Penggunaan Fungsi Non-Linear Dalam Ekonomi

Modul 6

Penggunaan Fungsi Non-Linear Dalam Ekonomi Drs. Wahyu Widayat, M.Ec

PE NDAH ULUA N

F

ungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi bentuknya tidak linier. Oleh sebab itu dengan mempelajari bentuk-bentuk fungsi non- linier dan memahami sifat-sifatnya akan sangat bermanfaat dalam mendalami teoriteori ekonomi. Model-model persamaan yang dipilih untuk diterapkan dapat dilakukan lebih tepat dan mendekati keadaan yang sebenarnya. Fungsi nonlinier merupakan fungsi yang banyak sekali digunakan dalam ekonomi, karena lebih mendekati keadaan nyata. Banyak masalah dalam ilmu ekonomi yang menggunakan fungsi non-linier sebagai model, khususnya persamaanpersamaan kuadratik. Meskipun demikian tidak semua aplikasinya dimuat dalam modul ini. Aplikasi fungsi kuadratik yang dibicarakan, dibatasi untuk fungsi permintaan dan penawaran. Dalam modul ini dijelaskan cara membuat grafik fungsi non-linier, sehingga persamaan-persamaan yang ditampilkan pada modul-modul berikutnya dapat digambarkan secara cepat tanpa menggunakan titik-titik yang memenuhi persamaan dalam jumlah yang terlalu banyak. Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan mampu: a. mendemonstrasikan pembuatan grafik berbagai macam bentuk fungsi non-linier; b. menjelaskan sifat-sifat berbagai bentuk fungsi non-linier; c. menunjukkan perbedaan fungsi permintaan dan penawaran yang disajikan dalam bentuk persamaan kuadratik; d. menghitung harga dan jumlah keseimbangan; e. menghitung kepuasan seorang konsumen dengan menggunakan konsep kurva indifference;

6.2

f.

Matematika Ekonomi 1

menghitung kombinasi jumlah barang menggunakan konsep garis anggaran.

yang

diminta

dengan

6.3

ESPA4112/MODUL 6

Kegiatan Belajar 1

Fungsi Permintaan dan Penawaran

P

ada bab sebelumnya telah dibahas tentang fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang merupakan fungsi linear. Secara grafis, fungsi permintaan dan penawaran dapat ditunjukkan juga oleh fungsi non-linear seperti berikut: P S

D 0

Q

Gambar 6.1 Kurva permintaan dan penawaran

Pada gambar di atas, sumbu vertikal menunjukkan harga (P) dan sumbu horisontal menunjukkan jumlah (Q), sedang fungsi permintaan maupun penawaran, keduanya ditunjukkan oleh garis lengkung. Mengingat bahwa keinginan seseorang untuk membeli suatu barang akan bertambah bila harganya turun dan keinginan seseorang untuk menjual suatu barang akan bertambah bila harganya naik, maka dari gambar kedua kurva di atas dengan mudah dapat ditebak bahwa kurva yang menurun adalah kurva permintaan dan kurva yang menaik merupakan kurva penawaran. Kurva permintaan dapat ditunjukkan oleh suatu bentuk parabola atau hiperbola, sedangkan kurva penawaran dapat ditunjukkan oleh suatu bentuk parabola. Dalam ilmu ekonomi, umumnya seseorang tidak akan meninjau harga dan jumlah barang yang nilainya negatif, sehingga bagian kurva yang berlaku dan digunakan adalah bagian kurva permintaan dan penawaran yang berada di kuadran satu. Melalui gambar di bawah ini dapat dilihat bahwa kurva permintaan dapat merupakan bagian dari parabola yang sumbunya dapat sejajar dengan sumbu vertikal maupun sumbu horisontal dan kurvanya bisa terbuka ke atas

6.4


maupun ke bawah atau terbuka ke kiri maupun ke kanan. Meskipun demikian setiap bentuk kurva ini mempunyai ciri-ciri sendiri yang satu sama lainnya berbeda. Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu P (sumbu vertikal) bentuk persamaan umumnya dapat ditulis sebagai berikut: (Q - h)2 = 4p (P - k) P

P

p<0 h≤0 k>0

p>0 h>0 k≤0

(a)

0

Q

0

P

Q

P

p<0 h>0 k<0

(c)

(d)

p>0 h≤0 k>0 0

Q

Q

Gambar 6.2 Grafik Bentuk-bentuk Kurva Parabola

Pada gambar (a), parabola terbuka ke bawah berarti p < 0. Titik vertex (h, k) terletak di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P. Ini berarti nilai h ≤ 0 dan k > 0. Gambar (b) menunjukkan parabola yang terbuka ke atas. Parabola macam ini mempunyai p > 0 dan titik vertex (h,k) yang terletak di kuadran keempat atau dapat pula terletak di sumbu Q (sumbu horisontal) jadi h > 0

6.5

ESPA4112/MODUL 6

dan k ≤ 0. Ada dua potongan kurva yang terletak di kuadran pertama yaitu bagian kurva yang menaik dan menurun. Namun untuk kurva permintaan yang dipakai adalah potongan kurva yang menurun. Nilai Q yang berlaku mempunyai batas yaitu 0 < Q < Q1, dan Q1 terletak pada potongan kurva yang menurun. Bentuk parabola yang ditunjukkan oleh gambar (c) dan (d) adalah parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu Q (sumbu horisontal) dan bentuk umumnya adalah (P - k)2 = 4p(Q - h) Pada gambar (c), parabola terbuka ke kiri yang berarti p < 0 dan titik vertex terletak di kuadran keempat dan mungkin juga terletak di sumbu Q. Titik vertex (h,k) di kuadran keempat ditunjukkan oleh h > 0 dan k < 0. Gambar (d) adalah gambar parabola yang terbuka ke kanan dengan P > 0. Titik vertex bisa berada di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P. Titik vertex (h,k) yang berada di kuadran kedua, ditandai oleh nilai h ≤ 0 dan k > 0. Pada gambar tersebut dapat dilihat bahwa bagian parabola yang berada di kuadran pertama ada dua potong, yakni bagian kurva yang menaik dan potongan kurva yang menurun. Mengingat sifat kurva permintaan yang selalu menurun, maka bagian kurva yang digunakan untuk kurva permintaan adalah potongan parabola yang menurun. Dengan demikian maka nilai P yang memenuhi batas adalah 0 < P < P1, di mana P1, terletak pada kurva yang menurun. Contoh 6.1: Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan: 1 P = 11 - Q - Q 2 4 Persamaan dapat dirubah menjadi bentuk umum dengan cara sebagai berikut: 4P = 44 - 4Q - Q2 + 4 – 4 atau Q2 + 4Q + 4 = 4P + 48 (Q + 2)2 = -4(P - 12)

