BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU
Konsep limit mempunyai peranan yang sangat penting di dalam kalkulus dan berbagai bidang matematika. Oleh karena itu, konsep ini sangat perlu untuk dipahami. Meskipun pada awalnya konsep limit sukar untuk dipahami, tetapi dengan sedikit bantuan cara numeris kemudian konsep ini bisa dimengerti. Dan kenyataannya, setelah dipraktekkan masalah hitung limit relative mudah. Mengingat hal itu, maka pada bagian pertama Bab ini limit diterangkan secara intuitive (numeris). Kemudian pada bagian selanjutnya, dikembangkan teknik penghitungan limit.
3.1 Pengertian Limit Terlebih dahulu diperhatikan fungsi f ( x) = x 2 + 3 . Grafik y = f (x) diberikan pada Gambar 3.1.1
di bawah ini.
58
7
●
2
Gambar 3.1.1
Apa yang terjadi dengan f (x) apabila x cukup dekat dengan 2? Perhatikan table 3.1.1 berikut.
Tabel 3.1.1
x
f ( x) = x 2 + 3
3
f ( x) = x 2 + 3
x 12 1,5
5,25
2,05
7,2025 1,95
6,8025
2,001
7,004001 1,999
2,0001
7,00040001 1,9999
6,996001 6,99960001
Dari table terlihat bahwa apabila x cukup dekat dengan 2, maka f (x) mendekati 7. Hal ini tidak mengherankan, karena apabila dihitung f (2) = 2 2 + 3 = 7 . Dalam hal ini dikatakan bahwa limit f(x) x mendekati 2 sama dengan 7, ditulis: lim f ( x) = 7
x→2
Selanjutnya, perhatikan fungsi f yang ditentukan oleh rumus:
x2 −1 f ( x) = x −1
59
Fungsi f tersebut tidak terdefinisikan di x = 1 karena di titik ini f(x) berbentuk
0 . Tetapi masih dapat 0
dipertanyakan apa yang terjadi pada f(x) bilamana x mendekati 1 tetapi x ≠ 1 . Untuk x ≠ 1 , x 2 − 1 ( x − 1)( x + 1) = = x + 1 = g ( x) x −1 x −1
f ( x) =
○
1
(a). f ( x ) =
x
2
−1
x −1
, D
f
= R − {1}
(b). g ( x ) = x + 1, D g = R
Gambar 3.1.2
Dari table 3.1.2 di bawah terlibat bahwa apabila x cukup dekat dengan 1, maka nilai f ( x) mendekati 2. Jadi, x2 −1 =2 x→1 x − 1
lim
Tabel 3.1.2
60
x
f ( x) =
x2 −1 = x +1 x −1
2
x2 −1 = x +1 x −1
3 0,5
1,05
1,5
2,05 0,99
1,001 1,00000017
f ( x) =
x
1,99
2,001 0,999975 2,00000017 0,9999999
1,999975 1,9999999
Dari beberapa uraian di atas, berikut diberikan definisi limit.
Definisi 3.1.1 Limit f(x) x mendekati c sama dengan L, ditulis:
lim f ( x) = L
x →c
jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c, tetapi x ≠ c , maka f(x) mendekati L.
Secara matematis definisi di atas dapat ditulis sebagai berikut.
lim f ( x) = L jika untuk setiap bilangan ε > 0 yang diberikan (berapapun kecilnya) terdapat bilangan
x →c
δ > 0 sehingga untuk setiap x ∈ D f dengan 0 < x − c < δ berlaku f ( x) − L < ε .
Catatan: Pada definisi limit di atas, fungsi f tidak perlu terdefinisikan di c. Limit f(x) untuk x mendekati c
mungkin ada walaupun f tidak terdefinisikan di c. Contoh 3.1.2 Buktikan bahwa lim (2x –5) = 3. x →4
61
Penyelesaian:
|(2x –5) – 3| = |2x – 8| = |2(x – 4)| = |2| |x – 4| = 2|x – 4| Diberikan bilangan ε > 0 sebarang. Apabila diambil δ = ε/2, maka untuk setiap x di dalam domain f yang memenuhi 0 <|x – 4| < δ berlaku: |(2x – 5) – 3| = 2 |x – 4| < 2 δ = 2.ε/2 = ε.█
Contoh 3.1.3 Buktikan bahwa untuk c > 0, lim
x →c
x = c.
Penyelesaian:
(3.1.1)
x− c =
Ditinjau x >0 dengan sifat x − c <
(
x− c
)
x+ c x+ c
x−c
=
x+ c
c . Menurut ketidaksamaan segitiga: 2
x = x ≥ c − x−c > c−
c c = 2 2
Hal ini berakibat: (3.1.2)
x>
c 2
Selanjutnya, dari (3.1.1) dan (3.1.2) diperoleh: x− c =
x−c x+ c
<
2 x−c 3c
,
⎧ c ε 3c ⎫ untuk setiap x>0. Diberikan bilangan ε > 0 sebarang. Apabila diambil δ = min ⎨ , ⎬ maka untuk 2 ⎭ ⎩2 setiap x>0 dengan 0 < x − c < δ berlaku: x− c =
x−c x+ c
62
<
2 x−c 3c
<ε
Jadi, untuk setiap ε > 0 terdapat δ>0 sehingga untuk setiap x>0 dengan 0 < x − c < δ berlaku: x− c =
x−c x+ c
<
2 x−c 3c
< ε .█
Agar bisa lebih mendalami hitung limit, berikut diberikan sifat-sifat dasar limit. Teorema 3.1.4 Jika lim f ( x) ada maka nilainya tunggal. x→ c
Bukti: Misalkan lim f ( x) = L dan lim f ( x) = K . Akan ditunjukkan bahwa L = K . x →c
x →c
Diberikan ε > 0 sebarang, maka terdapat δ 1 , δ 2 > 0 sehingga: i.
f ( x) − L <
ii.
f ( x) − K <
ε 2
ε 2
,
untuk setiap x ∈ D f dengan 0 < x − c < δ 1 .
