a-1 . Dalam aljabar matriks, matriks satuan (identity) I beroperasi sebagai besaran 1 dalam aljabar biasa. Bila [A] dan [I] keduanya matriks bujursangkar dan ordenya sama maka [I][A]=[A][I]=[A]. Apabila sekarang terdapat suatu matriks bujursangkar [X] yang berorde sama sehingga [A][X]=[I] maka dikatakan bahwa [X] kebalikan atau invers matriks dari [A] dan dituliskan [X]=[A]-1. Contoh : Carilah invers matriks dari A=
2
1
4
3
Menurut definisi invers [A][X]=[I]. Misalkan matriks X= 2
1
x1
x2
4
3
x3
x4
Maka [A][X]=[I] menjadi
3/2
-1/2
Didapat X= -2
2\x1+ x3
2 x2 + x4
4x1 + x3
4 x2 +3 x4
1
0
0
1
1
0
0
1
x1
x2
x3
x4
=
=
= A-1
1
Ternyata bahwa matriks-matriks yang mempunyai invers adalah matriksmatriks yang Non Singular yaitu matriks yang determinanya ≠ 0. invers bila ada hanya satu (tunggal). Berlaku sifat : 1. (A-1)-1 =A 2. (AB)-1=B-1 A-1 MATRIKS ADJOIN Pandang matriks C=cij berikut c11 c12 …….. .cn1
C=
c21
c22 ……... cn2
cn1 cn2 ……… cnn
Adalah matriks kofaktor dari suatu matriks (misalkan matriks A), maka transpose dari matriks kofaktor disebut MATRIKS ADJOIN Anxn. Dalam mencari matriks adjoin, maka kita harus melakukan ekspansi baris dan kolom untuk semua elemen. Tidak seperti dalam mencari determinan dimana hanya satu baris atau kolom saja yang
diekspansi. Misal ada matriks bujursangkar berorde 3, maka akan ada 9 elemen yang harus dicari kofaktornya. Contoh : Akan dicari matriks adjoin dari A=
Maka kofaktornya CA =
c11
c12
c13
c21
c22
c23
c31
C11= +
C12= -
-4
2
-1
5
0
2
=
C21= -
= -1
5
0
-4
C13= +
C22= +
= 1
c32
C23= -
-1
2
3
-4
0
-4
2
1
-1
5
c32 3
-4
-1
5
2
-4
-1
5
2
3
=
C31= +
=
C32= -
= 1
-1
3
-4
-4
2
2
-4
0
2
2
3
0
-4
=
=
C33= +
=
dan Adj A= CAT =
Maka CA =
MENCARI INVERS MATRIKS Mencari invers matriks dapat dilakukan antara lain dengan : a. Adjoin matriks, yaitu menggunakan rumus Adj A A
-1
, dengan syarat det (A) ≠ 0
= Det (A)
b. Transformasi elementer, invers matriks A dapat dicari dengan [A|I]~[I|X] Setelah melalui transformasi elementer. -1
[A] = [X] Catatan : 1. Yang dapat dicari matriksnya adalah matriks-matriks bujursangkar. 2. Merupakan matriks non singular (|A| ≠ 0). 3. Untuk pencarian invers dengan adjoin maka bila matriksnya berorde 2x2 bisa langsung dicari inversnya dengan menggunakan rumus 1 d -b A-1 = a a.d-b.c -c
INVERS MATRIKS DENGAN ADJOIN Contoh : Hitung A-1 jika diketahui A=
1
3
2
1
4
6
2
5
7
Terlebih dahulu kita cari kofaktor-kofaktor matriks A diatas. 4
C11= +
5 1
C12= -
3
6 7
=
C21= -
6
= 2
7
1
4
C13= +
C22= +
= 2
2
5
7
1
2
2
7
1
3
C23= -
C31= +
=
3
2
4
6
1
2
1
6
1
3
1
4
=
C32= -
= 2
5
=
=
C33= +
=
5
dan Adj A= CAT =
Maka CA =
|A|= Adj A A-1 = |A| INVERS MATRIKS DENGAN TRANSFORMASI ELEMENTER Contoh : Hitung A-1 jika diketahui A=
1
3
2
1
4
6
2
5
7
dengan transformasi elementer!
