1|
LIMIT FUNGSI Standar kompetensi :
Mengunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di takhingga. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar Tujuan Pembelajaran :
Menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik tersebut
Menjelaskan arti limit fungsi di tak berhingga melalui grafik dan perhitungan
Menghitung limit fungsi aljabar di satu titik dengan cerdas
Menjelaskan sifat-sifat yang digunakan dalam perhitungan limit.
Menjelaskan arti bentuk tak tentu dari limit fungsi.
Bekerjasama dan saling peduli dalam mengerjakan soal limit secara berkelompok.
Mengerjakan ulangan fungsi limit dengan jujur dan mandiri.
2|
PETA KONSEP
LIMIT FUNGSI
LIMIT FUNGSI ALJABAR
TEOREMA LIMIT
SUBSTITUSI LANGSUNG
BENTUK TERTENTU
𝐥𝐢𝐦
𝒇 𝒙 𝟎 = 𝒙 𝟎
𝒙→𝒂 𝒈
Faktorisasi
Rasionalisasi bentuk aljabar
BENTUK TAK TENTU
𝐥𝐢𝐦
𝒇 𝒙 ∞ = 𝒙 ∞
𝐥𝐢𝐦 *𝒇 𝒙 −𝒈 𝒙 + =∞−∞ 𝒙→∞
𝒙→∞ 𝒈
Membagi dengan pangkat tertinggi 𝒇 𝒙 𝒅𝒂𝒏 𝒈 𝒙
Mengalikan dengan 1 dalam bentuk sekawan
3|
Pengantar Dalam kehidupan sehari-hari
ada beberapa contoh kegiatan yang
perhitungan menggunakan konsep limit fungsi diantaranya : 1. Kartu kredit yang digunakan orang dalam memenuhi kebutuhan sehari-hari. 2. Bola basket yang dijatuhkan dari ketinggian tertentu kemudian memantul hingga berhenti (Panjang lintasan bola basket).
A. Limit Fungsi Aljabar 1. Pengertian Limit Fungsi Aljabar adalah nilai pendekatan fungsi ketika nilai peubahnya mendekati suatu nilai. Notasi pendekatan / mendekati dalam istilah limit dinyatakan dengan arah panah (→). Nilai peubah
𝒂 ditulis :
(𝒙) mendekati nilai
→ . Secara utuh, limit fungsi Aljabar ditulis sebagai
berikut :
lim 𝑓(𝑥 ) = 𝐿
𝑥→𝑎
Catatan : Nilai a dapat berupa :
Nilai pendekatan
ke
−∞, 0, bilangan dan ∞ dapat dipandang dari dua arah yaitu :
→
a. Mendekati
dari arah kiri ditulis :
b. Mendekati
dari arah kanan ditulis :
→
Agar lebih jelas dalam menentukan limit fungsi aljabar maka dapat ditentukan secara numerik dan grafik. Contoh : 1. Tentukan nilai
lim (𝑥 + 2) secara numerik dan grafik. 𝑥→2
4|
a. Secara numerik Tabel : ( ) =
( )
+2
,
,
,
,
,
→2
,
,
,
,
,
→
2,0
2,
2,2
2,
2,
,0
,
,2
,
,
b. Secara grafik
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2
𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥)
2. Tentukan nilai
lim
2
→
− −
secara numerik
Jawab : Tabel : ( ) =
+2
0,
0,
( )
0,
0,
0,
→
,0
,
,2
→
2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar a. Menentukan limit fungsi aljabar berbentuk
5|
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂 𝒇(𝒙)
,
,
Ada beberapa cara yang digunakan untuk mencari nilainya yaitu : 1. Substitusi Langsung
lim 𝑓 (𝑥 ) = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎
Contoh : Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini : a)
lim
→2 (
+ 2)
Jawab :
lim =
→2 (
+ 2)
2+2=
b)
lim
→
c)
lim
→
+2=
+2 2 −
√(
− )
Jawab :
2.
