SISTEM KENDALI OTOMATIS Transformasi Laplace
Open Loop/Closed Loop Systems Input/ Desired output
Control signal
Controller
Input/ Desired output
+
Error signal
Actuating signal
Actuator
Control signal
Controller
Plant output
Plant
Actuating signal
Actuator
Sensor
Plant output
Plant
Istilah-istilah dalam SKO • Plant : Suatu peralatan atau objek fisik yang diatur/dikendalikan • Proses : Operasi yang dikendalikan • Sistem : Gabungan komponen yang bekerjasama untuk mencapai satu tujuan • Gangguan : Suatu sinyal (internal/eksternal) yang mempunyai pengaruh merugikan output sistem
Istilah-istilah dalam SKO • Input (Desired Output) : Output yang diinginkan • Error : Selisih antara input dan output yang terjadi pada saat itu • Sinyal kontrol : Sinyal dari kontroller
Model Matematika • Rancangan dari sistem kendali membutuhkan rumus model matematika dari sistem. Mengapa harus dengan model matematika ? • Agar kita dapat merancang dan menganalisis sistem kendali. Misalnya: • Bagaimana hubungan antara input dan output. • Bagaimana memprediksi/menggambarkan perilaku dinamik dari sistem kendali tersebut.
Transformasi Laplace • Mengubah fungsi dari sistem fisis (domain waktu) ke fungsi variabel kompleks (domain s) • Menyederhanakan persamaan matematis yang mengandung operasi turunan/differensial atau integral menjadi persamaan yang berisi perkalian atau pembagian biasa • Dapat mengubah fungsi umum (fungsi sinusoida, sinusoida teredam, fungsi eksponensial) menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks • Metode ini memungkinkan untuk meramal kinerja sistem menggunakan grafis tanpa harus menyelesaikan persamaan differensial • Komponen transien dan steady state diperoleh secara serentak
Penyelesaian Menggunakan Transformasi Laplace Secara sederhana prosedur dasar pemecahan menggunakan metode transformasi Laplace adalah: • Persamaan diferensial yang berada dalam kawasan waktu (t), ditransformasikan ke kawasan variabel kompleks(s) dengan transformasi Laplace. • Untuk mempermudah proses transformasi dapat digunakan tabel transformasi laplace. • Persamaan yang diperoleh dalam kawasan s tersebut adalah persamaan aljabar dari variabel s yang merupakan operator Laplace. • Penyelesaian yang diperoleh kemudian ditransformasi-balikkan ke dalam kawasan waktu. • Hasil transformasi balik ini menghasilkan penyelesaian persamaan dalam kawasan waktu.
x(t)
y(t)
Time Domain Time Domain Circuit Circuit
Laplace Transform
L
X(s)
1
L
s-Domain Circuit Y(s) s j Complex Frequency 2 Types of s-Domain Circuits With and Without Initial Conditions
Inverse Laplace Transform
Definisi Transformasi Laplace
L[ f (t )] F ( s) f (t ) e dt 0
dengan: f(t) = fungsi waktu t, dengan f(t)=0 untuk t<0 s = variabel kompleks
st
Latihan • Hitung Transformasi Laplace Unit Step
u(t)
1
t
• Hitung Transformasi Laplace Unit Ramp
f(t)
f (t ) At untuk t 0 t
• Hitung Transformasi Laplace dari 𝑓 𝑡 =𝑒
−𝑎𝑡
• Hitung Transformasi Laplace dari fungsi sinus
f(t)
( t ) u(t) t tn e at sin(at ) cos( at ) sh(at ) ch (at ) e bt sin(at ) e bt cos( at )
F(s)=L[f(t)]
1 1/ s 1/ s2 n! / s ( n 1) 1 /(s a ) a /(s 2 a 2 ) s /(s 2 a 2 ) a /(s 2 a 2 ) s /(s 2 a 2 ) a /[(s b) 2 a 2 ] (s b) /[(s b) 2 a 2 ]
(e bt e at ) /(b a ) 1 /(s a )(s b)
a b
(be bt ae at ) /(b a ) s /(s a )(s b)
a b
SIFAT LINIERITAS F1 (s) L[f1 ( t )] F2 (s) L[f 2 (t )]
c1 , c 2 Cons tan ts
L[c1.f1 ( t ) c 2 .f 2 ( t )] c1.L[f1 ( t )] c 2 .L[f 2 ( t )] c1.F1 (s) c 2 .F2 (s)
SIFAT TRANSLASI L[eat f ( t )] F(s a )
a) Jika F(s)=L[f(t)]
0
0
L[eat f ( t )] [eat f ( t )]e st dt f ( t )e (s a ) t dt F(s a )
Contoh
s L[Cos(2t )] 2 s 4
s 1 s 1 L[e Cos(2t )] 2 2 (s 1) 4 s 2s 5 t
f(t)
• Translasi [time]
g(t)
b) Jika g(t) = f(t-a) for t>a = 0 for t
L[g( t )] e as F(s)
0
0
a
L[g( t )] f ( t a )]e st dt f (u )e s ( u a ) du e as f (u )e su du Contoh g( t ) ( t 2) 3 , t 2 g( t ) 0, t 2
0
3! 6 L[ t ] 4 4 s s 3
6e 2s L[g( t )] s4 21
1 s L[f (a.t )] F( ) a a
•Perubahan skala waktu
L[f (a.t )] f (a.t )]e dt f (u )e 0
st
0
su a
du 1 s F( ) a a a
Contoh
1 L[Sin ( t )] 2 s 1
1 1 3 L[Sin (3t )] 2 3 s s2 9 3 1 22
TEOREMA DIFERENSIASI Transformasi Laplace dari turunan fungsi f(t) diberikan sebagai df (t ) df (t ) st L e dt 0 dt dt
Integrasi bagian demi bagian memberikan
df (t ) st L f ( t )e dt
0
s f (t )e dt st
0
df(t) L f (0) sLf (t) dt Transformasi Laplace sangat berguna karena mengubah persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar sederhana.