,
untuk setiap x ∈ D f dengan 0 < x − c < δ 2 .
Apabila diambil δ = min{δ 1 , δ 2 } maka untuk setiap x ∈ D f dengan 0 < x − c < δ berlaku: L − K ≤ L − f ( x) + f ( x) − K < ε
Hal ini berarti L = K .█
Contoh 3.1.5 Tunjukkan bahwa lim
x
x →0 x
tidak ada.
Penyelesaian: Untuk x > 0 , x
lim
x →0 x
x =1 x →0 x
= lim
Sementara, untuk x < 0 , lim
x
x →0 x
−x = −1 x→0 x
= lim
63
x
Karena nilai limit tidak tunggal maka lim
x →0
x
tidak ada.█
3.2 Teknik Aljabar Untuk Menghitung Limit Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut ini sangat diperlukan dalam hitung limit. (Dengan berbagai pertimbangan bukti teorema tidak disertakan dalam buku ini).
Teorema 3.2.1 (i). lim A = A , A, c ∈ R . x →c
(ii). lim x = c . x →c
Teorema 3.2.2 Jika lim f ( x) dan lim g ( x) keduanya ada dan k ∈ R maka berlaku pernyataanx→ c
x→ c
pernyataan berikut: i. ii. iii.
iv.
lim
x →c
{ f ( x) ± g ( x)} =
lim f ( x) ± lim g ( x)
x→c
x→c
lim kf ( x) = k lim f ( x)
x →c
x →c
lim f ( x) g ( x) = lim f ( x). lim g ( x)
x →c
x →c
x→c
lim f ( x) f ( x) x → c , asalkan lim g ( x) ≠ 0 lim = lim g ( x) x → c g ( x) x →c x →c
v.
Untuk n ∈ N : (a). lim
x →c
( f ( x))n = ⎛⎜ lim
(b). lim
( f ( x))− n = ⎛⎜ lim
(c). lim
( f ( x))1 n
x →c
x →c
⎞ f ( x) ⎟ → x c ⎝ ⎠
⎞ f ( x) ⎟ ⎝ x →c ⎠
−n
1n
⎛ ⎞ = ⎜ lim f ( x) ⎟ ⎝ x →c ⎠
n
, asalkan lim f ( x) ≠ 0 x →c
, asalkan untuk n genap lim f ( x) > 0 x →c
64
Contoh 3.2.3
(a). lim (2 x 2 − 7 x + 6) x→2
=
lim 2 x 2 − lim 7 x + lim 6
=
2 lim x 2 − 7 lim x + lim 6
3.2.2 (i ) x → 2
x→2
x→2
3.2.2 (ii )
x→2
⎛ 2 ⎜ lim 3.2.2 ( v.a ) ⎝ x → 2 =
=
3.2.1
(b). lim 7 x 2 x − 1 x →1
=
x→2
x→2
2
⎞ x ⎟ − 7 lim x + lim 6 x→2 x→2 ⎠
2.2 2 − 7.2 + 6 = 0
lim 7 x. lim 2 x − 1
3.2.2 (iii ) x →1
x →1
⎛ ⎞ ⎜ 7 lim x ⎟ lim (2 x − 1) = (7.1) 2.1 − 1 = 7 3.2.2 (ii) & (v.c) ⎝ x →1 ⎠ x →1 =
lim (2 x + 3) 2x + 3 2.(−1) + 3 1 x → −1 (c). lim = = = .█ x → −1 5 x + 2 3.2.2 (iv ) lim (5 x + 2) 5.(−1) + 2 − 3 x → −1
Contoh 3.2.4 Hitung lim
x→2
x 2 − 3x + 2 x2 − 4
.
Penyelesaian: Karena limit penyebut sama dengan 0, maka Teorema 3.2.2 (iv) tidak dapat digunakan. Akan tetapi, hal ini bukan berarti limit di atas tidak ada. Pada soal di atas, yang akan dihitung adalah nilai limit untuk x mendekati 2, bukan nilai untuk x sama dengan 2. Oleh karena itu, dengan memanfaatkan teknik-teknik aljabar, untuk x ≠ 2 diperoleh: x 2 − 3x + 2 2
x −4
=
( x − 2)( x − 1) x − 1 = ( x − 2)( x + 2) x + 2
Sehingga: lim
x→2
x 2 − 3x + 2 x2 − 4
x −1 2 −1 1 = = .█ x → 2 x + 2 3.2.2 (iv ) 2 + 2 4
= lim
65
x −1
Contoh 3.2.5 Tentukan lim
x →1
x− 1
.
Penyelesaian: lim
x −1
x →1
x −1
Contoh 3.2.6 Tentukan lim
x → −2
= lim
(
x 4 − 16
x3 + 8
x → −2 x 4 − 16
= lim
x3 − (−2)3
x → −2 x 4 − ( −2) 4
= lim
x → −2
(x
3
x →1
)
x + 1 = 1 + 1 = 2 .█
.
Penyelesaian: lim
) = lim (
x +1
x −1
x →1
x3 + 8
)(
x −1
(x − (−2))(x 2 + x.(−2) + (−2)2 ) x → −2 ( x − (−2) )(x3 + x 2 .( −2) + x.( −2) 2 + ( −2)3 )
= lim
(x 2 − 2 x + 4) 2
− 2x + 4x − 8
)
=
4+4+4 3 = − .█ 8 −8−8−8−8
Pada contoh-contoh di atas telah digambarkan bagaimana teknik-teknik aljabar dapat digunakan untuk menyelesaikan soal hitung limit. Namun demikian tidak semua soal limit dapat diselesaikan dengan sin x . x →0 x
cara demikian. Sebagai contoh, misalnya lim
Dalam berbagai hal, teorema di bawah ini sangat membantu dalam penyelesaian soal hitung limit.
