PROYEKSI PENDUDUK DENGAN PROSES KELAHIRAN DAN KEMATIAN SITI MARIA ULFA

PROYEKSI PENDUDUK DENGAN PROSES KELAHIRAN DAN KEMATIAN

SITI MARIA ULFA

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Proyeksi Penduduk dengan Proses Kelahiran dan Kematian adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Oktober 2012

Siti Maria Ulfa NIM G551090051

ABSTRACT

SITI MARIA ULFA. Population Projection with Birth and Death Process. Under supervision of HADI SUMARNO and ALI KUSNANTO.

A population projection is a scientific calculation based on certain assumptions of births, deaths, and migration. These three components determine the size of the population in the future. The aims of this study are to develop population projection model using birth and death process and to apply the model to Indonesian population data. This study uses four steps of modelling process. First, we develop a model of birth and death process with migration. Second, we verify the model using 1990 Indonesian population data and compare the result with the real data. Third, using the model we estimate population projection for the years 2000-2025 based on Indonesian population data of the year 2000 and compare the result with population projection for years 2000-2025 by BPS. Finally, we estimate population projection for years 2010-2035 based on Indonesian population data of the year 2010. The advantage of this model is that we can give the confidence interval of the estimate besides the value of estimation. The difference between our projection based on 1990 Indonesian data and the real data is below 10%, and the difference between our projection based on Indonesian data of the year 2000 and projection by BPS is less than 6%.

Keywords: population projection, birth and death process.

RINGKASAN SITI MARIA ULFA. Proyeksi Penduduk dengan Proses kelahiran dan Kematian. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan ALI KUSNANTO. Dalam rangka perencanaan pembangunan di segala bidang, diperlukan informasi mengenai keadaan penduduk seperti jumlah penduduk, persebaran penduduk, dan susunan penduduk menurut umur. Hampir semua rencana pembangunan perlu ditunjang dengan data jumlah penduduk. Data yang diperlukan tidak hanya menyangkut keadaan pada waktu rencana itu disusun, tetapi juga informasi masa lampau dan yang lebih penting lagi adalah informasi perkiraan pada waktu yang akan datang. Data penduduk pada waktu yang lalu dan waktu kini sudah dapat diperoleh dari hasil-hasil survey dan sensus, sedangkan untuk memenuhi kebutuhan data penduduk pada masa yang akan datang perlu dibuat proyeksi penduduk. Proyeksi penduduk merupakan suatu perhitungan ilmiah yang didasarkan pada asumsi dari komponen-komponen laju pertumbuhan penduduk, yaitu kelahiran, kematian dan perpindahan (migrasi). Ketiga komponen inilah yang menentukan besarnya jumlah penduduk di masa yang akan datang. Salah satu proses stokastik yang bisa di gunakan untuk proyeksi penduduk adalah proses kelahiran dan kematian, dimana model tersebut dapat digunakan untuk memprediksi laju pertumbuhan penduduk pada suatu negara. Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah mengkaji model kelahiran dan kematian tanpa dan dengan migrasi serta mempertimbangkan varian. Selanjutnya mengaplikasikan model tersebut pada data penduduk Indonesia tahun 1990-2010. Untuk melihat validitas dan realibilitas hasil proyeksi, model dibandingkan denga data riil tahun 1995, 2000, 2005 dan 2010 serta dibandingkan dengan data hasil proyeksi BPS tahun 2000-2025. Selanjutnya model tersebut digunakan untuk memproyeksikan penduduk Indonesia sampai dengan tahun 2035 berdasarkan data tahun 2010. Penelitian ini menggunakan data sekunder, yaitu data jumlah penduduk Indonesia tahun 1990-2010. Nilai awal yang digunakan untuk membandingkan dengan data riil adalah data tahun 1990 yaitu CBR (Angka Kelahiran Kasar) sebesar 0,0257, CDR (Angka Kematian Kasar) sebesar 0,007 dan angka migrasi sebesar -0.0015. Sedangkan nilai awal untuk membandingkan dengan data hasil proyeksi BPS adalah data tahun 2000, yaitu CBR (angka kelahiran kasar) sebesar 0,0184; CDR (angka kematian kasar) sebesar 0,00637 dan angka migrasi sebesar 0,0001. Model ini memberikan tingkat kesalahan di bawah 10% dibandingkan dengan data riil. Hasil Proyeksi Penduduk Indonesia sampai tahun 2025 berdasarkan data tahun 2000 memberikan selisih di bawah 6% dibandingkan dengan proyeksi dari BPS. Dengan demikian secara umum dapat disimpulkan bahwa hasil proyeksi model ini tidak jauh berbeda dengan proyeksi BPS maupun kondisi riil. Kelebihan dari model kelahiran dan kematian dibandingkan dengan model deterministik adalah telah dipertimbangkannya pengaruh acak antar individu sehingga dapat dihitung selang kepercayannya. Dari hasil proyeksi juga dapat dilihat bahwa

seiring dengan bertambahnya waktu, lebar dari selang kepercayaannya semakin meningkat. Hal ini menunjukkan bahwa ketelitian hasil proyeksi semakin menurun dengan bertambahnya waktu proyeksi.

Kata kunci: proyeksi penduduk, proses kelahiran dan kematian

© Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2012 Hak cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

PROYEKSI PENDUDUK DENGAN PROSES KELAHIRAN DAN KEMATIAN

SITI MARIA ULFA

Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc .

Judul Tesis

: Proyeksi Penduduk dengan Proses Kelahiran dan Kematian

Nama

: Siti Maria Ulfa

NRP

: G551090051

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. Ketua

Drs. Ali Kusnanto, M.Si. Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Matematika Terapan

Dekan Sekolah Pascasarjana

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S

Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr

Tanggal Ujian: 28-08-2012

Tanggal Lulus:

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang dipilih pada penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Oktober 2011 ini adalah Proyeksi Penduduk dengan Proses Kelahiran dan Kematian. Dalam kesempatan kali ini penulis hendak menyampaikan terima kasih tak hingga kepada Allah SWT, atas segala nikmat dan kasih sayang-NYA yang tiada batas. Kepada suami tercinta, Hery Widiyanto, atas doa dan dukungannya. Kepada Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S dan Drs. Ali Kusnanto, M.Si masing-masing selaku ketua dan anggota Komisi Pembimbing. Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr. Ir. I. Wayan Mangku, M.Sc selaku penguji luar Komisi dan Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S selaku ketua Program Studi Matematika Terapan yang telah banyak memberikan saran. Ucapan terima kasih juga penulis disampaikan pada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa. Ungkapan terima kasih tak terhingga juga penulis sampaikan kepada suami, bapak, ibu, adik-adikku dan seluruh keluarga, serta semua teman seperjuangan, atas segala doa, pengorbanan, dukungan dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Oktober 2012 Siti Maria Ulfa

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Malang, Jawa Timur pada tanggal 3 Februari 1978 dari ayah M. Hasyim dan ibu Mulyati. Penulis merupakan putri pertama dari lima bersaudara. Tahun 1995 penulis lulus dari Madrasah Aliyah Negeri I Malang, dan masuk Universitas Muhammadiyah Malang. Penulis memilih Jurusan Matematika pada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan dan selesai pada tahun 2000. Tahun 2003 penulis menjadi staf pengajar di Madrasah Aliyah Khairul Bariyyah, Bekasi. Pada tahun 2009 penulis lulus seleksi masuk Program Magister Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik Indonesia.

