Karakteristik Limit dari Proses Kelahiran dan Kematian Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Pengantar Proses Stokastik
Disusun oleh : Saidun Nariswari Setya Dewi Lisa Apriana Marvina Puspito Nita Eka Rusi Yanun
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2010
Karakteristik Limit dari Proses Kelahiran dan Kematian
Secara umum proses kelahiran dan kematian tidak memiliki state terabsorsi, dapat dibuktikan bahwa lim Pij (t ) = π j ≥ 0
(6.26)
t →∞
ada dan independen dari awal state i. Persamaan ini mungkin terjadi jika π j = 0 untuk semua state j. Jika limit π j positif, maka ∞
∑π j =0
=1
j
(6.27)
Persamaan tersebut merupakan distribusi probabilitas, dengan syarat cukup, yaitu distribusi limit dari proses. Distribusi limit juga merupakan distribusi stasioner yaitu ∞
π j = ∑ π i P ij (t)
(6.28)
i =0
yang mengatakan bahwa jika proses dimulai di state i dengan probabilitas π i , maka pada setiap waktu t di state i memiliki probabilitas sama dengan π i . Bukti (6.28) diperoleh dari (6.19) dan (6.26) jika kita misalkan t →∞ dan menggunakan ∞
∑π i=0
i
=1
Secara umum model dari proses kelahiran dan kematian sebagian besar berasal dari persamaan umum untuk menentukan apakah mempunyai distribusi limit dan apa nilai yang ketika itu terjadi. Persamaan ini berasal dari pi'.0 (t ) = −λ0 pi.0 (t ) + µ1 pi.1 (t )
pi'. j (t ) = λ j −1 pi. j −1 (t ) − (λ j + µ j ) pij (t ) + µ j +1 pi. j +1 (t ) ,
j ≥1 ,
(6.29)
dengan kondisi awal pij (0) = δ ij . Untuk limit t →∞ pada (6.29) yang pertama diamati adalah limit sisi kanan (6.29) ada menurut (6.26). Oleh karena itu limit sisi kiri, derivatif pi'. j (t ) , juga ada. Selama probabilitas konvergen ke konstan, limit dari derivativ harus nol. Sehingga, melalui limit dari (6.29) akan menghasilkan
0 = −λoπ o + µ1π 1 0 = λ j −1π j −1 − (λ j + µ j )π j + µ j +1π j +1,
(6.30)
Penyelesaian dari persamaan (6.30) diperoleh dengan induksi. Dengan menganggap
θ 0 = 1 dan θ j =
λ0λ1...λ j −i untuk j≥1 µ1µ 2 ...µ j
(6.31)
dengan π 1 = λ0π 0 / µ1 = θ1π 0 Kemudian, dengan asumsi bahwa π k = θ k π 0 untuk k = 1 ,..., j, sehingga 0 = λ j −1π j −1 − (λ j + µ j )π j + µ j +1π j +1,
µ j +1π j +1 = (λ j + µ j )π j − λ j −1π j −1 = (λ j + µ j )θ jπ 0 − λ j −1θ j −1π 0 = λ jθ jπ 0 + µ jθ jπ 0 − λ j −1θ j −1π 0 = λ jθ jπ 0 + ( µ jθ j − λ j −1θ j −1)π 0 = λ jθ j π 0
sehingga diperoleh
π j +1 = θ j +1π 0 Agar urutan {π j } mendefinisikan sebuah distribusi harus memiliki ∑ j π j = 1 Jika ∑ θ j < ∞ kemudian dapat dijumlahkan
π 0 = θ0 π 0 π1 = θ0 π 0 π 2 = θ0 π 0
⋮ ⋮ 1 = (∑ θ k ) π 0 ∞
Untuk melihat bahwa π 0 = 1/ ∑ θ k dan k =0
π j = θ jπ 0 =
θj
untuk j = 0, 1,... (6.32)
∞
∑θ k =0
k
Jika ∑ θ k = ∞, maka π 0 = 0 dan π j = θ jπ 0 untuk semua j dan tidak ada distribusi limit ( lim Pij (t ) = 0 untuk semua j). t →∞
Contoh : Pertumbuhan linier dengan imigrasi sebagaimana dijelaskan dalam contoh pada akhir bagian 6.3.3, proses ini memiliki parameter kelahiran
λn = a + λn dan parameter kematian µ n = µn untuk n = 0, 1,... dimana λ > 0 adalah laju kelahiran individu, a > 0 adalah laju dari imigrasi kedalam populasi, dan µ > 0 adalah laju kematian individu. Andaikan < . Terlihat pada bagian 6.3 bahwa rata-rata populasi ()
konvergen ke /( − ) dengan → ∞. Akan ditentukan distribusi limit dari proses dengan kondisi yang sama pada saat < . Kemudian = 1, = 0 1 2
1 2 3
0
1
= /, =
0 1
1 2
= ( + )/(2), =
= ( + )( + 2)/(2)(3) dan secara umum,
( + ) … + ( − 1) ( )! ( /) ( /) + 1 … ( /) + − 1 = ! !