Teorema 3.2.7 (Teorema Apit) Misalkan f, g, dan h fungsi-fungsi sehingga f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) untuk semua x di dalam interval terbuka yang memuat c, kecuali mungkin di c. Jika lim f ( x) = lim h( x) = L maka lim g ( x) = L .
x →c
x→c
x →c
1⎞ ⎛ Contoh 3.2.8 Tentukan lim ⎜ x sin ⎟ . x⎠ x →0 ⎝
66
Penyelesaian: Untuk x ≠ 0 , sin
1 ≤ 1 . Oleh karena itu, untuk x ≠ 0 berlaku: x
x sin
1 1 = x sin ≤ x x x
Hal ini berakibat: − x ≤ x sin
1 ≤ x x
1⎞ ⎛ Selanjutnya, karena lim (− x ) = lim x = 0 maka lim ⎜ x sin ⎟ = 0 .█ x⎠ x →0 x →0 x →0 ⎝
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 6, tunjukkan pernyataan berikut dengan definisi limit. 1 1 = 2 x→2 x
1. lim ( x + 2) = 3 x →1
x+2 = −2 x →0 x − 1
4. lim
⎧ 1, ⎪ 7. Jika f ( x) = ⎨ ⎪− 1, ⎩
3. lim x 2 = 1
2. lim
5. lim
x→4
x → −1
x =2
x2 −1 =2 x →1 x − 1
6. lim
x≥0 , tunjukkan bahwa lim f ( x) tidak ada. x→ 0
x<0
Untuk soal 8 – 20, hitunglah masing-masing limit jika ada. 8. lim ( x 2 − 20) x →5
11. lim
x→2
x 2 + 2x − 8 x2 − 4
9. lim ( x 2 + 3 x + 1) x → −2
12. lim
x →1
x −1
x+2 x →0 x − 3
10. lim
13. lim
x −1
x→2
67
x 6 − 64 x3 − 8
14. lim
s4 −1
s → −1 s 3 + 1
17. lim
x2 − 4
x→2 3 −
20. lim
h→0
x2 + 5
x+h − x h
u3 2 −1 u →1 1 − u
16. lim
xn − an x→a x − a
19. lim
(1 x) − (1 2) x−2 x→2
22. lim
15. lim
2 − x2 + 3
x → −1
1− x2
xn + an x → −a x + a
18. lim
3
21. lim
x →0
1+ x −1 x
3.3 Limit Satu Sisi
Kiranya mudah dipahami bahwa lim
x →0
Namun demikian, apabila x > 0 maka lim
x →0
x tidak ada, karena
x tidak terdefinisikan untuk x < 0 .
x ada dan nilainya sama dengan 0. Hal ini membawa kita
kepada definisi berikut ini.
Definisi 3.3.1 (i). Misalkan f(x) terdefinisikan pada suatu interval (c, c + δ ) . Apabila untuk x di
dalam (c, c + δ ) yang cukup dekat dengan c, nilai f(x) mendekati L, maka dikatakan bahwa L merupakan limit kanan f(x) untuk x mendekati c, ditulis:
lim f ( x) = L
x →c +
(ii). Misalkan f(x) terdefinisikan pada suatu interval (c − δ , c) . Apabila untuk x di dalam (c − δ , c) yang cukup dekat dengan c, nilai f(x) mendekati L, maka dikatakan bahwa L merupakan limit kiri f(x) untuk x mendekati c, ditulis: lim f ( x) = L
x →c −
Secara matematis, definisi di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
68
(i).
lim f ( x) = L jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 ada δ > 0 sehingga untuk setiap x ∈ (c, c + δ )
x →c +
berlaku f ( x) − L < ε . (ii). lim f ( x) = L jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 ada δ > 0 sehingga untuk setiap x ∈ (c − δ , c) x →c −
berlaku f ( x) − L < ε .
L+ε L+ε
L
L L −ε
L −ε
c
c+δ
c-δ
(a)
c
(b) Gambar 3.3.1
x =0
Contoh 3.3.2 (a). lim
x →0 +
lim
dan
x →0 −
x tidak ada.
(b). Untuk bilangan bulat n, lim
x→n +
[x ] = n
dan
lim
x→n −
[x ] = n − 1
Contoh 3.3.3 Tentukan lim f ( x), lim f ( x ), lim f ( x), dan lim f ( x) jika diketahui: x →0 −
x →0 +
x →1−
69
x →1+
⎧ ⎪ 2 x − 1, ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪ x −1 ⎪ 2 , ⎩ x −1
x <1 x >1
Penyelesaian: (a). Untuk x cukup dekat dengan 0 (baik x < 0 maupun x > 0), f ( x) = 2 x − 1 . Oleh karena itu, lim f ( x) = lim (2 x − 1) = −1
x →0 −
x →0 −
lim f ( x) = lim (2 x − 1) = −1
x →0 +
x →0 +
(b). Untuk x cukup dekat dengan 1 dan x < 1, f ( x) = 2 x − 1 . Sehingga: lim f ( x) = lim (2 x − 1) = 1
x →1−
x →1−
Tetapi, untuk x cukup dekat dengan 1 dan x > 1, f ( x) = lim f ( x) = lim
x →1+
x −1
2 x →1+ x − 1
x −1 x2 − 1
. Sehingga:
x −1 1 1 = lim = .█ x →1+ ( x − 1)( x + 1) x →1+ x + 1 2
= lim
Dari beberapa contoh di atas, diperoleh beberapa kenyataan. Limit kiri suatu fungsi ada tetapi limit kanannya tidak ada (atau sebaliknya), limit kiri dan kanan suatu fungsi ada tetapi nilainya tidak sama, dan limit kiri dan kanan suatu fungsi ada dan nilainya sama. Selanjutnya, karena ketunggalan limit maka diperoleh pernyataan berikut.
