Invers Transformasi Laplace

Transformasi Laplace by AGL FTE, Telkom University

Invers Transformasi Laplace Transformasi Laplace Domain Waktu

Domain Frekuensi Invers Transformasi Laplace

Jika mengubah sinyal analog kontinyu dari domain waktu menjadi domain frekuensi menggunakan transformasi laplace, maka untuk mengembalikan sinyal tersebut dari domain frekuensi menjadi domain waktu menggunakan invers transformasi laplace. Salah satu contohnya, saat perhitungan konvolusi. Jika diketahui sinyal input x(t) dan respon impuls sistem adalah h(t). Maka output sistem tersebut dapat digunakan dengan menggunakan transformasi Laplace. Ubah terlebih dahulu masing-masing sinyal x(t) dan h(t) ke domain frekuensi dengan transformasi Laplace sehingga menjadi X(S) dan H(S). Output y(t) adalah hasil perkalian biasa antara X(S) dan H(S) yang kemudian dilakukan invers transformasi Laplace agar kembali ke domain waktu (t). Cara melakukan invers transformasi Laplace bisa dilihat dari persamaan X(S) tersebut, apakah termasuk a) Reducible (bisa disederhanakan) b) Irreducible (tidak bisa disederhanakan) Persamaan Irreducible dapat dilihat dari pangkat penyebut yang lebih tinggi dari pangkat pembilangnya. Misalnya: 𝑋(𝑆) =

𝑠2

2𝑆 + 5 → 𝐼𝑟𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑏𝑙𝑒, 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑝𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑡𝑒𝑟𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝑝𝑒𝑛𝑦𝑒𝑏𝑢𝑡𝑛𝑦𝑎 𝑙𝑒𝑏𝑖ℎ 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔 + 4𝑆 + 7

𝑋(𝑆) =

5𝑠 2 + 4𝑆 + 7 → 𝑅𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑏𝑙𝑒, 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑝𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑡𝑒𝑟𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝑝𝑒𝑛𝑦𝑒𝑏𝑢𝑡𝑛𝑦𝑎 𝑙𝑒𝑏𝑖ℎ 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔 2𝑆 + 5

𝑋(𝑆) =

𝑠 2 − 5𝑆 + 3 → 𝑅𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑠 2 − 4𝑆 + 2

𝑋(𝑆) =

(𝑆 − 1)2 → 𝑅𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑠 2 + 2𝑆 + 2 𝑃(𝑆)

𝑃(𝑆)

Bentuk Reducible dapat disederhanakan menjadi → 𝛼(𝑆) + 𝑄(𝑆) , dimana 𝑄(𝑆) merupakan komponen irreducible. 𝑃(𝑆) = 𝐴0 + 𝐴1 𝑆 + 𝐴2 𝑠 2 + . . .. 𝑄(𝑆) = 𝐵0 + 𝐵1 𝑆 + 𝐵2 𝑠 2 + . . ..

1

Transformasi Laplace by AGL FTE, Telkom University 5𝑠2 +4𝑆+7 2𝑆+5

Misal 𝑋(𝑆) = 5 𝑆 2

2𝑆 + 5

−

17 4

, dapat dilakukan dengan pembagian manual

→ ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑏𝑎𝑔𝑖

5𝑠 2 + 4𝑆 + 7 5𝑠 2 +

25 𝑆 2

−

17 𝑆 2

+7

−

17 𝑆 2

−

85 4

113 4

Jadi,

𝑋(𝑆) =

→ 𝑠𝑖𝑠𝑎 𝑏𝑎𝑔𝑖

5𝑠 2 +4𝑆+7 2𝑆+5

Sisa bagi = 𝑃(𝑆)

5

= 2𝑆 −

17

+

4

113 4

2𝑆+5 Pembagi = 𝑄(𝑆)

Hasil bagi = 𝛼(𝑆)

Setelah diperoleh bentuk irreducible, maka penyederhanaan dapat dilakukan dengan memperhatikan Q(S). Q(S) selalu dapat dipecah menjadi perkalian polinom orde 1 dan/atau orde 2. Beberapa contoh Q(S) orde 1 2

Untuk persamaan yang lebih kompleks proses penyederhanaannya

𝑋(𝑆) = 𝑆 → 2. 𝑈(𝑡) 3

𝑋(𝑆) = 𝑆+5 → 3. 𝑒 −5𝑡 . 𝑈(𝑡) 𝑋(𝑆) =

2 𝑒 −2𝑆 𝑆+7

→ 2. 𝑒 −7(𝑡−2) . 𝑈(𝑡 − 2)

1 (𝑆+1)2

𝑆 (𝑆+1)2

𝑋(𝑆) =

𝐴(𝑆+1)+𝐵 (𝑆+1)2

persamaan ini dapat diubah ke bentuk

𝐴

1 2

, maka diperoleh 𝐴 = 1 𝑑𝑎𝑛 𝐵 = −1

𝐵

1

1

Sehingga dapat dilakukan invers transformasi Laplace menjadi

→ 𝑒 −𝑡 . 𝑡. 𝑈(𝑡)

𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝑡 . 𝑈(𝑡) − 𝑒 −𝑡 . 𝑡. 𝑈(𝑡)

𝑠2 𝑠 2 + 2𝑆 + 1 − 2𝑆 − 1 2𝑆 + 1 1 2𝑆 𝑋(𝑆) = = = 1 − ( ) = 1 − − (𝑆 + 1)2 (𝑆 + 1)2 (𝑆 + 1)2 𝑠 2 + 2𝑆 + 1 𝑠 2 + 2𝑆 + 1 Untuk nilai

2𝑆 (𝑆+1)2

2𝑆

−2

2

dapat dijabarkan (𝑆+1)2 = (𝑆+1)2 + 𝑆+1 𝑠2

𝐴 𝐵 + (𝑆+1)2 𝑆+1

𝑋(𝑆) = 𝑆+1 + (𝑆+1)2 = 𝑆+1 − (𝑆+1)2

𝑋(𝑆) = (𝑆) → 𝑡. 𝑈(𝑡) 𝑋(𝑆) =

𝑋(𝑆) =

1

2

Sehingga, 𝑋(𝑆) = (𝑆+1)2 = 1 − (𝑆+1)2 + (𝑆+1)2 −

2 𝑆+1

1

= 1 + (𝑆+1)2 −

maka dapat dilakukan invers transformasi Laplace menjadi: 𝑥(𝑡) = 𝛿(𝑡) + 𝑡. 𝑒 −𝑡 . 𝑈(𝑡) − 2. 𝑒 −𝑡 . 𝑈(𝑡)

2

2 𝑆+1

Transformasi Laplace by AGL FTE, Telkom University Q(S) orde 2 : memiliki akar-akar persamaan 

2 real berbeda -> misal (𝑠 2 + 5𝑆 + 3)



2 real sama -> misal (𝑠 2 + 5𝑆 +



2 kompleks sekawan -> misal (𝑠 + 5𝑆 + 10)

𝑋(𝑆) =

25 4 2

𝑠2

)

2𝑆 + 7 2𝑆 + 7 𝐴 𝐵 = = + + 4𝑆 + 3 (𝑆 + 1)(𝑆 + 3) (𝑆 + 1) (𝑆 + 3)

Perhatikan bahwa 𝐴(𝑆 + 3) + 𝐵(𝑆 + 1) = 2𝑆 + 7 𝐴𝑆 + 𝐵𝑆 = 2𝑆 → 𝐵 = 2 − 𝐴 3𝐴 + 𝐵 = 7 → 3𝐴 + (2 − 𝐴) = 7 → 2𝐴 = 5 → 𝐴 = Sehingga didapat 𝑋(𝑆) =

5 2

(𝑆+1)

−

5 , 2

𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐵 = 2 − 𝐴 = 2 −

5 1 =− 2 2

1

2 + (𝑆+3) kemudian dapat dilakukan invers transformasi Laplace

5 1 𝑥(𝑡) = . 𝑒 −𝑡 . 𝑈(𝑡) − . 𝑒 −3𝑡 . 𝑈(𝑡) 2 2

𝑋(𝑆) =

2𝑆 + 7 𝐴 𝐵 = 2+ 𝑠2 𝑠 𝑆

𝐴 + 𝐵𝑆 = 2𝑆 + 7 → 𝐴 = 7, 𝐵 = 2 7

2

𝑋(𝑆) = 𝑠2 + 𝑆 , maka jika dilakukan invers transformasi Laplace didapat: 𝑥(𝑡) = 7. 𝑡. 𝑈(𝑡) + 2. 𝑈(𝑡) Contoh untuk akar kompleks sekawan 𝑋(𝑆) =

𝑠2

(𝑆 + 1) − 1 (𝑆 + 1) 𝑆 𝑆 1 = = = − 2 2 2 + 2𝑆 + 2 (𝑆 + 1) + 1 (𝑆 + 1) + 1 (𝑆 + 1) + 1 (𝑆 + 1)2 + 1

Maka, 𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝑡 . cos 𝑡. 𝑈(𝑡) − 𝑒 −𝑡 . sin 𝑡. 𝑈(𝑡)

Pola invers transformasi Laplace untuk akar kompleks sekawan dapat di-formulasi-kan sebagai berikut: 𝑎 → 𝑒 −𝑘𝑡 . sin 𝑎𝑡. 𝑈(𝑡) (𝑆 + 𝑘)2 + 𝑎2 (𝑆 + 𝑘) → 𝑒 −𝑘𝑡 . cos 𝑎𝑡. 𝑈(𝑡) (𝑆 + 𝑘)2 + 𝑎2

3

Transformasi Laplace by AGL FTE, Telkom University

Latihan invers transformasi Laplace:

1) 𝑋(𝑆) = 2) 𝑋(𝑆) = 3) 𝑋(𝑆) = 4) 𝑋(𝑆) = 5) 𝑋(𝑆) =

2𝑆+3 (𝑠+1)2 2𝑠 2 (𝑠+1)2 2𝑆 (𝑠+2)3

→ 𝑥(𝑡)? → 𝑥(𝑡)? → 𝑥(𝑡)?

