6
FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT
5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah f (x) = ax + b, dengan a, b ∈ R, dan a ≠ 0 (6.1) Grafik fungsi linear berbentuk kurva garis lurus yang memotong sumbu-x di (x, 0) dan sumbu-y di (0, y). Koefisien arah atau gradien m dari fungsi linear merupakan nilai yang menentukan perbandingan dari perubahan nilai y dengan perubahan nilai x, yang nilainya dapat berharga positif atau negatif. Jika m positif berarti arah garis fungsi linear tersebut adalah dari kiri bawah ke kanan atas, dan jika m negatif maka arah garis fungsi linear adalah dari kiri atas ke kanan bawah. Perhatikan Gambar 6.1. berikut:
Gambar 6.1. Ruas garis AB.
Komponen y dari garis AB = y2 – y1. Sedangkan komponen x dari garis AB = x2 – x1. Sehingga Perubahan komponen y m Perubahan komponen x
m
y2 y1 x2 x1
Jika garis melalui titik pangkal (0, 0), maka gradien garisnya adalah y m x
1 | Matematika Ekonomi aswhat.wordpress.com
(6.2)
(6.3)
Contoh 1 Tentukan gradien garis yang melalui a. Titik P(2, -5) dan titik Q(-9, 3) b. Titik pangkal dan titik A(-2, -8). Penyelesaian: a. Melalui titik P(2, -5) dan titik Q(-9, 3) P(2, -5) berarti x1 = 2, y1 = -5 Q(-9, 3) berarti x2 = -9, y2 = 3 y y1 3 (5) 8 8 m 2 x2 x1 9 2 11 11 Jadi, gradien garis yang melalui titik P(2, -5) dan titik Q(-9, 3) adalah 8 m . 11 b. Melalui titik pangkal dan titik A(-2, -8) y 8 m 4 x 2 Jadi, gradien garis yang melalui titik pangkal dan titik A(-2, -8) adalah m = 4. 5.1.1. Persamaan Garis Lurus yang Melalui Satu Titik Perhatikan Gambar 6.2. di bawah ini: y
B(x, y)
4
2
A(x1, y1)
x -4
-2
2
4
-2
Gambar 6.2.-4 Persamaan garis lurus.
Pada garis l terdapat titik A dengan koordinat (x1, y1) dan titik B dengan koordinat bebas, yaitu (x, y). Jika gradien garis l dinyatakan dengan m, maka AB terdiri astas semua titik (x, y) dengan hubungan seperti berikut: y y1 m x x1
y y1 m ( x x1 )
2 | Matematika Ekonomi aswhat.wordpress.com
Artinya, persamaan garis dengan gradien m dan melalui sebuah titik (x1, y1) adalah: y – y1 = m(x – x1) (6.4) Contoh 2. Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik A(-3, 4) dengan gradien -2. Penyelesaian: Titik A(-3, 4) berarti x1 = -3, y1 = 4. Gradien -2 berarti m = -2. Persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik (x1, y1) adalah: y – y1 = m(x – x1) ⇔ y – 4 = -2 (x – (-3)) ⇔ y – 4 = -2 (x + 3) ⇔ y – 4 = -2x – 6 ⇔ y = -2x – 6 + 4 ⇔ y = -2x – 2 Jadi, persamaan garis yang melalui titik A(-3, 4) dan bergradien -2 adalah y = -2x – 2. 5.1.2. Persamaan Garis Lurus yang Melalui Dua Titik Perhatikan kembali Gambar 6.1. Gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan y y1 (x2, y2) adalah m 2 . Selanjutnya, dengan menggunakan Persamaan (6.4) x2 x1 maka diperoleh: y – y1 = m(x – x1) y y1 y y1 2 ( x x1 ) x2 x1
y y1 ( y2 y1 )
x x1 x2 x1
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
Artinya, persamaan garis yang melalui dua titik yaitu titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah: y y1 x x1 (6.5) y2 y1 x2 x1
3 | Matematika Ekonomi aswhat.wordpress.com
Contoh 3 Perhatikan Gambar 6.3. berikut y 8
B(5, 8)
6 4
A(3, 4)
2
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x 10
-2 -4
garis l
-6 -8
Gambar 6.3. Persamaan garis l. -10
Tentukanlah persamaan garis l. Penyelesaian: Garis l melalui titik A(3, 4) dan titik B(5, 8). A(3, 4), berarti x1 = 3, y1 = 4 B(5, 8), berarti x2 = 5, y2 = 8 Persamaan garis l yang melalui titik (x1, y1) dan titik (x2, y2) adalah: y y1 x x1 y2 y1 x2 x1 y 4 x3 84 53 y 4 x3 4 2 2(y – 4) = 4(x – 3) 2y – 8 = 4x – 12 2y = 4x – 12 + 8 2y = 4x – 4 y = 2x – 2 Jadi, persamaan garis l yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8) adalah y = 2x – 2. ∎
5.1.3. Hubungan Dua Buah Garis Lurus Misalkan diketahui garis k : y = m1x + c1 dan garis l : y = m2x + c2, maka berlaku: a. Persamaan garis k sejajar dengan garis l jika m1 = m2. b. Persamaan garis k tegak lurus dengan garis l jika m1 . m2 = -1. c. Persamaan garis k berimpit dengan garis l jika m1 = m2 dan c1 = c2.