Bentuk
𝒇(𝒙) 𝒙→𝒂 𝒈(𝒙)
=
𝟎 𝟎
Apabila bentuk limit nilainya
maka penyelesaiannya ada 2 cara
yaitu :
6|
a) Faktorisasi adalah memfaktorkan fungsi – fungsi dalam limit contoh : Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini : 1)
lim
2
→
−2 − −
Jawab :
lim
2
→
= lim
→
−2 − − ( − ) ( + 2)
−
= lim ( + 2) →
2)
=
+2=
lim
→2
lim
→
2 2
+2 − − 2 + 20
3) 4)
−2 2+ 2+2
Jawab :
7|
b) Merasionalkan Pembilang dan Penyebut Bentuk Akar adalah mengalikan pembilang dan penyebut dengan 1 dalam bentuk sekawan. Contoh : Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini : 1)
lim
−
→
√ +
−2
Jawab :
lim
− √ + −2
→
→
= lim
→
= lim
→
lim
→
2
√
2
)
− ( √ + + 2)
= lim
( + )−
− ( √ + + 2)
=√ +
2)
√
(
−
(√ + + 2) +2= 2+2 =
2−√ − 2−
Jawab :
8|
b. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Berbentuk Limit fungsi aljabar untuk
𝐥𝐢𝐦𝒙→∞ 𝒇(𝒙)
→ ∞ biasanya ditemukan dalam bentuk :
𝒇(𝒙)
atau 𝒍𝒊𝒎𝒙→∞ *𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)+ Apabila kita𝒈(𝒙) mensubsitusikan langsung nilai → ∞ pada fungsi 𝒍𝒊𝒎𝒙→∞
dan ( ) − ( ), maka kita akan memperoleh bentuk
∞ ∞
( ) ( )
dan ∞ − ∞
yang merupakan bentuk – bentuk tak tentu. Agar hasilnya menjadi tertentu, kita dapat menggunakan caracara berikut : 1) Membagi
dengan
variabel
pangkat
tertinggi
dari
pembilang atau penyebut. Contoh : Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini : a)
lim
→∞
2 − 2+
Jawab : =
=
=
lim
lim
lim
=
b)
lim
2 − 2 →∞ 2 + 2 2
2 − 2 2 2+ 2
2
− 2 + 2
→∞
→∞
(dibagi dengan pangkat tertinggi yaitu
0−0 0 = = +0
→∞
2 2+ 2+
0
− +
9|
2
)
c)
lim
→∞
d)
lim
→∞
2
− + +2 + +√ 2+
2 −√ 2+
+
Jawab :
2) Mengalikan
dengan
satu
(1),
tetapi
dalam
sekawan. Hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini :
a)
lim
→∞ (√
+ −√
− )
Jawab :
= lim
→∞ (√
+
−√
( + )−( = lim ( →∞ √ + +√ = lim ( →∞ √
+ ) −
− + −√
−
√
√
√
√
(
− )
)
)
10 |
)
bentuk
− 2
= lim
→∞
(
=
b)
lim
→∞ (√
+
√
2
−
+√
)
0 √ +0 + √ −0 +
+ −√
2
+
=
0 √ +√
=0
− )
Jawab :
Berdasarkan cara mengalikan dengan 1 dalam bentuk sekawan, maka dapat dibuktikan bahwa :
lim𝑥→∞ (√𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 − √𝑎𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞) =
𝑏
𝑝
2 √𝑎 11 |
Contoh : Dengan memakai rumus di atas, hitunglah nilai limit fungsi – fungsi berikut ini :
lim
a)
2
→∞ (√
+ 2 +
−√
+ 2 +
−√
2
−
+ 2)
−
+ 2) =
Jawab :
lim
2
→∞ (√
=
2
2√
=
2 ( 2√
)
=
2√
=
b)
lim
→∞ ((
c)
lim
→∞ (√
− 2) − √ 2
−
−
2
−2 + )
− 2)
Jawab :
B. Teorema Limit Selain cara-cara diatas, ada cara lain dalam menyelesaikan konsep limit yaitu dengan menggunakan Teorema Limit. Untuk setiap
konstanta dan
fungsi yang mempunyai limit untuk
, jika
→
dan
merupakan fungsi –
maka berlaku teorema limit
berikut ini :
12 |
TEOREMA LIMIT 1.
