A. DEFINISI LIMIT Istilah limit dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai limit sering dikatakan sebagai nilai pendekatan. 1. Pengertian Limit secara Intusi Untuk memahami pengertian limit secara intuisi perhatikanlah contoh soal berikut: x f (x)=1+ x untuk Diketahui anggota bilangan real, tentukanlah f ( x) untuk x mendekati 1 (tetapi
x≠1 )
y f (x)=1+ x
2
O
x
1 Gambar. 1
Dari Kiri
x -1 -0,5 0 0,5 …→1 f (x) 0 0.5 1 1,5 …→2 Untuk x mendekati 1 dari kiri maka nilai f ( x) akan mendekati 2
Dapat dituliskan: −¿
x → 1 f ( x )=2 lim ¿ ¿
x → 1−¿ ( 1+ x ) =2 atau lim ¿ ¿
Dari Kanan x 1←… 1,5 2 2,5 3 f (x) 2←… 2,5 3 3,5 4 Untuk x mendekati 1 dari kanan nilai f (x) akan mendekati 2
Dapat dituliskan: x → 1+¿ f ( x )=2 lim ¿ ¿
x → 1+¿ (1+ x )=2 atau lim ¿
∴ karena limit dari kiri = limit dari kanan
¿
Yaitu
x → 1+ ¿ f ( x )=2 x → 1−¿ f ( x )=lim ¿ ¿
lim ¿ ¿
Maka dapat dituliskan lim f ( x ) =2 x→ 1
atau
lim (1+ x)=2 x→ 1
Secara intuitif pengertian limit dapat didefinisikan sebagai berikut: f ( x ) =L menunjukkan bahwa jika Pernyataan lim x→ a
x mendekati a
x ≠ a , maka nilai f (x) mendekati L.
tetapi
2. Pengertian Limit secara Aljabar Selain pengertian secara intuitif, pengertian limit juga dapat dijelaskan secara aljabar. Misalkan
f
adalah fungsi yang terdefinisi pada interval tertentu yang
memuat a, kecuali di a sendiri, sedangkan L adalah suatu bilangan real. Fungsi lim xa
f
x
dikatakan mempunyai limit L untuk
f ( x)
mendekati a, ditulis
= L jika dan hanya jika untuk setiap bilangan kecil
terdapat bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga jika
0<¿ x−a∨¿ δ
ε>0
maka
¿ f (x )−L∨¿ ε . Pernyataan tersebut dinamakan definisi limit secara umum.
Teorema
1.
lim f ( x ) =L jika dan hanya jika x→ a
2. Jika
x → a−¿ f ( x )=L1 lim ¿ ¿
tidak ada.
x → a−¿ f ( x)=L dan lim ¿ ¿
dan
x → a+¿ f ( x )=L2 lim ¿ ¿
dengan
x → a+¿ f ( x)=L lim ¿ ¿
L1 ≠ L2 , maka lim f ( x ) x→ a
B. LIMIT FUNGSI ALJABAR 1. Limit Fungsi f (x) untuk x → a Langkah-langkah menentukan lim f ( x ) a ∈ R x→ a
1) Tentukan nilai lim
f (x)
sebagai berikut
dengan mensubstitusikan nilai
x=a
pada
f ( x ) =f ( a) . fungsi f ( x) . Dengan demikian kita memperoleh lim x→ 2 0 f ( x ) telah diperoleh. Jika ( a ) ≠ , maka nilai lim x→ 2 0 0 Jika f ( a )= (bentuk tak tentu), maka teruskan ke langkah 2. 0 f ( x ) dengan cara memfaktorkan. 2) Tentukan lim x→ 2
a. Metode Substitusi Jika fungsi
f (x)
mempunyai nilai tertentu untuk
lim f ( x ) =f ( a ) , asalkan ( a ) ≠ 0 x→ a 0 Contoh : 1) Tentukan nilai limit dari ( x−5) a) lim x→ 3 b)
lim x 2 +2 x −8
c)
x +5 x−2 x+ 1 ) lim ¿
.