2𝑆+7 𝑠 2 +4𝑆+5 (𝑠+1)2 𝑠 2 +8𝑆+20

→ 𝑥(𝑡)? → 𝑥(𝑡)?

4

Transformasi Laplace by AGL FTE, Telkom University

Aplikasi Transformasi Laplace Beberapa aplikasi transformasi Laplace:   

Analisis Rangkaian (Kestabilan) Penyelesaian Persamaan Diferensial Perhitungan Konvolusi

Representasi dari suatu sistem terdiri dari: a) b) c) d)

Struktur realisasi -> gambar diagram sistem Persamaan diferensial -> y(t) Fungsi transfer -> H(S) Respon impuls -> h(t)

Perbandingan rangkaian analog sinyal domain waktu (t) dan domain frekuensi (S) dengan transformasi Laplace Domain waktu (t) x(t)

K

Domain frekuensi (S)

x1(t)

K

X(S)

K.x(t)

x1(t) + x2(t)

K.X(S)

Keterangan Perkalian dengan skalar (kontanta K)

X1(S) + X2(S)

X1(S)

Penjumlahan x2(t)

x(t)

X2(S) 𝑑𝑥(𝑡) 𝑑𝑡

𝑑 𝑑𝑡

X(S)

𝑆

X(S)

1 𝑆

𝑡

x(t)

𝑡

∫

∫ 𝑥(𝑡). 𝑑𝑡 0

0

Jika

y(t) = x(t)*h(t) (proses konvolusi)

Maka

h(t) = y(t) / x(t)

Trans Laplace Y(S) = X(S).H(S)

H(S) = Y(S) / X(S) (fungsi transfer) 5

𝑆. 𝑋(𝑆)

1 . 𝑋(𝑆) 𝑆

Diferensial

Integral

Transformasi Laplace by AGL FTE, Telkom University X(S)

FUNGSI TRANSFER

Y(S)

Jika dilihat dari struktur realisasi sistem (diagram sistem), persamaan fungsi transfer dapat diformulasikan sebagai berikut: 𝐹𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟 [𝐻(𝑆)] =

∑ 𝑓𝑜𝑟𝑤𝑎𝑟𝑑 1 − ∑ 𝑙𝑜𝑜𝑝

Misal, Suatu sistem kausal LTI memiliki respon impuls ℎ(𝑡) = (5. 𝑒 −2𝑡 + 2. 𝑒 −𝑡 ). 𝑈(𝑡) . Tentukan: a) b) c) d) e)

Fungsi transfer H(S) Persamaan differensial Struktur realisasi sistem dengan differensiator Pole dan zero sistem Apakah sistem tersebut stabil?

Solusi: a) Karena respon impuls h(t) telah diketahui, maka fungsi transfer H(S) dapat dicari dengan mengubah h(t) menjadi H(S) melalui transformasi Laplace. 𝐻(𝑆) =

5 2 7𝑆 + 9 + = 2 (𝑠 + 2) (𝑠 + 1) 𝑠 + 3𝑆 + 2

b) Persamaan differensial yaitu y(t), maka 𝐻(𝑆) =

𝑌(𝑆) 7𝑆 + 9 = 2 𝑋(𝑆) 𝑠 + 3𝑆 + 2

𝑚𝑎𝑘𝑎, 𝑌(𝑆). (𝑠 2 + 3𝑆 + 2) = 𝑋(𝑆). (7𝑆 + 9) 𝑌(𝑆). (𝑠 2 ) + 𝑌(𝑆). 3𝑆 + 𝑌(𝑆). 2 = 𝑋(𝑆). (7𝑆) + 𝑋(𝑆). 9 7 9 𝑠2 3 𝑌(𝑆) = 𝑆. 𝑋(𝑆) + 𝑋(𝑆) − . 𝑌(𝑆) − 𝑆. 𝑌(𝑆) 2 2 2 2 7 𝑑(𝑥(𝑡)) 9 1 𝑑 2 𝑦(𝑡) 3 𝑑(𝑦(𝑡)) 𝑦(𝑡) = . + . 𝑥(𝑡) − . − . 2 𝑑𝑡 2 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 c) Struktur realisasi sistem dengan differensiator 𝑋(𝑆)

9/2

𝑌(𝑆) −3/2

7/2 𝑆

−1/2

𝑆 𝑆

6

Transformasi Laplace by AGL FTE, Telkom University d) Pole dan zero sistem 𝐻(𝑆) =

𝑠2

7𝑆 + 9 7𝑆 + 9 = + 3𝑆 + 2 (𝑆 + 1)(𝑆 + 2) 9

Zero = pembuat nol yang terletak pada pembilang, yaitu 𝑆 = − 7 Pole = pembuat nol yang terletak pada penyebut, yaitu 𝑆 = −1 , 𝑆 = −2 e) Apakah sistem stabil? Sistem dikatakan stabil jika semua pole-nya bernilai negatif Maka, sistem ini termasuk sistem yang stabil.

7