Kebalikan Transformasi Laplace

TKS 4003 Matematika II

Kebalikan Transformasi Laplace – Fraksi Pecahan –

(Partial Fraction: Laplace Transform Inverse) Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

PENDAHULUAN Dalam penggunaannya, transformasi Laplace seringkali 𝑸(𝒔) melibatkan bentuk 𝑷(𝒔) dengan banyak fraksi, dimana 𝑸(𝒔) dan 𝑷(𝒔) merupakan suku polinomial. Oleh karenanya, terlebih dahulu dipelajari bagaimana fraksi-fraksi yang terlibat/dihasilkan diubah ke fraksi pecahan (partial fraction) agar didapatkan solusi dari Persamaan Differensial Biasa, Jadi, terlebih dahulu dipelajari bagaimana menggunakan partial fraction sebelum memecahkan Persamaan Differensial Biasa (Ordinary Differential Equation).

1

PENDAHULUAN (Lanjutan) Jika : 𝑸(𝒔) 𝑷(𝒔)

=

𝒂𝟏 𝒔−𝜶𝟏

+

𝒂𝟐 𝒔−𝜶𝟐

+ ⋯+

𝒂𝒏 𝒔−𝜶𝒏

(1)

dengan 𝑷 𝒔 = 𝒔 − 𝜶𝟏 𝒔 − 𝜶 𝟐 … 𝒔 − 𝜶𝒏

Maka terdapat 3 kemungkinan penyelesaian : 1. 𝑷 𝒔 akar-akarnya riil dan berbeda. 2. 𝑷 𝒔 akar-akarnya riil dan sama. 3. 𝑷 𝒔 akar-akarnya pasangan bilangan kompleks.

FRAKSI PECAHAN 1. 𝑷 𝒔 akar-akarnya riil dan berbeda 𝜶𝟏 ≠ 𝜶𝟐 ≠ ⋯ ≠ 𝜶𝒏 Tuliskan masing-masing faktor 𝑷 𝒔 , dan tambahkan koefisien yang sesuai (A, B, dan seterusnya) pada bagian pembilang. Contoh : • •

𝑠+1 𝐴 𝐵 = (𝑠−1) + (𝑠−3) 𝑠2 −4𝑠+3 1 𝐴 𝐵 = + (𝑠−2)(𝑠+1) (𝑠−2) (𝑠+1)

2

FRAKSI PECAHAN (Lanjutan) 2. 𝑷 𝒔 akar-akarnya riil dan sama 𝜶𝟏 = 𝜶𝟐 = ⋯ = 𝜶𝒏 𝑸(𝒔)

Jika 𝑷(𝒔) = 𝑸(𝒔) 𝑷(𝒔)

=

𝒂𝟏 𝒔−𝜶𝟏

𝒂𝟏 𝒔−𝜶𝟏 𝒏

+

, maka diuraikan menjadi :

𝒂𝟏 𝒔−𝜶𝟏 𝟐

+ ⋯+

𝒂𝒌 𝒔−𝜶𝒌

+

𝒂𝒌+𝟏 𝒔−𝜶𝒌+𝟏

+…+

𝒂𝒏 𝒔−𝜶𝒏

Contoh : •

1 𝑠2 +6𝑠+9

1

= (𝑠+3)2 𝐴

𝐵

= (𝑠+3) + (𝑠+3)2

FRAKSI PECAHAN (Lanjutan) 3. 𝑷 𝒔 akar-akarnya pasangan bilangan kompleks 𝜶𝟏 = 𝒂 + 𝒃𝒊, 𝜶𝟐 = 𝒂 − 𝒃𝒊 Jika

𝑸(𝒔) 𝑷(𝒔)

=

𝑨+𝑩𝒔 𝒔+𝒂 𝟐 +𝒃𝟐

+

𝒂𝟑 𝒔−𝜶𝟑

+ ⋯+

𝒂𝒏 𝒔−𝜶𝒏

Contoh : •

1 𝑠3 +𝑠2 −2

= = =

1 𝑠−1 𝑠2 +2𝑠+2 1 𝑠−1 𝑠−1−𝑖 𝑠−1+𝑖 𝐴 𝐵+𝐶𝑠 + (𝑠−1) (𝑠−1)2 +1

3

FRAKSI PECAHAN (Lanjutan) Dari pemecahan fraksi di atas, perlu dicari nilai dari koefisien A, B, C dan seterusnya. Terdapat 3 cara untuk menyelesaikan fraksi pecahan, yaitu : 1. Cover up rule 2. Substitution 3. Equate coefficient

