1
Sistem Kontrol Linier
Transformasi Laplace Muhafzan Agustus 2012
Transformasi Laplace
3
1 De nisi Transformasi Laplace Dalam bagian ini kita akan membicarakan sifat-sifat dan beberapa aplikasi dari transformasi Laplace. De nisi 1 Diberikan suatu fungsi f (t) dengan t 0: Maka transformasi Laplace dari f; dinyatakan dengan Lff (t)g; atau F (s), dide nisikan oleh persamaan berikut: Z 1 e stf (t)dt: (1) Lff (t)g = F (s) = 0
Karena transformasi Laplace dide nisikan oleh suatu integral pada [0; 1) maka kita perlu meninjau kembali konsep integral tak wajar (improper integral) Suatu integral tak wajar pada suatu interval tak terbatas [0; 1) dide nisikan sebagai Z 1 Z b f (t)dt = lim f (t)dt; b > 0 (2) Jika lim
b!1
Z
a
b!1
a
b
a
Sistem Kontrol Linier
f (t)dt ada; maka integral tak wajar dikatakan konvergen.
Transformasi Laplace
4
Dalam hal sebaliknya integral tak wajar dikatakan divergen. Contoh 1: Misalkan f (t) = ect; t Z 1 0
0: Maka ct
e dt = lim
b!1
Z
b
ectdt
0 ct b
e = lim b!1 c 0 1 bc = lim e 1 (3) b!1 c Dari persamaan (3) dapat disimpulkan bahwa integral tak wajar konvergen jika c < 0 dan divergen jika c 0: Suatu fungsi f dikatakan kontinu bagian demi bagian (piecewise continuous) pada interval t jika f kontinu dalam interval t kecuali disejumlah berhingga titik dimana f diskontinu loncat (jump discontinuous). Sebagai contoh, perhatikan gambar 1 berikut: Sistem Kontrol Linier
Transformasi Laplace
5
Gambar 1. Fungsi kontinu bagian demi bagian
Jika f kontinu bagian demi bagian pada interval a RSoal: b a f (t)dt ada.
t
b; tunjukkan bahwa
Dalam persamaan (1) parameter s diperbolehkan bernilai kompleks, tetapi dalam kuliah ini kita hanya memperhatikan untuk s 2 R: Sistem Kontrol Linier
Transformasi Laplace
6
Theorem 1 Anggaplah bahwa 1. f kontinu bagian demi bagian dalam interval 0
b untuk sebarang b > 0
t
2. jf (t)j Keat bila t M; dimana K > 0; M > 0: Maka transformasi Laplace Lff (t)g = F (s) ada untuk s > a:
Contoh 2: Misalkan f (t) = 1; t
0: Maka Z b Z 1 e stdt = lim e Lf1g = b!1 b st
0
= lim
e
s
b!1
= lim
b!1
1 (e s
1 = ; s>0 s
Sistem Kontrol Linier
0 sb
1)
0
st
dt
Transformasi Laplace
7
Contoh 3: Tentukan Lfeat)g; dengan t Jawab. Z 1 Lfeat) = e
0: st at
e dt =
0
= lim
b!1
= lim
b!1
=
Sistem Kontrol Linier
1 s
a
Z
1
e
(s a)t
0
e (s a)t s a 1 (e (s s a
; s > a:
b 0 a)b
1)
dt
Transformasi Laplace
Contoh 4: Tentukan Lfsin at); t 0: Misalkan Lfsin at) = F (s); maka Z 1 F (s) = e st sin at dt 0 Z b = lim e st sin at dt b!1 0 " # Z b b st e cos at s = lim e st cos at dt b!1 a a 0 0 Z 1 s 1 st e cos at dt = a a 0 Z b 1 s = lim e st cos at dt a a b!1 "0 # Z b b st 1 s e sin at s = e st sin at dt lim + a a b!1 a a 0 0
Sistem Kontrol Linier
8
Transformasi Laplace
9
= = = = s2 (1 + 2 )F (s) = a F (s) =
Z
b
1 a
s a
1 a 1 a 1 a 1 a
s s 1 st e sin at dt a a 0 Z s2 1 st e sin at dt a2 0 s2 F (s) 2 a
0+ Z
s lim b!1 a
e
st
!
