Modul II Limit Konsep limit merupakan suatu konsep dasar yang penting untuk memahami kalkulus diferensial dan integral. Oleh karena itu sebelum kita mempelajari lebih lanjut tentang kalkulus diffrensial dan integral, maka kita terlebih dahulu harus mempelajari dan memahami konsep limit secara baik.
2.1. Limit Fungsi Suatu fungsi riil y=f(x) dikatakan mempunyai limit l pada x=a bila untuk sembarang bilangan >0 (bagaimana pun kecilnya) terdapat bilangan >0, sedemikian rupa sehingga | f(x) – l| < untuk |x-a| < . Secara ilmu ukur dapat digambarkan sebagai berikut:
Y=f(x)
l+e y
l
l-e X1
a-d
a
x a+d
X2
f(x) didefinisikan pada x1<x<x2 |x-a|< a-<x
Definisi diatas dengan singkat ditulis x a f ( x)
Limit
37
Berarti f(x) 1 bila xa Dalam kalkulus dan penggunaannya kita sering tertarik akan nilai-nilai f(x) jika x dekat sekali dengan suatu bilangan a, tetapi x tidak perlu sama dengan a. pada kenyataannya sering dijumpai bahwa bilangan a tidak terdefinisi. Secara singkat kita pelajari bagaimana perangai f(x) jika x mendekati tetapi xa. pakah fungsi f(x) mendekati suatu nilai l. Jika jawabnya ya, maka dapat ditulis : lim xa
f ( x)
Pendekatan Istilah-istilah mendekati, didekati dan pendekatan kita tinjau dari dua arah yaitu dari kiri dan dari kanan. Misal : 5 didekati dari 4 (dari kiri) 5 didekati dari 6 (dari kanan) Jadi 5 ditinjau dari interval/selang tertutup 4x6, dimana 5 mewakili salah satu nilai xR. 456 5 didekati 5- dari kiri 5 didekati 5+ dari kanan Bila 5 ditinjau dari interval terbuka. 5-<5<5+ dimana diambil bilangan positif yang kecil 5 5 5
Titik-titik pada sumbu x disekitar 5 yang dibatasi (5-)<5<(5+) itu disebut daerah : {x|5-<x<5<5+, xR} Daerah itu adalah interval dari domain suatu fungsi/wilayah fungsi. Juga masih dapat dibedakan 1. Daerah kiri dengan interval 5-<x5 2. Daerah kanan dengan interval 5x<5+ Secara Umum kita nyatakan Daerah dari f(x) sekitar x=a ialah Limit
38
{x|a-<x
lim x3 = 23 = 8 x2
Kalau diketahui f ( x ) lim x 3 4 3 1 x 4x3 43 7
x3 , maka untuk x mendekati 4, fungsi akan bernilai: x3
pernyataan xa mengandung arti xa. Untuk menjelaskan konsep limit fungsi dari suatu fungsi ada empat elemen yang harus diperhatikan: 1. Variabel bebas x 2. Fungsi x, f(x) atau variabel terikat y=f(x) 3. Konstanta l 4. Konstanta a Dari ke empat elemen itu kita ingin mencari berapa nilai yang mendekati variabel terikat y=f(x) bila variabel bebas x mendekati nilai tertentu, katakan a. Pernyataan variabel bebas x mendekati nilai tertentu (konstanta a) meruapakan suatu limit, bila nilai variabel x berubah-ubah sedemikian rupa sehingga selisih absolut x dan a (|x-a|) menjadi lebih kecil daripada bilangan yang positif yang telah ditentukan terlebih dahulu. Pernyataan x mendekati a dilambangkan dengan xa. Jadi, jika nilai l, ketika x mendekati a, tetapi xa, maka l adalah limit dari f(x), ketika x mendekati a. Hal ini dapat ditulis: lim f(x) = l atau f(x) l ketika xa xa
Limit
39
lim
3 Dalam contoh diatas x 2 x 8 , ini berarti f(x) mendekati 8, ketika x mendekati,
tetapi tidak mencapai 2.
