Derivatif/turunan dan penerapannya dalam fungsi ekonomi Ahmad Sabri Universitas Gunadarma, Indonesia 2016
Diberikan y = f (x ) . Notasi ∆ (delta) merepresentasikan perubahan nilai dari sebuah variabel (dependen maupun independen). ∆x : perubahan dari nilai x ; ∆y : perubahan dari nilai y sebagai akibat dari perubahan x
Jika y = f (x ) , maka berlaku: ∆f ( x) ∆y f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = = ∆x ∆x ∆x Ekspresi matematis di atas dapat diartikan sebagai “rata-rata perubahan nilai y per satuan x, jika x berubah dari x0 menjadi x0 + ∆x .”
Contoh Jarak yang ditempuh sebuah benda mengikuti fungsi y = x 2 − 2 x + 10 , di mana y adalah jarak tempuh dalam meter, dan x adalah waktu dalam detik. Berapakah rata-rata perubahan jarak tempuh dari detik ke-3 sampai detik ke 3,5? x = 3, ∆x = 0,5 Saat detik ke-3 ( x = 3 ), jarak tempuhnya adalah 13 m ( y = 32 − 2.3 + 10 = 13 ) Saat detik ke-3,5 ( x = 3,5 ), jarak tempuhnya adalah 15,25 m ( y = (3,5) 2 − 2.(3,5) + 10 = 15,25 ) Jadi dalam 0,5 detik, perubahan jarak tempuhnya adalah 15,25 − 13 = 2,25 m ( ∆y = 2,25 ) Rata-rata perubahan jarak tempuh dari detik ke-3 sampai detik ke-3,5 ∆y 2,25 adalah = = 4,5 meter/detik ∆x 0,5
∆y jarak = = kecepatan ∆x waktu Jadi, kecepatan rata-rata adalah “rata-rata perubahan jarak tempuh per satuan waktu”. Kecepatan rata-rata benda dari detik ke-3 ke detik 3,5 adalah 4,5 m/detik. Dalam contoh ini,
Tapi tunggu dulu. Masih ada pertanyaan berikut: “Berapakah kecepatan benda pada detik ke-3? Untuk menjawabnya, trik-nya adalah dengan membuat ∆x sekecil mungkin (misalnya ∆x = 0,0001, lebih kecil lagi ∆x = 0,000000001, atau bahkan lebih kecil lagi sehingga mendekati 0). Secara notasi ditulis sebagai ∆x → 0 . Pada kondisi ∆x → 0 , didapatkanlah kecepatan sesaat, yaitu kecepatan pada detik yang diminta (dalam hal ini adalah pada detik ke-3)
x = 3, y = 13 Secara matematis, kecepatan sesaat pada x = 3 adalah ∆y nilai dari lim untuk x = 3 ∆x → 0 ∆x ∆x
∆y
0,1 0,01 0,001 0,0001
0,41 0,0401 0,00401 0,000401
∆y ∆x 4,1 4,01 4,001 4,0001
Berdasarkan pola yang ditunjukkan pada tabel di atas, jika ∆x → 0 , ∆y maka akan mendekati 4. ∆x Dikatakan bahwa “kecepatan pada detik ke-3 adalah 4 m/detik”
Generalisasi konsep • Diberikan y = f(x) • Karena y dan x tidak selalu mewakili “jarak” dan “waktu”, maka “kecepatan sesaat pada detik ke-3” dapat digeneralisasi menjadi “perubahan sesaat untuk y pada x = a” • Secara matematis “perubahan sesaat untuk y pada x = a” disebut sebagai “derivatif (turunan) y pada x = a”
Definisi Turunan dari y pada x = x0 diberikan oleh: ∆y lim ∆x → 0 ∆x
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = lim ∆x → 0 ∆x x = x0
yang juga dinotasikan sebagai
Dari contoh sebelumnya,
dy dx
dy dx
. x = x0
=4 x =3
Diberikan y = f (x ) Fungsi turunan dari y terhadap x (singkatnya: turunan dari y) dy df ( x) dinotasikan sebagai , , y ' , f ' ( x) . dx dx Berdasarkan definisi turunan, diperoleh rumus dasar derivatif/turunan. Berikut ini di antaranya: 1. y = c , fungsi turunannya y'= 0 2. y = ax n , fungsi turunannya y ' = nax n −1 1 3. y = ln x , fungsi turunannya y ' = x 4. y = a x , fungsi turunannya y '= a x ln a