=
= =
( /) + − 1 … ( /) + 1 ( /) (/) ! # ( /) + − 1 … ( /) + 1 ( /) "$ − 1% ! !
# "$
− 1% !
(/)
( /) + − 1 % ! Dengan menggunakan persamaan binomial tak terbatas, *+ −1 (1 + &)'( = ∑+ % & untuk |&| < 1, , " Untuk menentukan ="
+
+
,
,
'(#/$) ( /) + − 1 . = . " % ! = 1− !
ketika < . Jadi / = ∑∞
1
=0
$ '(#/$)
= "1 − % 0
dan
( /) ( /) + 1 … ( /) + − 1 '(#/$) / = ! 1− ! !
Untuk ≥ 1. Contoh : Model Tukang Reparasi. Sebuah sistem terdiri dari * mesin. Dengan ≤ * dapat beroperasi dalam suatu waktu; dan sisanya “Waktu luang”. Ketika sebuah mesin beroperasi, mesin tersebut beroperasi dengan jarak waktu random sampai mengalami kerusakan. Andaikan waktu kerusakan berdistribusi exponensial dengan parameter . FAKTOR Kapasitas = Jumlah Kerusakan =
“Waktu luang”
oooooo
4() = jumlah dari mesin yang “baik”
Waktu tunggu untuk di perbaiki
BENGKEL Kapasitas = 6 Jumlah Perbaikan = oooooo
5() = jumlah dari mesin yang “rusak” Gambar 6.5 Repairman Model Ketika sebuah mesin rusak, menjalani perbaikan. Sebanyak 6 mesin dapat “diperbaiki” pada suatu waktu. Waktu perbaikan berdistribusi eksponensial dengan parameter . Jadi, sebuah mesin dapat dibagi menjadi empat keadaan: (i) beroperasi, (ii) “baik” tapi tidak beroperasi dengan kata lain luang, (iii) dalam perbaikan, (iv) menunggu untuk diperbaiki. Ada total * mesin dalam sistem.
Sebanyak dapat beroperasi. Sebanyak 6 dapat diperbaiki. Kejadian tersebut disketsakan pada gambar 6.5.
Misalkan 4() merupakan jumlah dari mesin “baik” pada waktu t, salah satunya beroperasi atau luang. Kemudian, (dianggap) jumlah yang beroperasi adalah min{4(), } dan jumlah mesin luang adalah max{0, 4() − }. Misal 5() =
* − 4() menjadi jumlah dari mesin “rusak”. Kemudian jumlah mesin yang dalam perbaikan adalah min {5(), 6} dan jumlah menunggu untuk diperbaiki
adalah max {0, 5() − 6}. Dari persamaan sebelumnya dapat dimungkinkan untuk
menentukan jumlah dari mesin dengan kategori lain, saat 4() tidak diketahui.
Kemudian 4() adalah bagian terhitung proses kelahiran dan kematian dengan parameter : = × <=>{* − >, 6} =?
6 (* − >)
@AB > = 0,1, … , * − 6 C @AB > = * − 6 + 1, … , *
Dan : = × <=>{>, } = ?