sin at dt
0
a ; s > 0: 2 2 s +a
2 Solusi Masalah Nilai Awal Dalam bagian ini, akan kita tunjukkan bagaimana menggunakan transformasi Laplace untuk menyelesaikan masalah nilai awal untuk persamaan diferensial linier dengan Sistem Kontrol Linier
Transformasi Laplace
10
koe sien konstan. Theorem 2 Misalkan f kontinu dan f 0 kontinu bagian demi bagian pada sebarang interval 0 t b: Selanjutnya, anggaplah ada konstanta K; a dan M sedemikian sehingga jf (t)j Keat untuk t M . Maka Lff 0(t)g ada untuk s > a dan
Lff 0(t)g = sLff (t)g
f (0):
Untuk membuktikan teorema ini, perhatikan yang berikut: Z 1 Z b Lff 0(t)g = e stf 0(t)dt = lim e stf 0(t)dt b!1 0 0 # " Z
= lim
b!1
e
st
b 0
f (t) + s
e
st
f (t)dt
0
Z
sb
b
!
f (b) f (0) + s lim e stf (t)dt b!1 b!1 0 Z 1 = f (0) + s e stf (t)dt = f (0) + sLff (t) = sLff (t)g = lim e
0
Sistem Kontrol Linier
b
f (0):
Transformasi Laplace
11
Soal: Dengan cara yang sama, buktikan bahwa
Lff 00(t)g = s2Lff (t)g
sf (0)
f 0(0);
dan secara umum, buktikan bahwa
Lff (n)(t)g = snLff (t)g
sn 1f (0)
sf (n
2)
(0)
f (n
1)
(0):
Transformasi Laplace untuk beberapa fungsi f (t) diberikan dalam tabel berikut:
Sistem Kontrol Linier
Transformasi Laplace
12
Contoh 5: Selesaikan masalah nilai awal
y 00 y 0 2y = 0 y(0) = 1; y 0(0) = 0 Sistem Kontrol Linier
Transformasi Laplace
13
Jawab:
Lfy 00) s2Lfy)
Lfy 0) y 0(0)
sy(0)
Lf2y) = Lf0) [sLfy)
y(0)]
2Lfyg = 0
(s2
s
2)Lfy) + (1
s)y(0)
y 0(0) = 0
(s2
s
2)Y (s) + (1
s)y(0)
y 0(0) = 0
dimana Y (s) = Lfy): Dengan mensubtitusikan y(0) = 1; y 0(0) = 0, diperoleh
(s2
2)Y (s) + (1
s
s) = 0
yang dapat ditulis sebagai
Y (s) =
1
s s2
s
2
=
s 1 (s 2)(s + 1)
Untuk mendapatkan solusi masalah nilai awal di atas, kita harus mencari fungsi Y (t)
Sistem Kontrol Linier
Transformasi Laplace
14
yang transformasi Laplacenya adalah Y (s): Tulis Y (s) sebagai berikut:
s 1 A B Y (s) = = + (s 2)(s + 1) (s 2) (s + 1) A(s + 1) + B(s 2) (A + B)s + A 2B = = : (s 2)(s + 1) (s 2)(s + 1) Dengan menyamakan pembilang kedua ruas, kita peroleh SPL
A+B = 1 A 2B = 1 yang mempunyai penyelesaian B = 23 dan A = 31 : Jadi, kita dapat menulis Y (s) sebagai berikut:
s 1 = Y (s) = (s 2)(s + 1) (s
1 3
2)
dan memberikan Y (t) sebagai berikut:
1 2t 2 Y (t) = e + e 3 3 Sistem Kontrol Linier
t
+
2 3
(s + 1)
;
Transformasi Laplace
15
Contoh 6: Selesaikan masalah nilai awal
y iv y = 0 y(0) = y 00(0) = y 000(0) = 0; y 0(0) = 1 Jawab:
Lfy iv ) s4Lfy) (s4
s3y(0)
1)Lfyg
s2y 0(0) s3y(0)
Lfy) = Lf0) sy 00(0) s2y 0(0)
y 000(0) sy 00(0)
Lfyg = 0 y 000(0) = 0
(s4