6.6


maka: P = -1, h = -2, k = 12 Perpotongan dengan sumbu vertikal (P) terjadi untuk Q = 0 dan P = 11. Perpotongan dengan sumbu horisontal (Q) terjadi untuk P = 0 dan Q1 = -2 + 4 3 Q2 = -2 - 4 3

P

p = 11 – Q -

0

1 2 Q 2

Q

Contoh 6.2: Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan: 1 P = Q 2 − 4Q + 20 5 Persamaan dapat dirubah menjadi bentuk umum dengan cara sebagai berikut: 1 2 Q − 4Q + 20 = P 5 Q 2 − 20Q + 100 = 5P 5 (Q −10) 2 = 4. (P − 0) 4 5 , h = 10, k = 0 dan titik vertex berada di sumbu Q. 4 Perpotongan dengan sumbu P terjadi bila Q = 0, jadi untuk Q = 0, maka P =20. Perpotongan dengan sumbu Q terjadi bila P = 0, jadi untuk P = 0 makaQ= 10.

Jadi p =

6.7

ESPA4112/MODUL 6

20 14 12 10 8 6 4 2 0 2

4

6

8

Kurva permintaan adalah P =

10

1 Q − 4Q + 20 untuk 0 < Q < 10 5

Contoh 6.3: Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan: 1 Q = 15 − P − P 2 4 Persamaan dapat dirubah menjadi bentuk umum dengan cara: 1 2 P + P − 15 = − Q 4 P 2 + 4P − 60 = − 4Q P 2 + 4P + 4 = − 4Q + 64 (P + 2) 2 = − 4(Q − 16)

Jadi P = -1, h = 16, k = -2. Dari persamaan Q = 15 − P − maka P1 = 6 dan P2 = -10.

1 2 P , bila P = 0, maka Q = 15 dan bila Q = 0, 4

6.8


Contoh 6.4: Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan: P 2 − 20P − 5Q + 100 = 0

Persamaan ini dibawa ke bentuk umumnya: P 2 − 20P + 100 = 5Q (P − 10) 2 = 5(Q − 0) 5 Jadi P = , h = 0, k = 10, titik vertex di sumbu P. 4 Kurva memotong sumbu Q bila P = 0 dan Q = 20.

6.9

ESPA4112/MODUL 6

P

10

0 20

Q

Di atas telah disebutkan bahwa kurva permintaan dapat merupakan bagian dari hiperbola yang asimtotnya sejajar dengan sumbu horisontal dan sumbu vertikal. Seperti pada parabola, maka hiperbola yang dipakai sebagai permintaan adalah bagian yang berada di kuadran pertama. Gambar grafik dari hiperbola yang bagiannya merupakan permintaan dapat dilihat pada gambar berikut ini: Y

0

Y

(a)

Q

0

Gambar 6.3 Grafik Kurva Permintaan dari Hiperbola

X

6.10


Dari dua grafik di atas dapat dilihat bahwa titik pusat parabola terletak di kuadran pertama atau di kuadran ketiga. Sesungguhnya tidak ada batasan untuk letak titik pusat parabola. Bila pada kuadran pertama terdapat dua bagian hiperbola yang masing-masing menurun dari kiri atas ke kanan bawah, maka kurva yang akan dipilih, sangat ditentukan oleh permasalahan yang sedang dihadapi. Contoh 6.5: Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan: QP + 2P = 20 Persamaan ini dapat dirubah menjadi (Q + 2)(P - 0) = 20, dan merupakan hiperbola dengan pusat (-2, 0) dengan asimtot sumbu Q dan garis Q = -2. Perpotongannya dengan sumbu P terjadi bila Q = 0 dan P = 10.

P

QP + 2P = 20

Q (-2, 0)

0

Contoh 6.6: Gambarkan kurva permintaan QP – 10P – 12Q + 100 = 0 untuk P < 10 dan 1 Q< 8 . 3 Kurva permintaan dibawa ke bentuk umum hiperbola:

QP – 10P – 12Q + 100 = 0 QP – 10P – 12Q + 120 = 20

6.11

ESPA4112/MODUL 6

P(Q – 10) – 12(Q – 10) = 20 (Q – 10)(P – 12) = 20 Titik pusat hiperbola (10, 12) dengan asimtot Q = 10, P = 12. 1 Perpotongan kurva permintaan dengan sumbu Q bila P = 0 dan Q = 8 . 3 Perpotongan kurva permintaan dengan sumbu P bila Q = 0 dan P = 10.