>
@AB > = 0,1, … , C @AB > = + 1, … , *
Untuk menentukan probabilitas distribusi limit dari suatu nilai untuk , , *, , D > 6. (Lihat latihan no. 7 dan 13 pada halaman terakhir dari bagian
ini). Hubungan untuk limit probabilitas / , / , … , /( dari beberapa banyaknya bagian adalah : Rata-rata mesin beroperasi = / + 2/ + ⋯ + /F + (/FG + ⋯ + /( )
Lama penggunaan
=
HIJI'KIJI LMNOP QMKRSMKINO
=
TISINOJIN
UV GUW G⋯GFUX F
+ (/FG + ⋯ + /( )
Average Idle Repair Capacity = 1/('YG + 2/('YG + ⋯ + 6/( (Rata-rata tidak bekerja saat memperbaiki kapasitas) Persamaan tersebut dan yang sejenisnya, dapat digunakan untuk mengevaluasi keinginan penambahan kemampuan memperbaiki, penambahan cadangan mesin , dan perbaikan lain yang mungkin. Distribusi stasioner diasumsikan ke dalam bentuk sederhana pada kasus khusus yang nyata. Contohnya, mengingat kasus khusus dengan M = N = R. Situasi yang muncul, sebagai contoh, ketika operator mengalami kegagalan saat
melakukan perbaikan mesin. Kemudian : = (* − >) dan : = > untuk n= 0,1,…,N
,
berdasarkan
(6.31),
ditentukan
(*)(* − 1)/(2) dan bentuk umumnya
= 1 , = */ , =
*(* − 1) … (* − + 1) * = ! = ! ! (1)(2) … ( ) Dari persamaan (6.31)
θj =
λ0λ1...λ j −i µ1µ 2 ...µ j $
= 0Z
V
$ $
= 0V 0Z , dst W V
=
$(.$((')…$(('(G)) 0.0…0
=
$[ (((')…(('G)
0[
!
$
= \(] " % 0
( Dengan menggunakan rumus Binomial (1 + &)( = ∑( ,\ ] & dihasilkan (
* ( . = . ! ! = 1 + ! , (
Jadi / = 1 + (/)
'(
,
= /( + ) ( dan / =
* ! ! /( + ) ( $
0
= \(] "$G0% "$G0%
('
(6.33)
Persamaan (6.33) lebih dikenal dengan Distribusi Binomial
Contoh : Proses logistic, andaikan dianggap populasi yang berukuran X(t) jarak diantara dua bilangan bulat yang tetap * dan (* < ) untuk semua ≥ 0
diasumsikan bahwa nilai kelahiran dan kematian tiap-tiap individu pada waktu , diberikan dengan
= ^\ − 4()] D > = _(4() − *)
dan setiap anggota dari populasi tersebut tidak saling berpengaruh antara satu dengan yang lainnya. Hasil nilai kelahiran dan kematian populasi menjadi : = ^>( − >) D > : = _>(> − *). Untuk menjelaskan hal tersebut diamati jika ukuran dari suatu populasi 4()
adalah >, dan setiap individu dari > memiliki laju kelahiran yang sangat kecil,
maka : = ^>( − >). Analog untuk : .
Selain syarat diatas akan diharapkan proses untuk fluktuasi diantara dua konstanta * dan , sebagai contoh, jika 4() dekat dengan dan mendekati * maka nilai kematian tinggi dan nilai kelahiran rendah. Pada akhirnya proses memperlihatkan fluktuasi yang tetap diantara dua limit * dan . Distribusi stasionernya dalam hal ini adalah /(G` =
` a −* ^ " % ! < *−< _
< = 0, 1, 2, … , − *
Dimana a adalah constanta penentu jadi didapat ∑` /(G` = 1. Untuk mengetahuinya diperlihatkan sebagai berikut $ $bcV …$bcdeV
(G` = 0b
bcV 0bcW …0bcd
^ ` *(* + 1) … (* + < − 1)( − *) … ( − * − < + 1) = _ ` (* + 1) … (* + <)
^ ` *(* + 1) … (* + < − 1)( − *) … ( − * − < + 1) _ ` (* + 1) … (* + <)
=
^ ` *( − *) … ( − * − < + 1) ( − * − <)! ( − * − <)! _ ` (* + <)
=
^ ` *( − *)! _ ` (* + <)( − * − <)!
=
*( − *)! ^ ` ! (* + <)( − * − <)!