2.2. Limit Kiri dan Limit Kanan Jika x mendekati a dari kiri, maka ditulis xa. Jika x mendekati a dari kanan, maka ditulis xa+, Secara limit kedua pernyataan ditulis sebagai berikut: 1. Lim f(x) ada, berarti fungsi memiliki limit kiri. xa2. Lim f(x) ada, berarti fungsi memiliki limit kanan. xa+ 3. Lim f(x) ada, berarti fungsi memiliki limit kiri dan limit kanan ada dan sama. xa Contoh: Diketahui : f(x) =
x ; jika x1 2; jika x>1
Tinjaulah f(x) disekitar titik x=1 Penyelesaian: lim f(x) x1-1
=
lim x = 1 xx-1
lim f(x) x1+1
=
lim 2 = 2 xx+1
++ lim f(x) tidak ada , karena limit kiri limit kanan
2.3. Teori Tentang Limit Teori atau suatu sifat dari suatu limit dapat membantu kepada kita dalam pencarian nilai limit dari suatu fungsi, jika ada. Berikut ini akan disajikan sifat-sifat limit berserta contoh-contohnya: 1. Limit dari suatu konstanta k adalah k itu sendiri, jika f(x)=k; k=konstanta. lim f(x) = k Limit
; aR 40
xa Contoh: lim 10 = 10 x3 2. Suatu konstanta dapat dipindahkan kembali disebelah kiri tanda limit. lim k f(x) xa Contoh: lim 3x2 xa
=
k lim f(x) xa
=
3 lim x2 = 3(2)2 = 12 xa
3. Limit dari suatu penjumlahan atau pengurangan adalah penjumlahan atau pengurangan dari limit-limit tersebut. lim [f(x)g(x)] xa
=
lim f(x) lim g(x) xa xa
Jika lim f(x)=A dan lim g(x)=B xa xa maka lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) xa xa xa =A B Contoh: lim (x3+5x+10) x3
= lim x2 + lim 5x + lim 10 x3 x3 x3 2 = 3 +5(3)+10 = 9+15+10 = 34
4. Limit dari suatu hasil kali adalah perkalian dari limit-limit tersebut. lim [f(x).g(x)] = xa
lim f(x).lim g(x) xa xa
Jika lim f(x)=A dan lim g(x)=B xa xa maka lim [f(x) .g(x)] = lim f(x).lim g(x) xa xa xa = A.B Contoh:
Limit
lim (x+4)(x-1)
= lim (x+4) + lim (x-1)
x2
x2 x2 = (2+4)(2-1) 41
= 6(1) = 6 5. Limit dari suatu hasil bagi adalah hasil bagi dari limit-limit tersebut, bila pembaginya atau penyebutnya bukan nol. lim f(x) lim f ( x ) x a \ lim x 2 g( x ) g( x ) xa lim lim Jika f ( x ) A, dan g( x ) B , xa xa maka lim f(x) lim f ( x ) x a A , jikaB 0 lim x a g( x ) B g( x ) xa Contoh : lim ( x2 4 ) 2 lim ( x 4 ) x 3 13 6 1 lim x 3 ( x2 2 ) 7 7 ( x2 2 ) x3
6. Limit dari suatu pangkat dari f(x) adalah pangkat dari limit f(x) itu. lim lim f ( x ) n f ( x ) xa xa lim Jika f ( x ) A, maka xa
n
lim lim f ( x ) n f ( x ) xa x a Contoh :
n
lim lim ( x 2 )2 ( x 2 ) x5 x 5
An
2
32 9
7. Limit akar n dari suatu f(x) adalah akar pangkat n dari limit fungsi tersebut. lim n f(x) xa Bila
lim f(x) xa
lim n f ( x ) A, maka xa
lim n lim f(x) n f ( x ) n A , jika xa xa n
Limit
A , adalah bilangan
Re el
42
Contoh : lim x4
(x 2 99 )
lim x4
( x 2 9) 16 9 25 5
Beberapa contoh : 1.
lim x2
( x 2 4 x 5) 4 4(2) 5 1
lim ( x 2 4) lim x 2 4 x 2 44 0 2. 0 lim x2 x2 4 4 ( x 2) x2 lim x 2 2 x 3 lim ( x 1)( x 3) x 1 x2 x 2 x 1 ( x 1)( x 2) lim ( x 3) lim ( x 3) x 1 4 lim x 1 ( x 2) 3 ( x 2) x 1 lim x5 lim x5 9 3 x4 4. lim x4 x 4 4 x x4
3.
