TRANSFORMASI LAPLACE

BAB 2

TRANSFORMASI LAPLACE Pokok Pembahasan : Prinsip Dasar Linieritas Singularitas Perkalian dan Pembagian Dengan Waktu Pergeseran Transformasi Fungsi-fungsi Elementer

MATEMATIKA LANJUT

TRANSFORMASI LAPLACE

1. PRINSIP DASAR ⊕ Transformasi Laplace adalah transformasi dari suatu fungsi waktu t ; f(t), dengan frekuensi kompleks, menjadi fungsi frekuensi F(s). ⊕ Transformasi Laplace digunakan untuk memecahkan fungsi-fungsi : • Periodik dan aperiodik • Kontinyu dan diskontinyu • Eksponensial • Membentuk Persamaan Diferensial • Fungsi yang tak dapat ditulis dengan pernyataan matematik ⊕ Bila f(t) komtimyu, maka F(s) juga kontinyu. ⊕ Membuat fungsi menjadi konvergen.

AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

2

MATEMATIKA LANJUT


⊕ Bila f(t) ; t > 0 , maka transformasi Laplace f(t) adalah F(s) ∞

F(s) = L f(t) =

∫

f(t).e -st dt

( 2-1 )

0

dengan

e = 2.71828 s = Frekuensi kompleks s = σ + jω

Faktor perkalian e-st membuat fungsi F(s) konvergen.


3

MATEMATIKA LANJUT


2. LINIERITAS 2.1. Penjumlahan Transformasi Laplace penjumlahan/pengurangan dua atau lebih fungsi t f(t), sama dengan jumlah/kurang transformasi Laplace dari masingmasing fungsi t itu sendiri. ∞

L [ f1(t) + f2(t) ] =

-st f (t) ± f (t) e dt { } 2 ∫ 1 0

∞

∞

0

0

L [ f1(t) + f2(t) ] = ∫ f1 (t).e−st dt +

∫

f 2 (t).e − st dt

L [ f1(t) + f2(t) ] = L f 1( t ) + L f2 ( t ) L [ f1(t) + f2(t) ] = F1(s) + F2(s)

( 2-2 )


4

MATEMATIKA LANJUT


2.2. Perkalian Dengan Konstanta Transformasi Laplace dari perkalian suatu f(t) dengan sembarang konstanta sama dengan perkalian sembarang konstanta dengan transformasi Laplace (f(t) itu sendiri. ∞

L [ k f(t) ] =

∫

k.f (t).e−st dt

0

∞

∫

−st = k f (t).e dt 0

L[k f(t)] = k F(s) ∞

L[a.f1(t)+ b.f2(t)] =

∫

a f1 ( t ) e − s t d t ±

0

( 2-3.A ) ∞

∫ 0

L[a.f1(t) + b.f2(t)] = a F1(s) + b F2(s) AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

b f 2 ( t )e − st d t

( 2-3.B ) 5

MATEMATIKA LANJUT


3. SINGULARITAS 3.1. Diferensiasi Transformasi Laplace diferensiasi f(t) dan turunannya f’(t) adalah sbb : ∞

L f(t) = F(s) =

⎡ df (t) ⎤ dt Misal : u = f(t) ; du = ⎢ ⎥ ⎣ dt ⎦ ∞

∫ 0

⎛ e − st -st f(t).e dt = ⎜ − ⎜ s ⎝

∞

⎞ ⎟ f (t) ⎟ ⎠ 0

∞

∫ 0

∫

f(t).e -st dt

0

−st e dv = e-st dt ; v = − s

⎛ e -st ⎞⎟ ⎛ df(t) ⎞ 1 ⎡ df ( t ) ⎤ f(0) ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dt ⎜⎝ s ⎠⎟⎟ ⎜⎜⎝ dt ⎠⎟⎟ = s + s L ⎢⎣ dt ⎥⎦

df (t) ⎤ L ⎡⎢ = s F(s) – f(0) ⎥ ⎣ dt ⎦ AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

( 2-4.A )

8

MATEMATIKA LANJUT

⎡ d 2f (t) L ⎢ 2 ⎢⎣ d t


⎤ ⎥ ⎥⎦

d ⎡ df (t) ⎤ =L d t ⎢⎣ d t ⎥⎦

⎡ df ( t ) ⎤ = s.L⎢ - f’(0) ⎥ ⎣ dt ⎦

= s F(s) – f(0) – f’(0) = s [ s f(s) – f(0) ] – f’(0)

⎡ d 2f (t) ⎤ L ⎢ = s2 f(s) – s.f(0) – f’(0) ⎥ 2 ⎢⎣ d t ⎥⎦ ⎡ d n f (t) L ⎢ n ⎢⎣ d t