=
` * −* ^ " % ! < (* + <) _
Contoh Beberapa model genetik. Sebuah populasi berukuran * individu dimana tipe gen-nya atau f. State dari proses 4() menunjukkan jumlah individu gen
pada waktu . Diasumsikan bahwa probabilitas yang statenya berubah selama
selang waktu (, + ℎ)
adalah ℎ + A(ℎ) independen dari nilai 4() dan
probabilitas dari dua atau lebih perubahan yang terjadi dalam interval waktu ℎ adalah o(ℎ). Perubahan struktur populasi dilakukan sebagai berikut. Satu individu diganti dengan individu lain yang dipilih secara random dari populasi. Misal, jika 4() = h, maka tipe dipilih untuk digantikan dengan probabilitas h⁄* dan tipeA dengan probabilitas 1 − h⁄*. Kemudian, kelahiran terjadi oleh aturan tersebut.
Pilihan lain yang dibuat secara acak dari populasi untuk menentukan tipe dari individu
untuk
menggantikan
individu
yang
meninggal.
Model
ini
memperkenalkan tekanan mutasi berlaku untuk kemungkinan bahwa tipe dari individu baru dapat diubah saat lahir. Secara khusus, misal j menunjukkan
kemungkinan bahwa tipe-tipe A, dan menganggap j
untuk menunjuk
probabilitas mutasi tipe-A ke tipe-a. Probabilitas bahwa individu baru ditambahkan ke dalam populasi tipe a adalah k
(
k
(1 − j ) + "1 − % j (
(6.34)
Dapat disimpulkan persamaan tersebut sebagai berikut: probabilitas bahwa dipilih jenis dan mutasi tidak terjadi (h⁄*) (1 − j ) . Selain itu, tipe terakhir mungkin tipe-a, jika kita pilih tipe A, yang kemudian dialihkan untuk berikutnya di mutasi ke dalam type-a. Probabilitas yang mungkin adalah (1 − h⁄*) j . Kombinasi dari dua kemungkinan diberikan pada(6.34) Ditegaskan bahwa probabilitas bersyarat bahwa 4( +) − 4() = 1, ketika perubahan state terjadi, adalah
k
k
k
"1 − % l (1 − j ) + "1 − % j m, dimana 4() = h ……………..(6.35) (
(
(
Faktanya, ukuran populasi type-a dapat meningkatkan hanya jika tipe A-mati (diganti). Probabilitas ini adalah 1 − (h⁄*). Faktor kedua adalah probabilitas bahwa individu baru adalah type-a seperti pada persamaan (6.34) Pada keadaan yang sama didapatkan bahwa probabilitas bersyarat 4( +) −
4() = −1 ketika perubahan state terjadi adalah k
(
k
k
l"1 − (% (1 − j ) + ( j m, dimana 4() = h
Proses stokastik yang dijelaskan adalah proses kelahiran dan kematian dengan sejumlah state limit yang menemukan laju kelahiran dan kematian yang sangat kecil h h h k = 1 − ! n (1 − j ) 1 − ! j o * * * Dan k =
h h h n j + 1 − ! (1 − j )o * * *
masing sesuai dengan ukuran jenis populasi h, 0 ≤ h ≤ * Walaupun parameter ini tampak agak rumit, menarik untuk melihat apa yang terjadi dengan ukuran stasioner{/ }( , jika dianggap ukuran populasi * → ∞ dan probabilitas mutasi per individu jand j cenderung nol sedemikian rupa yang j * → p and j * → p , dimana 0 < p, p < ∞. Pada saat yang sama, akan diubah state dari proses ke dalam
interval [0,1] dengan mendefinisikan state-state baru h⁄*, yaitu type-a dalam populasi. Untuk menguji kepadatan populasi tetap ke x, dimana 0 < & < 1, akan
dievaluasi / dengan → ∞ dalam keadaan yang sama = &* , dimana [xN] adalah bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan xN. Dengan menjaga keterkaitan ini dapat ditulis k =
$(('k) (W
#
(1 − j − j )h "1 + % , dimana = k
(qW
'qV 'qW
,
Dan k =
$(('k) (W
(1 − j − j )h "1 +
#
('k
(qW
%, dimana = 'q
V 'qW
.