5.
lim x2
1
1
( x 2) 2 ( 2 x 3)
1
1 lim ( x 2) 2 ( 2 x 3) x2 x2
lim 3
lim lim x 2 ( 2 x 3) x 2 x 2
3
lim ( x 2) ( 2 x 3) x 2 x 2 3 ( 4) (7) 112 lim lim x 4 ( x 4) 6. x 16 x 16 x 16 ( x 4)( x 4) lim 1 1 1 x 16 x 4 16 4 8
lim
7.
lim x 2 1 lim ( x 1)( x 1) 2 x 1 x 1 x 1 ( x 1)
8.
lim x 2 2 x 3 lim ( x 1)( x 3) 4 x 1 x 1 ( x 1) x 1
Perluasan teori 3 dan 4 untuk limit dari sejumlah berhingga fungsi diberikan pada rumus berikut: Jika lim fi(x) = Li, i = 1,2,3,…n, maka: xa
Limit
43
1.
lim xa
2.
lim xa
f1 ( x )
f 2 ( x 2 ) ... f n ( x ) L1 L2 ... Ln
f1 ( x ) f 2 ( x )... f n ( x ) L1 .L2 ...Ln ,
Khususnya
lim xa
f ( x ) n
Ln
Latihan Soal Hitunglah limit fungsi berikut ini: 1.
lim x 2 4 x 2 x3 1
2. 3. 4.
lim x2 9 x 3 x2 6 5 lim x 2 16 7. x 4 x4 6.
lim 2 x 2 x 1 x 1 3x 2 x 2
lim x 2 2x x2 x2 lim 9. x3 1 x2
lim x 3 3 x 2 3x 4 x4 x2 4x lim 4 x x 42
8.
x
lim 9 x2 5. x 3 4 x2 7
10.
lim 1 x 1 x 1
2
2.4. Limit Tak Hingga dan Limit Di Tak Terhingga 1. Limit tak hingga Jika f adalah suatu fungsi yang tak terdefinisi pada selang | interval terbuka yang memuat a kecuali mungkin pada a sendiri, dapat terjadi kasus dimna nilai fungsi f, f(x) membesar tanpa batas atau mengecil tanpa batas untuk nilainilai x yang cukup dekat ke a Contoh: Perhatikan f(x) =
1 yang gambar grafiknya sebagai berikut: x
Y
X 4
Limit
4
44
x
1
1 2
f(x)
1
2
1 10
….
0
….
10
….
….
….
1 4
4
1 10
-10
1 4
-4
1 2
-2
1 -1
Nilai f(x) akan semakin besar tanpa batas bilamana x makin dekat ke 0 dari arah positif (sebelah kanan 0). Dalam kasus ini kita katakan bahwa: lim x0
f(x)
lim
1 x0 x
Nilai f(x) akan semakin mengecil bilamana x mendekati ke 0 dari arah negatif (dari sebelah kiri). Dalam kasus ini kita katakan bahwa: lim x0
f(x)
lim
1 x0 x
Dengan demikian secara umum: 1. Fungsi y=f(x) dikatakan membesar tanpa batas (x+), bilamana x mendekati a dan ditulis lim f ( x ) , atau : xa f ( x ) ,untuk : x a
jika untuk setiap >0 terdapat >0 2. Fungsi y = f(x) dikatakan mengecil tanpa batas, bilamana x mendekati a dan ditulis : lim f ( x ) , atau : xa f ( x ) ,untuk : x a
Jika untuk setiap >0 terdapat >0 sedemikian rupa sehingga 0<|x-1|< Catatan: lim xa
f x
Ada, maka limit kiri dan limit kanan ada, sehingga limit kiri=limit kanan. Tidak Ada
Limit
-
Limit kiri ada, limit kanan ada, tetapi limit kiri limit kanan
-
Limit kiri atau limit kanan adalah limit tak berhingga. 45
Rumus dibawah ini merupakan dasar untuk menghitung limit tak hingga. Jika n bilangan asli, maka: lim
1 x 0 xn lim 1 bilamana 2. , x 0 x n bilamana
1.