Teorema 3.3.4 lim f ( x) = L jika dan hanya jika lim f ( x ) = lim f ( x) = L . x →c −
x →c
x →c +
Sebagai akibat langsung dari Teorema di atas, diperoleh:
Akibat 3.3.5 Jika lim f ( x) ≠ lim f ( x) maka lim f ( x) tidak ada. x →c −
x →c +
x→c
Pada Contoh 3.3.3 di atas, karena lim f ( x) ≠ lim f ( x) maka lim f ( x) tidak ada. x →1−
x →1+
70
x→1
Contoh 3.3.6 Diberikan: ⎧2 x − 1, ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪ x3 , ⎩
x <1 x >1
Karena untuk x < 1 , f ( x) = 2 x − 1 , maka: lim f ( x) = lim (2 x − 1) = 1 .
x →1−
x →1−
Secara sama, lim f ( x) = lim x3 = 1 .
x →1+
x →1+
Selanjutnya, karena lim f ( x) = 1 = lim f ( x) maka: lim f ( x) = 1 .█ x →1−
x →1+
x →1
Contoh 3.3.7 Tentukan lim f ( x ) jika diketahui: x→ 2
⎧ x, ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪[x ], ⎩
x≤2 x>2
Penyelesaian:
lim f ( x) = lim [x ] = 2
lim f ( x) = lim x = 2
x →2−
x →2−
x →2+
x →2+
Jadi, lim f ( x) = 2 .█ x→2
3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga
Terlebih dahulu diperhatikan masalah hitung limit berikut: lim
x→0
cukup dekat dengan 0, maka nilai-nilai f ( x) =
1 x2
1 x2
. Untuk nilai-nilai x yang
diberikan pada table berikut ini.
71
Tabel 3.4.1
x
1 x
1
x
2
x2
1
1 −1
1
0,5
4 −0,5
4
0,01 0,0001 0,000005
10.000 −0,01
10.000
100.000.000 −0,0001
100.000.000
40.000.000.000 −0,000005
40.000.000.000
Dari Tabel 3.4.1 di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dengan 0, maka nilai f ( x) = menjadi semakin besar. Bahkan nilai f ( x) =
1 x2
1 x2
akan menjadi besar tak terbatas apabila x mendekati 0,
baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan. Grafik fungsi f ( x) =
f ( x) =
1 x2
Gambar 3.4.1
72
1 x2
dapat dilihat pada Gambar 3.4.1.
Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit f(x) x menuju nol sama dengan tak hingga, ditulis: lim f ( x) = ∞
x →0
Secara sama mudah diperlihatkan: lim
x →0
−1 x2
= −∞
Selanjutnya, diperoleh definisi berikut:
Definisi 3.4.1 (i). lim f ( x) = ∞ jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi x ≠ c , maka f(x) x →c
menjadi besar tak terbatas arah positif. (ii). lim f ( x) = −∞ jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi x ≠ c , maka f(x) menjadi besar x →c
tak terbatas arah negatif.
Secara matematis, Definisi di atas dapat ditulis sebagai:
lim f ( x) = ∞ (atau −∞) jika untuk setiap bilangan real M > 0 terdapat bilangan real δ > 0
x →c
sehingga untuk setiap x ∈ D f dengan sifat 0 < x − c < δ berlaku f ( x) > M (atau f ( x) < − M )
Contoh 3.4.2 1 =∞ x → −1 x + 1
(a). lim
(b). lim
1 3
x →0 x − x
2
1 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ = −∞ . x →0 x 2 ⎝ x − 1 ⎠
= lim
Di atas telah diterangkan pengertian limit untuk x → c , dengan c suatu bilangan berhingga. Akan tetapi, dalam berbagai aplikasi sering ditanyakan bagaimana nilai f (x ) apabila nilai x cukup besar.
73
Sebagai contoh, bagaimana nilai
f ( x) =
1 apabila nilai x cukup besar? Tabel 3.4.2 di bawah x
memperlihatkan nilai f untuk berbagai nilai x. Ternyata semakin besar nilai x (arah positif), nilai f (x) semakin kecil mendekati nol. Dalam hal ini dikatakan: 1 =0 x →∞ x lim
Tabel 3.4.2 (a)
(b)
1 f ( x) = x
x 10
x 0,1
−1
f ( x) =
1 x −1
1.000.000
0,000001
−1.000.000
−0,000001
5.000.000
0,0000002
−5.000.000
−0,0000002
100.000.000
0,00000001
−100.000.000
−0,00000001
Secara sama, apabila x besar tak terbatas arah negative ternyata berakibat f (x) mendekati nol, yaitu: lim
1
x → −∞
x
=0
Kemudian dapat diturunkan pengertian limit menuju tak hingga. Hal itu dituliskan dalam definisi berikut. Definisi 3.4.3 (i). lim f ( x) = L jika f (x) terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah positif) x →∞
dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah positif) maka f (x) mendekati L. (ii). lim
x → −∞
f ( x) jika f (x) terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah negatif) dan jika x
menjadi besar tak terbatas (arah negatif) maka f (x) mendekati L.
74
Secara matematis, Definisi 3.4.3 dapat ditulis sebagai:
(i).
lim f ( x) = L jika untuk setiap bilangan real ε > 0 terdapat bilangan M > 0 sehingga untuk
x →∞
setiap x > M berlaku f ( x) − L < ε . (ii). lim
x → −∞
f ( x ) = L jika untuk setiap bilangan real ε > 0 terdapat bilangan M > 0 sehingga untuk
setiap x < − M berlaku f ( x) − L < ε .
Mudah ditunjukkan bahwa: 1 =0 x →∞ x
1 =0 x → −∞ x
dan
lim
Contoh 3.4.4 Tentukan lim
x →∞
1 3
x +9
lim
.
