TKS 4003 Matematika II
Transformasi Laplace (Laplace Transform)
Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
PENDAHULUAN Pengertian Transformasi Transformasi adalah teknik atau formula matematis yang digunakan untuk mengubah representasi persamaan matematika dari satu bentuk ke bentuk representasi yang lain. Adanya transformasi mengharuskan juga adanya inverse transformasi untuk melakukan hal yang sebaliknya.
1
PENDAHULUAN (Lanjutan) Latar Belakang Penggunaan Transformasi Transformasi diperlukan sebagai alat bantu untuk memecahkan persoalan matematika yang rumit. Penggunaan transformasi dan inversenya dapat diilustrasikan pada Gambar 1.
Gambar 1. Penggunaan transformasi dan inversenya
DEFINISI Transformasi Laplace F(s) dari fungsi f(t), untuk t > 0 adalah : 𝑭 𝒔 =𝓛 𝒇 𝒕
=
∞ −𝒔𝒕 𝒆 𝒇 𝟎
𝒕 𝒅𝒕
(1)
Transformasi Laplace digunakan untuk mengubah fungsi f(t) yang berada dalam kawasan waktu t ke kawasan s. Solusi didapat dengan mengubah persamaan diferensial (yang merupakan fungsi waktu) dari kawasan waktu t ke kawasan s dengan menggunakan transformasi Laplace, sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 2.
2
DEFINISI (Lanjutan)
Gambar 2. Penggunaan transformasi Laplace dan inversenya
Rumus Tranformasi Laplace (Pers. 1), jika digunakan secara langsung pada permasalahan akan seringkali dijumpai kesulitan dalam perhitungannnya, sehingga disarankan untuk menggunakan bantuan tabel transformasi Laplace.
TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA Berikut adalah transformasi Laplace dari beberapa fungsi : 1. Konstanta Transformasi Laplace dari sebuah konstanta C(y(t) = C), adalah : ∞ ∞ 𝟏 𝑪 𝑪 𝓛𝑪 = 𝟎 𝒆−𝒔𝒕 𝑪𝒅𝒕 = − 𝒔 𝒆−𝒔𝒕 𝑪 =𝟎− −𝒔 = 𝒔 ’ 𝟎 sehingga : 𝓛𝑪 =
𝑪 𝒔
(8)
3
TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan) 2. Fungsi y(t) = t ∞ 𝟏 𝟏 = − 𝒔 𝒆−𝒔𝒕 𝒕 + 𝟎 𝒔 ∞ 𝟏 𝟏 𝟏 ⇒ 𝓛𝒕 = 𝟎 − 𝟎 + 𝒔 − 𝒔 𝒆−𝒔𝒕 = 𝟎 𝒔𝟐 sehingga : 𝓛𝒕 =
∞ −𝒔𝒕 𝒆 𝒕𝒅𝒕 𝟎
∞ −𝒔𝒕 𝒆 𝒅𝒕 𝟎
𝟏
𝓛𝒕 = 𝒔𝟐
(9)
TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan) 3. Fungsi y(t) = t n 𝓛 𝒕𝒏 =
∞ −𝒔𝒕 𝒏 𝒆 𝒕 𝒅𝒕 𝟎
𝟏
= − 𝒔 𝒆−𝒔𝒕 𝒕𝒏 𝒏
⇒ 𝓛 𝒕𝒏 = −𝟎 + 𝟎 + 𝒔
∞ 𝟏 + 𝟎 𝒔
∞ −𝒔𝒕 𝒆 𝒏𝒕𝒏−𝟏 𝒅𝒕 𝟎
∞ −𝒔𝒕 𝒆 𝒏𝒕𝒏−𝟏 𝒅𝒕 𝟎
𝒏
= 𝒔 𝓛 𝒕𝒏−𝟏