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL …………………………………………………………

xii

DAFTAR GAMBAR ………………………………………………………

xiii

DAFTAR LAMPIRAN……………………………………………………… xiv I

II

PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ..................................................................................

1

1.2 Tujuan Penelitian ...............................................................................

2

TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Proses Kelahiran Murni .....................................................................

3

2.2 Proses Kematian Murni......................................................................

5

III METODE PENELITIAN 3.1 Sumber Data .....................................................................................

9

3.2 Prosedur Penelitian ............................................................................

9

IV MODEL KELAHIRAN DAN KEMATIAN 4.1 Model Kelahiran Murni ...................................................................

11

4.2 Model Kelahiran dan Kematian tanpa Migrasi .................................

13

4.3 Model Kelahiran dan Kematian dengan Migrasi ..............................

16

V APLIKASI MODEL 5.1 Model Kelahiran Murni ...................................................................

19

5.2 Model Kelahiran dan Kematian tanpa Migrasi .................................

19

5.3 Model Kelahiran dan Kematian dengan Migrasi ..............................

20

5.4 Proyeksi Penduduk menggunakan Data BPS Tahun 2000 ...............

21

5.5 Proyeksi Penduduk menggunakan Data BPS tahun 2010..................

22

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN 6.1 Kesimpulan ......................................................................................

23

6.2 Saran .................................................................................................

23

DAFTAR PUSTAKA

DAFTAR TABEL Halaman 1 Hasil simulasi model kelahiran murni dari tahun 1990 -2010 ……….. 19 2 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian tanpa migrasi dari tahun 1990- 2010 …………………………………………………………… 20 3 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian dengan migrasi dari tahun 1990- 2010 …………………………………………………….

20

DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Perbandingan antara data hasil proyeksi memakai model dengan data proyeksi BPS tahun 2000-2025............................................................

21

2 Proyeksi penduduk tahun 2010-2035 berdasarkan data tahun 2010 ....

22

DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Definisi-definisi .................................................................................... 2

27

Hasil simulasi model kelahiran murni tahun 1990-2010 berdasarkan data tahun 1990 ....................................................................................

34

3 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian tanpa migrasi tahun 1990-2010 berdasarkan data tahun 1990 .............................................

35

4 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian dengan migrasi tahun 1990-2010 berdasarkan data tahun 1990..............................................

36


37


38

1

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam rangka perencanaan pembangunan di segala bidang, diperlukan informasi mengenai keadaan penduduk seperti jumlah penduduk, persebaran penduduk, dan susunan penduduk menurut umur. Hampir semua rencana pembangunan perlu ditunjang dengan data jumlah penduduk. Data yang diperlukan tidak hanya menyangkut keadaan pada waktu rencana itu disusun, tetapi juga informasi masa lampau dan yang lebih penting lagi adalah informasi perkiraan pada waktu yang akan datang. Data penduduk pada waktu yang lalu dan waktu kini sudah dapat diperoleh dari hasil-hasil survey dan sensus, sedangkan untuk memenuhi kebutuhan data penduduk pada masa yang akan datang perlu dibuat proyeksi penduduk yaitu perkiraan jumlah penduduk di masa mendatang. Demografi adalah studi tentang jumlah, komposisi dan distribusi penduduk, manusia dan perubahan-perubahan dari aspek-aspek tersebut yang senantiasa terjadi sebagai akibat bekerjanya 5 (lima) proses yaitu fertilitas (kelahiran), mortalitas (kematian), perkawinan, migrasi dan mobilitas sosial. Salah satu unsur demografi yang sering menarik perhatian bagi mereka yang mempelajari ilmu kependudukan adalah proyeksi penduduk. Hal ini karena pengetahuan yang berkaitan dengan keadaan penduduk suatu daerah di masa depan mempunyai beragam kegunaan seperti penyusunan rencana pembangunan sosial ekonomi daerah yang bersangkutan. Ada banyak model proyeksi penduduk, di antaranya adalah model pertumbuhan geometris, model eksponensial, dan model logistik. Semua model tersebut termasuk model deterministik karena tidak memperhitungkan adanya pengaruh acak antar individu. Model matematika lain yang dapat digunakan untuk memprediksi ataupun menjelaskan fenomena-fenomena dalam kehidupan kita sehari-hari adalah proses stokastik. Proses stokastik merupakan suatu model yang berkaitan dengan suatu aturan-aturan peluang. Salah satu proses stokastik yang bisa kita gunakan untuk proyeksi penduduk adalah proses kelahiran dan kematian. Pentingnya

proses

stokastik

dalam

kaitannya

dengan

masalah

pertumbuhan penduduk ditunjukkan oleh Feller (1939), dalam proses kelahiran

2

dan kematian, dengan asumsi tingkat kelahiran dan kematian adalah konstan, dilambangkan dengan λ0 dan µ0 . Proses kelahiran murni pertama kali dipelajari

oleh Yule pada tahun 1924 dan Furry pada tahun 1937 (Ricciardi, 1986). Kelemahan dari teori Yule-Furry adalah tidak diperhitungkannya peluang dari spesies yang akan punah dan mengabaikan perbedaan banyaknya spesies yang ada pada setiap populasi. Sehingga pada tahun 1939 Feller memperkenalkan suatu teori tentang proses kelahiran dan kematian (Ricciardi, 1986). Sejak saat itu, proses ini digunakan sebagai model untuk pertumbuhan populasi dan akan kita pakai sebagai dasar membuat model yang bisa digunakan untuk memproyeksi jumlah penduduk pada masa yang akan datang. Penelitian sebelumnya yang dilakukan oleh Susilawati (2005) telah membahas masalah model proses kelahiran sederhana dan model proses kematian sederhana, model proses kelahiran dan kematian, tanpa dan dengan migrasi. Namun pada model proses kelahiran dan kematian dalam penelitian Susilawati (2005) belum membahas tentang varian.

Berdasarkan hal itu, maka penulis

mencoba untuk melengkapi model tersebut dengan mencari varian pada model proses kelahiran dan kematian, tanpa dan dengan migrasi, kemudian mengaplikasikannya pada data penduduk Indonesia. 1.2 Tujuan Penelitian Adapun tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah: 1. Mengkaji model kelahiran dan kematian. 2. Mengkaji model kelahiran dan kematian dengan migrasi serta mempertimbangkan varian. 3. Mengaplikasikan model proses kelahiran dan kematian tanpa dan dengan migrasi pada data penduduk Indonesia.

3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Proses Kelahiran Murni Proses kelahiran murni merupakan proses dimana ada individu yang datang (lahir) pada suatu sistem (populasi) dan tidak pernah ada yang pergi (mati) dari sistem tersebut. Diasumsikan peluang suatu individu akan menghasilkan satu individu baru dalam interval waktu (𝑡, 𝑡 + 𝛿𝑡) adalah λ𝛿𝑡, dengan δ𝑡 yang cukup

kecil dan λ yang menunjukkan laju kelahiran, maka peluang dari seluruh populasi

yang terdiri atas 𝑋(𝑡) individu pada saat 𝑡 dengan interval waktu (𝑡, 𝑡 + 𝛿𝑡) adalah λ𝑋(𝑡) 𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡). Laju perubahan peluang pada saat t ada sebanyak 𝑛

individu, dapat dirumuskan sebagai persamaan diferensial orde satu sebagai berikut 𝑑𝑃𝑛 𝑑𝑡

= λ(𝑛 − 1)𝑃𝑛−1 (𝑡) − λ𝑛𝑃𝑛 (𝑡).