x→ 2 2
x →1
Penyelesaian : ( x−5) = 3 – 5 = -2 , a) lim x→ 3 Jadi, lim ( x−5) = -2 x→ 3
2
b)
x +2 x−8 ¿ lim ¿
= 22+ 2. 2−8=4+ 4−8=0
x→ 2
2 x +2 x −8 = 0 Jadi, lim x→ 2
c)
x 2 +5 x−2 x+ 1 )= lim ¿
12 +5 . 1−2 1+1
x →1
Jadi,
x 2 +5 x−2 x+ 1 )=2 lim ¿ x →1
Latihan soal : Hitunglah limit berikut
=
4 =2 2
x=a ,
maka
2
1)
x (¿−8) lim ¿ x→ 3
2) 3) 4)
lim √ 9+ x 2 x→4
x 3−7 lim x→ 3 x −3 2 x −4 x−5 lim x +2 x →−1
b. Metode Pemfaktoran Jika
diperoleh
f (x)
=
f (a) =
g ( x) h( x )
g ( x) h(x )
dan dengan substitusi langsung
=
0 0
, bentuk
g( x)
dan
x=a
h(x )
difaktorkan lebih dahulu sehingga mempunyai factor yang sama yang dapat disederhanakan sedemikian sehingga
f (a)≠
0 0
. Selanjutnya perhitungan
limit dapat dilakukan dengan cara substitusi. Secara umum, cara menyelesaikan limit fungsi f(x) bentuk taktentu dengan memfaktorkan adalah sebagai berikut
lim f ( x ) =lim x→ 2
x→ 2
g(x) ( x−a ) H (x) H (x) =lim =lim h (x) x →2 ( x−a ) S( x ) x →2 S ( x)
Contoh. 1) Tentukan limit fungsi berikut. x−3 a) lim 2 x −6 x→ 3 2 x −2 x−8 lim 2 b) x →−2 x + x−2 x−3 lim c) x→ 3 √ x− √ 3 x−2 lim √ d) x→4 x +4 Penyelesaian: a)
lim
x→ 3
x−3 2 x −6
mempunyai bentuk
memfaktorkan diperoleh
0 0
, sehingga dengan
( x−3) x−3 1 = lim = 2 x −6 2 x→ 3 x→ 3 2( x−3) 2 x −2 x−8 lim 2 mempunyai bentuk x →−2 x + x−2 lim
b)
0 0
, sehingga dengan
memfaktorkan diperoleh (x+2)( x−4) x 2−2 x−8 lim 2 = lim x →−2 (x +2)( x−1) x →−2 x + x−2 x−4 −2−4 −6 = lim = = =2 −2−1 −3 x →−2 x−1 x−3 0 c) lim mempunyai bentuk , sehingga dengan 0 x→ 3 √ x−√ 3 memfaktorkan diperoleh x−3 ( √ x−√ 3 ) ( √ x + √ 3 ) lim = lim x→ 3 √ x−√ 3 x→ 3 √ x− √3 = lim √ x + √ 3 x→ 3
d)
= = x−2 lim √ x→4 x +4
√ 3+√ 3 2 √3 mempunyai bentuk
0 0
, sehingga dengan
memfaktorkan diperoleh √ x−2 x−2 lim √ = lim x → 4 ( √ x−2)( √ x+ 2) x→4 x +4 1 = lim x → 4 √ x+2 1 = √ 4+2 1 1 = = 2+2 4 Latihan soal: Hitunglah limit berikut 2 x −x−2 1) lim x−2 x→ 2 x−3 2) lim x→ 3 √ x−√ 3 √ x−2 3) lim x→4 x +4 c. Metode Mengalikan dengan Akar Sekawan Beberapa fungsi yang akan ditentukan limitnya merupakan sebuah fungsi irasional sehingga sulit untuk difaktorkan. Untuk bentuk seperti ini, kita harus menghilangkan tanda akar dengan cara mengalikannya dengan akar sekawan. Setelah itu baru difaktorkan. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan telah kita pelajari di kelas 1, antara lain:
a √ b sehingga diperoleh dikalikan dengan √b √b a a √b a √b a = x = = √b √b √ b √b b b c a− √ b 2) Pecahan berbentuk dikalikan dengan sehingga a+ √ b a− √ b 1) Pecahan berbentuk
diperoleh b a− √¿ ¿ c¿ c c a−√ b = . =¿ a+ √ b a+ √ b a−√ b Contoh : Tentukan limit fungsi berikut: x+1 lim a) x →−1 1− √ x +2 1−√ x +1 b) lim x→ 0 x 2−x Jawab: x+1 lim a) x →−1 1− √ x +2
x+1 x →−1 1− √ x +2 1+ √ x +2 ¿ x+ 2 1+ √ ¿ ¿ = ( 1−√ x +2 ) ¿ ( x +1 ) ¿ ¿ lim ¿ =
lim
x→−1
x +2 1+ √ ¿ ¿ = ( x+1 ) ¿ ¿ lim ¿ x →−1
x +2 1+ √ ¿ ¿ = ( x+1 ) ¿ ¿ lim ¿ x →−1
.