(10,12)

10

QP – 10P – 12Q + 100 = 0

0

8

1 3

Kurva penawaran dapat ditunjukkan oleh parabola. Parabola yang digunakan sumbunya dapat sejajar dengan sumbu horisontal atau sumbu vertikal. Bagian kurva yang digunakan untuk kurva penawaran adalah bagian kurva yang menaik dan terletak pada kuadran pertama., seperti terlihat pada gambar di bawah ini

6.12


P

P

0

Q

0

Q

Gambar 6.4 Grafik Kurva Penawaran dari Parabola

Contoh 6.7: Gambarkan kurva penawaran yang ditunjukkan oleh persamaan: Q 2 + 2Q + 1 P= 4 Persamaan di atas dapat ditulis menjadi: (Q + 1)2 = 4(P - 0)

Titik Vertex (-1,0)

P

y=

0

Q 2 + 2Q +1 4

Q

6.13

ESPA4112/MODUL 6

Contoh 6.8: Gambarkan kurva penawaran yang ditunjukkan oleh persamaan: 4x − y 2 − 2y − 5 = 0

Persamaan dibawa ke bentuk normal: 4x = y 2 + 2y + 1 + 4 4(x + 1) = (y + 1) 2

Titik vertex (-1, -1) dan p =

1 4

P

4x − y2 − 2 y −5 = 0

Q (-1, -1)

Kurva permintaan dan penawaran bersama-sama akan membentuk harga dan jumlah keseimbangan. Harga dan jumlah keseimbangan merupakan titik potong kurva penawaran dan permintaan yang nilainya dapat ditentukan secara grafis dengan melukiskan kedua kurva secara seksama. Penentuan harga dan jumlah keseimbangan secara analisis belum tentu di dapat dengan mudah karena mungkin akan menyangkut pencarian akar persamaan derajat tiga atau empat yang teori penyelesaiannya tidak akan dibicarakan di sini. Menghitung titik potong kurva permintaan dan penawaran dapat dilakukan dengan mudah jika kemudian hanya timbul persamaan derajat dua. Persamaan ini timbul karena:

6.14

* *

*


Salah satu merupakan fungsi linear dan yang lain adalah fungsi derajat dua; Harga (P) merupakan fungsi derajat dua dari jumlah yang berbentuk parabola atau hiperbola, baik untuk fungsi penawaran maupun untuk fungsi permintaan. Jumlah barang baik yang diminta maupun yang ditawarkan merupakan fungsi kuadrat dari harga.

Contoh 6.9: Hitunglah jumlah dan harga keseimbangan dari kurva penawaran dan kurva permintaan berikut:

Q s = P2 + P – 2 Qd = -2P + 16 Keseimbangan tercapai jika Qs = Qd Jadi:

P2 + P - 2 = -2P + 16 P2 + 3P - 18 = 0 (P - 3)(P + 6) = 0 P1 = -6 (tidak dipakai) P2 = 3

Untuk P = 3, maka Q = -2(3) + 16 = 10 Jadi harga keseimbangan = P = 3 Jumlah keseimbangan

= Q = 10.

6.15

ESPA4112/MODUL 6

P 8 Q = -2P + 16 Q = P2 + P -2

3 1

0

10

16

Q

-2

Contoh 6.10: Berapakah harga dan jumlah keseimbangan dari fungsi penawaran dan permintaan berikut:

Qs = P2 + 2p – 2 Qd = -P2 + 10 Keseimbangan tercapai apabila Qs = Qd, atau: P2 + 2P – 2 = -P2 + 10 2P2 + 2P – 12 = 0 P2 + P – 6 = 0 (P + 3)(P – 2) = 0 P1 = -3 (tidak dipakai) P2 = 2 Untuk P = 2, maka Q = 6.

6.16


Jadi harga keseimbangan = P = 2 Jumlah keseimbangan = Q = 6 P 8 Q = -2P + 16 Q = P2 + P - 2

3 1

0

10

16

Q

-2

Contoh 6.11

Berapakah harga dan jumlah keseimbangan dari fungsi penawaran dan permintaan berikut: 2P = 5Qs + 2 3P = -Qd2 – 2Qd + 26 Qd = Qs, maka 6P = 15Q + 6 = -2Q2 – 4Q + 52 2Q2 + 19Q – 46 = 0 2Q2 + 23Q – 4Q – 46 = 0 Q(2Q + 23) – 2(Q + 23) = 0 (2Q + 23)(Q – 2) = 0 Q1 = - 11

1 (tidak dipakai) 2

Q2 = 2 Untuk Q = 2, maka P =

1 (5(2) + 2) = 6 2

6.17

ESPA4112/MODUL 6

Jadi harga keseimbangan = P = 6 Jumlah keseimbangan = Q = 2.

P (-1,9) 2P = 5Q + 2

(2,6)

3P = -Q2 – 2Q + 26

0

Q

Bila konsumen membeli barang sebesar Q satuan pada tingkat harga P, maka produsen akan menerima uang sebanyak Q.P yaitu jumlah yang dibeli dikalikan harganya atau dengan simbol: TR = Q . P TR adalah simbol untuk penerimaan total (total revenue). Untuk fungsi permintaan yang menurun dan linear, harga (P) tidak tetap, sehingga kurva TR = Q.P merupakan fungsi yang tidak linear. Misalkan, ada fungsi permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan P = a - bQ di mana a dan b > 0, maka kurva penerimaannya adalah: TR = a Q – b Q2 Ini merupakan persamaan parabola yang terbuka ke bawah dan memotong sumbu horisontal Q di titik Q = 0 dan Q = a/b. Titik puncak terjadi di: a a2 a dengan koordinat ( , ). Q= 2b 4b 2b

6.18


Grafik dari fungsi permintaan dan fungsi penerimaan dapat dilihat pada gambar berikut ini:

P

2

( 2ab , a4b )

TR

0

Q

0

Q a 2b

a b

Gambar 6.5 Grafik fungsi permintaan

Contoh 6.12: Bila diketahui fungsi permintaan P = 20 - Q, gambarkan kurva penerimaannya. Penerimaan = Q . P TR = 20Q - Q2 Titik potong TR dengan sumbu Q terjadi pada Q = 0 dan Q = 20 dengan titik puncak (10,100). TR (10, 100)

0

10

20

Q

6.19

ESPA4112/MODUL 6

L A TIH A N

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Permintaan: 2Q + P = 10 Penawaran: P2 – 4Q = 4 2) Permintaan: 2Q2 + P = 9 Penawaran: Q2 + 5Q – P = -1 3) Permintaan: Q = 64 – 8P – 2P2 Penawaran: Q = 10P + 5P2 4) Permintaan: PQ + 12P + 6Q = 97 Penawaran: P – Q = 6 Dapatkan fungsi penerimaan dan gambar grafiknya bila diketahui fungsi permintaannya. 5) Permintaan: P + 2Q = 5 6) Permintaan : Q + 2P = 10