lim𝑥→𝑎 𝑘 = 𝑘
2.
lim𝑥→𝑎 𝑥 = 𝑎
3.
lim𝑥→𝑎 *𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)+ = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
4.
lim𝑥→𝑎 𝑘 𝑓(𝑥) = 𝑘 lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)
5.
lim𝑥→𝑎 *𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)+ = (lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥))(lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥))
6.
lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) =
7.
lim𝑥→𝑎 *𝑓(𝑥)+𝑛 = *lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)+𝑛
8.
lim𝑥→𝑎 √𝑓(𝑥) = √lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) , dengan lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk 𝑛
𝑓(𝑥)
lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) lim𝑥 →𝑎 𝑔(𝑥)
𝑛
𝑛
genap.
Contoh : Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut dengan menggunakan teorema limit. 1)
lim
→2 (2
− )
Jawab :
lim
→2 (2
− ) = lim
=2 2−
2)
lim
→
3)
lim
→
4)
lim
→
=
−
→2 2
− lim
→2
(teorema 3)
= − (teorema 1 dan 2 )
2
(
2
−2 + )
√ 2+
Jawab :
13 |
Latihan Soal A.
Pilihan Ganda
1.
Nilai
lim 2 x 2 4 x = …. x 0 3x 2 a. –4 c. – 3 4 2 b. – d. 3 3
e.
4 3
2x 2 8 =… x2 x 2
2. Nilai lim a. –8 b. –4 3. Nilai
c. –2 d. 4
e. 8
3x 2 8 x 3 .... x3 x3
lim
a. 6 b. 7
c. 10 d. 17
e. 19
x 2 2 x 15 =… x 3 x 3
4. Nilai dari lim a. –8 b. –2
c. 0 d. 2
e. 8
8 x 2 14x 4 = …. x 2 2x 4 a. –9 c. 0 e. 10 b. –7 d. 7
5. Nilai
6. Nilai
1 5 1 b. 7 a.
lim
lim x3 = …. 2 x 3 2 x 5x 3
e.
c. 0 d.
2 5
1 7 14 |
lim 6 2x = …. x 3 2x 2 9x 9 2 a. –2 c. 9 2 2 b. d. 3 3
7. Nilai
8. Nilai lim a. –6 b. –
x2 9
x3 x 2
5x 6
=…
c. 0
3 2
x2
a. –4 b. –1
x 2 8 x 12 x2 4
10. Nilai dari Limit x 5
e. 6
3 2
d.
9. Nilai lim
=…
c. 0 d. 1
e. 4
2x2 3x 35 x2 5x
c. 3 2
a. 0
5 d. 4 2 5
b. 2 2 5 11. Nilai lim
x 4
a. 4 b. 2
e. 2
3x 2 14x 8 x 2 3x 4 c. 12
= ... e. 5 2 5
=… e. – 4
d. – 2
12. Nilai lim
x
4x 2 2x 1 3x 2 2
=…
a. 43
c. 53
b. 34
d. 12
e. 0
15 |
x 2 2x 1
13. Nilai lim a. –1 b. – 13
x 3x 2
6x 1
=…
c. 0 d. 13
e. 1
x 3 2x 2 5 = x 4 x 2 x 3 10
14. Nilai lim a.
c.
1 2
b. 12
d. 1 4
15. Hasil dari lim x
x2
a. 2 b. 1
3 2 = ... . x
c. 0 d. –1
e. –2
3x 2 x 1 = .... 4x 5
16. Lim
x
a.
e.
1 4
4 3 3
c. 1
b. 4
d.
3
17. Nilai Lim
x
1 3 4
10 x 7 4x 7x 6
a. – 5 b. – 4
e. 0
2
= ... .
c. –1 d. 4
18. Nilai dari Limit x
e. 5
4x3 3x2 1
= ...
(2x 1)3
a.
c. 2
b. 4
d. 1
e.
