PEMBAHASAN TRANSFORMASI KEBALIKAN

PEMBAHASAN TRANSFORMASI KEBALIKAN 1.1`

Definisi

Suatu transformasi yang didasarkan pada fungsi

dengan

dinamakan

transformasi kebalikan . Secara geometric, transformasi

akan memetakan titik-titik yang mendekati

ke

titik-titik di daerah yang jauh dari peta titik-titik sebelumnya. Dengan menuliskan dan

dalam bentuk kutub, kita lihat bahwa jika

maka

diperoleh

Bukti:

Jadi, di bawah fungsi kebalikan suatu titik dengan modulus dan argument menjadi suatu titik dengan modulus dan argument

dipetakan

.

Transformasi tersebut dapat digambarkan secara geometri dengan langkah-langkah sebagai berikut: Kasus I : berada di dalam lingkaran 1. Ambil suatu titik

yang mempunyai modulus dan argument yang terletak di

dalam lingkaran satuan 2. Lukis garis

melalui yang tegak lurus pada sinar

3. Dari titik-titik perpotongan

dari O dan melalui .

dengan lingkaran satuan, lukis garis singgung

yang berpotongan pada suatu titik pada .

4. Diperoleh

dan

5. Tentukan titik 6. Diperoleh

.

dimana

dan

.

.

Kasus II : berada di garis pada lingkaran satuan untuk setiap

, maka

sumbu Real 1. Ambil sebarang titik 2. Cerminkan pada sumbu Real

merupakan pencerminan titik terhadap

Kasus III : berada di luar lingkaran 1. Ambil sebarang titik 2. Tarik garis R melalui

dan

3. Bagi garis R menjadi dua bagian sama panjang, beri nama titik tengah dengan A 4. Lukis lingkarang dengan pusat A dan berjari-jari OA yang akan memotong lingkaran satuan di dua titik. Beri nama B dan C 5. Tarik garis S yang melalui B dan C sehingga memotong garis R di titik 6. Diperoleh 7. Tentukan titik 8. Diperoleh

dan

.

dimana

dan

.

1.2 Contoh Soal 1. Kita akan melihat bayangan kurva dibawah pemetaan w 

1 , perhatikan garis tegak z

x  1 . Dari penguraian 1 x y  2  2 i 2 z x y x  y2

Kita mempunyai

u

x x  y2 2

dan

v

y x  y2 2

Kemudian karena setiap titik pada garis yang diberikan berbentuk z  1  yi Kita mendapatkan bahwa

u

x 1  y2 2

dan

v

y 1  y2 2

Dengan menguadratkan dan menjumlahkan dua persamaan terakhir itu, kita memperoleh u 2  v2  u

Sehingga, diperoleh sebuah lingkaran

w

1 1  2 2

Setelah ditemukan gambar transformasi dari garis tersebut, kita akan menentukan daerah dari pada bidang Misalkan daerah di dalam lingkaran,

2

1 1  u    v  2 2 

jadi, daerah di dalam lingkaran tersebut adalah pemetaan dari daerah Dengan cara yang hampir sama dapat ditunjukkan daerah di luar lingkaran adalah pemetaan dari daerah

dan garis pada lingkaran merupakan pemetaan dari garis

Seperti pada gambar di bawah ini:

Bidang

transformasi

Bidang

Pernyataan:

Di bawah transformasi kebalikan garis-garis dan lingkaran-lingkaran dipetakan ke garisgaris atau lingkaran-lingkaran. Bukti berdasarkan a) b) Persamaan

mewakili suatu lingkaran

suatu garis

atau

dan sebaliknya setiap garis atau lingkaran dapat diwakili oleh

seuatu persamaan yang berbentuk seperti di atas. Misalkan diberikan suatu lingkaran atau suatu garis, misal . Kemudian untuk konstanta

dan . Maka:

Dari a) kita mempunyai , Kemudian dengan membagi persamaan

yang merupakan garis

, dengan

atau lingkaran

diperoleh

pada bidang .

2. Perhatikan garis

L1 : x  y  2  0 Dalam notasi persamaan K : a  x 2  y 2   bx  cy  d  0 , a  0, b  1, c  1, d  2 . Jadi, di bawah w 

1 , L1 dipetakan menjadi garis atau lingkaran yang diberikan. Maka, L1 z

dipetakan menjadikan lingkaran C1 : 2  u 2  v 2   u  v  0

Begitu pula, kita mendapatkan bahwa garis L2 : x  y  2  0

Dipetakan menjadi lingkaran C2 : 2  u 2  v 2   u  v  0

Perhatikan bahwa:

Dipetakan ke lingkaran

Dipetakan ke lingkaran Karena untuk

,

dan untuk

berpotongan tegak lurus di Sedangkan untuk

Subtitusi

maka kedua garis tersebut

. dan untuk

sehingga diperoleh untuk

lingkaran tersebut berpotongan pada

, serta

dan dan

Transformasi

.

maka kedua

1.3 LATIHAN SOAL 13.3 Carilah bayangan masing-masing garis atau lingkaran berikut dibawah pemetaan kebalikan a)

y 1

b) y  x  1 c) x  1 d) x  y  1 e) x 2   y  1  4 2

f)

 x  1   y  2 2

2

4

g) Sumbu nyata h) Sumbu khayal Jawab: a) y  1 y 1  0 a  0, b  0, c  1, d  1

1(u 2  v 2 )  v  0 u 2  v2  v  0

b) y  x  1 y  x 1  0 a  0, b  1, c  1, d  1

u

2

 v2   u  v  0

u 2  v2  u  v  0

c) x  1

x 1  0 a  0, b  1, c  0, d  1 u 2  v2  u  0

d) x  y  1 x  y 1  0 a  0, b  1, c  1, d  1





 u 2  v2  u  v  0 u 2  v2  u  v  0 u 2  v2  u  v  0

e) x 2   y  1  1 2

x2  y 2  2 y  1  1

x

2

 y2   2 y  0

a  1, b  0, c  2, d  0

2v  1  0 v

1 2

f)

 x  1   y  2 2

2

4

x2  2 x  1  y 2  4 y  4  4

x

2

 y2   2x  4 y  1  0

a  1, b  2, c  4, d  1

u

2

 v 2   2u  4v  1  0

u 2  v2  2u  4v  1  0

g) y  0 a  0, b  0, c  1, d  0

v  0

v0

h) x  0 a  0, b  1, c  0, d  0

u0

13.6 Carilah bayangan lingkaran z  1  1 dibawah w 

1 z

Jawab:

z 1  1

 x  1  iy

 x  1

2

1

 y2  1

x2  2 x  1  y 2  1

x2  y 2  2 x  0 a  1, b  2, c  0, d  0

2u  1  0

Transformasi

13.8 Tunjukkan bahwa sembarang garis x  c  0 dipetakan menjadi lingkaran w 

1 1 dibawah transfomasi kebalikan  2c 2c

Jawab:

xc0 a  0, b  1, c  0, d  c

c  u 2  v 2   u  0

u 2  v2  u2 

u 0 c

u 1 1  2  v2  2 c 4c 4c 2

1  1  2 u    v  2 2c  4c  2

1  1  2 u    v  2c  2c  w

1 1  2c 2 c

13.9 Bahaslah bayangan garis mendatar

di bawah pemetaan

kebalikan dan turunkan persamaan bayangan itu, sama seperti terhadap soal 13.8 Jawab:

Dari pembahasan di atas diperoleh bahwa sehingga