Penyelesaian: Untuk x > 0 , x3 + 9 > x . Sehingga 0 <
1 x3 + 9
<
1 1 . Selanjutnya, karena lim = 0 maka x x →∞ x
dengan Teorema Apit diperoleh: lim
x →∞
1 x3 + 9
Contoh 3.4.5 Hitung lim
x →∞
Penyelesaian: Karena:
(
)
= 0 .█
x2 − 2x − 3 2 x2 + 4 x + 7
.
lim x 2 − 2 x − 3 = lim (x( x − 2) − 3) = ∞
x →∞
(
)
lim 2 x 2 + 4 x + 7 = ∞
x →∞
x →∞
maka sifat limit perbagian tidak dapat digunakan. Namun demikian apabila pembilang dan penyebut samasama dibagi dengan x 2 maka:
75
lim
(x2 − 2x − 3) x2 x →∞ (2 x 2 + 4 x + 7 ) x 2
x2 − 2 x − 3
= lim
x →∞ 2 x 2 + 4 x + 7
⎛ 2 3 ⎞ 2 3 lim ⎜1 − − 2 ⎟ − 2 x x ⎠ 1− 0 − 0 1 x →∞ ⎝ x x = = .█ = lim = 4 7 2 0 0 2 + + ⎛ ⎞ 4 7 x →∞ 2+ + 2 lim ⎜ 2 + + 2 ⎟ x x x x ⎠ x →∞ ⎝ 1−
x3 + 7 x − 6
Contoh 3.4.6 Tentukan lim
x → −∞
x5 + 2 x3 − 7 x + 10
.
Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan x5 , diperoleh:
lim
x →−∞
x3 + 7 x − 6
x3 + 7 x − 6 x5 + 2 x3 − 7 x + 10
x5 x → −∞ x5 + 2 x3 − 7 x + 10
= lim
x5 7 6 ⎞ ⎛ 1 lim ⎜⎜ + − ⎟⎟ 2 4 x → −∞ ⎝ x x x5 ⎠ = 0 + 0 − 0 = 0 .█ = 2 7 10 ⎞ 1 + 0 − 0 + 0 ⎛ lim ⎜⎜1 + − + ⎟⎟ 2 x → −∞ ⎝ x x 4 x5 ⎠
Contoh 3.4.7 Hitung lim
x →−∞
x 6 − 2 x3 + 7 x − 6 x5 + 2 x3 + 7 x + 10
.
Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan x5 , diperoleh:
lim
x → −∞
x 6 − 2 x3 + 7 x − 6 5
3
x + 2 x + 7 x + 10
x 6 − 2 x3 + 7 x − 6 x5 x → −∞ x + 2 x + 7 x + 10
= lim
5
3
x5
76
2 7 6 ⎞ ⎛ lim ⎜⎜ x − + − ⎟⎟ 2 4 x → −∞ ⎝ x x x5 ⎠ = − ∞ − 0 + 0 − 0 = −∞ .█ = 1+ 0 + 0 + 0 2 7 10 ⎞ ⎛ lim ⎜⎜1 + + + ⎟⎟ 2 4 5 x → −∞ ⎝ x x x ⎠ Soal Latihan
Untuk soal 1 – 20, tentukan nilai limitnya jika ada. Jika tidak ada limitnya, terangkan alasannya! 1. lim−
2− x
2. lim−
4. lim
1 ( x − 2) 2
5. lim
x→2
x→2
1− x
x →1
10. lim x →∞
x → −∞
(
x+2 x+2
9. lim
x → −∞
14. lim x →∞
(
x →3
x →1
x → −2
7 x 2 − 5 x + 11 3 x 5 + 4 x 2 − 11x + 21 x 2 − 1 − x 2 + 2x
12. lim
x →∞
)
15. lim x →∞
⎛ x2 x2 ⎞ ⎟⎟ 17. lim ⎜⎜ − x →∞ ⎝ 2x − 1 2x + 1 ⎠
x3 − 2x − 3
19. lim x − x 2 − 2 x
6. lim−
11. lim
x 3 2 − 5x + 2
16. lim
x−a ( x − a) 2
x → −2
2x − 5 3x + 2
x → −∞
3. lim
8. lim+
2
3x 3 + 5 x 2 − 7 8 − 2 x + 5x 3
13. lim
x →∞
x →a
x
7. lim+
x +1
x → −1
)
20. lim
x → −∞
(x
2
+ 2 x + 5x
18. lim+ x →1
)
21. Tentukan lim f ( x) , lim f ( x) , dan lim f ( x) jika diberikan: x → −1
x→0
x→3
⎧ 2 x − 1, ⎪ ⎪ 2 ⎪ x + 3x , ⎪ f ( x) = ⎨ x 2 − 3 x ⎪ ⎪ − 5 x + 1, ⎪ ⎪⎩
77
x≤0 0< x<3 x≥3
1 3− x x 1− x2
x+2 x+2
3x − 2 x 1− x x−7 x − 7x + 5 2
x2 − x x − x2
22. Fungsi f yang terdefinisikan pada [−a, a] dikatakan genap (atau ganjil) jika f (− x) = f ( x) (atau
f (− x) = − f ( x) ) untuk setiap x ∈ [−a, a] . Jika lim+ f ( x) = L maka tentukan lim− f ( x) jika: (a). f x →0
genap,
x →0
(b). f ganjil.
3.5 Limit Fungsi Trigonometri
Dengan memanfaatkan Teorema Apit, dapat ditunjukkan teorema di bawah ini.
sin x x = lim = 1. x →0 x x →0 sin x
Teorema 3.5.1 (i). lim
x tan x = lim = 1. x →0 x x →0 tan x
(ii). lim
sin 5θ . θ →0 tan 3θ
Contoh 3.5.2 Hitung lim Penyelesaian:
sin 5θ sin 5θ 3θ 1 sin 5θ 3θ 5θ = lim = lim 5θ . lim . lim tan 3θ 3θ θ →0 5θ θ →0 tan 3θ θ →0 5θ θ →0 tan 3θ θ →0 3θ lim
Tetapi untuk θ → 0 berakibat 3θ → 0 dan 5θ → 0 , sehingga: sin 5θ sin 5θ 3θ 5θ 5 5 . lim . lim = lim = 1.1. = .█ 3 3 θ →0 tan 3θ 5θ →0 5θ 3θ →0 tan 3θ θ →0 3θ lim
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 12, hitunglah nilai limitnya. 1. lim x →0
4. lim
sin 5 x tan 2 x x3
x → 0 3 sin 2 2 x
2. lim
x →π 2
sin 2 4 x x → 0 x tan 3 x
cos x x − (π 2 )
3. lim
1 − cos x x → 0 x sin 3 x
sin( a − x) x−a x→a
5. lim
6. lim
78
2x x → 0 sin 3 x − sin 4 x
x tan 5 x x → 0 cos 2 x − cos 7 x
8. lim
7. lim
sin x − sin a x−a x→a
9.