Petunjuk Jawaban Latihan

1) 2Q + P = 10 P2 – 4Q = 4

atau

atau

4Q + 2P = 20 -4Q + P2 = 4 2P + P2 = 24

+

P2 + 2P – 24 = 0 (P + 6)(P – 4) = 0 P1 = -6 (tidak dipakai) P2 = 4

Untuk P = 4, maka Q = 3 Jadi harga keseimbangan =P=4 Jumlah keseimbangan = Q = 3

6.20


P

P2 – 4Q = 4

(3,4)

2Q + P = 10

Q

2) 2Q2 + P = 9 atau

P = 9 – 2Q2

Q2 + 5Q – P = -1

atau

P = Q2 + 5Q + 1

Jadi P = 9 – 2Q2 = Q2 + 5Q + 1 atau 3Q2 + 5Q – 8 = 0 3Q2 + 8Q – 3Q – 8 = 0 Q(3Q + 8) – (3Q + 8) = 0 (3Q + 8)(Q – 1) = 0 Q1 = −

8 (tidak dipakai) 3

Q2 = 1 Untuk Q = 1, maka P = 7 Jadi harga keseimbangan

=P=7

6.21

ESPA4112/MODUL 6

Jumlah harga keseimbangan

=Q=1

P (0,9)

Q2 + 5Q – P = -1

(1,7) 2Q2 + P = 7

Q

3) Q = 10P + 5P2 Q = 64 – 8P – 2P2 Q = 10P + 5P2 = 64 – 8P – 2P2 7P2 + 18P – 64 = 0 7P2 + 32P – 14P – 64 = 0 P(7P + 32) – 2(7P – 32) = 0 (7P + 32)(P – 2) = 0 P1 = −

32 (tidak dipakai) 7

P2 = 2 Untuk P = 2, maka Q = 40

6.22


Jadi harga keseimbangan Jumlah harga keseimbangan

=P=2 = Q = 40.

Q

Q = 64 – 8P – 2P2 Q = 10P + 5P2

2

0

40

4) PQ + 12P + 6Q = 97 atau PQ + 12P + 6Q + 72 = 169 P(Q + 12) + 6(Q + 12) = 169 (P + 6)(Q + 12) = 169 Penawaran: P – Q = 6 atau P = 6 + Q Substitusikan penawaran ke dalam permintaan, diperoleh: (6 + Q + 6)(Q + 12) = 169 (Q + 12)(Q + 12) = 169

Q

6.23

ESPA4112/MODUL 6

P

P–Q=6

PQ + 12P + 6Q = 97 Q

5) Permintaan P + 2Q = 5

atau P = 5 – 2Q

Penerimaan = TR = P.Q TR = 5Q – 2Q2 Perpotongan dengan sumbu Q pada Q = 0 dan Q = 2 1 1 (1 , 6 ) 4 4

1 ; dan puncak 2

6.24


Rp

TR = 5Q – 2Q2

P + 2Q = 5

0

Q

1 6) Permintaan Q + 2P = 10 atau P = 5 − Q 2 Penerimaan TR = P.Q 1 = 5Q - Q2 2 Perpotongan dengan sumbu Q terjadi pada Q = 0 dan Q = 10. 1 Titik puncak (5, 12 ). 2 Rp

TR = 5Q -

1 2 Q 2

Q + 2P = 10

0

5

10

Q

ESPA4112/MODUL 6

6.25

RA NGK UMA N

Selain berbentuk fungsi linear, fungsi permintaan dan penawaran dapat pula berbentuk fungsi non-linear. Bentuk non-linear dari fungsi permintaan dapat berupa potongan parabola dan potongan hiperbola. Adapun bentuk non-linear dari fungsi penawaran adalah potongan parabola. Fungsi permintaan dan penawaran bersama-sama akan membentuk harga dan jumlah keseimbangan yang merupakan titik potong kedua kurva di kuadran pertama. Persamaan permintaan yang linear memberikan fungsi penerimaan (total revenue) yang non-linear. Fungsi penerimaan ini merupakan parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu harga (P) dan terbuka ke bawah. TES FORMATIF 1

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Diketahui pasangan persamaan: a. Q = 16 – 2P b. 4Q = 4P + P2 Tentukan fungsi permintaan dan fungsi penawaran serta harga dan jumlah keseimbangan : 4Q = 4P + P2 A. Fungsi penawaran Fungsi permintaan : Q = 16 – 2P Harga dan jumlah keseimbangan (8, 4) : 4Q = 4P + P2 B. Fungsi penawaran Fungsi permintaan : Q = 16 – 2P Harga dan jumlah keseimbangan (9, 5) : Q = 16 – 2P C. Fungsi penawaran Fungsi permintaan : 4Q = 4P + P2 Harga dan jumlah keseimbangan (8, 4) D. Fungsi penawaran : Q = 16 – 2P Fungsi permintaan : 4Q = 4P + P2 Harga dan jumlah keseimbangan (5, 9)

6.26


2) Diketahui pasangan persamaan: Q Q2 a. P = 2 + + 5 20 30 − Q b. P = 4 Tentukan fungsi permintaan penawaran serta harga dan jumlah keseimbangan Q Q2 A. Fungsi penawaran = P = 2 + + 5 20 30 − Q Fungsi permintaan = P = 4 Harga dan jumlah keseimbangan ((5, 61), (5, 99)) 30 − Q B. Fungsi penawaran = P = 4 Q Q2 Fungsi permintaan = P = 2 + + 5 20 Harga dan jumlah keseimbangan ((6, 91), (5, 77)) Q Q2 + 5 20 30 − Q Fungsi permintaan = P = 4 Harga dan jumlah keseimbangan ((6, 91), (5, 77))

C. Fungsi penawaran = P = 2 +

Q Q2 + 5 20 30 − Q Fungsi penawaran = P = 4 Harga dan jumlah keseimbangan ((6, 99), (5, 7))

D. Fungsi permintaan = P = 2 +

3) Diketahui pasangan persamaan: a. Q = 32 – 4P – P2 Q +1 b. P = 20 Tentukan fungsi permintaan penawaran serta harga dan jumlah keseimbangan