n
genap
n
ganjil
Dari kedua rumus tersebut dapat disimpulkan lim
1 ,bilamana x 0 xn
2.4.1.
n
genap
Limit Di Tak Terhingga Jika f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada selang [a,+ ] dapat terjadi
suatu kasus dimana nilai-nilai f(x) akan mendekati suatu nilai tertentu l bilamana variabel x membesar tanpa batas (x +). Kasus yang sama dapat juga terjadi pada fungsi yang terdefinisi pada selang | interval [-,a] yaitu nilai-nilai f(x) akan mendekati suatu nilai tertentu l, bilamana variabel x mengecil tanpa batas (x-) Kedua kasus diatas berturut-turut kita nyatakan dengan simbol. lim x
2.4.2.
f ( x ) , dan
lim x
f(x)
Teorema Limit Di Tak Hingga Bila f dan g masing-masing adalah fungsi yang terdefinsi pada interval lim
lim
terbuka [a,+] dengan x f ( x ) A, dan x g ( x ) B
Limit
46
1.
2.
3.
lim x lim x lim x
lim x
f ( x)
A B
lim x
g ( x) A B
f ( x).g ( x) AB
Khususnya , bilamana : g ( x) k , k kons tan maka : lim x
4.
5.
k . f ( x) kA
lim
f ( x) A , bila : B 0 x g ( x ) B Rumus diatas berlaku juga bilamana
x
diganti dengan
x
Jika n suatu bilangan asli , maka : lim 1 0, dan x X n lim 1 b. 0 x X n a.
Beberapa Contoh:
7 15 7 2 lim 7 x 7 x 15 lim x x 7 0 0 7 2 x x 2 0 1 2 x 1 2 x 2 10 3 2 2 lim 3x 2 x 10 lim 3 x 300 1 2 15 x 9 x 15 x 9 3 9 2 x 1 4 lim x 2 4 lim x x 3 0 0 0 1 x x3 1 x 1 0 1 3 x 6 4 3 2 lim 3x 6 x 2 x x 1 x 6x 5 4x 2 x 3 6 2 1 1 3 2 3 4 lim x x x x6 3 1 3 x 6 4 0 4 5 6 x x x x 2
1.
2.
3.
4.
Limit
47
Soal Latihan 1.
lim x 4 3x 2 1 x 3x 4 6 x 3 2 x 2
lim 3 x 6 6 x 4 3 x 3 x 2 10 x 6x 5 4x 2 x 3 lim 4 x 3 5 x 2 3 x 1 3. x 15 x 3 16 x 2 5 x 3 2.
lim x 2 a 2 x x3 a3 lim 2 5. b x 3 x 10 lim a 6. 1 x 1 x 4.
2.5. Beberapa Limit Fungsi Yang Istimewa lim 1 1 e x x 1 lim 2. 1 x x e x0 lim 1 x 1 3. ln x0 x
1.
4.
lim e x 1 1 x0 x
5.
lim a x 1 ln a x0 x
lim x ln x 0 x 0 Disini hanya ada limit kanan, grafik f(x) ln x hanya ada di sebelah kanan lim 7. X x 1 x 0 6.
8.
lim x k 0, k bilangan riil x ex
Beberapa Contoh:
Limit
48
lim 1 1. 1 x x
3x
lim x 1 2. x x
2x
x lim 1 1 x x 2x
lim 1 1 x x
3
x lim 1 1 x x
x lim 1 1 x x
2
3
e3
x lim 1 1 x x
1 11 1 x lim lim lim lim 3. 1 x 2 1 x 2 x 1 x x 2 1 x x x x0 x0 x0 1 lim 4. x a x 1 x 1 1 misal : y , atau : x , maka : y 0 ,bila : x x y
1 2
2
e2
1
e2
lim 1x lim 1 y lim a y 1 x a 1 a 1 ln e x y0 y y0 y
2.6. Limit Trigonometri Limit trigonometri merupakan limit yang mengandung bentuk trigonometri, seperti sinus, cosinus dan tangen. Satu rumusan yang paling dasar dalam limit trigonometri adalah:
1.