𝒏
⇒ 𝓛 𝒕𝒏 = 𝒔 𝓛 𝒕𝒏−𝟏 dengan cara yang sama :
4
TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan) 𝓛 𝒕𝒏−𝟏 = 𝓛 𝒕𝒏−𝟐 =
𝒏−𝟏 𝓛 𝒔 𝒏−𝟐 𝓛 𝒔
𝒕𝒏−𝟐 𝒕𝒏−𝟑
⋮ 𝟏
𝓛 𝒕 𝟏 = 𝒔 𝓛 𝒕𝟎
sehingga : 𝓛 𝒕𝒏 =
𝒏! 𝒔𝒏−𝟏
(10)
TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan) 4. Fungsi eksponensial y(t) = e at ∞ −(𝒔−𝒂)𝒕 𝒆 𝒅𝒕 𝟎 ∞ ∞ 𝟏 = 𝟎 𝒆−(𝒔−𝒂)𝒕 𝒅𝒕 = − 𝒔−𝒂 𝒆−(𝒔−𝒂)𝒕 𝟎 𝟏 𝟏 𝒏 −𝟎 𝒕 = 𝟎 − − 𝒔−𝒂 𝒆 = 𝒔−𝒂
𝓛 𝒆𝒂𝒕 = ⇒𝓛 ⇒𝓛
∞ −𝒔𝒕 𝒂𝒕 𝒆 𝒆 𝒅𝒕 𝟎
=
sehingga : 𝟏
𝓛 𝒆𝒂𝒕 = 𝒔−𝒂
(11)
5
TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan) 4. Fungsi cosinus dan sinus 𝓛 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 = 𝓛 ⇒ 𝓛 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 = ⇒ 𝓛 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 =
𝟏 𝒊𝝎𝒕 𝟏 𝒆 + 𝟐 𝒆−𝒊𝝎𝒕 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 + 𝟐 𝒔+𝒊𝝎 𝟐 𝒔−𝒊𝝎 𝟏 𝒔+𝒊𝝎 𝒔−𝒊𝝎 + 𝒔𝟐 +𝝎𝟐 𝟐 𝒔𝟐 +𝝎𝟐
𝒔
= 𝒔𝟐 +𝝎𝟐
sehingga : 𝓛 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 =
𝒔 𝒔𝟐 +𝝎𝟐
(12)
TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan) dengan cara yang sama, transformasi Laplace dari fungsi sinus adalah : 𝝎
𝓛 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 = 𝒔𝟐 +𝝎𝟐
(13)
6
TRANSFORMASI LAPLACE FUNGSI SEDERHANA (Lanjutan) Tabel 1. Transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana Fungsi f(t) 𝒚 𝒕 =𝑪 𝒚 𝒕 =𝒕 𝒚 𝒕 = 𝒕𝒏 𝒚 𝒕 = 𝒆𝒂𝒕 𝒚 𝒕 = 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 𝒚 𝒕 = 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕
Transformasi Laplace F(s) 𝑪 𝒔 𝟏 𝒔𝟐 𝒏! 𝒔𝒏+𝟏 𝟏 𝒔−𝒂 𝒔 𝒔 𝟐 + 𝝎𝟐 𝝎 𝒔 𝟐 + 𝝎𝟐
SYARAT CUKUP KEUJUDAN TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan) Agar dapat menyatakan syarat cukup untuk f(t) yang menjamin keujudan 𝓛 f(t) , diperkenalkan konsep kekontinuan bagian-demi-bagian (piecewise continuity) dan orde eksponensial (exponential order). 1. Kekontinuan bagian-demi-bagian, fungsi f(t) dikatakan kontinu bagian-demi-bagian pada suatu interval jika : (i) interval tersebut dapat dibagi menjadi sejumlah berhingga interval bagian di mana f(t) kontinu pada interval bagian ini, dan (ii) limit fungsi f(t) untuk t mendekati titik akhir setiap interval bagiannya bernilai hingga.