1 ⎞ ⎛ 1 11. lim ⎜ − ⎟ x → 0 ⎝ sin x tan x ⎠
10. lim
1 − sin x x →π 2 cos x lim
1 ⎞ ⎛1 12. lim ⎜ − ⎟ x → 0⎝ x x cos x ⎠
3.6 Bilangan Alam
Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada rumus binomium Newton. Untuk sebarang
a, b ∈ R dan n ∈ N :
(a + b )
n
(3.6.1)
Apabila diambil a = 1 dan b =
⎛n⎞ ⎜ ⎟ n−k k n(n − 1) n − 2 2 = b = a n + n a n −1 b + a b + ... + b n ⎜ ⎟a 2 ! k =1 ⎜ k ⎟ ⎝ ⎠ n
∑
1 , maka dari (3.6.1) diperoleh: n
n ⎛n⎞ n 2 n ⎜ ⎟ n − k ⎛ 1 ⎞k n(n − 1) ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎜1 + ⎟ = ⎜ ⎟ = 1+1+ ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟1 n⎠ 2! ⎝ n⎠ ⎝ ⎝n⎠ ⎝n⎠ ⎜ ⎟ k =1 k ⎝ ⎠
∑
= 2+
1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ 1 ⎧⎛ 1 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ n − 2 ⎞⎛ n − 1 ⎞⎫ ⎟⎜1 − ⎟⎬ ⎜1 − ⎟ + ⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟ + ... + ⎨⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟...⎜1 − 2! ⎝ n ⎠ 3! ⎝ n ⎠⎝ n ⎠ n! ⎩⎝ n ⎠⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠⎝ n ⎠⎭
n
n
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ Karena 1 ≤ ⎜1 + ⎟ ≤ 3 maka menurut Teorema Apit nilai lim ⎜1 + ⎟ ada. Berdasarkan perhitungan, n⎠ n →∞ ⎝ ⎝ n⎠
untuk n → ∞ diperoleh: n
1 1 1 ⎛ 1⎞ lim ⎜1 + ⎟ = 2 + + + + ... = 2,718... = e n⎠ 2! 3! 4! n →∞ ⎝ Selanjutnya, e disebut bilangan alam. Secara sama dapat ditunjukkan: (3.6.2)
⎛ 1⎞ lim ⎜1 − ⎟ n⎠ n →∞ ⎝
−n
Mudah ditunjukkan bahwa untuk n ≤ m berlaku:
79
=e
n
1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ ≤ ⎜1 + ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ m⎠
m
Selanjutnya, apabila diberikan sebarang bilangan real positif x maka dapat dicari bilangan asli m dan n sehingga n ≤ x ≤ m . Hal ini berakibat: n
x
1⎞ ⎛ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜1 + ⎟ ≤ ⎜1 + ⎟ ≤ ⎜ 1 + ⎟ x⎠ ⎝ n⎠ ⎝ ⎝ m⎠ n
1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ dan karena lim ⎜1 + ⎟ = lim ⎜1 + ⎟ n⎠ m⎠ n →∞ ⎝ m →∞ ⎝
m
m
= e maka sekali lagi dengan Teorema Apit diperoleh: x
⎛ 1⎞ lim ⎜1 + ⎟ = e x⎠ x →∞ ⎝
(3.6.3)
Berdasarkan (3.6.2), tentunya mudah dipahami bahwa: x
⎛ 1⎞ lim ⎜1 + ⎟ = e x⎠ x →−∞ ⎝
(3.6.4)
Selanjutnya, apabila diambil substitusi u =
1 , maka untuk u → 0 berakibat x → ±∞ . Sehingga, dari x
(3.6.3) dan (3.6.4) diperoleh: x
⎛ 1⎞ lim (1 + u )1 u = lim ⎜1 + ⎟ = e x⎠ u →0 x → ±∞ ⎝
(3.6.5)
2 ⎞ ⎛ Contoh 3.6.1 Hitung lim ⎜1 + ⎟ 1− x ⎠ x →∞ ⎝
3 x −5
Penyelesaian: Apabila diambil substitusi
. 2 1 = maka berturut-turut diperoleh: 1− x y
(i). x = 1 − 2 y , sehingga 3 x − 5 = −6 y − 2 . (ii). Karena y =
1− x maka untuk x → ∞ berakibat y → −∞ . 2
Selanjutnya, berdasarkan (3.6.4):
80
3 x −5
2 ⎞ ⎛ lim ⎜1 + ⎟ 1− x ⎠ x →∞ ⎝
⎛ 1⎞ = lim ⎜⎜1 + ⎟⎟ y⎠ y → −∞ ⎝
−6 y − 2
⎧⎛ 1 ⎞y⎫ ⎪ ⎪ = lim ⎨ ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎬ y⎠ ⎪ y → −∞ ⎪ ⎝ ⎩ ⎭ y ⎧⎪ ⎛ 1 ⎞ ⎫⎪ = ⎨ lim ⎜⎜1 + ⎟⎟ ⎬ ⎪⎩ y → −∞ ⎝ y ⎠ ⎪⎭
⎛ 1⎞ = lim ⎜⎜1 + ⎟⎟ y⎠ y → −∞ ⎝
−6
−6
⎛ 1⎞ lim ⎜⎜1 + ⎟⎟ y⎠ y → −∞ ⎝
−6 y
⎛ 1⎞ ⎜⎜1 + ⎟⎟ y⎠ ⎝
−2
−2
⎧ ⎛ 1 ⎞⎫ ⎨ lim ⎜⎜1 + ⎟⎟⎬ ⎩ y → −∞ ⎝ y ⎠⎭
−2
= e − 6 .1 = e − 6 .█
Contoh 3.6.2 Tentukan lim (2 − x )1 ( x −1) . x →1
Penyelesaian: Soal dapat ditulis: lim (2 − x )1 ( x −1) = lim (1 + (1 − x) )1 ( x −1)
x →1
x →1
Diambil substitusi y = 1 − x . Jika x → 1 maka y → 0 . Selanjutnya, menurut (3.6.5) diperoleh: ⎛ lim (2 − x )1 ( x −1) = lim (1 + (1 − x) )1 ( x −1) = lim (1 + y )−1 y = ⎜⎜ lim (1 + y )1 x →1 x →1 y →0 ⎝ y →0
y⎞
⎟⎟ ⎠
−1
=
1 .█ e
Teorema berikut ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan soal-soal hitung limit yang berkaitan dengan bilangan alam. Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Teorema 3.6.3 Apabila lim f ( x) = 0 dan lim g ( x) = ∞ (atau − ∞) maka: x →c
x →c
lim f ( x ).g ( x )
lim (1 + f ( x) )g ( x ) = e x →c
x →c
⎛ x −1⎞ Contoh 3.6.4 Tentukan lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ x +1⎠
3 x −2
.
