MATA KULIAH BERSAMA FMIPA UGM MATEMATIKA KONTEKSTUAL
PERTEMUAN KE-6 LIMIT FUNGSI
Oleh : KBK ANALISIS
APA ITU LIMIT? Arti kata: batas, membatasi, mempersempit, mendekatkan.
Dalam kehidupan sehari-hari, orang sering dihadapkan pada masalah-masalah pendekatan suatu nilai/besaran.
Contoh: a. Letak rumah Budi dekat dengan rumah Tono. b. Ketika hari sudah mendekati senja, datanglah yang ditunggu-tunggu. c. Nilai ujian matematika Anton hampir 9. d. ……dst.
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
Gagasan limit mendasari dua konsep utama di dalam kalkulus, yaitu Derivatif dan Integral.
Derivatif bermula pada masalah garis singgung Integral bermula pada masalah mencari luas daerah
Konsep limit, selain muncul dalam usaha mencari kemiringan (gradien) garis singgung dan luas daerah, juga muncul dalam masalah mencari kecepatan dan jumlah deret tak hingga
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
1. Perhatikan gambar berikut. ……. dst. Di dalam lingkaran dibuat bidang segi n (n polygon) sehingga titik-titik sudut segi n tersebut berada pada lingkaran. Tentu dapat dibayangkan bahwa apabila n sangat besar, maka luas segi n akan mendekati luas lingkaran.
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI
Jika A menyatakan luas lingkaran dan An menyatakan luas segi n, dalam hal ini kita tuliskan
A lim An n
Proses mencari luas area datar dengan menggunakan konsep limit tsb akan dibicarakan pada pembahasan integral
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Masalah garis singgung) Kata garis singgung diterjemahkan dari kata “tangent” yg diadopsi dari kata “tangens” di bahasa latin yg berarti “penyentuhan” Diket kurva C mempunyai persamaan y=f(x), akan dicari garis singgung kurva C di titik P(a,f(a)). Ditinjau sebuah titik lain yg berdekatan dg P, misalnya Q(x,f(x)) dg x tdk sama dg a.
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Garis Singgung)
Kemiringan (gradien) garis yg melalui P dan Q adalah
m PQ
f ( x) f (a) xa
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Garis singgung)
Selanjutnya, jk Q digerakkan mendekati P sepanjang kurva C dg cara x dibuat mendekati a, maka garis yg melalui P dan Q akan mendekati garis singgung di P. Dalam hal ini dituliskan m lim m PQ QP
f ( x) f (a) lim xa xa
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Deret) 2. Masalah penjumlahan:
1 1 3 2 4 4
1 1 1 7 2 4 8 8 1 1 1 1 15 2 4 8 16 16
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Deret)
1 1 1 1 1 31 2 4 8 16 32 32 ………………..
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ... n 2 4 8 16 32 2 2 1 1 2 ………………….dst.
n
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Deret)
Apabila jumlahan dilakukan untuk n sangat besar, maka hasil jumlahan akan mendekati 1.
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Masalah Kecepatan) Sebuah
benda bergerak dg pers gerak s=f(t) dg s menyatakan jarak perpindahan benda dari titik awal pada waktu t. Kecepatan rata-rata pada selang waktu dari t=a sampai t=a+h adalah
f ( a h) f ( a ) h
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Kecepatan)
Kecepatan rata-rata tsb sama seperti kemiringan garis yg melalui P dan Q pada gambar berikut
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI (Kecepatan) Apabila
h dibuat mendekati 0, diperoleh kecepatan (atau kecepatan sesaat) benda pada saat a, dan apabila kecepatan ini ditulis dg v(a), maka
f ( a h) f ( a ) v(a ) lim h 0 h
Mengingat pentingnya menentukan nilai limit suatu besaran, seperti terlihat pada contoh-contoh di atas, perlu untuk dibuat definisi yang tepat untuk limit sehingga diperoleh hukum-hukum limit yang memudahkan kita menentukan nilai limit Untuk itu, perlu diingatkan dulu konsep fungsi
FUNGSI
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali dijumpai adanya keterkaitan atau hubungan antara satu obyek dengan obyek yang lain. Misalnya antara pedagang dan pembeli suatu barang, antara majikan dan pelayan, antara bank dan nasabah, dst. Hubungan-hubungan tersebut secara umum disebut relasi. Secara sistemik, suatu relasi menggambarkan hubungan antara anggota dari suatu kumpulan obyek dengan anggota dari kumpulan obyek yang lain. Relasi yang memenuhi syarat tertentu, yaitu apabila setiap unsur dalam suatu kumpulan obyek mempunyai hubungan dengan tepat satu obyek dari kumpulan yang lain, disebut fungsi.