Dari contoh sebelumnya, y = x 2 − 2 x + 10 . Kecepatan sesaat pada detik ke-3 diberikan oleh turunan y untuk x = 3, yaitu:
y' = 2 x − 2 = 2.3 − 2 =4 (Bandingkan dengan ilustrasi pada tabel berikut) ∆y ∆x ∆y ∆x 0,1 0,41 4,1 0,01 0,0401 4,01 0,001 0,00401 4,001 0,0001 0,000401 4,0001
Penerapan derivatif dalam fungsi ekonomi
Konsep marginal cost (MC) dan marginal revenue (MR) • Marginal cost (biaya marjinal) adalah perubahan total cost (TC atau biaya total) pada tingkat produksi tertentu jika produksi bertambah satu unit. • Marginal revenue (penerimaan marjinal) adalah perubahan total revenue (TR atau penerimaan total) pada tingkat penerimaan tertentu jika penjualan bertambah satu unit. • Marginal profit (keuntungan marjinal) adalah perubahan profit ( π ) pada tingkat output tertentu jika output bertambah satu unit.
• MC dan MR bergantung kepada besar output, yang dilambangkan dengan Q. Dalam konteks cost, outputnya disebut produksi; dalam konteks revenue, outputnya disebut penjualan. • Secara fisik, produksi dan penjualan merujuk pada objek yang sama.
TC = total cost; MC = marginal cost; Q = quantity
∆TC dTC MC = lim = ∆Q →0 ∆Q dQ Marginal cost adalah turunan dari fungsi total cost.
MC = TC '
TR = total revenue; MR = marginal revenue; Q = quantity
∆TR dTR MR = lim = ∆Q →0 ∆Q dQ
Marginal revenue adalah turunan dari fungsi total revenue.
MR = TR '
π = profit
π = TR − TC Marginal profit adalah turunan dari fungsi profit, dan juga merupakan selisih antara MR dan MC.
π ' = TR '−TC ' = MR − MC
Nilai ekstrim dari fungsi Secara ekonomi: • Target keuntungan, produksi maupun penjualan diinginkan semaksimal mungkin • Target biaya produksi, level pencemaran lingkungan, dan penggunaan bahan yang tidak dapat didaur ulang, diinginkan seminimal mungkin. • Target-target tersebut dapat direpresentasikan sebagai nilai ekstrim (maks/min) dari fungsi ekonomi.
• Nilai kritis adalah nilai x ketika f(x) mencapai nilai ekstrimnya • Nilai ekstrim f(x) dicapai ketika f’(x) = 0. • Nilai kritis x diperoleh dengan menyelesaikan persamaan f’(x)=0 • Jenis nilai ekstrim untuk f(x): – Maksimum jika f’’(x)>0 – Minimum jika f’’(x)<0 – Titik belok jika f’’(x)=0
Elastisitas permintaan dan penawaran • Elastisitas permintaan [penawaran] mengukur persentase perubahan kuantitas permintaan [penawaran] dibagi persentase perubahan harga. • Secara matematis: dQ / Q dQ P ε= = dP / P dP Q
atau
1 P ε= dP / dQ Q
di mana Q = kuantitas, P = tingkat harga
Pendekatan secara grafis • Elastisitas permintaan [penawaran] dapat dihitung berdasarkan grafik. Fungsi marginal diestimasi oleh kemiringan (gradien) garis singgung pada titik yang diberikan; sedangkan fungsi rata-rata diestimasi oleh kemiringan garis yang menghubungkan titik pusat dengan titik yang diberikan.
Grafik fungsi permintaan
εd = −
AB / BC OB =− AB / OB BC
AB / BC OB εd = − =− AB / OB BC
Grafik fungsi penawaran
εd = −
AB / BC OB =− AB / OB BC
DF / EF OF εs = = DF / OF EF
