TRANSFORMASI LAPLACE

TRANSFORMASI LAPLACE

SISTEM KENDALI KLASIK  

Pemodelan Matematika Analisis ◦ ◦ ◦ ◦

Diagram Bode, Nyquist, Nichols Step & Impulse Response Gain / Phase Margins Root Locus

Disain  Simulasi 

SISTEM KONTROL LOOP TERTUTUP

PLANT PEMBANGKIT DAYA UAP

SISTEM KENDALI GENERATOR

KOMPONEN DISAIN SISTEM KENDALI

MODEL MATEMATIKA



Bagaimana membuat model matematika ?

MODEL MATEMATIKA 

Rancangan dari sistem kendali membutuhkan rumus model matematika dari sistem.

Mengapa harus dengan model matematika ?  Agar kita dapat merancang dan menganalisis sistem kendali. Misalnya:  Bagaimana hubungan antara input dan output.  Bagaimana memprediksi/menggambarkan perilaku dinamik dari sistem kendali tersebut. 

Dua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function) dalam domain frekuensi (menggunakan Transformasi Laplace). 2. Persamaan-persamaan Ruang Keadaan (State Space Equations) dalam domain waktu.

RANGKAIAN RLC Persamaan Diferensial Biasa dapat menggambarkan perilaku dinamik sistem fisik (hubungan input vs output) seperti sistem mekanik menggunakan Hukum Newton dan sistem kelistrikan menggunakan Hukum Kirchoff. Contoh: Rangkaian RLC, jika V(t) adalah Input; i(t) adalah Output Menggunakan KVL:

L R V(t)

i(t) C

v(t )

vR (t ) vL (t ) vC (t )

di(t ) v(t ) vR (t ) L dt

1 C

t 0

i ( )d

Menggunakan persamaan diferensial (diturunkan dari KVL): • Apakah dapat menjadi persamaan aljabar sederhana ? • Apakah mudah menggambarkan hubungan antara Input dan Ouput dari sistem ? • Dapatkah dibuat menjadi satuan-satuan terpisah ?



Jika jawabannya adalah tidak untuk ketiga pertanyaan diatas, maka kita membutuhkan transformasi Laplace.



Transformasi Laplace memberikan: ◦ Representasi dari Input, Ouput dan Sistem sebagai satuansatuan terpisah. ◦ Hubungan aljabar sederhana antara Input, Output dan Sistem.



Keterbatasan dari Transformasi Laplace : ◦ Bekerja dalam domain frekuensi. ◦ Berlaku hanya apabila sistem adalah linier..

TRANSFORMASI LAPLACE tambahkan dari buku dspguide

y(t)

x(t)

Time Domain Time Domain Circuit Circuit

Laplace Transform

L

X(s)

L1 s-Domain Circuit

Y(s)

s j Complex Frequency 2 Types of s-Domain Circuits With and Without Initial Conditions

Inverse Laplace Transform

TRANSFORMASI LAPLACE 

Transformasi Laplace adalah metoda operasional yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier.



Dapat mengubah fungsi umum (fungsi sinusoida, sinusoida teredam, fungsi eksponensial) menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks.



Operasi diferensiasi dan integrasi dapat diganti dengan operasi aljabar pada bidang kompleks.



Solusi persamaan diferensial dapat diperoleh dengan menggunakan tabel transformasi Laplace atau uraian pecahan parsial.



Metoda transformasi Laplace memungkinkan penggunaan grafik untuk meramalkan kinerja sistem tanpa harus menyelesaikan persamaan diferensial sistem.



Diperoleh secara serentak baik komponen transient maupun komponen keadaan tunak (steady state).

VARIABEL KOMPLEKS 

Variabel kompleks: dengan :

s=

+j

adalah komponen nyata

j adalah komponen maya Bidang s

j

j

1

o

s

FUNGSI KOMPLEKS 

Suatu fungsi kompleks:

G(s) = Gx + jGy

dengan : Gx dan Gy adalah besaran-besaran nyata Im

Gy

G

O

Gx

Re

G2x

G2y



Besar dari besaran kompleks:



Sudut :

tan

1

Gy Gx

Bidang G(s)

G(s)

TURUNAN FUNGSI ANALITIK 

Turunan fungsi analitik G(s) diberikan oleh:

d G(s) ds  

G(s

lim s

0

s) G(s) s

lim s

0

G s

Harga turunan tidak tergantung pada pemilihan lintasan s. Karena s = +j , maka s dapat mendekati nol dengan tak-terhingga lintasan yang berbeda



Untuk lintasan s = d G(s) ds



Gx

lim s

Gx 0

j

j

Gy

j

j

Gx

Jika dua harga turunan ini sama

Gx 

j

Gx

j

Gy

(lintasan sejajar sumbu maya), maka

lim s

Gy

0

Untuk lintasan s = j d G(s) ds



(lintasan sejajar dengan sumbu nyata)

Syarat Cauchy-Riemann

j

Gy

Gy

Gx

Gy

Gy

Gx

j

Gx

Gy

Contoh Soal Tinjau G(s) berikut, apa analitik ?

1

G(s) Jawab:

G(

1 j

j )

dimana Gx

1 1

2

dan

2

s 1 1 Gy

Gx

jG y

1

2

2

Dapat dilihat bahwa, kecuali s=-1 (yaitu =-1, =0), G(s) memenuhi syara Cauchy-Riemann: 2 2 Gy Gy Gx 1 Gx 2 1

1

2

2

2

1

2

2

2

Dengan demikian G(s)=1/(s+1) adalah analitik di seluruh bidang s kecuali pada s=-1.

Turunan dG(s)/ds pada s=-1 adalah Gy Gx d G(s) j ds 1 j

1

Gy

j

Gx

1 2

s 1

2

Perhatikan bahwa turunan fungsi analitik dapat diperoleh hanya dengan mendiferensiasikan G(s) terhadap s d ds

1

1

s 1

s 1

2

Titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) analitik disebut titik ordiner, sedangkan titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) tidak analitik disebut titik singuler. Titik-titik singuler yang menyebabkan fungsi G(s) atau turunanturunannya mendekati tak terhingga disebut pole

KUTUB-KUTUB dan NOL-NOL • Zeros dari G(s)

roots numerator

• Poles dari G(s)

roots denominator

• Persamaan karakterisk

denominator dari G(s)=0 Im

Re

poles zeros

Pola pole-zero

Contoh Soal Tentukan jumlah pole dan zero dari fungsi G(s) berikut: G(s)

K (s

(s 1)

3)

(s

2) 2