FUNGSI Secara matematis, pengertian fungsi diberikan sebagai berikut: Diberikan himpunan tak kosong A dan B. Relasi dari R A ke B adalah suatu himpunan . A B Relasi dari A ke B sehingga untuk setiap anggota A berelasi dengan tepat satu anggota B disebut fungsi dari A ke B.
FUNGSI
Jika sebarang anggota A diwakili dengan variabel x dan anggota B yang oleh fungsi f berelasi dengan x adalah y, maka fungsi f biasa diberikan dengan rumus
y f (x)
LIMIT FUNGSI Limit suatu fungsi f merupakan alat untuk mempelajari perilaku f(x) untuk x mendekati suatu bilangan tertentu. Untuk lebih jelasnya diberikan contoh-contoh berikut
LIMIT FUNGSI f ( x) x 1 Contoh 1. Diberikan fungsi Akan dipelajari perilaku f(x) di sekitar x= 0. Beberapa nilai f(x) untuk x dekat dengan 0 disajikan dalam tabel berikut
LIMIT FUNGSI x
f(x)
x
f(x)
–1
0
1,24
2,24
–0,55
0,45
0.997
1,997
–0,125
0,875
0,00195
1,00195
–0,001
0,999
0,0000015
1,0000015
–0,000001
0,999999
0,000000001
1,000000001
…
…
…
…
LIMIT FUNGSI Dari tabel di atas dapat dilihat, apabila nilai x semakin dekat dengan 0, maka f (x) akan semakin dekat dengan 1. CATATAN: Adalah suatu kebetulan bahwa f (0) 1. Dengan grafik, dapat digambarkan sebagai berikut.
LIMIT FUNGSI
1
Dari grafik dapat dilihat, apabila x sangat dekat dengan 0, baik untuk x<0 maupun untuk x>0, maka f (x) sangat dekat dengan 1.
LIMIT FUNGSI Hal
ini kita katakan Limit f(x) untuk x mendekati 0 sama dengan 1 dan kita tuliskan dengan
lim f ( x) 1 x 0
LIMIT FUNGSI Contoh 2. Diberikan
x 1 g ( x) x 1 2
Akan dilihat perilaku g(x) untuk x semakin dekat dengan bilangan 1 Untuk kasus ini, jelas bahwa g (1) tidak ada atau tak terdefinisi.
LIMIT FUNGSI Perhatikan bahwa untuk x 1 ,
x 2 1 ( x 1)( x 1) g ( x) x 1 f ( x) x 1 x 1 (Dalam hal ini, kita definisikan f ( x) x 1 ). Selanjutnya, untuk berbagai nilai x 1 , nilai g(x) dapat dilihat pada tabel berikut.
LIMIT FUNGSI x
g(x)
x
g(x)
0
1
1,24
2,24
0,557
1,557
1,0997
2,0997
0,799999
1,799999
1,00195
2,00195
0,999999001
1,999999001
1,0000015
2,0000015
0,999999999
1,999999999
1,000000001
2,000000001
…
…
…
…
LIMIT FUNGSI Dengan grafik, nilai g(x) untuk berbagai nilai x yang sangat dekat dengan 1 dapat dilihat pada gambar berikut.
2 1
LIMIT FUNGSI Jadi, baik dari tabel maupun dari grafik, diperoleh bahwa semakin dekat nilai x dengan 1, maka nilai g(x) semakin dekat dengan 2. Hal ini kita katakan Limit g(x) untuk x mendekati 1 sama dengan 2 dan kita tuliskan dengan
lim g ( x) 2 x 1
LIMIT FUNGSI Contoh 3. Diberikan
x2 1 , x 1 x 1
h( x )
1 , x 1
Akan dipelajari perilaku h(x) untuk x semakin dekat dengan bilangan 1
LIMIT FUNGSI Jawab: Jelas bahwa
h.(1) 1
Apakah keadaan tersebut, yaitu , akan mengakibatkan juga akan bernilai 1 ketika x sangat dekat dengan h(1) 1?1
h(x)
LIMIT FUNGSI Sama halnya seperti fungsi g pada Contoh 2, bahwa untuk x 1,
x 2 1 ( x 1)( x 1) h( x ) x 1 f ( x) x 1 x 1 (Dalam hal ini, kita definisikan f ( x) x 1). Selanjutnya, untuk berbagai nilai x 1 , nilai h(x) dapat dilihat pada tabel berikut.