7
SYARAT CUKUP KEUJUDAN TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan) Atau dengan kata lain, suatu fungsi bagian-demi-bagian hanya mempunyai sejumlah berhingga titik di mana fungsi tersebut tak kontinu seperti pada Gambar 3.
Gambar 3. Contoh fungsi bagian-demi-bagian
SYARAT CUKUP KEUJUDAN TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan) 2. Orde eksponensial, suatu fungsi f(t) dikatakan berada dalam orde eksponensial untuk t > T jika dapat ditentukan konstanta M dan , sehingga |f(t)| Met untuk t > T. Dengan menggunakan kedua persyaratan tersebut dapat dibuat teorema sebagai berikut : Teorema 1 Jika f(t) kontinu bagian-demi-bagian pada setiap interval berhingga 0 t T dan berada dalam tingkat eksponensial untuk t > T, maka 𝓛 |f(t)| ada untuk s > .
8
SYARAT CUKUP KEUJUDAN TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan) Teorema 2 Jika f(t) memenuhi syarat Teorema 1, maka : 𝒍𝒊𝒎 𝒍𝒊𝒎 𝓛 𝒕 = 𝑭 𝒔 =𝟎 𝒔→∞ 𝒔→∞ 𝒍𝒊𝒎 Hal ini menyebabkan bahwa jika 𝑭(𝒔) ≠ 𝟎, maka f(t) 𝒔→∞ tidak dapat memenuhi syarat Teorema 1.
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE 1. Linieritas Jika f(t) dan g(t) adalah sebuah fungsi, dengan : ∞ 𝑭 𝒔 = 𝓛𝒇 𝒕 = 𝟎 𝒆−𝒔𝒕 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 dan 𝑮 𝒔 = 𝓛𝒈 𝒕 =
∞ −𝒔𝒕 𝒆 𝒈 𝟎
𝒕 𝒅𝒕
maka : 𝓛 𝒄𝒇 𝒕 = 𝒄𝑭(𝒔) dan 𝓛 𝒂𝒇 𝒕 + 𝓛 𝒃𝒈 𝒕 = 𝒂𝑭 𝒔 + 𝒃𝑮 𝒔
2. Pergeseran dalam S ∞ Jika 𝑭 𝒔 = 𝓛𝒇 𝒕 = 𝟎 𝒆−𝒔𝒕 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 maka :
9
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan) 𝓛𝒆𝒂𝒕 𝒇 𝒕 =
∞ −𝒔𝒕 𝒂𝒕 𝒆 𝒆 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 𝟎 ∞ −(𝒔−𝒂)𝒕 𝒆 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 𝟎
= = 𝑭(𝒔 − 𝒂)
3. Pergeseran dalam S dan inversnya Jika 𝓛𝒆𝒂𝒕 𝒇 𝒕 = 𝑭(𝒔 − 𝒂) maka : 𝓛−𝟏 𝑭(𝒔 − 𝒂) = 𝒆𝒂𝒕 𝓛−𝟏 𝑭(𝒔) = 𝒆𝒂𝒕 𝒇 𝒕
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan) 4. Integrasi Jika 𝑭 𝒔 = 𝓛𝒇 𝒕 = maka : 𝓛−𝟏
𝟏 𝑭(𝒔) 𝒔
=
∞ −𝒔𝒕 𝒆 𝒇 𝟎 𝝉 𝒇 𝟎
𝒕 𝒅𝒕
𝝉 𝒅𝝉