COVER UP RULE Langkah-langkah penyelesaian fraksi pecahan dengan cover up rule adalah : a. Kalikan dengan 𝒔 − 𝜶𝒊 b. Substitusikan 𝒔 = 𝜶𝒊 Contoh 1. Jika 𝑷(𝒔) akar-akarnya riil dan berbeda : 𝒔+𝟏 Cari fraksi pecahan dari : 𝒔−𝟏 𝒔−𝟑 Jawab : 𝒔+𝟏 𝒔−𝟏 𝒔−𝟑

=

𝑨 𝒔−𝟏

+

𝑩 𝒔−𝟑

4

COVER UP RULE (Lanjutan) Kalikan dengan 𝒔 − 𝟏 : × 𝒔−𝟏 ⇒

𝒔+𝟏 𝒔−𝟑

=𝑨+ 𝒔−𝟏

𝑩 𝒔−𝟑

Substitusikan dengan 𝒔 = 𝟏: 𝟐 𝒔 = 𝟏 ⇒ −𝟐 = 𝑨 ⇒ 𝑨 = −𝟏 Selanjutnya kalikan dengan 𝒔 − 𝟑 : × 𝒔−𝟑 ⇒

𝒔+𝟏 𝒔−𝟏

= 𝒔−𝟑

𝑨 𝒔−𝟏

+𝑩

Substitusikan dengan 𝒔 = 𝟑: 𝟒 𝒔=𝟑⇒𝟐=𝑩⇒𝑩=𝟐 Sehingga diperoleh :

𝒔+𝟏 𝒔−𝟏 𝒔−𝟑

=−

𝟏 𝒔−𝟏

+

𝟐 𝒔−𝟑

COVER UP RULE (Lanjutan) Contoh 2. Jika 𝑷(𝒔) akar-akarnya riil dan sama : Cari fraksi pecahan dari :

𝒔𝟐 +𝟑𝒔+𝟒 𝒔+𝟏 𝟑

Jawab : 𝒔𝟐 +𝟑𝒔+𝟒 𝒔+𝟏 𝟑

=

𝑨 𝒔+𝟏

+

𝑩 𝒔+𝟏 𝟐

+

𝑪 𝒔+𝟏 𝟑

Untuk mencari nilai C, kalikan dengan 𝒔 + 𝟏 𝟑 ⇒ 𝒔𝟐 + 𝟑𝒔 + 𝟒 = 𝑨 𝒔 + 𝟏 𝟐 + 𝑩 𝒔 + 𝟏 + 𝑪 Substitusikan dengan 𝒔 = −𝟏 : ⇒𝟏−𝟑+𝟒=𝑪⇒𝑪=𝟐

5

COVER UP RULE (Lanjutan) Untuk mencari nilai A dan B, digunakan metode substitusi. Ambil 𝒔 = 𝟎 dan substitusikan ke persamaan. 𝟎+𝟎+𝟒 𝑨 𝑩 𝑪 ⇒ 𝟏 = 𝟏+𝟏+𝟏 ⇒ 𝟒=𝑨+𝑩+𝑪 Substitusikan dengan 𝑪 = 𝟐 : ⇒𝟐 =𝑨+𝑩 (a) Ambil 𝒔 = 𝟏 dan substitusikan ke persamaan. 𝟏+𝟑+𝟒 𝑨 𝑩 𝑪 𝑨 𝑩 𝑪 ⇒ 𝟐𝟑 = 𝟐 + 𝟐𝟐 + 𝟐𝟑 ⇒ 𝟏 = 𝟐 + 𝟒 + 𝟖 Kalikan dengan × 𝟖 : × 𝟖 ⇒ 𝟖 = 𝟒𝑨 + 𝟐𝑩 + 𝑪