kemudian log = ∑' k, log k − ∑k, log k #
#
('
#
' = ∑' k, log "1 + k % − ∑k, log "1 + ('k % + log * − log(* − ) "1 +
]
Dengan menggunakan ekspansi & & log(1 + &) = & − + − ⋯ , 2 3
|&| < 1,
Dapat juga ditulis #
' ∑' k, uAv "1 + k % = ∑k, k + a ,
Dimana a adalah pendekatan batas limit dengan syarat → ∞ . Oleh karena itu, dengan menggunakan keterkaitan
∑' k, ~ log
dengan syarat → ∞
k
Didapatkan #
# ∑' k, uAv "1 + k % ~ log + a
dengan cara yang sama didapatkan
dengan syarat → ∞
∑' k, log "1 +
(y
x
% ~uAv ((')y + D ('k
karena → ∞
Dimana D pendekatan batas limit dengan syarat → ∞. Menggunakan hubungan di atas kita dapati log ~ uAv "z
{ ((')y (# % ( y ((')
as → ∞
Dimana uAv z = a + D , yang mendekati limit, disebut C, dengan → ∞.
Perhatikan bahwa → dan | → dengan * → ∞. Karena = *} didapat,
untuk * → ∞.
~zW *W ' & W ' (1 − &)V '. Dari persamaan (6.36) didapat x'
~ z #' "1 − (% Karena itu,
(W
#'
#
(' ∑(' , ~ ∑, z " % (
(
x'
"1 − % (
Karena z → z dengan cenderung ∞ dianggap sisi kanan sebagai perkiraan jumlah Reimann dari
z ~ & W ' (1 − &)V ' D&. demikian
W W ' ∑( (1 − &)V ' D& , , ~ * z ~ &
Sehingga kepadatan yang dihasilkan pada [0,1] adalah [ } [W eV ('})[V eV ~ V [ eV ∑ ( ~ } W ('})[V eV } Z
=
} [W eV ('})[V eV }
V ~Z } [W eV ('})[V eV }
,
Sejak D&~1/*. Ini adalah distribusi beta dengan parameter dan .
Exercises 6.4 7. Untuk perbaikan dalam contoh kedua, anggaplah bahwa = * = 5, 6 = 1, = 2, dan = 1. Gunakan distribusi limit untuk sistem, Tentukan
a) Rata-rata mesin beroperasi Penyelesaian : Rata-rata mesin beroperasi = / + 2/ + ⋯ + /F + (/FG + /( ) = / + 2/ + 3/ + 4/ + 5/ + 5(/ + / ) = / + 2/ + 3/ + 4/ + 5/ + 5/ + 5/ = / + 2/ + 3/ + 4/ + 10/ + 5/ b) Lama Penggunaan Penyelesaian : Lama Penggunaan =
Y##'## `: x# ###
/ + 2/ + ⋯ + /F + (/FG + ⋯ + /( ) / + 2/ + 3/ + 4/ + 5/ = + (/ + / ) 5 =
= =
/ + 2/ + 3/ + 4/ + 5/ + / + / 5 / + 2/ + 3/ + 4/ + 6/ + / 5
1 (/ + 2/ + 3/ + 4/ + 5/ + / + / ) 5 c) Average Idle Repair Capacity (Rata-rata tidak bekerja saat memperbaiki kapasitas) Penyelesaian : =
Average Idle Repair Capacity = 1/('YG + 2/('YG + ⋯ + 6/( = 1/'G = 1/
8. Tentukan distribusi stasioner, dimana ada proses kelahiran dan kematian dengan parameter konstan : = untuk > = 0, 1, … dan > = 1, 2, …
: =
untuk
Penyelesain : Diketahui : : =
> > = 0, 1, …
: =
> > = 1, 2, …
Ditanya : distribusi stationer ? Jawab : =
$Z $V … $[eV 0V 0W … 0[
[
$ $ $ ...$
$[
= 0 0 0… 0 = 0[ [
= ! ∞
.
,
! =∞
Jika ∑ = ∞, maka / = 0 dan /k = /k . / = 0 ∀h, dan tidak ada limit distribusi \lim→∞ k () = 0 ∀k ].