4 | Matematika Ekonomi aswhat.wordpress.com
d. Persamaan garis k berpotongan dengan garis l jika kedua garis tersebut memiliki sebuah titik persekutuan yang disebut titik potong. Titik potong antara kedua persamaan garis diperoleh apabila k = l. Contoh 4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(6, 2) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P(2, -5) dan Q(-6, 3). Penyelesaian: Garis yang melalui P(2, -5) dan Q(-6, 3). P(2, -5) berarti x1 = 2, y1 = -5. Q(-6, 3) berarti x2 = -6, y2 = 3. Misalkan gradien garis yang melalui titik P(2, -5) dan Q(-6, 3) adalah m1 maka: y y1 3 (5) 8 m1 2 1 x2 x1 6 2 8 Misalkan pula gradien garis yang melalui titik A(6, 2) adalah m2. Karena persamaan garis yang melalui titik A(6, 2) dengan garis yang melalui titik P(2, -5) dan Q(-6, 3) adalah sejajar, maka m1 = m2 = -1. Sehingga persamaan garis dengan gradien m2 = -1 dan melalui titik A(6, 2) adalah: y – y1 = m2 (x – x1) ⇔ y – 2 = -1(x – 6) ⇔ y – 2 = -x + 6 ⇔ y = -x + 6 + 2 ⇔ y = -x + 8 Jadi, persamaan garis yang melalui titik A(6, 2) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P(2, -5) dan Q(-6, 3) adalah y = -x + 8. ∎ Contoh 5. Carilah titik potong y = 10 – 2x dan y = x + 2. Penyelesaian: Titik potong kedua persamaan diperoleh jika kedua persaman tersebut dipersamakan. Sehingga: 10 – 2x = x + 2 ⇔ 3x = 8 ⇔ x = 8/3. Untuk x = 8/3, maka diperoleh y = (8/3) + 2 = 14/3. Sehingga diperoleh titik potong kedua persamaan tersebut adalah (8/3, 14/3). Perhatikan Gambar 6.4. berikut:
5 | Matematika Ekonomi aswhat.wordpress.com
y 8
y = 10 - 2x y= x+ 2
6
(8/3, 14/3)
4 2
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x 10
-2 -4 -6 Gambar 6.4. Persamaan garis y = 10 – 2x dan y = x + 2.
∎
-8 -10
5.2. Fungsi Kuadrat Fungsi f: R ⟶ R yang berbentuk f (x) = ax2 + bx + c, dengan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c. Dalam grafik fungsi, akar fungsi dapat dilihat dari titik potongnya terhadap sumbu-x. Salah satu cara yang dapat dilakukan untuk menentukan akar fungsi kuadrat adalah dengan menggunakan rumus berikut: b D , dengan D = b2 – 4ac (6.6) 2a Jika nilai D = 0, maka hanya terdapat satu akar fungsi kuadrat yaitu b x1 x1 . Artinya grafik hanya akan memotong sumbu-x di satu titik. 2a x12
Jika nilai D > 0, maka terdapat dua akar fungsi kuadrat x1 x1
b D dan 2a
b D . Artinya grafik fungsi memotong sumbu-x di dua titik. 2a
Jika D < 0, maka nilai D adalah imajiner (bernilai negatif) sehingga akar real tidak ada atau grafik tidak memotong sumbu-x.
6 | Matematika Ekonomi aswhat.wordpress.com
Perhatikan Gambar 6.5. berikut:
Gambar 6.5. Kurva fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c berdasarkan nilai a dan diskriminan D.
Fungsi kuadrat f (x) = ax2 + bx + c, selalu memiliki nilai ekstrim maksimum atau nilai ekstrim minimum tergantung pada nilai a. Jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas dan mempunyai nilai minimum. Sedangkan jika a < 0 maka parabola terbuka ke bawah dan mempunyai nilai maksimum.
y
b2 4ac ymax jika a 0 4a ymin jika a 0
(6.7)
Contoh 6 1 Jika y 2 x 2 3x m mempunyai nilai minimum -13/8, tentukanlah harga m. 2 Penyelesaian:
ymin
4
b 2 4ac 4a
1 32 4(2) m 13 2 8 4(2) 13 9 4m 8 8 9 + 4m = 13 m=1
y
3 2
y = 2x^2 + 3x - 1/2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x 4
-1
(-6/8, -13/8) -2 -3
Gambar 6.6. Gambar fungsi kuadrat y = 2x2 + 3x – ½ dengan nilai minimum -13/8. -4
7 | Matematika Ekonomi aswhat.wordpress.com
Soal Latihan 1. Tentukan titik potong dari a. 4x + y = 12 dan 2x + y = 8. b. 7x + 5y = 2 dan 5x + 7y = -2 2. Misalkan titik potong dari soal No.1 adalah (x0, y0), maka tentukanlah a. x0 – y0 b. x0 + y0 3. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut: a. y = x2 + 2x – 3 b. y = 4x – x2 4. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 – 6x – 5 = 0, maka berapakah x12 + x22. 5. Jika grafik y = x2 + px + q mempunyai titik puncak (1, 2) maka tentukan nilai p dan q tersebut.
8 | Matematika Ekonomi aswhat.wordpress.com