COVER UP RULE (Lanjutan) Substitusikan dengan 𝑪 = 𝟐 : 𝟔 = 𝟒𝑨 + 𝟐𝑩 (b) Jika Pers. (a) dan (b) diselesaikan, maka akan didapatkan : 𝑨 = 𝟏, 𝑩 = 𝟏, 𝑪 = 𝟐 Sehingga diperoleh : 𝒔𝟐 +𝟑𝒔+𝟒 𝒔+𝟏 𝟑

=

𝟏 𝒔+𝟏

+

𝟏 𝒔+𝟏 𝟐

+

𝟐 𝒔+𝟏 𝟑

6

COVER UP RULE (Lanjutan) Contoh 3. Jika 𝑷(𝒔) akar-akarnya kompleks : 𝟏 Cari fraksi pecahan dari : 𝒔−𝟐 𝟐 + 𝒔𝟐 +𝟏 Jawab : Karena 𝑷(𝒔) mengandung 𝒔𝟐 + 𝟏 , maka diberikan koefisien 𝑪𝒔 + 𝑫 pada bagian pembilang. 𝟏 𝑨 𝑩 𝑪𝒔+𝑫 = 𝒔−𝟐 + 𝒔−𝟐 𝟐 + 𝒔𝟐 +𝟏 𝒔−𝟐 𝟐 + 𝒔𝟐 +𝟏 × 𝒔 − 𝟐 𝟐⇒

𝟏 𝒔𝟐 +𝟏

𝟏 𝟒+𝟏

𝒔=𝟐⇒

= 𝒔−𝟐 𝑨+𝑩+ 𝒔−𝟐

𝟐 𝑪𝒔+𝑫 𝒔𝟐 +𝟏

𝟏

=𝑩⇒𝟓

COVER UP RULE (Lanjutan) ⇒

𝟏 𝒔−𝟐

𝟐+

𝒔𝟐 +𝟏

=

𝑨 𝒔−𝟐

+𝟓

𝟏 𝒔−𝟐 𝟐

+

𝑪𝒔+𝑫 𝒔𝟐 +𝟏

Untuk mencari nilai koefisien yang lain (A, C, dan D) digunakan metode substitusi. Untuk 𝒔 = 𝟎 𝟏 𝑨 𝟏 𝑪.𝟎+𝑫 𝒔 = 𝟎 ⇒ 𝟎−𝟐 𝟐 + 𝟎𝟐 +𝟏 = 𝟎−𝟐 + 𝟓 𝟎−𝟐 𝟐 + 𝟎𝟐 +𝟏 𝟏

𝟏

𝟏

⇒ 𝟒 = − 𝟐 𝑨 + 𝟐𝟎 + 𝑫 ⇒ 𝟐 = −𝟓𝑨 + 𝟏𝟎𝑫

(a)

7

COVER UP RULE (Lanjutan) Untuk 𝒔 = 𝟏 𝒔 = 𝟏 ⇒ 𝟏−𝟐 𝟏

𝟏

𝑨 𝟏 = 𝟏−𝟐 + 𝟓 𝟏−𝟐 𝟐 𝟏𝟐 +𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 −𝑨 + 𝟓 + 𝟐 𝑪 + 𝟐 𝑫 𝟐+

⇒𝟐= ⇒ 𝟑 = −𝟏𝟎𝑨 + 𝟓𝑪 + 𝟓𝑫 Untuk 𝒔 = 𝟑 𝟏 𝑨 𝒔 = 𝟑 ⇒ 𝟑−𝟐 𝟐 + 𝟑𝟐 +𝟏 = 𝟑−𝟐 + 𝟓 𝟏

𝟏

𝟑

+

𝑪.𝟏+𝑫 𝟏𝟐 +𝟏

(b) 𝟏 𝟑−𝟐 𝟐

+

𝑪.𝟑+𝑫 𝟑𝟐 +𝟏

𝟏

⇒ 𝟏𝟎 = 𝑨 + 𝟓 + 𝟏𝟎 𝑪 + 𝟏𝟎 𝑫 ⇒ −𝟏 = 𝟏𝟎𝑨 + 𝟑𝑪 + 𝑫

(c)

COVER UP RULE (Lanjutan) Jika Pers. (a), (b), dan (c) diselesaikan, maka akan didapatkan : 𝟒