Persamaan tersebut diperoleh dengan menentukan peluang individu

pada

interval

waktu

𝑃𝑛 (𝑡 + 𝛿𝑡) = 𝑃(𝑋(𝑡 + 𝛿𝑡) = 𝑛)

(𝑡, 𝑡 + δ𝑡)

(1) dari

banyaknya

𝑛

individu.

adalah

= 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛, 𝑋(𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝑋(𝑡) = 0) + 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛 − 1, 𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑋(𝑡) = 1) + ∑𝑛𝑘=2 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛 − 𝑘, 𝑋(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑋(𝑡) = 𝑘)

= 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛)𝑃(𝑋(𝛿𝑡) − 𝑋(0) = 0) + 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛 − 1)𝑃(𝑋(𝛿𝑡) − 𝑋(0) = 1) + 𝑜(𝛿𝑡)

= 𝑃𝑛 (𝑡)𝑃0 (𝛿𝑡) + 𝑃𝑛−1 (𝑡)𝑃1 (𝛿𝑡) + 𝑜(𝛿𝑡)

= 𝑃𝑛 (𝑡)�1 − λ𝑛𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡)� + 𝑃𝑛−1 (𝑡)�λ(𝑛 − 1)𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡)� + 𝑜(𝛿𝑡)

= 𝑃𝑛 (𝑡) − 𝑃𝑛 (𝑡)λ𝑛𝛿𝑡 + 𝑃𝑛−1 (𝑡)λ(𝑛 − 1)𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡) .

Kedua ruas dibagi dengan 𝛿𝑡, maka

𝑃𝑛−1 (𝑡)λ(n − 1)δt + o(δt) − 𝑃𝑛 (𝑡)λnδt 𝑃𝑛 (𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑃𝑛 (𝑡) = 𝛿𝑡 δt 𝑃𝑛 (𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑃𝑛 (𝑡) 𝑜(𝛿𝑡) = 𝑃𝑛−1 (𝑡)λ(𝑛 − 1) − 𝑃𝑛 (𝑡)λ𝑛 + 𝛿𝑡 𝛿𝑡

Setelah dilimitkan dengan δt → 0, diperoleh persamaan (1).

4

Nilai awal 𝑃𝑛 (0) = 𝑃{𝑋(0) = 𝑛} = �

1, 𝑛 = 𝑗 , dengan 𝑗 > 0, yang 0, 𝑛 ≠ 𝑗

menunjukkan banyaknya populasi awal yang diberikan. Dengan kata lain jika 𝑗 = 0, maka proses kelahiran tidak akan terjadi.

Solusi dari persamaan (1), untuk 𝑛 = 𝑗 adalah 𝑃𝑗 (𝑡) = 𝑒 −λ𝑗𝑡 .

Untuk 𝑛 > 𝑗, diambil 𝑛 = 𝑗 + 1 sehingga diperoleh 𝑃𝑗+1 (𝑡) = 𝑗𝑒 −λ𝑗𝑡 (1 − 𝑗𝑒 −λ𝑡 ).

𝑘

� 𝑒 −λ𝑗𝑡 �1 − 𝑒 −λ𝑡 � . Untuk 𝑛 = 𝑗 + 𝑘 diperoleh 𝑃𝑗+𝑘 (𝑡) = �𝑗+𝑘−1 𝑗−1

Jika 𝑛 = 𝑗 + 𝑘 ↔ 𝑘 = 𝑛 + 𝑗, maka persamaannya menjadi sebagai berikut 𝑃𝑛 (𝑡) = �𝑗+𝑛−𝑗−1 � 𝑒 −λ𝑗𝑡 �1 − 𝑒 −λ𝑡 � 𝑗−1 � 𝑒 −λ𝑗𝑡 �1 − 𝑒 −λ𝑡 � = �𝑛−1 𝑗−1

𝑛−𝑗

𝑛−𝑗

.

(2)

Persamaan (2) merupakan sebaran binom negatif, berarti banyaknya populasi pada sebarang waktu t memiliki sebaran binom negatif dengan peluang sukses 𝑒 −λ𝑡 . Dengan 𝑝 = 𝑒 −λ𝑡 dan 𝑞 = 1 − 𝑝 maka fungsi pembangkit momennya 𝑀𝑥 (𝑡) = 𝑝 𝑗 (−𝑗)(1 − 𝑞𝑒 𝑡 )−𝑗

(3)

Turunan pertama persamaan (3) pada t = 0 adalah : 𝑀′ 𝑥 (𝑡) = 𝑝 𝑗 (−𝑗)(1 − 𝑞𝑒 𝑡 )−𝑗−1 (−𝑞𝑒 𝑡 ) = 𝑗𝑝 𝑗 𝑞𝑒 𝑡 (1 − 𝑞𝑒 𝑡 )−𝑗−1 𝑀′ 𝑥 (0) = 𝑗𝑝 𝑗 𝑞𝑒 0 (1 − 𝑞𝑒 0 )−𝑗−1 = 𝑗𝑝 𝑗 𝑞(1 − 𝑞)−𝑗−1 = 𝑗𝑝 𝑗 𝑞𝑝−𝑗−1

Turunan keduanya pada t = 0 adalah:

=

𝑗𝑞 𝑝

.

𝑀′′ 𝑥 (𝑡) = 𝑗𝑝 𝑗 𝑞𝑒 𝑡 (1 − 𝑞𝑒 𝑡 )−𝑗−1 + 𝑗𝑝 𝑗 𝑞𝑒 𝑡 (−𝑗 − 1)(1 − 𝑞𝑒 𝑡 )−𝑗−2 (−𝑞𝑒 𝑡 ) = 𝑗𝑝 𝑗 𝑞𝑒 𝑡 (1 − 𝑞𝑒 𝑡 )−𝑗−1 + 𝑗𝑝 𝑗 𝑞𝑒 𝑡 (𝑗 + 1)(1 − 𝑞𝑒 𝑡 )−𝑗−2 (𝑞𝑒 𝑡 )

𝑀′′ 𝑥 (0) = 𝑗𝑝 𝑗 𝑞𝑒 0 (1 − 𝑞𝑒 0 )−𝑗−1 + 𝑗𝑝 𝑗 𝑞𝑒 0 (𝑗 + 1)(1 − 𝑞𝑒 0 )−𝑗−2 (𝑞𝑒 0 ) = 𝑗𝑝 𝑗 𝑞(1 − 𝑞)−𝑗−1 + 𝑗𝑝 𝑗 𝑞(𝑗 + 1)(1 − 𝑞)−𝑗−2 (𝑞)

= 𝑗𝑝 𝑗 𝑞(𝑝)−𝑗−1 + 𝑗𝑝 𝑗 𝑞 2 (𝑗 + 1)(1 − 𝑞)−𝑗−2 = 𝑗𝑝−1 𝑞 + 𝑗(𝑗 + 1)𝑝−2 𝑞 2 =

𝑗𝑞 𝑝

𝑞2

+ 𝑗(𝑗 + 1) 𝑝2 .