1)Lfyg s2 = 0 s2 s2 = Y (s) = Lfyg = 4 (s 1) (s2 1)(s2 + 1) dimana Y (s) = Lfy): Untuk mendapatkan solusi masalah nilai awal di atas, kita harus mencari fungsi Y (t) yang transformasi Laplacenya adalah Y (s): Tulis Y (s) sebagai Sistem Kontrol Linier
Transformasi Laplace
16
berikut:
s2 As + B Cs + D Y (s) = 2 = + (s 1)(s2 + 1) (s2 1) (s2 + 1) (As + B)(s2 + 1) + (Cs + D)(s2 1) = (s2 1)(s2 + 1) As3 + Bs2 + As + B + Cs3 + Ds2 Cs = (s2 1)(s2 + 1) (A + C))s3 + (B + D)s2 + (A C)s + B = (s2 1)(s2 + 1)
D
D
Dengan menyamakan pembilang kedua ruas, kita peroleh SPL
A+C B+D A C B D yang mempunyai penyelesaian B = 12 ; D = Sistem Kontrol Linier
= = = = 1 2
0 1 0 0
dan A = C = 0: Jadi, kita dapat menulis
Transformasi Laplace
17
Y (s) sebagai berikut: Y (s) =
(s2
1 1 s2 2 2 = + ; 1)(s2 + 1) (s2 1) (s2 + 1)
dan memberikan Y (t) sebagai berikut:
1 1 Y (t) = sinh at + sin at 2 2 Soal: Cari penyelesaian persamaan diferensial 1. y 00 + y = sin 2t dengan syarat awal y(0) = 2; y 0(0) = 1: 2. y 00
2y 0
2y = 0 dengan syarat awal y(0) = 2; y 0(0) = 0:
3. y 00 + 2y 0 + y = 4e 4. y 00
y0
t
dengan syarat awal y(0) = 2; y 0(0) =
6y = 0 dengan syarat awal y(0) = 1; y 0(0) =
Sistem Kontrol Linier
1::
1
Transformasi Laplace
18
3 Fungsi Tangga Fungsi tangga satuan (unit), dinotasikan dengan uc; dide nisikan sebagai
uc(t) =
0; t < c 1; t c
c
0
Gra k dari y = uc(t) diperlihatkan dalam gambar 3.1 dan y = 1 dalam gambar 3.2 dibawah ini.
Gambar 3.1
uc(t) diperlihatkan
Gambar 3.2
Contoh 7: Diketahui suatu fungsi yang dide nisikan sebagai berikut:
h(t) = u (t) Sistem Kontrol Linier
u2 (t); t
0:
Transformasi Laplace
19
Tuliskan bentuk eksplisit dari fungsi tangga h(t), dan gambarkan sketsa gra knya. Jawab: 8 < 0 0 = 0; 0 t < t<2 h(t) = 1 0 = 1; : 1 1 = 0; t 2 Sketsa gra knya sebagai berikut:
Misalkan fungsi g dide nisikan sebagai berikut:
y = g(t) = Sistem Kontrol Linier
0; f (t
t
Transformasi Laplace
20
Fungsi ini merepresentasikan suatu translasi dari f sejauh c dalam arah t positif. Fungsi g(t) juga dapat ditulis sebagai
g(t) = uc(t)f (t
Sistem Kontrol Linier
c)
Transformasi Laplace
21
Gra knya seperti yang diperlihatkan dalam gambar berikut:
(a). y = f (t)
(b). y = uc(t)f (t
Transformasi Laplace dari uc(t) adalah sebagai berikut: Z 1 Z 1 Z b Lfuc(t)g = e stuc(t)dt = e stdt = lim e 0
= lim
b!1
Sistem Kontrol Linier
b!1
c
e
st
s
b
= lim c
b!1
1 (e s
sb
e
st
c)
dt
c
sc
)=
e
sc
s
; s>0
Transformasi Laplace
22
Theorem 3 Jika F (s) = Lff (t)g ada untuk s > a
Lfuc(t)f (t
c)g = e
cs
0; dan jika c > 0 maka Lff (t)g = e
cs
F (s); s > a
Sebaliknya, jika f (t) = L 1fF (s)g; maka
uc(t)f (t