Penyelesaian: Soal dapat ditulis:
81
⎛ x −1⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ x +1⎠ Apabila berturut-turut diambil f ( x) =
3 x −2
−2 ⎞ ⎛ = lim ⎜1 + ⎟ x →∞ x +1⎠ ⎝
3 x−2
−2 dan g ( x) = 3x − 2 maka: x +1
lim f ( x) = 0
lim g ( x) = ∞
dan
x →∞
x →∞
Selanjutnya, menurut Teorema 3.6.3: ⎛ x −1⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ x +1⎠
3 x−2
−2 ⎞ ⎛ = lim ⎜1 + ⎟ x →∞ x +1⎠ ⎝
3 x−2
lim
= e x→∞
−2 (3 x − 2) x +1
= e −6 .█
x
Contoh 3.6.5 Hitung lim x x
2
−3 x + 2
x →1
.
Penyelesaian: x
x
lim x x
2
−3 x + 2
x →1
= lim (1 + (x − 1))
x 2 −3 x + 2
x →1
Selanjutnya, jika diambil f ( x) = x − 1 dan g ( x) = lim f ( x) = 0
x maka: x − 3x + 2 2
lim g ( x) = ±∞
dan
x →1
x →1
Sehingga menurut Teorema 3.6.3: x
lim x
x 2 −3 x + 2
x →1
x
= lim (1 + ( x − 1)) x →1
=e
Contoh 3.6.6 Selesaikan lim x →0
lim
x →1
x ( x −1) ( x − 2 )( x −1)
x 2 −3 x + 2
=e
lim ( x −1). x →1
x x 2 −3 x + 2
= e −1 .█
2 x − 3x . 3x
Penyelesaian: Tulis:
lim x →0
2 x − 3x 2 x − 1 + 1 − 3x 2x −1 3x − 1 = lim = lim − lim x →0 x →0 x →0 3x 3x 3x 3x
Berturut-turut diambil substitusi:
82
u = 2x −1
v = 3x − 1
dan
maka: (i). lim x →0
2x −1 1 1 1 u = lim 2 = = 1 u 2 u → 0 3. log(1 + u ) 3x 3 lim log(1 + u ) 3
1
2
u →0
(ii). lim x →0
log lim (1 + u )
1u
u →0
1 1 1 = .2 = ln 2 3 log e 3
3x − 1 1 1 1 1 1 1 1 u = lim 3 = = 3 = .3 = ln 3 1u 1u 3 u 0 → 3x 3. log(1 + u ) 3 lim log(1 + u ) 3 log lim (1 + u ) 3 log e 3 u →0
u →0
Selanjutnya, dari (i) dan (ii) diperoleh: 2 x − 3x 1 lim = (ln 2 − ln 3) .█ x →0 3x 3
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 10, hitunglah nilai limitnya. 2 ⎞ ⎛ 1. lim ⎜1 − ⎟ x−2⎠ x →∞ ⎝
⎛ x −1 ⎞ 3. lim ⎜ ⎟ x → −∞ ⎝ x + 2 ⎠
3 x −1
2. lim ( x − 1)1 ( x − 2) x→2
−2 x
(
)
4. lim x 2 − 3 x + 3 1 ( x −1) x →1
3 2 x + 1 − 2 x +1 2x x →0
2x −1 x x →0
6. lim
x −1 x →1 ln x
⎛ 3x − 1 ⎞ 8. lim ⎜ ⎟ x → ∞ ⎝ 3x + 1 ⎠
5. lim
7. lim
1 x2
⎛ x2 −1 ⎞ ⎟ 9. lim ⎜ x → 0 ⎜⎝ x 2 − 2 x − 1 ⎟⎠
7 x −5
1 ( x 2 − 7 x)
⎛ x +1 ⎞ ⎟⎟ 10. lim ⎜⎜ x →0 ⎝ x3 + x + 1 ⎠
83
3.7 Fungsi Kontinu
Seperti telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, kadang-kadang nilai lim f ( x) sama dengan x→ c
f (c) , kadang pula tidak sama. Pada kenyataannya, meskipun f (c) tidak terdefinisikan akan tetapi lim f ( x) mungkin ada. Apabila lim f ( x) = f (c) maka dikatakan fungsi f kontinu di c.
x→ c
x→ c
Definisi 3.7.1 Fungsi f dikatakan kontinu di a∈ D f jika lim f ( x) = f (a ). x→a
Definisi 3.7.1 di atas secara implisit mensyaratkan tiga hal agar fungsi f kontinu di a, yaitu: (i). f(a) ada atau terdefinisikan, (ii). lim f (x ) ada, dan x→a
(iii). lim f ( x ) = f (a ) x→a
Secara grafik, fungsi f kontinu di x = a jika grafik fungsi f pada suatu interval yang memuat a tidak terpotong di titik (a, f (a)) . Jika fungsi f tidak kontinu di a maka dikatakan f diskontinu di a. Pada Gambar, f kontinu di x1 dan di setiap titik di dalam (a, b) kecuali di titik-titik x2, x3, dan x4. Fungsi f diskontinu di x2 karena lim f ( x) tidak ada, diskontinu di x3 karena nilai lim f ( x) tidak sama dengan nilai x→ x2
x→ x3
fungsi di x3 (meskipun keduanya ada), dan diskontinu di x4 karena nilai fungsi di titik ini tidak ada.