⎤ ⎥ ⎥⎦

( 2-4.B )

= sn f(s) – sn-1.f(0) – sn-2 f’(0) - .... – s.fn-2(0) + fn-1(0)

⎡n ⎤ L [ Dn f(t) ] = sn.F(s) - ⎢ sn− j. f j−1(0)⎥ ⎢ ⎥ j 1 = ⎣ ⎦

∑

( 2-4.C )

⊕ f(0) = fungsi nilai awal (initial value function) AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

9

MATEMATIKA LANJUT


3.2. Integrasi A. Integrasi Terbatas ∞

∞

∫

f ( t ) . e -s t d t =∫

L f(t) = F(s) = L

0

0

⎛ t ⎞ ⎜⎜ f(t) d t ⎟⎟ .e -st d t ⎟⎟ ⎜⎜ ∫ ⎝ 0 ⎠

t

∫

Misal : u =

f(t) dt , du = f(t) dt

;

dv =

e-st

dt ,

0

t

L

∫ 0

⎛ -e-st f(t) dt = ⎜⎜ ⎜⎜ s ⎝

t

∫ 0

⎞⎟ f(t) dt ⎟⎟ ⎠⎟

∞

0

1 -st v=− e s

t

1 -st f(t).e dt + ∫ s 0

t

1 F (s ) L∫ f(t) dt = s

( 2-5.A )

0


10

MATEMATIKA LANJUT


B. Integrasi Tanpa Batas Waktu. Untuk kasus seperti ini diperlukan nilai awal yaitu nilai pada t = 0. ∞

L

∫

f(t) d t =

0

1 [ F(s) + f(0) ] s

( 2-5.B )

4. PERKALIAN DAN PEMBAGIAN DNG WAKTU t (TIME-FREQ. SCALING) 4.1. Perkalian dengan waktu t ∞

L [ t f(t) ] =

∫

∞

∫

t.f(t) e -st d t = −

0

0

d(e-st ) t f(t) dt ds

∞

dF(s) d = − ∫ f(t) e -st dt ds ds 0 AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

11

MATEMATIKA LANJUT


dF(s) L [ t f(t) ] = − ds

( 2-6.A )

2 d F(s) 2 L [ t f(t) ] = (− 1) ds 2

( 2-6.B )

n d F(s) L [ tn f(t) ] = (− 1) ds n

( 2-6.C )

2

n


12

MATEMATIKA LANJUT


4.2. Pembagian Dengan Waktu t

L

⎛ f(t) ⎞⎟ ⎜⎜ ⎜⎝ t ⎠⎟⎟

∞

=

∫ 0

∞

f(t) -st e dt t

∞

= −∫ 0

=

∞

f(t) dt ∫ e -st d(-st) = t s

f(t) dt. e -st t

∫ 0

∞

∫ 0

∞

s

∞

d(-st) f(t) dt .∫ e -t 0 -st

∞ ∞

=

∫∫ s

L

f(t) e -st dt ds .

0

⎛ f(t) ⎞⎟ ⎜⎜ ⎜⎝ t ⎠⎟⎟

∞

=

∫

F (s) d s

( 2-7 )

s


13

MATEMATIKA LANJUT


5. PERGESERAN 5.1. Pergeseran Waktu (Time Shifting)

L f(t) = F(s) ,

Bila

digeser sebesar t0 , maka ∞

∞

L f(t-t0).U(t-to) =

∫

f(t-t 0 ).U(t-t 0 ) e-st dt =

s

∫

f(t-t 0 ) e-st dt

t0

⊕ F(t-t0).U(t-t0) = 0 , berlaku untuk t < t0 ⊕ f(t-t0) , berlaku untuk t > t0 Jika dimisalkan maka

τ = t - t0 ∞

L f(t-t0).U(t-t0) =

∫

f(τ) e

t = τ + t0

; -s (τ + t 0 )

dτ

0

L f(t-t0).U(t-t0) = e-sto F(s) AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

=

∞

∫

; dτ = dt

f(τ ) e -sτ d τ

0

( 2-8 ) 14

MATEMATIKA LANJUT


5.2. Fungsi Gerbang (Gate Function) ⊕ Fungsi gerbang adalah super posisi dua buah Fungsi Satuan Langkah (Unit Step Function). ⊕ Notasi fungsi gerbang

Gto(T)

;

t0 < T

Gt0(T) = U(t-t0) – U( t- t0 – T) f(t)

f(t)

T 0

t0

T

t

0


t0

t

15

MATEMATIKA LANJUT


Contoh : f(t) 1.