c) = L 1fe
cs
F (s)g
Untuk memperlihatkan kebenaran teorema di atas, cukup menghitung transformasi Laplace dari uc(t)f (t c); yaitu: Z 1 Lfuc(t)f (t c)g = e stuc(t)f (t c)dt Z0 1 e stf (t c)dt = c
Sistem Kontrol Linier
Transformasi Laplace
Misalkan
=t
23
c; maka Lfuc(t)f (t
c)g =
Z
1
0
= e
cs
= e
cs
e Z
( +c)s 1
e
f ( )d
s
f ( )d
0
F (s)
Contoh 8. Misalkan
f (t) =
sin t; sin t + cos(t
0 4 ); t
Carilah Lff (t)g: Jawab: Tulis f (t) = sin t + g(t); dengan
g(t) = Sistem Kontrol Linier
0; cos(t
t< 4 4 ); t 4
t< 4
4
Transformasi Laplace
24
Sehingga
g(t) = u 4 (t) cos(t
4
);
dan
Lff (t)g = Lfsin tg + Lfu 4 (t) cos(t s 4
4
)g
= Lfsin tg + e Lfcos tg s 1 s 4 = 2 +e s +1 s s2 + 1 1 + se 4 = : 2 s +1 Coba bandingkan hasil yang ini dengan nilai Lff (t)g yang diperoleh dari perhitungan menggunakan de nisi. Contoh 9. Tentukan transformasi Laplace dari
f (t) = Sistem Kontrol Linier
0; (t
t<2 2)2; t 2
Transformasi Laplace
25
Jawab: Fungsi f (t) dapat juga ditulis menjadi
2)2:
f (t) = u2(t)(t Maka berdasarkan teorema 3, dapat kita hitung:
Lff (t)g = Lfu2(t)(t
2
2) g = e
2s
2
Lft g = e
2s
2 2e 2s : 3= 3 : s s
Contoh 10. Tentukan transformasi Laplace dari
f (t) =
0; t2
t<1 2t + 2; t 1
Jawab: Fungsi f (t) dapat juga ditulis menjadi
f (t) = u1(t)(t2 Sistem Kontrol Linier
2t + 2) = u1(t) (t
1)2 + 1 :
Transformasi Laplace
26
Maka berdasarkan teorema 3, dapat kita hitung
Lff (t)g = Lfu1(t) (t 1)2 + 1 g = Lfu1(t)(t 1)2g + Lfu1(t)g = e sLft2g + Lfu1(t)g s 2 e = e s: 3 + s s s e = 3 2 + s2 : s
Contoh 11. Tentukan transformasi Laplace dari 8 t< < 0; ; t<2 f (t) = t : 0; t 2 Sistem Kontrol Linier
Transformasi Laplace
27
Jawab: Maka
Lff (t)g = = = =
Z
1
Z0
Z0 2
st
f (t)dt Z e st:0dt + e
st
=
(t
)dt +
) s
s e s2
e
2 s
s
e
Z
2
(t
(t
=
st
e
)dt Z (t ) st 1 e + s s e
=
Sistem Kontrol Linier
2
e e
2 s
s2
2
e
st 2 s
s2
st
dt
e st s2 e s + 2 s
(1 + s)
2
1
e
st:
:0dt
Transformasi Laplace
28
Contoh 12. Tentukan transformasi Laplace invers dari
F (s) =
1
e s2
e s2
2s
2s
:
Jawab: 1
1
f (t) = L fF (s)g = L f = t
u2(t)(t
1
2)
1 g = L f 2g s 1
e 2s L f 2 g s 1
Fungsi f (t) dapat juga ditulis sebagai
f (t) =
t; 0 t < 2 2; t 2
Theorem 4 Jika F (s) = Lff (t)g ada untuk s > a
Lfectf (t)g = F (s
0; dan jika c suatu konstanta, maka c);
s > a + c:
Sebaliknya, jika f (t) = L 1fF (s)g; maka
ectf (t) = L 1fF (s Sistem Kontrol Linier
c)g:
Transformasi Laplace
29
Contoh 13. Tentukan transformasi Laplace invers dari
1 : G(s) = 2 s 4s + 5 Jawab: Dengan melengkapi kwadrat dalam penyebut, diperoleh: 1 1 G(s) = 2 = = F (s 2); s 4s + 5 (s 2)2 + 1 1 dimana F (s) = 2 : s +1 Karena L 1fF (s)g = sin t; maka berdasarkan teorema 4 diperoleh bahwa g(t) = L 1fG(s)g = e2t sin t:
Contoh 14. Tentukan transformasi Laplace invers dari
G(s) = Jawab: Misalkan F (s Sistem Kontrol Linier
2) =
3! (s
3! (s
2)4
3! ; dimana F (s) = 4 : 2)4 s
Transformasi Laplace
30
Karena L 1fF (s)g = t3; maka berdasarkan teorema 4 diperoleh bahwa
g(t) = L 1fG(s)g = e2tt3:
Contoh 15. Tentukan transformasi Laplace invers dari
e 2s : F (s) = 2 s +s 2 Jawab: Misalkan
e 2s e 2s F (s) = 2 = s + s 2 (s 1)(s + 2) A B 2s = e + : (s 1) (s + 2) Akan dicari nilai A dan B; yaitu sebagai berikut:
(s
Sistem Kontrol Linier
1 A B = + 1)(s + 2) (s 1) (s + 2) A(s + 2) + B(s 1) (A + B)s + 2A B = = : (s 1)(s + 2) (s 1)(s + 2)
Transformasi Laplace
31
Dari hubungan ini kita dapatkan SPL berikut:
A+B = 0 2A B = 1 1 1 : Penyelesaian SPL ini adalah A = dan B = 3 3 Maka F (s) dapat kita tuliskan menjadi sebagai berikut: 0 e 2s F (s) = 2 = s + s 2 (s
e 2s =e 1)(s + 2)
2s B
1 e 2s 1 e 2s 1 e 2(s 1)e = = 3 (s 1) 3 (s + 2) 3 (s 1) e 2 e 2(s 1) e4 e 2(s+2) = 3 (s 1) 3 (s + 2)
Sistem Kontrol Linier
@
2
1 3 (s
1 1 3 C + A 1) (s + 2)
1 e 2(s+2)e4 3 (s + 2)
Transformasi Laplace
32
Misalkan
F1(s
e 2 e 2(s 1) 1) = dan 3 (s 1)
e4 e 2(s+2) F2(s + 2) = ; 3 (s + 2)
dimana
e 2 e 2s F1(s) = dan 3 s
e4 e 2s F2(s) = : 3 s
Karena
e 2 u2(t) f1(t) = L fF1(s)g = 3 1
dan
e4 f2(t) = L fF2(s)g = u2(t); 3 1
Sistem Kontrol Linier
Transformasi Laplace
33
maka berdasarkan teorema 4, didapat
L 1fF (s)g = L 1fF1(s 1) F2(s + 2)g = L 1fF1(s 1)g L 1fF2(s + 2)g = etf1(t) e 2tf2(t) 4 e 2 e = u2(t)et u2(t)e 2t: 3 3 1 = u2(t) et 2 e 2(t 2) : 3
4 Solusi Masalah Nilai Awal Dengan Fungsi Gaya Diskontinu Dalam bagian ini kita akan memfokuskan pada beberapa contoh dimana suku-suku nonhomogen (fungsi daya) adalah diskontinu. Contoh 16. Tentukan solusi persamaan diferensial
5 y + y + y = g(t); 4 y(0) = y 0(0) = 0; 00
Sistem Kontrol Linier
0
Transformasi Laplace
34
dengan
g(t) = 1
u (t) =
1; 0;
0 t
t<
Jawab:
5 Lfy 00 + y 0 + yg = Lfg(t)g 4 5 00 0 Lfy g + Lfy g + Lf yg = Lf1g Lfu (t)g 4 5 1 2 0 s Y (s) sy(0) y (0) + (sY (s) y(0)) + Y (s) = 4 s 5 s +s+ Y (s) 4 2
Sistem Kontrol Linier
1 (s + 1)y(0) y (0) = s 5 1 e s 2 s +s+ Y (s) = 4 s s 1 e s Y (s) = s s2 + s + 54 0
s s
e s
s
e
Transformasi Laplace
35
Tulis Y (s) sebagai berikut:
Y (s) = (1
e
s
)H(s);
dengan
1 H(s) = : s s2 + s + 54 Maka, jika h(t) = L 1fH(s)g akan kita dapatkan
y(t) = h(t)
u (t)h(t
):
Sekarang, gunakan metoda pecahan parsial untuk mendapatkan h(t):