6.27

ESPA4112/MODUL 6

A. Fungsi penawaran = P =

Q +1 20

Fungsi permintaan = Q = 32 − 4P − P 2 Harga dan jumlah keseimbangan = (20, 22) B. Fungsi penawaran = P =

Q +1 20

Fungsi permintaan = Q = 32 − 4P − P 2 Harga dan jumlah keseimbangan = (20, 2) C. Fungsi penawaran = Q = 32 − 4P − P 2 Q +1 20 Harga dan jumlah keseimbangan = (10, 2)

Fungsi permintaan = P =

D. Fungsi penawaran = Q = 32 − 4P − P 2 Q +1 20 Harga dan jumlah keseimbangan = (2, 10)

Fungsi permintaan = P =

4) Diketahui pasangan persamaan: a. P = 48 – 3Q2 b. P = Q2 + 4Q + 16 Tentukan fungsi permintaan penawaran serta harga dan jumlah keseimbangan A. Fungsi penawaran = P = 48 − 3Q 2 Fungsi permintaan = P = Q 2 − 4Q + 16 Harga dan jumlah keseimbangan = ((2, 31), (37, 15)) B. Fungsi penawaran = P = 48 − 3Q 2 Fungsi permintaan = P = Q 2 − 4Q + 16 Harga dan jumlah keseimbangan = ((31, 37), (2, 15)) C. Fungsi penawaran = P = Q 2 + 4Q + 16 Fungsi permintaan = P = 48 − 3Q 2

6.28


Harga dan jumlah keseimbangan = ((2, 37), (31, 15)) D. Fungsi penawaran = P = Q 2 + 4Q + 16 Fungsi permintaan = P = 48 − 3Q 2 Harga dan jumlah keseimbangan = ((2, 15), (37, 31)) 5) Diketahui pasangan persamaan: a. (Q + 16)(P + 12) = 480 b. P = 2Q + 4 Tentukan fungsi permintaan penawaran serta harga dan jumlah keseimbangan A. Fungsi penawaran = (Q + 16)(P + 12) = 480 Fungsi permintaan = 2Q + 4 Harga dan jumlah keseimbangan = (10, 12) B. Fungsi penawaran = (Q + 16)(P + 12) = 480 Fungsi permintaan = 2Q + 4 Harga dan jumlah keseimbangan = (10, 14) C. Fungsi penawaran = 2Q + 4 Fungsi permintaan = (Q + 16)(P + 12) = 480 Harga dan jumlah keseimbangan = (12, 14) D. Fungsi penawaran = 2Q + 4 Fungsi permintaan = (Q + 16)(P + 12) = 480 Harga dan jumlah keseimbangan = (4, 12) Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

Tingkat penguasaan =

Jumlah Jawaban yang Benar Jumlah Soal

× 100%

ESPA4112/MODUL 6

6.29

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.

6.30


Kegiatan Belajar 2

Kurva Indifference

S

etiap orang tahu persis berapa penghasilannya sebulan. Dalam waktu tersebut ia harus membelanjakan uangnya untuk membeli barang dan jasa yang dibutuhkannya. Kalau dimisalkan hanya ada dua macam barang yang dapat dibelinya, yaitu barang x dan y, maka tempat kedudukan, titik-titik yang koordinatnya menunjukkan kombinasi pembelian kedua macam barang dinamakan kurva indifference. Definisi kurva indifference adalah kurva yang menunjukkan titik-titik kombinasi jumlah barang x dan barang y yang dikonsumsi pada tingkat kepuasan tertentu. Kurva indifference dapat ditunjukkan oleh fungsi f(x,y) = a, di mana x dan y adalah macam barang yang dikonsumsi dan a adalah menunjukkan tingkat kepuasan. Perhatikan gambar berikut ini: Y A (X1, Y1) y1 y3

C(X3, Y3) = a

B(X2, Y2) = a y2 X 0

x1

x3

x2

Gambar 6.6 Kurva Indifference

Sumbu horisontal digunakan untuk menunjukkan jumlah barang x yang dikonsumsi dan sumbu vertikal untuk jumlah barang y. Kurva indifference f(x,y) = a, seperti telah disebutkan di atas merupakan tempat kedudukan titik-titik kombinasi jumlah barang x dan y yang dikonsumsi pada tingkat kepuasan tertentu. Seandainya konsumen memilih kombinasi di titik A, maka jumlah barang x yang dikonsumsi sebanyak x1 dan jumlah barang y yang dikonsumsi sebanyak y1. Bila kombinasi yang dipilih adalah titik B, maka jumlah barang x yang dikonsumsi sebanyak x2 dan barang y yang

ESPA4112/MODUL 6

6.31

dikonsumsi sebanyak y2. Konsumen akan mengkonsumsi di kombinasi A atau kombinasi B tidak menjadi persoalan, karena baginya kepuasan yang diperoleh sama saja yaitu sebesar a. Apabila parameter a besarnya diubah-ubah, maka akan diperoleh himpunan kurva indifference yang satu sama lain tidak saling memotong (Gambar 6.6). Pada umumnya konsumen akan bertambah kepuasannya apabila dengan sejumlah uang yang sama dapat membeli barang x atau y dalam jumlah yang lebih banyak. Oleh sebab itu kombinasi di titik C(x3,y3) akan memberikan kepuasan yang lebih besar dari titik A (x1,y1) karena x3 > x1, sehingga kedua titik terletak di kurva indifference yang berbeda. Pada gambar di atas, dapat dilihat bahwa kurva indifference merupakan kurva yang menurun, karena untuk menambah jumlah barang x yang dikonsumsi, konsumen harus mengurangi jumlah konsumsinya terhadap barang y agar kepuasan yang diperoleh tetap sama. Suatu hal yang perlu diperhatikan lagi adalah kurva indifference bentuknya cembung terhadap titik origin. Keadaan itu menunjukkan bahwa setiap pengurangan y dengan selisih yang sama yaitu ∆y harus diimbangi oleh pertambahan x sebesar ∆x yang nilainya semakin bertambah, agar tingkat kepuasan yang sama dapat dipertahankan. Ini sesuai dengan hukum substitusi yang menyatakan bahwa suatu barang yang semakin langka, nilai substitusinya semakin besar terhadap barang yang melimpah. Fungsi yang dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference adalah lingkaran, hiperbola dan parabola. Perhatikan gambar berikut ini:

6.32


Y Y

0

X

0

X

(a) (-h,-k)

(b)

Y

0

X y = -k (c)

Gambar 6.7 Bentuk-bentuk kurva Indifference

Pada gambar (a), kurva indifference ditunjukkan oleh bagian dari lingkaran dengan persamaan: (x - a)2 + (y - a)2 = a2 Bila parameter a diubah, maka titik pusat (a,a) akan bergeser dan jari-jari lingkaran = a juga akan berubah sehingga didapat himpunan lingkaran. Jadi yang digunakan sebagai kurva indifference hanyalah seperempat lingkaran yaitu bagian yang menyinggung sumbu x dan sumbu y. Persamaan dengan bentuk umum seperti ditunjukkan di atas bentuknya dapat diubah menjadi: x2 - 2ax + a2 + y2 - 2ay + a2 = a2 x2 + 2xy + y2 - 2ax - 2ay + a2 = 2xy

ESPA4112/MODUL 6

6.33

(x + y)2 - 2a(x + y) + a2 = 2xy (x + y - a)2 = 2xy x + y - a = 2xy x+y-

2xy = a

Contoh 6.13: Bila kurva indifference seorang konsumen dapat ditunjukkan oleh persamaan x + y - 2xy = a dan andaikan kepuasan seseorang dapat diukur,

maka berapakah jumlah barang y yang harus dikonsumsi pada saat ia mengkonsumsi barang x sebanyak 3 unit agar tingkat kepuasannya tetap 15 satuan? Jawaban: x = 3, a = 15

Jadi 3 + y y - 12 =

6y = 15 atau

6y

y2 - 24y + 144 = 6y y2 - 30y + 144 = 0 y2 - 24y - 6y + 144 = 0 (y - 24)(y - 6) = 0 Jadi y1 = 6 dan y2 = 24 Bila tidak ada barang x yang dikonsumsi, maka agar tingkat kepuasannya tetap 15 satuan, jumlah barang y yang dikonsumsi adalah y = 15, oleh sebab itu pada tingkat kepuasan yang sama ia tidak mungkin mengkonsumsi sebanyak 24 unit. Jadi jumlah barang y yang dikonsumsi adalah 6 unit.

6.34


Y 24

6

0

3

X

Bagian dari hiperbola juga dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference. Pada gambar (b) dipakai hiperbola sama sisi dengan titik pusat (-h,-k) yang terletak di kuadran ketiga. Bentuk persamaan hiperbola ini adalah: (x + h)(y + k) = a dengan asimtot x = -h dan y = -k titik potong dengan sumbu x = a/k - h titik potong dengan sumbu y = a/h - k Bagian hiperbola yang digunakan untuk kurva indifference adalah bagian yang berada di kuadran pertama. Bila tingkat kepuasan a diubah-ubah besarnya, maka diperoleh himpunan kurva indifference. Contoh 6.14: Seorang konsumen dalam mengkonsumsi barang x dan y kepuasannya ditunjukkan oleh persamaan:

xy + y + 6x = a – 6 Tentukan titik pusat hiperbola dan berapakah jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi bila tingkat kepuasannya sebesar 30 satuan?

6.35

ESPA4112/MODUL 6

Jawaban:

a = 30 xy + y + 6x + 6 = 30 y(x + 1) + 6(x + 1) = 30 (x + 1) × (y + 6) = 30 Titik pusat = (-1,-6) Jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi terjadi bila tidak ada barang y yang dikonsumsi (y = 0). Jadi (x + 1)6 = 30 , 6x + 6 = 30 6x = 30 – 6 24 =4 6 Barang x yang dikonsumsi = 4.

x=

Y

0

(-1, -6)

4

X

6.36


Parabola juga dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference. Pada gambar (c) puncak parabola terletak pada satu garis lurus y = - k Contoh 6.15: Kurva indifference seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan: x − (y + 1) = a

Bila tingkat kepuasannya dapat diukur, berapakah jumlah maksimum barang x dan barang y yang dapat dikonsumsi agar tingkat kepuasannya tetap sebesar 4 satuan. Kurva indifference untuk a = 4. x − (y + 1) = 4 x − 4 = (y + 1) (x − 4) 2 = y + 1

Puncak parabola (4,-1) Jumlah maksimum barang y yang dapat dikonsumsi terjadi bila x = 0, atau (0 - 4)2 = y + 1 Jadi y = 15 Jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi terjadi bila y = 0, atau (x - 4)2 = 1 x-4=±1 Jadi x1 = 5 x2 = 3 Sifat kurva indifference adalah menurun dari kiri atas ke kanan bawah dan cembung ke arah origin. Karena x = 5 terletak di bagian yang menaik dari parabola, maka titik tersebut tidak memenuhi dan tidak dipakai. Jadi jumlah maksimum barang x yang dikonsumsi adalah 3 unit.

6.37

ESPA4112/MODUL 6

Y 15

0

3

5 (4,-1)

x

Seorang konsumen yang menghadapi himpunan kurva indifference selalu berusaha untuk melakukan konsumsi pada titik yang berada di kurva indifference yang paling jauh dari titik origin, karena kepuasan yang di dapat lebih besar atau karena dengan kombinasi tersebut ia dapat mengkonsumsi baik barang x maupun barang y dalam jumlah yang cukup banyak. Akan tetapi kebebasan memilih kurva indifference dibatasi oleh jumlah uang yang dimilikinya. Dengan sejumlah uang tertentu (M) seorang konsumen dapat membelanjakan semuanya untuk membeli barang x saja dan memperoleh sebanyak M/Px bila harga barang x adalah Px atau membelanjakan jumlah uang M tersebut untuk membeli barang y saja dan memperoleh sebanyak M/Py bila harga barang y adalah Py (lihat gambar di bawah). Apabila dengan uang sebanyak M itu akan digunakan untuk membeli barang x dan y, maka kombinasi jumlah barang x dan y yang dapat dibeli ditunjukkan oleh garis lurus yang menghubungkan titik M/Px dan M/Py. Garis ini disebut dengan garis anggaran atau budget line. Tingkat kepuasan yang maksimum dicapai bila konsumen membelanjakan uangnya sebanyak M untuk membeli y1 barang y dan x1 barang x, yaitu pada posisi persinggungan antara garis anggaran dengan kurva indifference.