y = f (x )
° °
° •
a
x1
x2
x3
x4
Gambar 3.7.1
84
b
Fungsi f dikatakan kontinu pada interval I jika f kontinu di setiap titik anggota I. Contoh 3.7.2
(a). Fungsi f dengan rumus f ( x ) =
x 2 −1 diskontinu di x = 1 karena f (1) tidak terdefinisi. x −1
(b). Fungsi Heavyside H yang didefinisikan oleh
⎧ 0 jika x < 0 H (x ) = ⎨ ⎩1 jika x ≥ 0 diskontinu di x = 0 sebab lim H ( x ) tidak ada. x→0
(c). Fungsi g dengan definisi: ⎧ x2 − 4 ⎪⎪ x−2 g (x ) = ⎨ ⎪ ⎪⎩ 1
jika x ≠ 2 jika x = 2
diskontinu di x = 2 sebab g(2) = 3 sedangkan lim g ( x ) = lim x →2
x→2
x2 − 4 = lim ( x + 2 ) = 4 . Namun demikian x→2 x−2
fungsi g kontinu di x = 1 sebab lim g ( x ) = 3 = g (1) .█ x →1
Berikut sifat-sifat dasar fungsi kontinu.
Teorema 3.7.3
Jika fungsi f dan g kontinu di a, dan k sebarang konstanta real, maka f+g,
f – g, kf, dan fg kontinu di a. Demikian pula,
f kontinu di a asalkan g (a ) ≠ 0 . g
85
Seperti halnya pada hitung limit, dalam kekontinuan juga dikenal istilah kontinu satu sisi. Hal itu diberikan pada definisi berikut ini.
Definisi 3.7.4 (i). Fungsi f dikatakan kontinu dari kiri di a jika lim = f (a ) . x →a −
(ii). Fungsi f dikatakan kontinu dari kanan di c jika lim+ f ( x ) = f (c ). x →c
Contoh 3.7.5 Diberikan f ( x ) = 1 − x 2 . Selidikilah kekontinuan fungsi f. Penyelesaian: Jelas f tidak kontinu pada (− ∞ , − 1) dan pada (1 ,∞ ) sebab f tidak terdefinisi pada interval tersebut. Untuk nilai-nilai a dengan –1 < a <1 diperoleh: lim f ( x ) = lim
x →a
x→a
1− x 2 =
(
)
lim 1 − x 2 = 1 − a 2 = f (a )
x→a
Jadi, f kontinu pada (−1, 1). Dengan perhitungan serupa didapatkan: lim
x → −1 +
f (x ) = 0 = f (− 1)
dan
lim f ( x ) = 0 = f (1)
x → 1−
sehingga f kontinu dari kanan di x = −1 dan kontinu dari kiri di x = 1. Jadi, f kontinu pada [− 1,1] .█
Teorema 3.7.6 Fungsi polinomial, fungsi rasional, fungsi akar, fungsi logaritma, fungsi eksponen, dan fungsi trigonometri kontinu pada domainnya masing-masing.
Contoh 3.7.7 (a). f ( x ) = x 2 − x + 1 kontinu pada R . (b). f (x ) =
x3 − 5x x 2 −1
kontinu pada {x ∈ R ; x ≠ 1 , x ≠ − 1
(c). f ( x ) = x −1 kontinu pada [1,∞ ) .█
86
}.
Hubungan antara fungsi kontinu dan hitung limit dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema 3.7.8 Jika f kontinu di b dan lim g (x ) = b, maka lim f (g (x )) = f (b ). Dengan kata lain x →a
x→a
lim f ( g ( x )) = f ⎛⎜ lim g ( x )⎞⎟ x →a ⎝ x→a ⎠ Contoh 3.7.9 Hitung lim ln (1 + x ) . x →1
Penyelesaian: Namakan f ( x ) = ln x dan g ( x ) =1 + x . Karena
lim g ( x ) = 2 dan f kontinu di x = 2 maka
x →1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ lim ln (1 + x ) = lim f ( g ( x )) = f ⎜⎜ lim g (x )⎟⎟ = ln ⎜⎜ lim g ( x )⎟⎟ = ln 2 .█ x →1 x →1 ⎝ x →1 ⎝ x →1 ⎠ ⎠
Soal Latihan Untuk soal 1 – 8, tentukan titik-titik di mana fungsi berikut diskontinu. 1. h( x) = x +
3 x
4. g ( x) = x tan x
⎧3 x 2 − 1, x > 3 ⎪⎪ 7. g ( x) = ⎨ 5 , 1 < x ≤ 3 ⎪ 3x + 2 , x ≤1 ⎪⎩
9. Selidiki kontinuitas f ( x) =
2. f ( x) = 3 x 2 − 1
5. f ( s ) =
2s s2 − 3
⎧ x, ⎪ 8. f ( x) = ⎨ 2 x, ⎪3 x 2 , ⎩
1 pada [−1, 5] 1− x
87
3. f ( x) =
6. h(t ) =
x+2 x3 − 1
t2 − 4 t−2
x<0 0 ≤ x ≤1 3 x >1 3
⎧ 2x , 10.Jika f ( x) = ⎨ 2 ⎩15 − x ,
0 ≤ x≤ 3 3< x ≤ 7
maka tunjukkan bahwa f kontinu pada [0,7] .
Untuk soal 11 – 13, tentukan nilai a dan b agar fungsi-fungsi berikut kontinu untuk pada R.
⎧ ax 2 − 3 , ⎪ ⎪ 11. f ( x) = ⎨ x + 5 ⎪ ⎪⎩ bx + 2 ,
x>−5 x ≤ −5
⎧ tan ax ⎪ tan bx , ⎪ ⎪ 4 , ⎪ 12. f ( x) = ⎨ ⎪ ⎪ ax + b , ⎪ ⎪ ⎩
88
x<0 x =0 x>0