E 1

E 0

T

t

f(t)

0

T

t

E E t.G0(T) = t [ U(t) – U(t-T) ] T T E F(s) = L { t [ U(t) – U(t-T) ] } T E E =L{ t. U(t) (t-T) . U(t-T) – E.U(t - T)} T T E E -sT E -sT = e e Ts Ts s

f(t)

=

F(s) = E [ 1- (1+T).e-sT ] Ts


16

MATEMATIKA LANJUT


2. f(t) = E sin ωt. G0(

; ω=2πf ; f=

1 T

2π t T . G 0( ) T 2 2π t f(t) = E sin ( ).[ U(t – T/2)] T

f(t) = E sin

f(t) 1

0

T ) 2

T/2

t

⎧ ⎪ T ⎪ -s ⎪ 1+ e 2 2π E ⎪ ⎪ F(s) = ⎨ 2 T ⎪ ⎛ ⎞ 2 π 2 ⎪ ⎟ ⎜ ⎪ s + ⎟ ⎜ ⎪ ⎜⎝ T ⎠⎟ ⎪ ⎩


⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

17

MATEMATIKA LANJUT


5.3. Pergeseran Frekuensi Pergeseran frekuensi dalam domain s merupakan transformasi Laplace perkalian f(t), dengan fungsi eksponensial e-bt, yaitu sama dengan transformasi Laplace fungsi tersebut yang mengalami pergeseran s sebesar b sehinga menjadi (s+b). Bila

L f(t)

= F(s) ∞

L[

e-bt.f(t)]

=

∫

e -b t .f(t).e -s t d t

0

∞

=

∫

e -(s+ b)t f(t) dt

0

L [ e-bt.f(t)] = F(s+b) AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

( 2-9 ) 18

MATEMATIKA LANJUT


5.4. Fungsi Periodik Transformasi Laplace fungsi periodik dengan periode T sama dengan transformasi Laplace periode pertama fungsi tersebut dibagi (1- e-sT). f(t) f1(t)

0

f2(t)

T

f3(t)

2T

fn(t)

3T

nT

t

f(t) = f1 (t) + f2 (t) + f3 (t) + .............. fn(t) f1 = f(0) U(t) ; f2 = f(U-T) U(t-T) f3 = f(U-2T) U(t-2T) ; fn = f(U-nT) U(t-nT) L f1(t) = F1(s) AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

19

MATEMATIKA LANJUT


F(s) = F1(s)+ F1(s)e-sT + F1(s) e-2sT + ...+ F1(s) e-(n-1)sT F(s) = F1(s) [ 1 + e-sT + e-2sT + ...+ e-(n-1)sT ]

F1 (s) F(s) = (1 - e -sT )


( 2-10 )

20

MATEMATIKA LANJUT


6. TRANSFORMASI FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER 6.1. Fungsi Eksponensial Waktu. f(t) = eat dengan a adalah konstanta yang dapat merupakan bilangan : Nyata, Imajiner atau Kompleks ∞

Bila

L f(t) = F(s) =

∫

f(t).e -st dt

0

∞

L f(t) =

∫

∞ at

-st

e .e dt =

0

∫e

-(s-a)t

0

L

eat

1 = (s-a)


dt

−1 . e -(s-a)t = (s-a)

∞ 0

( 2-11 )

21

MATEMATIKA LANJUT


6.2. Fungsi Satuan Langkah (Unit Step Function)

1

f(t) U(t)

f(t) = U(t) U(t) = 1 ; t > 0 U(t) = 0 ; t < 0

0

Bila

t

U(t) = eat

1 L U(t) = (s-a) ∞

L U(t) =

∫ 0

-st

e dt

untuk

a = 0,

untuk

a=0

1 − . e -s t = s L U(t) =

)

U(t) = 1 L U(t) =

1 s

∞ 0

1 s


( 2-12 22

MATEMATIKA LANJUT


6.3. Fungsi Sinus

e jat = cos at + j sin at e -jat = cos at - j sin at

-

ejat – e-jat = 2j sin at sin at =

1 [ejat – e-jat] 2j

⎧⎪⎪ 1 ⎫⎪ 1 ⎧⎪⎪ 1 1 ⎫⎪⎪ jat -jat ⎪ − ⎨ ⎬ L sin at = L ⎨ [e − e ]⎬ = 2j ⎪⎪⎩ (s-ja ) (s+ja )⎪⎭⎪ ⎪⎩⎪ 2j ⎪⎭⎪

a L sin at = 2 s + a2 AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO – FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

( 2-13 )

23

MATEMATIKA LANJUT


6.4. Fungsi Cosinus ejat + e-jat = 2 cos at ; cos at = ½ (ejat + e-jat ) L cos at = L [ ½ (ejat + e-jat ) ]

s L cos at = 2 s +a 2

( 2-14 )