Nilai harapan diperoleh dari turunan pertama persamaan (3) pada t = 0, sehingga

5

𝛦[𝑋(𝑡)|𝑋(0) = 𝑗] =

𝑗(1−𝑒 −𝜆𝑡 ) 𝑒 −𝜆𝑡

= 𝑗(𝑒 𝜆𝑡 − 1)

(4)

Ragam diperoleh dari turunan kedua persamaan (3) pada 𝑡 = 0 dikurangi kuadrat dari turunan pertama persamaan (3) pada 𝑡 = 0,

𝑉𝑎𝑟{𝑋(𝑡)|𝑋(0) = 𝑗} = 𝑀′′ 𝑥 (0) − 𝑀′ 𝑥 (0))2 =

=

=

𝑞2

𝑗𝑞

+ 𝑗(𝑗 + 1) 𝑝2 − ( 𝑝 )2

𝑗𝑞

+ 𝑗 𝑝2

𝑝

𝑗𝑞

𝑗𝑞 𝑞2 𝑞2 𝑗𝑞 + 𝑗 2 2 + 𝑗 2 − ( )2 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝

𝑞

𝑞2

𝑞

= 𝑗 𝑝 (1 + 𝑝) �1−𝑒 −𝜆𝑡 �

=𝑗

𝑒 −𝜆𝑡

�1 +

�1−𝑒 −𝜆𝑡 � 𝑒 −𝜆𝑡

�

= 𝑗�𝑒 𝜆𝑡 − 1�(1 + 𝑒 𝜆𝑡 − 1)

= 𝑗𝑒 𝜆𝑡 (𝑒 𝜆𝑡 − 1).

(5)

Dari hasil yang diperoleh terlihat bahwa populasi akan semakin meningkat seiring bertambahnya waktu t dengan keragaman yang semakin bervariasi. 2.2 Proses Kematian Murni Proses kematian murni adalah proses di mana ada individu yang pergi (mati) dari suatu sistem (populasi) dan tidak pernah ada yang datang (lahir) ke sistem tersebut. Proses ini menyebabkan banyaknya populasi yang ada mengalami penurunan. Diasumsikan peluang suatu individu akan mati pada interval waktu (𝑡, 𝑡 + δ𝑡) adalah µδ𝑡, dengan δ𝑡 yang cukup kecil dan µ yang menunjukkan laju

kematian, maka peluang dari seluruh populasi yang terdiri atas 𝑋(𝑡) individu pada

saat 𝑡 dengan interval waktu (𝑡, 𝑡 + δ𝑡) adalah µ𝑋(𝑡) δ𝑡 + 𝑜(δ𝑡). Laju perubahan peluang pada saat 𝑡 ada sebanyak 𝑛 individu, dapat dirumuskan sebagai

persamaan diferensial orde satu sebagai berikut 𝑑𝑃𝑛 𝑑𝑡

= µ(𝑛 + 𝑡)𝑃𝑛+1 (𝑡) − µ𝑛𝑃𝑛 (𝑡).

Persamaan tersebut didapat dengan menentukan peluang individu

pada

interval

waktu

𝑃𝑛 (𝑡 + 𝛿𝑡) = 𝑃(𝑋(𝑡 + 𝛿𝑡) = 𝑛)

(𝑡, 𝑡 + δ𝑡)

adalah

(6) dari 𝑛

banyaknya individu.

= 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛, 𝑋(𝑡 + 𝛿𝑡 − 𝑋(𝑡) = 0) + 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛 + 1, 𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡 −

6

𝑋(𝑡) − 1 + ∑𝑛𝑘=2 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛 + 𝑘, 𝑋(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑋(𝑡) = −𝑘)

= 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛)𝑃(𝑋(𝛿𝑡) − 𝑋(0) = 0) + 𝑃(𝑋(𝑡) = 𝑛 + 1)

𝑃(𝑋(𝛿𝑡) − 𝑋(0) = −1) + 𝑜(𝛿(𝑡)

= 𝑃𝑛 (𝑡)𝑃0 (𝛿𝑡) + 𝑃𝑛+1 (𝑡)𝑃−1 (𝛿𝑡) + 𝑜(𝛿𝑡)

= 𝑃𝑛 (𝑡)�1 − µ𝑛𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡)� + 𝑃𝑛+1 (𝑡)�µ(𝑛 + 1)𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡)�

= 𝑃𝑛 (𝑡) − 𝑃𝑛 (𝑡)µ𝑛𝛿𝑡 + 𝑃𝑛−1 (𝑡)�µ(𝑛 − 1)𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡)�

Kedua ruas dibagi dengan 𝛿𝑡, maka

𝑃𝑛 (𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑃𝑛 (𝑡) 𝑃𝑛+1 (𝑡)µ(𝑛 + 1)𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡) − 𝑃𝑛 (𝑡)µ𝑛𝛿𝑡 = 𝛿𝑡 𝛿𝑡 𝑃𝑛 (𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑃𝑛 (𝑡) 𝑜(𝛿𝑡) = 𝑃𝑛+1 (𝑡)λ(𝑛 + 1) − 𝑃𝑛 (𝑡)µ𝑛 + 𝛿𝑡 𝛿𝑡

Setelah dilimitkan dengan δt → 0, diperoleh persamaan (6). Nilai awal 𝑃𝑛 (0) = 𝑃{𝑋(0) = 𝑛} = �

1, 𝑛 = 𝑗 , dengan 𝑗 > 0 yang 0, 𝑛 ≠ 𝑗

menunjukkan banyaknya populasi awal yang diberikan. Solusi dari persamaan (6) untuk 𝑛 = 𝑗 adalah

𝑃𝑗 (𝑡) = 𝑒 −µ𝑗𝑡 , untuk 𝑛 < 𝑗,

ambil 𝑛 = 𝑗 − 1, sehingga diperoleh 𝑃𝑗−1 (𝑡) = 𝑗𝑒 −µ(𝑗−1)𝑡 (1 − 𝑗𝑒 −µ𝑡 ).

(7)

Nilai 𝑛≤𝑗 diambil karena pada proses kematian, banyaknya populasi semakin menurun dari waktu ke waktu.

Selanjutnya persamaan (7) dibuat dalam bentuk kombinasi, sehingga 𝑗 � (𝑒 −µ𝑡 )𝑗−1 (1 − 𝑒 −µ𝑡 )𝑗−(𝑗−1) . 𝑃𝑗−1 (𝑡) = �𝑗−1

Untuk 𝑛 = 𝑗 − 𝑘, diperoleh

𝑗 𝑃𝑗−𝑘 (𝑡) = �𝑗−𝑘 � (𝑒 −µ𝑡 )𝑗−𝑘 (1 − 𝑒 −µ𝑡 )𝑗−(𝑗−𝑘) .

Bentuk umumnya adalah, 𝑃𝑛 (𝑡)

= �𝑛𝑗 �(𝑒 −µ𝑡 )𝑛 (1 − 𝑒 −µ𝑡 )𝑗−𝑛 .