1+ √ x +2 1+ √ x +2
=−
x +2 1+ √ ¿ ¿ ¿ lim ¿
x →−1
= − (1+ √−1+2 ) = −2 1−√ x +1 lim mempunyai bentuk 2 x→ 0 x −x
b)
mengalikan akar sekawan diperoleh lim
x→ 0
1−√ x +1 1−√ x+ 1 1+ √ x +1 =lim × 2 x→ 0 1+ √ x +1 x −x x 2−x
=
x+1 1+ √ ¿ ¿ x ( x−1 ) ¿ 1(x +1) ¿ lim ¿ x →0
=
x+1 1+ √ ¿ ¿ ( x x−1 ) ¿ −x ¿ lim ¿ x →0
x +1 1+ √ ¿ ¿ ( )¿ x−1 = −1 ¿ lim ¿ x→ 0
0+1 1+ √ ¿ ¿ = ( 0−1 ) ¿ −1 ¿ −1 = (−1 ) (2) 1 = 2
Latihan soal : Hitunglah limit berikut
0 , sehingga dengan 0
x x→ 0 √ x+ 4−2 x 2−9 lim 2 x→ 3 √ x +7−4 2 x −4 lim 2 x→ 2 3− √ x +5 lim
1) 2) 3)
C. TEOREMA LIMIT Misal k
konstanta, fungsi f
dan fungsi g mempunyai limit untuk
x → a , a ∈ R , maka berlaku : 1.
lim k=k
2.
lim x=a
3.
lim k . f ( x )=k . lim f ( x)
4.
x→ a
x→ a x→ a
x →a
[ f ( x ) +g ( x ) ] =lim
f ( x ) +¿ lim g ( x )
x→ a
x→a
lim ¿ x→ a
5.
[ f ( x )−g ( x ) ]=lim
f ( x )−¿ lim g ( x )
x →a
x →a
lim ¿ x →a
lim f ( x)
6.
lim
x→ a
f ( x ) x→ a g( x)≠ 0 = , untuk lim x→ a g( x ) lim g (x) x→ a
7. 8.
n
lim [f ( x )] =[lim f ( x)]n ,untuk n bilanganbulat dan [lim f ( x )]n ∈ R x→ a
x →a
n
√
x →a
√
lim √ f ( x )= lim f ( x ) , untuk n bilangan asli , n≥ 2 dan n lim f ( x ) ∈ R n
x→ a
x →a
x→ a
Contoh : Tentukan nilai limit fungsi berikut dengan menggunakan teorema limit 2 √ 2 x−1 lim 7 x a. b. lim x→ 3 x→ 5 x2 Penyelesaian: a.
lim 7 x x→ 3
2
2 7x = lim x→ 3
(menggunakan teorema limit ke-3)
x lim ¿ x→ a
¿ ¿2=7 (3)2=63 = ¿ x 2=7 ¿ lim ¿ x →3
7¿ b.
lim
√ 2 x−1 =¿
x→ 5
x
2
√ 2 x−1 , (menggunakan teorema limit ke-6) 2
lim
x lim √ 2 x−1 x→ 5
=
x →5
lim x 2
,
(menggunakan teorema limit ke-8)
x →5
x lim ¿ x →5
=
√
¿ ¿ ¿ lim (2 x−1)
, (menggunakan teorema limit ke-5)
x →5
¿ x lim ¿ x →5
=
√ =
¿ ¿ ¿ 2 lim x−lim 1 x→ 5
x →5
¿ √2.5−1 = √9 = 3 2 25 25 5
Bentuk limit fungsi trigonometri f ( x )=f (a) 1. Bentuk lim x→ a Bentuk ini dapat dianalogikan dengan bentuk penyelesaian limit fungsi aljabar, yaitu dengan mensubstitusikan langsung nilai
x=a pada fungsi f (x) .