6.38


M Py

y1

I3 I2 I1

0

x1

M Px

X

Gambar 6.8 Posisi Tingkat Kepuasan Maksimum

Posisi ini menunjukkan posisi kepuasan yang maksimum atau posisi equilibrium konsumen dengan kendala M, karena I2 adalah kurva indifference yang tertinggi yang dapat dicapai oleh garis anggaran tersebut. Jadi dengan kurva indifference dan garis anggaran dapat ditunjukkan berapa jumlah barang x dan y yang harus dibeli oleh konsumen yang memiliki sejumlah uang tertentu agar kepuasannya maksimum. Contoh 6.16: Himpunan kurva indifference seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan xy = a. Bila persamaan garis anggaran yang dihadapi oleh konsumen adalah 2x + 5y = 100, maka tentukan kombinasi jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi olehnya! Jawaban: Persamaan indifference: xy = a Persamaan garis anggaran: 2x + 5y = 100. Langkah pertama adalah memotongkan garis anggaran dengan persamaan indifference dengan cara menyelesaikan kedua persamaan secara serentak yaitu:

ESPA4112/MODUL 6

6.39

2x + 5y = 100 5y = 100 – 2x y=

100 − 2x 1 = (100 − 2x) 5 5

2 x 5 Kemudian substitusikan ke dalam persamaan indifference yaitu: xy = a 2 xy = x(20 - x ) = a 5 2 = 20x - x 2 = a 5 2 2 x - 20x + a = 0 5 20 a 5 x 2 - 2 x + 2 = 0 ⇒ x 2 − 50x + a = 0 2 5 5

y = 20 -

Agar persamaan mempunyai akar kembar yaitu titik singgung garis anggaran dengan kurva indifference, harus dipenuhi syarat: 5 502 - 4( a) = 0 2 2500 - 10 a = 0 a = 250 5 Jadi x2 - 50x + . 250 = 0 2 x2 - 50x + 625 = 0 (x - 25)2 = 0 x = 25 Untuk x = 25, maka y=

1 (100 - 50) 5

6.40


1 . 50 5 y = 10

y=

Jadi jumlah barang x yang dikonsumsi 25 unit dan barang y sebanyak 10 unit.

y

20

10

0

10

20

30

40

50

x

L A TIH A N

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Bila himpunan kurva indifference diketahui (x + 2)(y + 1) = a dan harga barang x adalah Rp 4,00 dan barang y Rp 6,00 per unit, sedangkan jumlah uang yang dimiliki Rp130,00. Tentukan jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi. 2) Gambarkan himpunan kurva indifference dengan persamaan: (x + 2)(y + 1) = a untuk berbagai nilai a. 3) Bila himpunan kurva indifference diketahui 4x 2 − 2xy + 6y 2 = a dan persamaan garis anggaran adalah x + y = 72, maka tentukan jumlah barang x dan barang y yang dibeli konsumen.

ESPA4112/MODUL 6

6.41

4) Seorang konsumen mempunyai kurva indiference yang ditunjukkan oleh persamaan xy = a, persamaan garis anggaran yang dihadapi adalah 5y + 6x = 60. Tentukan jumlah barang x dan y yang dikonsumsi. 5) Gambarkan keadaan keseimbangan pada soal nomor 4 di atas. Petunjuk Jawaban Latihan

1) Kurva indifference: (x + 2)(y + 1) = a Persamaan garis anggaran: Pxx + Pyy = M Untuk Px = 4, Py = 6 dan M = 130, persamaan garis anggarannya: 4x + 6y = 130 6y = 130 – 4x 2 2 y = 21 - x 3 3 Disubstitusikan ke dalam persamaan indifference: 2 2 (x + 2)(21 - x + 1) = a 3 3 2 2 (x + 2)(- x + 22 ) = a 3 3 Kedua ruas dikalikan 3: (x + 2)(-2x + 68) = 3a -2x2 + 64x + 136 = 3a 2 2x – 64x + 3a – 136 = 0 Agar supaya persamaan mempunyai akar kembar, maka: 642 – 4(2)(3a – 136) = 0 4096 – 24a + 1088 = 0 24a = 5184 a = 216 Jadi 2x2 – 64x + 3(216) – 136 = 0 2x2 – 64x + 512 = 0 atau

6.42


x2 – 32x + 256 = 0 (x – 16) 2 = 0 x = 16 Untuk x = 16, maka y = 11. Jadi jumlah barang x yang dikonsumsi 16 unit dan jumlah barang y yang dikonsumsi 11 unit. 2) Persamaan (x + 2)(y + 1) = a merupakan persamaan hiperbola dengan pusat (-2, -1) dan asimtot x = -2 dan y = -1. Titik potong dengan sumbu x terjadi pada y = 0 dan x = a – 2; dan titik potong dengan sumbu y terjadi a pada x = 0 dan y = - 1. 2 x = -2 y

a=4

a = 12 a = 10 a=8 a=6

(-2, -1)

3) Kurva indifference : 4x2 – 2xy + 6y2 = a Garis anggaran : x + y = 72 atau y = 72 – x Disubstitusikan ke persamaan indifference: 4x2 – 2x(72 – x) + 6(72 – x) 2 = a 4x2 – 144x + 2x2 + 6(5184 – 144x + x2) = a

x y = -1

6.43

ESPA4112/MODUL 6

6x2 – 144x + 31104 – 864x + 6x2 = a 12x2 – 1008x + 31104 = a Kedua ruas dibagi 12, maka: 1 a =0 x2 – 84x + 2592 12 Agar supaya persamaan mempunyai akar kembar, maka: 1 a =0 842 – 4(2592 12 1 7056 – 10368 + a = 0 3 1 -3312 + a = 0 3 1 a = 3312 3 a = 9936 Jadi x2 – 84x + 2592 -