(8)

Persamaan (8) merupakan sebaran binom, berarti banyaknya populasi pada sebarang waktu t memiliki sebaran binom dan mempunyai fungsi pembangkit momen 𝑀𝑥 (𝑡) = (𝑝𝑒 𝑡 (1 − 𝑝))𝑛 , dengan 𝑝 = 𝑒 −µ𝑡 .

Turunan pertama persamaan (3) pada 𝑡 = 0 adalah : 𝑀′ 𝑥 (𝑡) = 𝑛(𝑝𝑒 𝑡 + (1 − 𝑝))𝑛−1 𝑝𝑒 𝑡

𝑀′ 𝑥 (0) = 𝑛(𝑝𝑒 0 + (1 − 𝑝))𝑛−1 𝑝𝑒 0 = 𝑛𝑝

(9)

7

Turunan keduanya pada 𝑡 = 0 adalah:

𝑛−2

𝑀′′ 𝑥 (𝑡) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑝𝑒𝑡 + (1 − 𝑝))

𝑛−1

𝑝𝑒𝑡 𝑝𝑒𝑡 + 𝑛(𝑝𝑒𝑡 + (1 − 𝑝))

𝑝𝑒𝑡

= 𝑛(𝑛 − 1)(𝑝𝑒 𝑡 + (1 − 𝑝))𝑛−2 𝑝𝑒 2 𝑒 2𝑡 + 𝑛(𝑝𝑒 𝑡 + (1 − 𝑝))𝑛−1 𝑝𝑒 𝑡 .

𝑀′′ 𝑥 (0) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑝𝑒 0 + (1 − 𝑝))𝑛−2 𝑝2 𝑒 0 + 𝑛(𝑝𝑒 0 + (1 − 𝑝))𝑛−1 𝑝𝑒 0. = 𝑛(𝑛 − 1)𝑝2 + 𝑛𝑝.

= 𝑛2 𝑝2 − 𝑛𝑝2 + 𝑛𝑝.

Nilai harapan diperoleh dari turunan pertama persamaan (9) pada 𝑡 = 0, sehingga

𝛦[𝑋(𝑡)|𝑋(0) = 𝑗] = 𝑗𝑒 −µ𝑡

Ragam diperoleh dari turunan kedua persamaan (9) pada 𝑡 = 0 dikurangi kuadrat dari turunan pertama persamaan (5) pada 𝑡 = 0,

𝑉𝑎𝑟{𝑋(𝑡)|𝑋(0) = 𝑗} = 𝑀′′ 𝑥 (0) − 𝑀′ 𝑥 (0))2

= (𝑛2 𝑝2 − 𝑛𝑝2 + 𝑛𝑝) − (𝑛𝑝)2

= 𝑛𝑝 − 𝑛𝑝2

= 𝑛𝑝(1 − 𝑝)

= 𝑗𝑒 −µ𝑡 (1 − 𝑒 −µ𝑡 ).

(10)

Terlihat bahwa banyaknya populasi dan ragamnya menurun secara eksponensial seiring bertambahnya waktu. Dapat diprediksikan populasi akan punah setelah waktu yang lama. Definisi-definisi yang diperlukan dalam pembahasan ini dapat dilihat pada Lampiran 1.

8

9

BAB III METODE PENELITIAN

3.1 Sumber Data Penelitian ini menggunakan data sekunder dan merupakan data jumlah penduduk yang ada di Indonesia. Data yang diambil adalah data hasil sensus BPS tahun 1990, 2000, 2010 dan data hasil supas BPS tahun 1995, 2005, serta data hasil proyeksi BPS selama lima belas tahun, dari tahun 2011-2025. Sumber data diambil dari hasil Sensus dan Supas BPS Indonesia (http://www.datastatistikindonesia.com/proyeksi dan http://www.bps.go.id).

3.2 Prosedur Penelitian 1. Mengkaji teori proses kelahiran dan kematian. 2. Mengkaji model proses kelahiran dan kematian dengan migrasi, dengan memasukkan unsur varian. 3. Mengevaluasi model pada data penduduk Indonesia berdasarkan data tahun 1990 terhadap data BPS 1995, 2000, 2005 dan 2010. 4. Selanjutnya berdasarkan data tahun 2000 akan di kembangkan untuk proyeksi penduduk sampai tahun 2025 dan membandingkannya dengan data hasil proyeksi BPS untuk memperoleh selang kepercayaan. 5. Berdasarkan data BPS tahun 2010, akan buat proyeksi penduduk sampai tahun 2035.

10

11

BAB IV MODEL KELAHIRAN DAN KEMATIAN

4.1

Model Kelahiran Murni Model

ini

hanya

mempertimbangkan

jumlah

kelahiran

saja

dan

mengabaikan jumlah kematian, dengan jumlah awal populasi pada waktu 𝑡 adalah 𝑋(𝑡), 𝑡 ≥ 0 dan λ menyatakan laju kelahiran. Karena 𝑀1 (𝑡) = 𝐸[𝑋(𝑡)|𝑋(0) = 𝑖]

maka akan didapatkan persamaan diferensial yang dipenuhi oleh 𝑀1 (𝑡). Sebelum mencari nilai harapan dari 𝑋(𝑡), sebagai awalan harus diingat bahwa: 𝑋(𝑡 + ℎ) = �

𝑋(𝑡) + 1 𝑋(𝑡)

, dengan peluang λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)

, dengan peluang 1 − λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)

𝐸[𝑋(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)] = (𝑋(𝑡) + 1)�λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)� + �𝑋(𝑡)��1 − λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)� = 𝑋 2 (𝑡)λℎ + λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑋(𝑡) − 𝑋 2 (𝑡)λℎ + 𝑜(ℎ) = 𝑋(𝑡) + λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)

Karena 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1 (𝑡), sehingga: 𝐸[𝐸(𝑋(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡))] 𝑀1 (𝑡 + ℎ)

= 𝐸(𝑋(𝑡)ℎ) + 𝐸(λ𝑋(𝑡)ℎ) + 𝑜(ℎ)

= 𝐸(𝑋(𝑡)) + λℎ𝐸(𝑋(𝑡)) + 𝑜(ℎ) = 𝑀1 (𝑡) + λℎ𝑀1 (𝑡) + 𝑜(ℎ)

Mengurangkan kedua ruas dengan 𝑀1 (𝑡)

𝑀1 (𝑡 + ℎ) − 𝑀1 (𝑡) = λℎ𝑀1 (𝑡) + 𝑜(ℎ)

Ruas kanan dan kiri dibagi dengan ℎ, menghasilkan 𝑀1 (𝑡+ℎ)− 𝑀1 (𝑡) ℎ

= λℎ𝑀1 (𝑡) +

Dilimitkan dengan ℎ→0, maka di peroleh = λ𝑀1 (𝑡)

𝑀′1 (𝑡) 𝑀′ 1 (𝑡)

= λ

𝑀1 (𝑡)

Kemudian diintegralkan, sehingga ∫

𝑀′ 1 (𝑡) 𝑀1 (𝑡)

𝑑𝑡 = ∫ λ 𝑑𝑡

𝑙𝑛 𝑀1 (𝑡) 𝑀′1 (𝑡)

= λ𝑡 + 𝑐

= 𝑒 λ𝑡+𝑐

= 𝑘𝑒 λ𝑡 , dengan 𝑘 = 𝑒 𝑐

𝑜(ℎ) ℎ

12

Karena 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1 (𝑡) dan 𝑀1 (0) = 𝑘 = 𝑖 maka 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1 (𝑡) = 𝑖𝑒 λ𝑡 .