6.5. Fungsi Hiperbolik sinh at = [eat – e-at]

;

cosh at = [e at + e-at ]

a s2 - a 2 s L cosh at = 2 s - a2 L sinh at =


( 2-15 ) ( 2-16 ) 24

MATEMATIKA LANJUT


7. IKHTISAR TRANSFORMASI LAPLACE 7.1. Sifat-Sifat Utama Transformasi Laplace Fungsi t Linieritas Perkalian dng konstanta

[ f1(t) + f2(t) ]

Fungsi s F1(s) + F2(s)

k f(t) ; k > 0 k F(s) [a.f1(t) + b.f2(t)] ; a,b >0 a F1(s) + b F2(s)

Diferensiasi

⎡ df ( t ) ⎤ ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦

s F(s) – f(0)

Diferensiasi ke n

⎡ d n f (t) ⎤ ⎢ ⎥ n ⎢⎣ d t ⎥⎦

⎡n ⎤ ⎢ sn− j. f j−1(0)⎥ ⎢ ⎥ j 1 = ⎣ ⎦


∑

25

MATEMATIKA LANJUT


Fungsi t t

Integrasi (terbatas)

∫ f(t) dt 0

∞

Integrasi (tak terbatas)

∫

f(t) dt

0

Pergeseran Waktu Pergeseran Frekuensi

Skala Frekuensi-Waktu

f(t-t0).U(t-t0) ; t0 > 0 [ e-bt.f(t)]

f(at) ; a > 0


Fungsi s

1 F (s ) s 1 [ F(s) + f(0) ] s e-sto F(s) F(s+b)

⎡ 1 ⎛ s ⎞⎤ ⎢ F ⎜ ⎟⎥ ⎣ a ⎝ a ⎠⎦ 26

MATEMATIKA LANJUT

Perkalian dng Waktu


Fungsi t

Fungsi s

t . f(t)

dF(s) − ds

tn

Pembagian dng Waktu

f(t)

⎛ f(t) ⎞⎟ ⎜⎜ ⎜⎝ t ⎠⎟⎟


n d F(s) (− 1) n ds n

∞

∫

F (s) d s

s

27

MATEMATIKA LANJUT


7.2. Transformasi Laplace Fungsi-fungsi Elementer 7.2.1. Fungsi Singularitas Fungsi t

Fungsi s

δ(t)

1

t

u(t)

1 s

t

r(t) = t u(t)

Unit Impuls

t

Unit Step

Unit Ramp


1 s2 28

MATEMATIKA LANJUT


Fungsi t

Unit Parabola

t

p(t)= ½ t2 u(t)

Fungsi s

1 s3

1

Integral ke n impuls

δ(-n)(t)

Unit Doublet

δ’(t)

s

δ(n)(t)

sn

Turunan ke n impuls


sn

29

MATEMATIKA LANJUT


7.2.2. Fungsi Elementer Biasa Fungsi t Konstanta t Pangkat dari t

k

Fungsi s

k s

1

t

t (n −1) (n − 1)!

Eksponensial

eat

Perkalian t dng Eksponensial

t.e-at


s2

1 sn

1 (s − a )

1 (s + a ) 2

30

MATEMATIKA LANJUT


Fungsi t Perkalian t dng Eksp.Berulang Sinus

1 t n −1 e − at (n + 1) ! sin ωt

Cosinus

cos ωt

Sinushyperbolicus

sinh ωt

Cosinushyperbolicus

cosh ωt

Sinusoid

b⎞ ⎛ a 2 + b 2 cos ⎜ ωt − tan −1 ⎟ a⎠ ⎝


Fungsi s

1 (s + a ) n ω s2 + ω2 s

s2 + ω2 ω s2 − ω2 s

(s 2 − ω 2 as + b ω s2 + ω2 31

MATEMATIKA LANJUT


Fungsi t Sinus Teredam

e-at sin ωt

Cosinus Teredam

e-at cos ωt

Sinusoid Teredam

2

2

a + p .e

− pt

a⎞ ⎛ cos ⎜ ωt − tan −1 ⎟ b⎠ ⎝

Perkalian t dng sinus

t sin ωt

Perkalian t dng cosinus

t cos ωt


Fungsi s

ω (s + a ) 2 + ω 2

s+a (s + a ) 2 + ω 2 a (s + p ) + b ω (s + p ) 2 + ω 2

2ω s (s 2 + ω 2 ) 2 s2 − ω2 (s 2 + ω 2 ) 2 32

TRANSFORMASI LAPLACE

Recommend Documents