5. Teorema Konvulsi Jika transformasi Laplace dari fungsi f(t) dan g(t) adalah F(s) dan G(s) dengan : ∞ 𝑭 𝒔 = 𝓛𝒇 𝒕 = 𝟎 𝒆−𝒔𝒕 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 dan 𝑮 𝒔 = 𝓛𝒈 𝒕 =
∞ −𝒔𝒕 𝒆 𝒈 𝟎
𝒕 𝒅𝒕
maka :
10
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE (Lanjutan) 𝓛
𝒕 𝒇 𝟎
𝒕 − 𝝉 𝒈 𝝉 𝒅𝝉 = 𝑭 𝒔 𝑮 𝒔
6. Integral Konvulsi Jika invers transformasi Laplace dari fungsi F(s) dan G(s) adalah f(t) dan g(t) dengan : 𝓛−𝟏 𝑭 𝒔 = 𝒇 𝒕 dan 𝓛−𝟏 𝑮 𝒔 = 𝒈 𝒕
maka : 𝓛−𝟏 𝑭 𝒔 𝑮 𝒔 = 𝓛−𝟏 𝑭 𝒔 𝑮 𝒔 =
𝒕 𝒇 𝟎 𝒕 𝒇 𝟎
𝒕 − 𝝉 𝒈 𝝉 𝒅𝝉 atau 𝒕 𝒈 𝒕 − 𝝉 𝒅𝝉
CONTOH Cari transformasi Laplace dari fungsi berikut : 1. f(t) = sin t cos t 2. f(t) = sin 2t cos 3t 3. f(t) = t2 et sin 3t Jawab : 1. Ingat sin t cos t = ½ sin 2t 𝓛 𝐬𝐢𝐧 𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝒕 = 𝓛 𝟏 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒕 = 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 = 𝟐 𝒔𝟐 +𝟒 = 𝒔𝟐 +𝟒
𝟐𝓛
𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒕
11
CONTOH (Lanjutan) 2. Ingat 2 sin x cos y = sin (x + y) + sin (x - y) 𝓛 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒕 = 𝓛 𝟏 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟓𝒕 + 𝐬𝐢𝐧(−𝒕) = 𝟏 𝟐 𝓛 𝐬𝐢𝐧 𝟓𝒕 + 𝓛 −𝐬𝐢𝐧 𝒕 𝟏 𝟓 𝟏 = 𝟐 𝒔𝟐 +𝟐𝟓 − 𝒔𝟐 +𝟏 𝟏 𝟓 𝒔𝟐 +𝟏 − 𝒔𝟐 +𝟐𝟓 𝒔𝟐 +𝟐𝟓 𝒔𝟐 +𝟏 𝟏 𝟒𝒔𝟐 −𝟐𝟎 𝟐 𝟐 𝒔 +𝟐𝟓 𝒔𝟐 +𝟏 𝟐𝒔𝟐 −𝟏𝟎 𝒔𝟐 +𝟐𝟓 𝒔𝟐 +𝟏
=𝟐 =
=
CONTOH (Lanjutan) 3. 𝓛 𝒕𝟐 𝒆𝒕 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒕 , untuk mempermudah dikerjakan secara bertahap. 𝟑 𝓛 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒕 = 𝒔𝟐 +𝟗 𝟑
𝟑
𝓛 𝒆𝒕 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒕 = (𝒔−𝟏)𝟐 +𝟗 = 𝒔𝟐 −𝟐𝒔+𝟏𝟎 𝒅𝟐
𝟑
𝓛 𝒕𝟐 𝒆𝒕 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒕 = 𝒅𝒔𝟐 𝒔𝟐 −𝟐𝒔+𝟏𝟎 𝒅
= 𝒅𝒔
=
𝟔(𝟏−𝒔)
𝟐 𝒔𝟐 −𝟐𝒔+𝟏𝟎
𝟐𝟑𝒔𝟐 −𝟒𝟔𝒔+𝟏𝟒 𝒔𝟐 −𝟐𝒔+𝟏𝟎
𝟑
12
LATIHAN Cari transformasi Laplace dari fungsi berikut : 1. f(t) = t e at 2. f(t) = cos t cos 2t 3. f(t) = sin 2t cos 2t 4. f(t) = e -t cos 2 t 5. f(t) = t 2 cos at 6. f(t) = t 3 e -3t
Terima kasih dan
Semoga Lancar Studinya!
13