Selanjutnya akan dicari varian dari model ini, dan langkah pertama adalah mencari 𝐸[𝑋 2 (𝑡)].

𝐸[𝑋 2 (𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)] = (𝑋(𝑡) + 1)2 λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑋 2 (𝑡)[1 − λ𝑋(𝑡)ℎ] + 𝑜(ℎ)

=(X 2 (t) + 2X(t) + 1)X(t)λh + X 2 (t) − X 3 (t)λh + o(h)

= 𝑋 3 (𝑡)λℎ + 2𝑋 2 (𝑡)λℎ + 𝑋(𝑡)λℎ + 𝑋 2 (𝑡) − 𝑋 3 (𝑡)λℎ + 𝑜(ℎ)

= 2𝑋 2 (𝑡)λℎ + 𝑋(𝑡)λℎ + 𝑋 2 (𝑡) + 𝑜(ℎ) = 𝑋 2 (𝑡) + λℎ�2𝑋 2 (𝑡) + 𝑋(𝑡)� + 𝑜(ℎ)

Selanjutnya dengan 𝑀2 (𝑡) = 𝐸[𝑋 2 (𝑡)] maka

𝑀2 (𝑡 + ℎ) = 𝑀2 (𝑡) + +λℎ�2𝑀2 (𝑡) + 𝑀(𝑡)� + 𝑜(ℎ)

= 2λℎ𝑀2 (𝑡) + λℎ𝑀(𝑡) + 𝑜(ℎ)

𝑀2 (𝑡 + ℎ) − 𝑀2 (𝑡)

Kedua ruas di bagi dengan ℎ dan dilimitkan dengan ℎ→0, maka diperoleh: M2 (t+h)− M2 (t) ℎ

𝑑(M2 (t)) 𝑑𝑡

𝑀′ 2 (𝑡)

= 2λ𝑀2 (𝑡) + λ𝑀𝑥 (𝑡) + = 2λ𝑀2 (𝑡) + λ𝑀𝑥 (𝑡)

𝑜(ℎ) ℎ

= 2λ𝑀2 (𝑡) + 𝑖λ𝑒 λ𝑡

Mengurangkan kedua ruas dengan 2λ𝑀2 (𝑡), sehingga diperoleh: 𝑀′2 (𝑡) − 2λ𝑀2 (𝑡) = 𝑖 λ𝑒 λ𝑡

Selanjutnya mengalikan kedua ruas dengan 𝑒 −2λ𝑡 sehingga diperoleh 𝑒 −2λ𝑡 {𝑀′2 (𝑡) − 2λ𝑀2 (𝑡)} = 𝑖λ𝑒 −λ𝑡 𝑑

𝑑𝑡

{𝑒 −2λ𝑡 𝑀2 (𝑡)}

= 𝑖 λ 𝑒 − λ𝑡

Kemudian kedua ruas diintegralkan ∫ 𝑑(𝑒 −2λ𝑡 𝑀2 (𝑡)) = ∫ 𝑖λ𝑒 −λ𝑡 𝑑𝑡 𝑒 −2λ𝑡 𝑀2 (𝑡)

𝑖λ

= − λ 𝑒 − λ𝑡 + 𝑐 𝑖λ

𝑀2 (𝑡)

= −λ 𝑒 −λ𝑡 + 𝑐 𝑒 2λ𝑡

dan 𝑉𝑎𝑟 𝑋(𝑡)

=

Di lain pihak, 𝑀2 (0) = 𝐸(𝑋 2 (0) = 𝑖 2 , sehingga akan diperoleh 𝐶 = 𝑖 2 + 1, 𝐸(𝑋 2 (𝑡)) − 𝐸(𝑋(𝑡))2

=

𝑀2 (𝑡) – (𝑀(𝑡))2

=

𝑖𝑒 λ𝑡 (𝑒 λ𝑡 − 1)

=

�−𝑖𝑒 −λ𝑡 + (𝑖 2 + 𝑖)𝑒 2λ𝑡 � − (𝑖 2 𝑒 2λ𝑡 )

13

Model dengan pendekatan kedua ini mempunyai kemiripan dengan model (4), dengan jumlah penduduk pada saat 𝑡 adalah 𝑖(𝑒 𝜆𝑡 − 1) dan varian 𝑖𝑒 λ𝑡 �𝑒 λ𝑡 − 1�.

Perbedaannya adalah bahwa pada model yang dihitung adalah jumlah penduduk pada saat t, sedangkan pada model (4) hanya menghitung pertambahannya saja. Selanjutnya dengan menggunakan pendekatan kedua, dibuat model berikutnya, yang merupakan kombinasi dari proses kelahiran dan kematian.

4.2

Model Kelahiran Dan Kematian tanpa Migrasi Laju pertumbuhan penduduk dipengaruhi oleh proses kelahiran dan

kematian, keduanya tidak dapat dipisahkan, karena memberikan pengaruh pada pertumbuhan

penduduk secara bersamaan. Kedua proses tersebut sekarang

dikombinasikan menjadi satu dengan tingkat kelahiran 𝜆 dan tingkat kematian 𝜇. Untuk mendapatkan nilai harapan dari 𝑋(𝑡), dengan 𝑡 ≥ 0, sebagai awalan harus diingat bahwa:

𝑋(𝑡) + 1, dengan peluang λ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ) 𝑋(𝑡 + ℎ)=�𝑋(𝑡) − 1, dengan peluang µ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ) 𝑋(𝑡), dengan peluang 1 − ( λ + µ)𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)

𝐸[𝑋(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)]

= λ𝑋 2 (𝑡)ℎ + λ𝑋(𝑡)ℎ + µ𝑋 2 (𝑡)ℎ − µ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑋(𝑡) −( λ + µ)𝑋 2 (𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)

= ( λ + µ)𝑋 2 (𝑡)ℎ + ( λ − µ)𝑋(𝑡)ℎ + 𝑋(𝑡)

−( λ + µ)𝑋 2 (𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)

= 𝑋(𝑡) + ( λ − µ)𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ)

Karena 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1 (𝑡), sehingga: 𝐸[𝐸(𝑋(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡))] 𝑀1 (𝑡 + ℎ)

= 𝐸(𝑋(𝑡) + ( λ − µ)𝐸(𝑋(𝑡)ℎ) + 𝑜(ℎ)

= 𝐸(𝑋(𝑡) + ( λ − µ)ℎ𝐸�𝑋(𝑡)� + 𝑜(ℎ) = 𝑀1 (𝑡) + ( λ − µ)ℎ𝑀1 (𝑡)) + 𝑜(ℎ)

Mengurangkan kedua ruas dengan 𝑀1 (𝑡)

𝑀1 (𝑡 + ℎ) − 𝑀1 (𝑡) = ( λ − µ)ℎ𝑀1 (𝑡) + 𝑜(ℎ)

Ruas kanan dan kiri dibagi dengan h, menghasilkan 𝑀1 (𝑡+ℎ)− 𝑀1 (𝑡) ℎ

= ( λ − µ)𝑀1 (𝑡)) +

Dilimitkan dengan ℎ→0, maka di peroleh 𝑀′1 (𝑡)