Contoh: lim sin2 x
Tentukan nilai
x→
π 4
Penyelesaian: lim sin2 x x→
π 4
= sin 2 (
2. Bentuk lim
x→ a
f (x) g(x )
π ) = sin 4
π 2
=1
, dengan f (a)=0
dan
g(a)=0
Contoh : Tentukan nilai dari: lim
a.
π x→ 2
sin 2 x cos x
b. lim
x→π
cos 2 x−1 sin x
Sebelumnya ingat: sin 2 x=2sin x cos x
cos x = 1 – 2 sin 2 x Penyelesaian: a. b.
lim x→
π 2
lim
x→π
sin 2 x 2sin x cos x π = lim =lim 2 sin x=2 sin =2 .1=2 cos x x → π cos x 2 π x→ 2
2
cos 2 x−1 =lim sin x x→ π
( 1−2 sin2 x ) −1
sin x 2 −2 sin x = lim sin x x→π x −2 sin ¿ ¿ ¿ lim ¿
=
x→π
−2 sin π
=
= -2 x 0 = 0
3. Bentuk lim
x→ 0
sin x x
atau lim
x→ 0
tan x x
Pada bentuk yang dapat diubah kebentuk lim
x→ 0
sin x tan x atau lim x x x→ 0
rumus limit fungsi trigonometri yang digunakan adalah: sin x x lim a. = lim =1 x x→ 0 x→ 0 sin x tan x x lim b. = lim =1 x x→ 0 x→ 0 tan x Bukti:
y 1
-
o
P B
A
x
(1,0) Gambar. 2 Lingkaran satuan yang berpusat di O (0,0)
, rumus-
a. Perhatikan gambar 7.4. Gambar tersebut adalah lingkaran dengan pusat O dan jarijari 1, sudut AOP =
x
radian. Jika
x → 0 maka titik P mendekati A (0,1).
Segitiga OBP siku-siku di B, PB menyinggung juring lingkaran BOC. Luas juring BOC ≤ Luas ∆ OBP ≤ Luas juring AOP x 1 x π . ( OB )2 ≤ . OB . PB ≤ π . ( 1 )2 2π 2 2π x cos ¿ ¿ ¿ x ¿ 2 x cos ¿ ¿ ¿ x¿ cos x ≤
sin x 1 ≤ x cos x
lim cos x ≤ lim x→ 0
x→0
1≤ lim
x →0
sin x 1 ≤ lim x x →0 cos x
sin x x ≤ 1atau 1≤ lim ≤1 x x→ 0 sin x
Jadi , lim
x→ 0
sin x x =1 dan lim x sin x x→ 0
=1
tan x x =1 dan lim =1, perlu mengingat x x→ 0 x→ 0 tan x sin x x =1, dan lim =1. kembali rumus sebelumnya, yaitu lim x x→ 0 x→ 0 sin x
b. Untuk membuktikan lim
sin x tan x cos x sin x 1 lim =lim =lim . x x x cos x x→ 0 x→ 0 x →0 ¿ lim
x→ 0
¿ 1.
sin x 1 . lim x x → 0 cos x
1 =1 .1=1 cos 0
Dengan cara yang sama, maka diperoleh: lim
x→ 0
x x x x =lim =lim . cos x=lim . cos x tan x x→ 0 sin x x →0 sin x x →0 sin x cos x
¿ 1. cos 0=1 .1=1
Jadi , terbukti lim x →0
tan x x =1 dan lim =1 x x→ 0 tan x
Contoh : Tentukan nilai limit fungsi trigonometri tersebut lim
a.
x→ 0
sin 8 x 2x
b. lim
x→ 0
tan3 x sin 4 x
c. lim
x→ 0
1−cos 2 x 2 x
Penyelesaian: lim
a.
x→ 0
sin 8 x sin 8 x 8 =lim . =1 . 4=4 2x 8x 2 x →0
tan3 x tan 3 x 4 x 3 =lim . . sin 4 x x→ 0 3 x sin 4 x 4 tan 3 x 4x 3 ¿ lim lim . 3x 4 x →0 x→ 0 sin 4 x 3 3 ¿ 1. 1 . = 4 4 1−( 1−2 sin 2 x ) 1−cos 2 x c. lim =lim x→ 0 x→ 0 x2 x2 b.
lim
x→ 0
(
sin x x ¿ ¿ sin x x ¿ ¿ ¿ 2=2 . 12=2 ¿ 2¿ 2 sin 2 x =¿ lim ¿ x→0 x2 ¿ lim ¿ x →0
)(
)