Terlebih dahulu dibentuk matriks [ A | I ] ~ [ I | X ]
[A|I]~[I|X]=
1
3
2
1
0
0
1
4
6
0
1
0
2
5
7
0
0
1
~
1
0
0
x11
x12
x13
0
1
0
x21
x22
x23
0
0
1
x31
x32
x32
Mengubah elemen a11=1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tiidak perlu dikalikan lagi) dan megubah a21 dan a31 menjadi 0. baris 1 menjadi basis baris 1 dan 2 dikenai transformasi elementer. 1
3
2
1
0
0
1
4
6
0
1
0
2
5
7
0
0
1
basis b( )+b2 1(-1)+1=0 3(-1)+4=1 2(-1)+6=4 1(-1)+0=-1 0(-1)+1=1 0(-1)+0=0
b( )+b3 1(-2)+2=0 3(-2)+5=-1 2(-2)+7=3 1(-2)+0=-2 0(-2)+0=0 0(-2)+1=1
Menjadi 1
3
2
1
0
0
0
1
4
-1
1
0
0
-1
3
-2
0
1
Mengubah a22=1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tidak perlu dikalikan lagi) dan mengubah a32 menjadi 0. Baris 2 menjadi basis, baris 1 dan 3 dikenai transformasi elementer. 1
3
2
1
0
0
0
1
4
-1
1
0
0
-1
3
-2
0
1
4
-3
0
basis b( )+b3 1(1)+(-1)=0 4(1)+3=7 -1(1)+(-2)=-3 1(1)+0=1 0(1)+1=1
b( )+b1 1(-3)+3=0 4(-3)+2=-10 -1(-3)+1=4 1(-3)+0=-3 0(-3)+0=0
Menjadi 1
0
-10
0
1
4
-1
1
0
0
0
7
-3
1
1
Mengubah a33=7 menjadi 1 (dikalikan 1/7) dan mengubah a13 dan a23 menjadi 0. Baris 3 menjadi basis, baris 1 dan 2 dikenai transformasi elementer. 1
0
6
0
1
0
0
1
4
-1
1
0
0
0
7
-3
1
1
1
0
-10
4
-3
0
0
1
4
-1
1
0
0
0
1
-3/7 1/7 1/7
Basis (kali 1/7) menjadi
Basis
b( )+b2 b( )+b1 1(-4)+4=0 1(10)+(-10)=0 -3/7(-4)+(-1)=5/7 -3/7(10)+4=-2/7 1/7(-4)+1=3/7 1/7(10)+(-3)=3/7 1/7(-4)+0=-4/7 1/7(10)+0=-4/7
Menjadi 1
0
0
-2/7 3/7 -4/7
0
1
0
-5/7
0
0
1
-3/7 1/7 1/7
1
0
~ [ I | X ] maka A-1=x=
-2/7 3/7 -4/7 -5/7
1
0
-3/7 1/7 1/7
SOAL LATIHAN 1. Carilah matriks adjoin dari A=
1
1
2
1
dan B=
3
6
2
4
2. Carilah x dan y dari susunan persamaan linier berikut dengan menggunakan invers dari matriks koefisien x+y=1 dan 2x+y=1.
1
2
3
2
3
4
1
5
7
2
3
1
3
0
2
1
-3
1
3. Diketahui matriks A=
4. Carilah invers dari A= a
b
5. Diketahui matriks A= c Adj(Adj A)=a
d
Carilah Adj A dan A-1
Carilah Adj A dan selidikilah bahwa
6. Carilah invers dari matriks A berikut dengan transformasi elementer atau Adjoin. 2 4 3 2 A=
3
6
5
2
2
5
2
-3
4
5
14
14
7. Carilah harga x, y, z, dan w yang memenuhi susunan persamaan linier berikut. 2x+4y+3z+2w=1 3x+6y+5z+2w=1 2x+5y+2z-3w=0 4x+5y+14z+14w=0 8. Carilah invers dari matriks-matriks berikut (bila ada). 6 1 3 a. 5 b. 2 c. 4 d. √2 2 4
5
3
0
4
3
2
e. 3
6
1
4
2√2
9. Carilah adjoin dari A dan invers dari A bila 1
a. A=
1
0
1
1
1
0
2
1
1
b. A=
2
2
3
1
0
1
1
1
c. A=
4
0
5
0
1
-6
6
0
8
10.Dengan menggunakan matriks-matriks invers pada soal no.9 diatas, carilah x, y, dan z dari susunan persamaan berikut. a. x+y =3 b. x+2y+2z=0 c. 4x+5z=9 x+y+z=0 3x+y =0 y-6z=-14 2y+z =2 x+y+z =1 6x+8z=14
11.Carilah invers matriks A dan B berikut jika A=
3
2
4
3
dan B=
5
6
4
5
12.Carilah invers matriks berikut dengan menggunakan transformasi elementer. a.
2
1
3
0
2
1
1
1
3
b.
5
0
1
2
3
3
6
3
3