1 2
19. Nilai lim x( x 2) x 2 2 = … x
a.
c. 1
e. –1 16 |
b. 2
d. 0
20. Nilai lim x 2 2 x 1 x 2 3x 2 = … x
1 a. 6 2 1 b. 4 2
1 c. 3 2
e. – 2
1 d. – 2 2
6x2 x 7 6x2 5x 1 = ... .
21. Nilai dari Limit x
a. 6 b. 1
c. 0 d.
6
2
Limit
22. Nilai
x ~ 39 a. 10 21 b. 10
e.
1 6
1 3
6
6
25 x 2 9 x 16 5 x 3 = …. 9 10 39 d. 10
c.
e.
23. Nilai dari Lim 3x 2 5 x 3x 2 3 =… x
c.
5 3 2
24. Nilai
e.
5 3 6
x 2 4 x 3 x 1 = … c. 0 e. 6
lim x
a. – 6 b. – 1 25. Nilai
5 3 3 5 3 d. 4
a. 5 3 b.
d. 1
lim (5x 1) x
25x 2 5 x 7 = …
a. 32
c. 12
b. 23
d. – 12
e. – 32
17 |
B.
Essay
1.
Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini.
2.
3.
4.
2
a.
lim
→
b.
lim
→2
+
−2 −
2√
+2
( 2 −
)
Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini. 2
a.
lim
→ 2
b.
lim
→2
c.
lim
→
d.
lim
e.
lim
→
+
+
2
−
( −2−
2
−
)
√ ( − ) √ −
2
− 20 2 + 0 ( − )2 −2 2+ 2+2
→
Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini. a.
lim
b.
lim
→
c.
lim
→
d.
lim
→
→
− − √2 −2 2− 2 −√ 2+ √ + 2 − √ − 2 2
√ +
−
2
Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini. a.
lim
→∞
−
2
+
+ −
18 |
5.
b.
lim
c.
lim
→∞
d.
lim
→∞
e.
lim
+ 2+2 +2 2+
→∞
2( 2− 2+
2 + ) +
√ 2 +
+ 2
→∞ √ 2 +
+
Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut ini. 2
a.
lim
→∞
(√
+
b.
lim
→∞
(√ +
c.
lim
→∞
(√( + )(
d.
lim
→∞
((2 + ) − √
e.
lim
→∞
(√
2
−√
2
−
+ )
−√ ) √ +
+
+ ) − √( + )(
−
2
− −(
+ ))
+ ) + 2))
Jawab :
19 |
Glosarium Bentuk Sekawan
Pasangan bilangan atau bentuk aljabar yang memuat bentuk akar yang hasil kalinya bilangan rasional atau bentuk aljabar yang tidak memuat bentuk akar Contoh : (√ + √2) sekawan dengan (√ − √2)
Bentuk tak tentu
Bentuk – bentuk yang nilainya tidak tepat.
,
Bentuk tak tentu diantaranya Limit
∞ ∞
dan
0, ∞.
Kata – kata “batas, mendekati, hampir, sedikit lagi” dan sebagainya dapat disamakan dengan pengertian “limit” dalam matematika.
Limit Fungsi
Limit fungsi ( ) = ditulis
lim
→
dekat dengan
untuk
( )=
mendekati
pengertiannya
( → ) jika
tetapi tidak sama dengan
maka harga fungsi ( ) mendekati
.
Daftar Pustaka Suwah Sembiring dkk, 2012, Matematika Berbasis Pendidikan Karakter Bangsa untuk SMA / MA Kelas XI IPS / Bahasa, YRAMA WIDYA Bandung. Sukino, 2004. Matematika untuk SMA Kelas XI IPS, Erlangga. Sartono Wirodikromo,2004. Matematika untuk SMA Kelas XI IPS, Erlangga. Enung S dkk, 2009. Evaluasi Mandiri Matematika Untuk SMA Kelas XI IPA, Erlangga. Rignan Wargiyanto dkk, 2008, Buku Kerja Matematika Untuk SMA Kelas XI IPA Semester 1, Erlangga.
20 |