= ( λ − µ)𝑀1 (𝑡)

𝑜(ℎ) ℎ

14

𝑀′ 1 (𝑡)

= ( λ − µ)

𝑀1 (𝑡)

Kemudian diintegralkan, sehingga ∫

𝑀′ 1 (𝑡) 𝑀1 (𝑡)

𝑑𝑡 = ∫( λ − µ) 𝑑𝑡

ln 𝑀1 (𝑡) 𝑀1 (𝑡)

= ( λ − µ)𝑡 + 𝑐

= 𝑒 ( λ−µ)𝑡+𝑐 = 𝑘𝑒 ( λ−µ)𝑡

𝑀1 (𝑡)

Karena 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1 (𝑡) dan 𝑀1 (0) = 𝑘 = 𝑖 maka 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1 (𝑡) = 𝑖𝑒 (λ−µ)𝑡

Selanjutnya kita akan mencari varian dari model ini, dan langkah pertama

adalah mencari 𝐸[𝑋 2 (𝑡)].

𝐸[𝑋 2 (𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)] = (𝑋(𝑡) + 1)2λ𝑋(𝑡)ℎ + (𝑋(𝑡) − 1)2 µ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑋 2 [1 − (λ + µ)𝑋(𝑡)ℎ] + 𝑜(ℎ)

= (𝑋 2 (𝑡) + 2𝑋(𝑡) + 1)𝑋(𝑡)λℎ + (𝑋 2 (𝑡) − 2𝑋(𝑡) − 1) 𝑋(𝑡)µℎ + 𝑋 2 (𝑡)(1 − 𝑋(𝑡)λℎ − 𝑋(𝑡)µℎ + 𝑜(ℎ)

= 𝑋 3 (𝑡)λℎ + 2𝑋 2 (𝑡)λℎ + 𝑋(𝑡)λℎ + 𝑋 2 (𝑡) − 𝑋 3 (𝑡)λℎ + 𝑜(ℎ)

= 𝑋 2 (𝑡) + 2(λ − µ)ℎ𝑋 2 (𝑡) + (λ + µ)ℎ𝑋(𝑡) + 𝑜(ℎ).

Dengan 𝑀2 (𝑡) = 𝐸[𝑋 2 (𝑡)] maka

𝑀2 (𝑡) + 2(λ − µ)ℎ𝑀2 (𝑡) + (λ + µ)ℎ𝑀1 (𝑡) + 𝑜(ℎ).

𝑀2 (𝑡 + ℎ) =

Kurangkan kedua ruas dengan 𝑀2 (𝑡) , sehingga 𝑀2 (𝑡 + ℎ) − 𝑀2 (𝑡)

= 2(λ − µ)ℎ𝑀2 (𝑡) + (λ + µ)ℎ𝑀1 (𝑡) + 𝑜(ℎ).

Kedua ruas di bagi dengan ℎ dan dilimitkan dengan h→0, maka diperoleh: 𝑀2 (𝑡+ℎ)− 𝑀2 (𝑡)

= 2(λ − µ)𝑀2 (𝑡) + (λ + µ)𝑀1 (𝑡) +

ℎ

𝑑(𝑀2 (𝑡)) 𝑑𝑡

= 2(λ − µ)𝑀2 (𝑡) + (λ + µ)𝑀1 (𝑡).

𝑜(ℎ) ℎ

Terdapat dua kasus yang perlu diperhatikan, yaitu 𝜆 ≠ 𝜇 dan 𝜆 = 𝜇. 1. λ ≠ µ

Dari penghitungan sebelumnya diketahui bahwa (𝑡) = 𝑖𝑒 (λ−µ)𝑡 , maka: 𝑑(M2 (t)) 𝑑𝑡


= 2(λ − µ)M2 (t) + (λ + µ)𝑖𝑒 (λ−µ)𝑡

- 2(λ − µ)M2 (t)

= (λ + µ)𝑖𝑒 (λ−µ)𝑡

Selanjutnya dikalikan kedua ruas dengan 𝑒 −2(λ−µ)𝑡 lalu diintegralkan, 𝑒 2(λ−µ)𝑡 {


- 2(λ − µ)M2 (t)}={ (λ + µ)𝑖𝑒 (λ−µ)𝑡 }𝑒 −2(λ−µ)𝑡

15

𝑑

𝑑𝑡

{𝑒 −2(λ−µ)𝑡 𝑀2 (𝑡)}

=

(λ + µ)ie(µ−λ)t

=

𝑖(λ+µ)

∫ 𝑑(𝑒 −2(λ−µ)𝑡 𝑀2 (𝑡))

=

𝑀2 (𝑡)

=

𝑒 −2(λ−µ)𝑡 𝑀2 (𝑡)

∫(λ + µ)𝑖𝑒 (µ−λ)𝑡 𝑑𝑡 µ−λ

𝑒 (µ−λ)𝑡 + 𝑐

𝑖(λ+µ)

(µ−λ)𝑒 −2(λ−µ)𝑡

𝑖(λ+µ)

=

(µ−λ)

𝑒 (µ−λ)𝑡 + 𝑐𝑒 2(λ−µ)𝑡

𝑒 (λ−µ)𝑡 + 𝑐𝑒 2(λ−µ)𝑡

Dengan 𝑀2 (𝑡) = i2, dan dievaluasi pada 𝑡 = 0, maka: 𝑀2 (0) = 𝑖2 𝑐

=

𝑖(λ+µ) (µ−λ)

i(λ+µ) µ −λ

= 𝑖2 −

Sehingga didapatkan: 𝑀2 (𝑡) =

𝑒 (λ−µ).0 + 𝑐 𝑒 2(λ−µ).0 +c

𝑖(λ+µ) µ −λ

𝑖(λ+µ) (λ−µ)t e (µ−λ)

+ [𝑖 2 −

i(λ+µ) µ−λ

] 𝑒 2(λ−µ)𝑡

dan diperoleh Varian dari X(t) sebagai berikut: 𝑉𝑎𝑟 𝑋(𝑡)

=

𝐸(𝑋 2 (𝑡)) − 𝐸(𝑋(𝑡))2

=

𝑀2 (𝑡) − (𝑀1 (𝑡))2

=

𝑖(λ+µ)

=

𝑖(λ+µ)

=

=


µ −λ

𝑖(λ+µ) µ −λ µ −λ

𝑒 (λ−µ)𝑡 + �𝑖 2 −

𝑒 (λ−µ)𝑡 + �𝑖 2 − 𝑒 (λ−µ)𝑡 + � 𝑒 (λ−µ)𝑡 −



� 𝑒 2(λ−µ)𝑡 − [𝑖𝑒 (λ−µ)𝑡 ]2

� 𝑒 2(λ−µ)𝑡 − 𝑖 2 𝑒 2(λ−µ)𝑡

𝑖 2 (µ−λ)−𝑖(λ+µ)−𝑖 2 (µ−λ)

𝑖(λ+µ)

2. Untuk λ = µ

µ −λ

µ−λ

𝑒 2(λ−µ)𝑡 .