LIMIT FUNGSI x
h(x)
x
h(x)
0
1
1,24
2,24
0,557
1,557
1,0997
2,0997
0,799999
1,799999
1,00195
2,00195
0,999999001
1,999999001
1,0000015
2,0000015
0,999999999
1,999999999
1,000000001
2,000000001
…
…
…
…
LIMIT FUNGSI Dengan grafik, nilai h(x) untuk berbagai nilai x yang sangat dekat dengan 1 dapat dilihat pada gambar berikut.
2
1
LIMIT FUNGSI Jadi, baik dari tabel maupun dari grafik, diperoleh bahwa semakin dekat nilai x dengan 1, maka nilai h(x) semakin dekat dengan 2. Hal ini kita katakan Limit h(x) untuk x mendekati 0 sama dengan 1 dan kita tuliskan dengan
lim h( x) 2 x 1
LIMIT FUNGSI Dengan demikian, dengan menggunakan bahasa sehari-hari, pengertian limit bisa kita nyatakan sebagai beirkut Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk x mendekati c, ditulis
lim f ( x) L x c
jika untuk nilai x yang sangat dekat dengan c, tetapi x c , berakibat f(x) mendekati L.
LIMIT FUNGSI
Pengertian dg bahasa sehari-hari tsb tidak dapat digunakan untuk mendapatkan sifat-sifat limit yang kita perlukan untuk perhitungan. Karena itu, diperlukan definisi yang tepat (precise) untuk limit fungsi. Definisi ini pertama kali digunakan oleh Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) yg memulai karirnya sebagai insinyur militer. Definisi secara eksak(yg kita gunakan sampai sekarang) dirumuskan oleh Karl Weierstrass (1815-1897)
LIMIT FUNGSI Definisi. Diberikan
fungsi f yg terdefinisi pada suatu selang terbuka yg memuat bil a, kecuali mungkin di a. Limit fungsi f untuk x mendekati a adalah L, dituliskan lim f ( x) L xa
Jika untuk setiap bil 0 terdapat bil 0 sehingga apabila x D f dengan 0 x a berlaku f ( x) L
LIMIT FUNGSI Untuk c , pengertian limit dg menggunakan bahasa sehari-hari dapat dituliskan sebagai berikut. Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk x mendekati ∞ , ditulis
lim f ( x) L x
jika untuk nilai x yang sangat besar tak terbatas arah positif berakibat f(x) mendekati L.
LIMIT FUNGSI Contoh 6. Tunjukkan bahwa keliling lingkaran dengan jari-jari R sama dengan 2 .R Penyelesaian: Dibuat segi n beraturan di dalam lingkaran sehingga setiap titik sudutnya berada pada lingkaran.
LIMIT FUNGSI Keliling segi n tersebut adalah 2 1 cos 2 n 2 R 2 Ln n 2 R 1 cos 2 n 1n
Untuk n cukup besar, maka nilai Ln akan mendekati keliling lingkaran. Oleh karena itu, keliling lingkaran adalah
L lim Ln 2R n
LIMIT FUNGSI Contoh 7. Suatu partikel bergerak mengikuti persamaan
S (t ) t 2 4t , t 0 dengan t menyatakan waktu (dalam jam) dan S(t) menyatakan jarak tempuh. Berapa kecepatan partikel pada jam 2?
LIMIT FUNGSI Penyelesaian: Kecepatan rata-rata partikel dari jam 2 sampai dengan jam 2+h, dengan h 0 adalah
S ( 2 h ) S ( 2) vh 8 h h Apabila diambil h sangat kecil mendekati 0, maka akan diperoleh kecepatan pada saat jam 2, yaitu
v(2) lim vh 8 h 0