Turunan Pertama [Derivative first order] df L[f ' ( t )] L[ ] L[f ( t )] s.F(s) f (0 ) dt
L[f ' (t)] e
st
f (t)dt e
st
f (t )
se 0
0
st
f (t)dt
0
sF (s) f (0 ) f(t)
L[f ' (t )] s.F(s) f (0 )
f (0 )
t 24
Turunan orde tinggi (Derivatives of higher order) df L[f ' ( t )] L[ ] L[f ( t )] s.F(s) f (0 ) dt
L[f " ( t )] L[f ( t )] s 2 .F(s) s.f (0 ) f ' (0) (n )
L[ f ( t )] s F(s) s n
(n )
n 1
f (0) s
L[f ( t )] s n F(s)
n
n 2
(1)
( n 1)
f (0) ..... f (0)
(i 1)
s n i . f (0)
i 1
•Jika discontinuity pada a
f (a ) f (a )
L[f ' (t )] s.F(s) f (0) eas [f (a ) f (a )] 25
Contoh Turunan L[Sin (t )] 2 s 2
s L[Cos(t )] 2 2 s
d[sin(t )] 1 d[Sin (t )] Cos(t ) Cos(t ) dt dt s Sin (0 ) s s L[Cos(t )] L[Sin (t )] 2 2 2 (s ) s 2 1 d[Cos(t )] d[Cos(t )] Sin (t ) Sin (t ) dt dt
s Cos(0 ) L[Sin (t )] L[Cos(t )] 2 (s 2 ) 26
INTEGRASI t
F(s) L[f (t )]
g( t ) f (u )du ] 0
g( t ) f ( t )
L[g( t )] sL[g( t )] g(0 ) F(s) t
F(s) L[ f (u )du ] s 0
Perkalian dengan faktor t
dF(s) d ' F (s) [ e st f ( t )dt ds ds
Leibnitz’s rule
0
dF(s) ds
0
st [e f ( t )dt ] e st [ tf ( t )]dt L[ tf ( t )] s
0
L[tf (t )] F' (s)
Rumus umum n d F(s) L[ t n f ( t )] (1) n ds n
Pembagian dengan faktor t f (t) g( t ) t
f (t ) tg(t )
dL[g( t )] dG(s) L[f ( t )] F(s) ds ds s
G (s) F(u )du
F(u )du
s
f (t) L[ ] t
s
F(u )du
LimG(s) 0 s
FUNGSI PERIODIK t, k
f (t kT) f (t ) T
2T
3T
0
T
2T
L[f ( t )] F(s) e st f ( t )dt e st f ( t )dt e st f ( t )dt....... T
T
T
0
0
0
L[f ( t )] F(s) e st f ( t )dt e s ( u T ) f (u T)du e s ( u 2T ) f (u 2T)du....... T
T
T
0
0
0
L[f ( t )] F(s) e st f ( t )dt e sT e su f (u )du e 2sT e su f (u )du.......