2.
lim sin x lim 1, dan x0 x x0 lim tgx lim 1, dan x0 x x0
x 1 sin x x 1 tgx
Dari rumus ini dapat diturunkan sejumlah rumus dalam limit trigonometri. 1.
lim sin ax lim ax a x 0 bx x 0 sin bx b
2.
lim tgax lim ax a x 0 bx x 0 tgbx b
3.
lim sin ax lim tgax a x 0 sin bx x 0 tgbx b
4.
lim sin ax lim tgax a x 0 sin bx x 0 sin bx b
5.
lim sin ax tgbx ab x 0 cx sin dx cd
Limit
49
Beberapa Contoh: 1.
lim sin 3 x lim 3 sin 3 x lim sin 3 x 3 3(1) 3 x0 x x 0 3x x 0 3x
2.
lim tg 3 x lim tg 3 x 6 x 1 1 lim tg 3 x lim 6 x . . 1 x 0 tg 6 x x 0 3 x tg 6 x 2 2 x 0 3 x x 0 tg 6 x
2 1 lim 1 cos x lim 2 sin 2 x 3. 2 x 0 3x 2 x0 1 3.4. x 2 1 misal x t Jika x 0 maka t 0 2
lim 1 x 06
4.
1 sin x 2 1 x 2
2
1 lim sin t 6 t 0 t
2
1 2 1 1 6 6
lim 2 sec 2 x 4 lim 4 sec 2 x 1 x0 x0 8x2 8x2
lim 4tg 2 x lim tg 2 x lim 1 tg 2 x 1 lim tgx 1 2 1 1 x 0 8x2 x0 x x 0 2 x2 2 x 0 x 2 2
Soal Latihan 1.
lim x0
Sin 2
7x 1 cos 2 3 x
2.
3 sec 2 x 1 x 0 1 sin 2 x 1
3.
lim tg 3 x x 0 2x
lim
2.7.
4.
lim cos 2 x 1 x0 2x
5.
lim sin 5 x x 0 sin 3 x
Kontinuitas Fungsi
Definisi: Sebuah fungsi y=f(x) dikatakan kontinu pada x=a, jika untuk suatu bilangan >0 (bagaimanapun kecilnya), dapat ditemukan bilangan >0 sedemikian rupa sehingga | f(x)-f(a)< untuk |x-a|<. Dengan perkataan lain f(x) kontinu pada x=a bila ketiga syarat-syarat dibawah ini dipenuhi: 1. f(a) terdefinisi Limit
50
2. f(x) ada 3. lim f(x) = f(a) xa Y
ε f(x) x
a
X
δ Persyaratan ini mengandung arti bahwa sebuah fungsi hanya mungkin kontinu pada titik yang terkandung dalam daerah definisinya. Sebuah fungsi yang kontinu di setiap titik dalam suatu interval/selang disebut kontinu dalam interval tersebut. Artinya suatu fungsi f(x) disebut kontinu didalam suatu interval, jika fungsi tersebut kontinu disetiap titik dari interval tersebut. Apabila sebuah fungsi yang gagal memenuhi salah satu dari tiga syarat tersebut diatas adalah suatu fungsi yang diskontinu. Jika
lim f(x) = f(a), maka f(x) disebut kontinu di sebelah kanan pada x=a xa+ Jika lim f(x) = f(a), maka f(x) disebut kontinu di sebelah kiri pada x=a. xa Dengan demikian dapat dikatakan f(x) kontinu, bila kontinu disebelah kiri dan kontinu disebelah kanan. Sifat-Sifat Fungsi Kontinu 1. Jika f(x) dan g(x) kontinu di titik x=a maka f(x)g(x); f(x) g(x) dan
f ( x) g ( x)
kontinu pula untuk g(a)0. 2. Polinom dalam x kontinu untuk semua harga x. 3. Fungsi rasional dari x kontinu untuk semua harga x, kecuali untuk x yang memberikan harga nol pada penyebut. 4. Jika f(x) kontinu dalam interval a x b dan jika f(a) f(b), maka untuk sembarang bilangan c antara f(a) dan f(b) akan terdapat paling sedikit satu harga x misalkan x=xo yang memberikan f(xo)=c.