𝟏

𝟒

𝟑

𝑨 = − 𝟐𝟓 , 𝑩 = 𝟓 , 𝑪 = 𝟐𝟓 , 𝑫 = 𝟐𝟓 Sehingga diperoleh : 𝟏 ⇒ 𝒔−𝟐 𝟐 + 𝒔𝟐 +𝟏 = 𝟐𝟓

𝟒 𝒔−𝟐

+𝟓

𝟏 𝒔−𝟐 𝟐

𝟒𝒔+𝟑 𝒔𝟐 +𝟏

+ 𝟐𝟓

8

SUBSTITUTION Jika fraksi pecahan adalah : 𝑸 𝒃𝒊 𝑷 𝒃𝒊

=

𝒂𝟏 𝒃𝒊 −𝜶𝟏

+

𝒂𝟐 𝒃𝒊 −𝜶𝟐

+⋯+

𝒂𝒏 𝒃𝒊 −𝜶𝒏

Maka dilakukan : 1. Substitusi 𝒔 = 𝒃𝒊 , dengan 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 2. Cari nilai 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , ..., 𝒂𝒏 Contoh 4 : Cari nilai koefisien A dan B pada : 𝟏 𝑨 𝑩 = 𝒔 + (𝒔+𝟏) 𝒔 𝒔+𝟏 Jawab :

SUBSTITUTION (Lanjutan) 1

𝐴

𝐵

Untuk 𝑠 = 1, ⇒ 2 = 1 + 2 1

1

⇒ 2 = 𝐴 + 2𝐵 1

𝐴

(a)

𝐵

Untuk 𝑠 = 2, ⇒ 6 = 2 + 3 1

2

⇒ 3 = 𝐴 + 3𝐵 (b) Jika Pers. (a) dan (b) diselesaikan, maka akan didapatkan : 𝑨 = 𝟏, 𝑩 = −𝟏 Sehingga diperoleh : 𝟏 𝟏 𝟏 ⇒ = − 𝒔 𝒔+𝟏 𝒔 (𝒔 + 𝟏)

9

EQUATE COEFFICIENT Langkah pengerjaan fraksi pecahan dengan metode ini adalah : 1. Kalikan kedua ruas dengan 𝑷(𝒔). 2. Samakan koefisen 𝒔 di ruas kanan persamaan dengan di ruas kiri. Contoh 5 : Cari nilai koefisien A, B, dan C pada : 𝟏 𝒔+𝟏 𝒔𝟐 +𝟏

=

𝑨 𝒔+𝟏

+

𝑩𝒔+𝑪 𝒔𝟐 +𝟏

Jawab :

EQUATE COEFFICIENT

(Lanjutan)

1. Kalikan dengan 𝒔 + 𝟏 𝒔𝟐 + 𝟏 , sehingga menjadi : ⇒ 𝟏 = 𝑨 𝒔𝟐 + 𝟏 + 𝑩𝒔 + 𝑪 𝒔 + 𝟏 ⇒ 𝟏 = 𝑨 + 𝑩 𝒔𝟐 + 𝑩 + 𝑪 𝒔 + 𝑨 + 𝑪 2. Penyamaan koefisien 𝒔 : Untuk 𝒔𝟐 ⇒ 𝟎 = 𝑨 + 𝑩 Untuk 𝒔𝟏 ⇒ 𝟎 = 𝑩 + 𝑪 Untuk 𝒔𝟎 ⇒ 𝟏 = 𝑨 + 𝑪

(a) (b) (c)

10

EQUATE COEFFICIENT

(Lanjutan)

Jika Pers. (a), (b), dan (c) diselesaikan, maka akan didapatkan : 𝟏 𝟏 𝟏 𝑨 = 𝟐,𝑩 = −𝟐,𝑪 = 𝟐 Sehingga diperoleh : 𝟏 𝟏 (𝒔 − 𝟏) ⇒ = − 𝟐 𝒔+𝟏 𝒔 +𝟏 𝟐 𝒔+𝟏 𝟐 𝒔𝟐 + 𝟏

LATIHAN Cari fraksi pecahan dan nilai koefisiennya : 1. 2.

1 𝑠2 (𝑠+1) 𝑠+1 (𝑠+2)(𝑠+3)

11

Terima kasih dan

Semoga Lancar Studinya!

12