A Bs + C 1 = + 2 H(s) = s s + s + 54 s s2 + s + 54 A s2 + s + 54 + s (Bs + C) = s s2 + s + 54 (A + B)s2 + (A + C)s + 54 A = ; 5 2 s s +s+4 Sistem Kontrol Linier
Transformasi Laplace
36
diperoleh
A+B = 0 A+C = 0 5 A = 1 4 Maka nilai A; B dan C yang memenuhi SPL diatas adalah 4 4 A = ;B = C = : 5 5 Sehingga 4 4 4 s 1 5 5 5 + = H(s) = 5 s s2 + s + 54 s s2 + s + 4 4 4 s+1 4 4 (s + 12 ) + 21 = 5 = 2 5s 5 s + s + 4 5s 5 (s + 12 )2 + 1
Sistem Kontrol Linier
Transformasi Laplace
37
Dengan demikian
h(t) = L 1(H(s)g ( ) 1 1 4 4 (s + 2 ) + 2 1 = L 5s 5 (s + 21 )2 + 1 ( ) 1 1 4 (s + 2 ) + 2 4 1 1 L = L 5s 5 (s + 21 )2 + 1 ( ( ) )! 1 1 (s + 2 ) 4 4 1 1 2 L + L = 5 5 (s + 12 )2 + 1 (s + 12 )2 + 1 1 4 4 1 1 = e 2 t cos t + e 2 t sin t 5 5 2 Karena
y(t) = h(t)
Sistem Kontrol Linier
u (t)h(t
);
Transformasi Laplace
38
maka kita peroleh
y(t) =
8 <4
4 5e
5
:
1 2t
(1 + e 2 )
cos t + 25 e 4 5e
1 2t
1 2t
sin t ; t <
cos t + 52 e
1 2t
sin t ; t
Contoh 17. Tentukan solusi persamaan diferensial
y 00 + y = u 2 (t); y(0) = 0; y 0(0) = 1: Jawab:
Lfy 00 + yg = Lfu 2 (t)g Lfy 00g + Lfyg = Lfu 2 (t)g 2
s Y (s) Sistem Kontrol Linier
sy(0)
0
y (0) + Y (s) =
e
2s
s
Transformasi Laplace
39
2
(s + 1)Y (s) 2
s =
e
2s
s
(s + 1)Y (s) = s +
e
2s
s
s e 2s Y (s) = 2 + s + 1 s(s2 + 1) e 2s Sekarang, tulis sebagai s(s2 + 1) e 2s = e s(s2 + 1)
2s
= e
2s
=e
Sistem Kontrol Linier
2s
Bs + C 1 s A 2 =e + 2 s(s2 + 1) s s +1 A(s2 + 1) + (Bs + C) s s(s2 + 1) (A + B)s2 + Cs + A ; 2 s(s + 1)
Transformasi Laplace
40
maka diperoleh A = 1; C = 0 dan B =
1: Sehingga kita dapatkan
e 2s = e 2 s(s + 1) e =
2s 2s
s
1 s + 2 s s +1 se 2 s s2 + 1
dan
e 2s s + Y (s) = 2 s + 1 s(s2 + 1) s e 2 s se 2 s Y (s) = 2 + : 2 s +1 s s +1
Sistem Kontrol Linier
Transformasi Laplace
41
Dengan demikian kita peroleh 2s s e y(t) = L 1fY (s)g = L 1 2 + s +1 s 2s s 1 e 1 +L L = L s2 + 1 s
= cos t + u 2 (t) = cos t + =
u 2 (t) cos(t
0; t < 1; t
2
2
)
cos(t
2
cos t; t< cos t sin t + 1; t
2 2
Soal: 1. Tentukan solusi persamaan diferensial berikut:
y 00 + y = f (t); y(0) = 0; y 0(0) = 1; Sistem Kontrol Linier
1
se 2 s s2 + 1 se 2 s s2 + 1
2
)
0; t < 1; t
2 2
Transformasi Laplace
42
dengan
f (t) =
1; 0;
t< t
2 2
Jawab:
y(t) = 1
cos t + sin t
u 2 (t) (1
sin t) :
2. Tentukan solusi persamaan diferensial berikut:
y 00 + 2y 0 + y = f (t); y(0) = 1; y 0(0) = 0; dengan
f (t) =
1; 0;
0 t
t<1 1
(t 1)
(t
Jawab:
y(t) = 1 Sistem Kontrol Linier
u1(t) 1
e
1)e
(t 1)
Transformasi Laplace
43
3. Tentukan solusi persamaan diferensial berikut:
y 00 + y = u (t); y(0) = 1; y 0(0) = 0; Jawab:
y(t) = cos t + u (t) (1 + cos t)
Sistem Kontrol Linier