T
n 0
0
L[f ( t )] F(s) e nsT[ e st f ( t )dt ]
nsT e n 0
1 1 e sT
T
L[f ( t )] F(s)
st f ( t ) e dt 0
1 e sT
Fungsi periodik Sinus & Cosinus e jt Cos(t ) jSin (t )
0
0
L[e jt ] L[Cos(t )] jL[Sin (t )] e jt e st dt e( js ) t dt T
L[e T
e 0
( js ) t
jt
]
1 dt e( js ) t j s
L[e
jt
T 0
( j s ) t e dt 0
1 e sT 1 1 jT sT [e e 1] [e sT 1] j s j s
1 s j s j ] 2 s j (s j)(s j) s 2
Sifat Transformasi Laplace
Transformasi Laplace Invers Diketahui: F(s)=L[f(t)] Bagaiman mencari f(t) dari F(s) ? 1
f (t) L [F(s)]
a) Metoda Tabel
1 at F(s) f (t) e sa
b) Ekspansi fraksi dengan akar-akar berbeda n a1 a2 an B(s) F(s) ... aie pit A(s) s p1 s p 2 s pn i1
f (t) a1e
p1t
a2e
p 2 t
......an e
pn t
n
aie pit i1
Harga ak (residu pada pole s=-pk) dapat diperoleh dengan: a B(s) ak an ak (s pk ) 1 (s pk ) ... (s pk ) ... (s pk ) s pk s pn A(s) s pk s p1 s p k
Semua suku uraian menjadi nol, kecuali ak. Jadi residu ak diperoleh: B (s ) ak (s p k ) A(s) s p k
Contoh Soal Carilah transformasi Laplace balik dari s3 F(s) (s 1)(s 2) Jawab: Transformasi Laplace balik dari: 1
a -pt L a e s p
a1 a2 s3 F(s) (s 1)(s 2) (s 1) (s 2)
s3 a1 (s 1) 2 (s 1)(s 2) s 1 s3 a2 (s 2) 1 (s 1)(s 2) s 2
2 1 1 L F(s) L L (s 1) (s 2) 1
1
L1 F(s) 2e t e 2t
untuk t 0
Contoh Soal 2s 4 F(s) (s 1)(s 2)(s 3) 2
1 3 7 F(s) 6(s 1) 4(s 2) 2(s 3) e t 3e 2t 7e 3t f (t) 6 4 2
1. Definisi input dari sistem kendali otomatis yang paling tepat adalah a. Masukan dari sistem yang mempengaruhi proses b. Output yang diinginkan c. Perangkat yang digunakan untuk memasukkan data kedalam sistem d. Selisih antara masukan dan keluaran
1. Definisi input dari sistem kendali otomatis yang paling tepat adalah a. Masukan dari sistem yang mempengaruhi proses b. Output yang diinginkan c. Perangkat yang digunakan untuk memasukkan data kedalam sistem d. Selisih antara masukan dan keluaran
A
B
C
D
2. Dari gambar diatas, sinyal kontrol ditunjukkan oleh bagian: a. A b. B c. C d. D
A
B
C
D
2. Dari gambar diatas, sinyal kontrol ditunjukkan oleh bagian: a. A b. B c. C d. D
3.
Manakah berikut ini yang merupakan kegunaan dari transformasi laplace (pilih lebih dari satu): a. Mengubah persamaan dalam domain waktu ke variabel kompleks (S) b. Menyederhanakan persamaan matematis yang berisi turunan/diferensial menjadi persamaan yang berisi perkalian dan pembagian biasa c. Mengubah persamaan dalam domain waktu ke domain frekuensi d. Mengubah fungsi umum (sinusoida, eksponensial, dll) ke dalam varabel kompleks
3.
Manakah berikut ini yang merupakan kegunaan dari transformasi laplace (pilih lebih dari satu): a. Mengubah persamaan dalam domain waktu ke variabel kompleks (S) b. Menyederhanakan persamaan matematis yang berisi turunan/diferensial menjadi persamaan yang berisi perkalian dan pembagian biasa c. Mengubah persamaan dalam domain waktu ke domain frekuensi d. Mengubah fungsi umum (sinusoida, eksponensial, dll) ke dalam varabel kompleks
4. Fungsi yang mempunyai keanggotaan dengan nilai 0 untuk t<0 dan nilai 1 untuk t≥1, adalah a. b. c. d.
Unit step Unit ramp Eksponensial Unit tunggal
4. Fungsi yang mempunyai keanggotaan dengan nilai 0 untuk t<0 dan nilai 1 untuk t≥1, adalah a. b. c. d.
Unit step Unit ramp Eksponensial Unit tunggal
5. Transformasi laplace dari unit step adalah a. b. c. d.
S S2 1/s 1/s2
5. Transformasi laplace dari unit step adalah a. b. c. d.
S S2 1/s 1/s2
Tugas 1. Tentukan transformasi laplace dari a. 𝑓 𝑡 = 𝑡 − 3𝑒 −2𝑡 b. 𝑓 𝑡 = 2𝑡 2 c. 𝑓 𝑡 = 𝑒 −2𝑡 sin(3𝑡) d. 𝑓 𝑡 = 2𝑒 −2𝑡 2. Tentukan invers transformasi laplace dari a.
𝐺 𝑠 =
b.
𝐹 𝑠 =
c.
𝐹 𝑠 =
𝑠 3 +5𝑠 2 +9𝑠+7 (𝑠+1)(𝑠+2) 𝑠+1 𝑠(𝑠 2 +𝑠+1) 𝑠 2 +2𝑠+3 𝑠+1 3
TERIMA KASIH