Limit
51
Y
Y
f(b) c
f(b)
f(a) a
0
x0
b
X
a
0
x0
b
X
f(a)
Jika f(x) kontinu dalam interval a x b, maka f(x) akan mempunyai nilai
5.
terendah m dan nilai tertinggi M dalam interval tersebut.
Y
Y
M
m
m
a
0
M
b
X
0
a
x0
b
X
Beberapa Contoh 1. Jika fungsi f mempunyai persamaan. x 2 3 x 10 ; jika x 2 3 x 2
f(x) = 1 ; jika x=-2 Selidikilah kontinuitas fungsi tersebut. Penyelesaian: 1. f(2) = -1 lim x 2
f ( x)
x 2 3 x 10 x 2 3 x 2 lim
x 5 x 2 x 2 3 x 2
lim x 5 2 5 1 2 x 2 3 3 3
lim
2. f(-2) lim f(x) x-2
Limit
52
Berarti f(x) tidak kontinu (diskontinu) pada x=-2 2. Diberikan fungsi g diberikan dengan persamaan g(x)=5x.3x-1 + 3xSinx. Apakah fungsi g(x) kontinu di titik x=1. Penyelesaian: 1. g(1) = 5.(1).31-1 + 3.(1).(0).1 = 5.30 + 0 = 5 2. Lim f(x) = x1
lim 5.x.3x-1 + 3xSinx = 5(1)30 + 0 = 5 x1
3. g(1) = lim f(x) x1 Berarti fungsi g(x) kontinu pada x=1. 3. Diberikan fungsi f mempunyai persamaan berikut: |x-3| ; Jika x3 f(x) = 2 ; Jika x=3 Selidikilah kontinuitas fungsi tersebut dan gambarkan grafiknya. Penyelesaian: 1. f(3) = 2 2. lim |x-3| = 0 x3-
lim f(x) = 0 x3
lim |x-3| = 0 x3+ 3. f(3) lim f(x) f(x) diskontinu di titik x=3
2
0
Limit
3
53
Soal Latihan 1. Diberikan fungsi dengan persamaan. (2x+1) ; untuk x<3 f(x) = (10-x) ; Jika x3 a. Tentukan lim f(x) dan lim f(x) x3x3+ b. Apakah lim f(x) ada 2. Selidikilah apakah f ( x )
1 kontinu di x=2 ( x 2)
3. Diberikan fungsi f dengan persamaan x2 4 ; Jika x 2 x 2
f(x) = (10-x) ; Jika x 3 Periksalah kontinuitas fungsi tersebut. 4. Selidikilah kontinuitas fungsi berikut: f(x) =
x2 9 ; Jika x 3 x3
6 ; Jika x = 3
5. Selidikilah kontinuitas fungsi y
x2 1 x 1
Untuk x=1 dan gambarkan grafiknya! 6. Diberikan fungsi f dengan persamaan f(x) =
1 ; Jika x 2 x2
3 ; Jika x 2 Selidikilah kontinuitas fungsi tersebut dan gambarkan grafiknya!
2.8. Bentuk Tak Tentu dan Aturan L’ Hospital Limit dengan bentuk tak tentu adalah limit dengan bentuk
0 ~ ; . Untuk 0 ~
menghitung limit tersebut digunakan aturan L’Hospital. Limit
54
Bentuk
0 dengan aturan L’Hospital, bila a adalah suatu bilangan 0
lim f ( x) , maka f(x) dan g(x) dideferensialkan den g(x)0 untuk setiap x pada x a g ( x)
selang 0<|x-a|<
lim xa
f x 0 dan
Contoh :
lim xa
g x , maka
f 1 x L (Ada atau Tak berhingga) x a g 1 x lim
1
1.
lim x 3 8 lim 3x 2 lim x 3 8 12 x 2 x 2 x 2 ( x 2) 1 x 2 1
2.
lim 2 x 3 x 2 3 x 10 7 x 2 x 2 1 x2 lim
Bentuk
lim f 1 x f x L (Ada) Bila x g x x g1 x lim
Contoh: 1.
lim lim lim x2 4 2x 2 2 0 2 2 2 x 3 x x 1 x 6 x 2 x x 18 x 2
1 lim ln x lim x lim x 2 0 2. x0 1 x0 2 x0 2 x2 x3
(Bentuk di atas suatu bentuk
Limit
)
55