1 (9936) = 0 12

x2 – 84x + 2592 – 828 = 0 x2 – 84x + 1764 = 0 (x – 42) 2 = 0 x = 42 Untuk x = 42, maka y = 72 – 42 = 30 Jadi jumlah barang x yang dikonsumi adalah 42 unit dan barang y yang dikonsumsi sebanyak 30 unit. 4) Kurva indifference: Garis anggaran atau

:

xy = a 5y + 6x = 60 5y = 60 – 6x

6.44


6 x 5 Disubstitusikan ke dalam persamaan indifference: 6 x(12 - x) = a 5 6 2 12x - x = a 5 atau 6 2 x – 12x + a = 0 5 6 dikalikan menjadi: 5 5 x2 – 10x + a = 0 6 Agar supaya persamaan mempunyai akar kembar, maka: 5 100 – 4( )a = 0 6 6 a= .100 20 = 30 Jadi x2 – 10x + 25 = 0 (x – 5)2 = 0 x=5

y = 12 -

xy = 30 untuk x = 5, maka y = 6. Jadi jumlah barang x yang dikonsumsi 5 unit dan jumlah barang y adalah 6 unit.

6.45

ESPA4112/MODUL 6

5)

y

12

6

5y + 6x = 60 xy = 30

0

5

10

x

RA NGK UMA N

Kurva Indifference adalah kurva tempat kedudukan titik-titik kombinasi dua barang yang dikonsumsi pada tingkat kepuasaan tertentu. Kumpulan dari kurva-kurva indifference disebut dengan himpunan kurva indifference. Sifat-sifat kurva indifference yang penting adalah: a. merupakan kurva yang menurun; b. cembung terhadap titik origin; c. tidak saling berpotongan; d. semakin jauh kurva dari titik origin berarti kepuasan yang diperoleh semakin tinggi. Fungsi-fungsi yang dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference adalah lingkaran, hiperbola dan parabola. Dalam melakukan konsumsi, konsumen dibatasi kebebasan memilih kombinasi yang diinginkan oleh jumlah uang yang dimiliki. Garis anggaran menunjukkan kombinasi barang yang dapat dibeli dengan sejumlah uang tertentu. Kepuasan maksimum dalam mengkonsumsi barang akan tercapai pada saat kurva indifference menyinggung garis anggaran. Kombinasi jumlah barang yang dikonsumsi ditunjukkan oleh koordinat titik singgung.

6.46


TES FORMATIF 2

Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Tentukan jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi bila kurva indifference ditunjukkan oleh persamaan: 5x 2 + 6y 2 − xy dan garis anggarannnya x + 2y = 24. A. x = 9, y = 6 B. x = 6, y = 9 C. x = 5, y = 10 D. x = 6, y = 7 2.

Bila harga barang x dan y sama yaitu Rp1,00 dan jumlah uang yang dimiliki Rp8,00. Tentukan berapa jumlah barang x dan y yang harus dibelinya, bila fungsi indifferencenya x 2 + 2y 2 − xy = a A. x = 5, y = 3 B. x = 3, y = 5 C. x = 5, y = 6 D. x = 6, y = 3

3) Tentukan jumlah barang x dan y yang harus dibeli oleh konsumen jika garis anggarannya adalah 2x + y = 21 dan kurva indifferencenya ditunjukkan oleh persamaan 3x 2 + 4y 2 − xy = a . A. x = 7,5, y = 3 B. x = 7,5, y = 5 C. y = 8,5, y = 4 D. y = 8,5, y = 3 4) Bila kurva indifference ditunjukkan oleh persamaan xy = a dan harga barang x = 15, harga barang y = 5 dan pendapatan konsumen adalah 150. Tentukan jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi. A. x = 5, y = 15 B. x = 10, y = 15 C. x = 5, y = 10 D. x = 10, y = 10 5) Bila kurva indifference ditunjukkan oleh persamaan x 2 y = a dan Px = 4, Py = 5 dan M = 120, maka tentukan jumlah x dan y yang harus dibeli agar kepuasan yang diperoleh maksimum.

6.47

ESPA4112/MODUL 6

A. B. C. D.

x = 20, x = 10, x = 20, x = 20,

y = 10 y=8 y=8 y=8

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.

Tingkat penguasaan =

Jumlah Jawaban yang Benar

× 100%

Jumlah Soal

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.

6.48


Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) A 2) C 3) B 4) C 5) D

Tes Formatif 2 1) B 2) A 3) C 4) A 5) D

ESPA4112/MODUL 6

6.49

Daftar Pustaka Baldani, Jeffrey, James Bradfield and Robert Turner, (1996). Mathematical Economics, The Dryden Press, Harcourt Brace College Publisher. Haeussler, Ernest F. and Richard S. Paul, (1996). Introductory Mathematical Analysis for Business Economics, and The Life and Social Sciences, Eighth Edition, Prentice Hall International Inc. Hoy, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees and Thanasis Stengos, (1996). Mathematics for Economics, Addison-Wesley Publisher Limited, Jacques, Ian, Mathematics for Economics and Business, (1995). Second Edition, Addison-Wesley Publishing Company. Pindyck, Robert S and Daniel L Rubinfeld, (1998). Microeconomics, Fourth Edition, Prentice Hall International Inc. Prakin, Michael and Robin Bade, (1995). Modern Macroeconomics, Prentice Hall Canada Inc Scarborough Ontaro. Silberberg, Eugene and Wing Suen, (2001). The Structure of Economics a Mathematical Analysis, Irwin McGraw-Hill. Kembali ke Daftar Isi

Penggunaan Fungsi Non-Linear Dalam Ekonomi

Recommend Documents