� 𝑒 2(λ−µ)𝑡

Dari penghitungan sebelumnya diketahui bahwa 𝑀1 (𝑡)= 𝑖𝑒 (λ−µ)𝑡 . Jika λ = µ

maka 𝑀1 (𝑡)=𝑖 𝑑(𝑀2 (𝑡)) 𝑑𝑡

= (λ + µ)𝑖

𝑑(𝑀2 (𝑡)) =(λ + µ)𝑖 𝑑𝑡

Selanjutnya diintegralkan kedua ruas ∫ 𝑑 (𝑀2 (𝑡)) = ∫(λ + 𝜇)𝑖 𝑑𝑡

16

𝑀2 (𝑡)

= (λ + 𝜇)𝑖 + 𝑐

Dengan 𝑀2 (0) = 𝑖 2 , dan dievaluasi pada 𝑡 = 0, maka 𝑀2 (0)

= (λ + 𝜇)𝑖 + 𝑐

c

= 𝑖 2 − (λ + 𝜇)𝑖

𝑖2

= (λ + 𝜇)𝑖 + 𝑐

Sehingga didapatkan: 𝑀2 (𝑡)

𝑀2 (𝑡)

= (λ + 𝜇)𝑖 + 𝑖 2 − (λ + 𝜇)𝑖 = 𝑖2

dan diperoleh varian dari 𝑋(𝑡) sebagai berikut: 𝑉𝑎𝑟 𝑋(𝑡) =

𝐸(𝑋 2 (𝑡)) − 𝐸(𝑋(𝑡))2

=

𝑀2 (𝑡) – (𝑀1 (𝑡))2

=

0

=

𝑖2 − 𝑖2

Jika tingkat kelahiran seimbang dengan tingkat kematian, maka pada akhirnya jumlah penduduk akan konstan.

4.3

Model Kelahiran dan Kematian dengan Migrasi Untuk mendapatkan nilai harapan dari 𝑋(𝑡), dengan 𝑡 ≥ 0, sebagai awalan

harus diingat bahwa:

𝑋(𝑡) + 1, dengan peluang (λ𝑋(𝑡) + 𝜃)ℎ + 𝑜(ℎ) 𝑋(𝑡 + ℎ)=� 𝑋(𝑡) − 1, dengan peluang µ𝑋(𝑡)ℎ + 𝑜(ℎ) 𝑋(𝑡), dengan peluang 1 − ( λ + µ)𝑋(𝑡) + 𝜃)ℎ + 𝑜(ℎ)

Memakai cara yang sama dengan model sebelumnya, maka akan didapat nilai harapan sebagai berikut:

𝐸[𝑋(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)] = 𝑋(𝑡) + (( λ − µ)𝑋(𝑡) + 𝜃)ℎ + 𝑜(ℎ) Karena 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1 (𝑡), sehingga 𝑀1 (𝑡) = 𝑘𝑒 ( λ−µ)𝑡

Karena 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1 (𝑡), 𝑀1 (0) = 𝑘 = 𝑖 maka,

.

= 𝑘𝑒 ( λ−µ)𝑡 + 𝜃𝑡

𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑀1 (𝑡) = 𝑖𝑒 (λ−µ)𝑡 + 𝜃𝑡.

Selanjutnya kita akan mencari varian dari model ini, dan langkah pertama adalah mencari 𝐸[𝑋 2 (𝑡)].

𝐸[𝑋 2 (𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)] = 𝑋 2 (𝑡) + 2(λ − µ)ℎ𝑋 2 (𝑡) + (λ + µ + 2𝜃)ℎ𝑋(𝑡) +𝜃ℎ + 𝑜(ℎ)

17

Karena 𝑀2 (𝑡) = 𝐸[𝑋 2 (𝑡)] maka,

𝑀2 (𝑡) + 2(λ − µ)ℎ𝑀2 (𝑡) + (λ + µ + 2𝜃)ℎ𝑀1 (𝑡) + 𝜃ℎ + 𝑜(ℎ)

𝑀2 (𝑡 + ℎ) =

Kurangkan kedua ruas dengan 𝑀2 (𝑡) , sehingga

= 2(λ − µ)ℎ𝑀2 (𝑡) + (λ + µ + 2𝜃)ℎ𝑀1 (𝑡) + 𝜃ℎ + 𝑜(ℎ)

𝑀2 (𝑡 + ℎ) − 𝑀2 (𝑡)

Kedua ruas di bagi dengan ℎ dan dilimitkan dengan h→0, maka diperoleh: 𝑑(𝑀2 (𝑡)) 𝑑𝑡

= 2(λ − µ)𝑀2 (𝑡) + (λ + µ + 2𝜃)𝑀1 (𝑡) + 𝜃

Terdapat dua kasus yang perlu diperhatikan, yaitu 𝜆 ≠ 𝜇 dan 𝜆 = 𝜇. 1. λ ≠ µ

Dari penghitungan sebelumnya diketahui bahwa 𝑀𝑥 (𝑡) = 𝑖𝑒 (λ−µ)𝑡 + 𝜃𝑡 , maka: 𝑑(𝑀2 (𝑡)) 𝑑𝑡

= (λ + µ + 2𝜃)𝑖𝑒 (λ−µ)𝑡 + 𝜃𝑡 + 𝜃

- 2(λ − µ)𝑀2 (𝑡)

Menggunakan cara yang sama dengan sebelumnya, maka diperoleh, 𝑀2 (𝑡) =

𝑖(λ+µ+2𝜃)

µ− λ

1

𝑒 (µ−λ)𝑡 + (2 𝜃𝑡 2 + 𝜃𝑡 + 𝐶) 𝑒 2(λ−µ)𝑡

Selanjutnya karena 𝑀2 (𝑡) = 𝑖 2 , dan dievaluasi pada t=0, maka: C

= 𝑖2 −

𝑖(λ+µ+2𝜃)


=

𝑉𝑎𝑟 𝑋(𝑡)

=

µ− λ

𝑖(λ+µ+2𝜃)

µ −λ

1

𝑒 (λ−µ)𝑡 + [2 𝜃𝑡 2 + 𝜃𝑡 + 𝑖 2 −

dan diperoleh varian dari 𝑋(𝑡)sebagai berikut: = = 2. Untuk λ = µ

𝑖(λ+µ+2𝜃)

µ −λ

] 𝑒 2(λ−µ)𝑡

𝐸(𝑋 2 (𝑡)) − 𝐸(𝑋(𝑡))2 𝑀2 (𝑡) − (𝑀1 (𝑡))2 𝑖(λ+µ+2𝜃) (µ−λ)𝑡 𝑒 µ− λ

1

+ �2 𝜃𝑡 2 + 𝜃𝑡 −

2𝜃𝑡𝑖𝑒 (λ−µ)𝑡 + 𝜃 2 𝑡 2

𝑖(λ+µ+2𝜃)

µ− λ

� 𝑒 2(λ−µ)𝑡 +

Dari penghitungan sebelumnya diketahui bahwa 𝑀𝑥 (𝑡)= 𝑘𝑒 (λ−µ)𝑡 . Jika λ = µ

maka 𝑀𝑥 (𝑡)=𝑘 𝑑(𝑀2 (𝑡)) 𝑑𝑡

= (λ + µ)𝑘

𝑑(𝑀2 (𝑡)) =(λ + µ)𝑘 𝑑𝑡

Selanjutnya diintegralkan kedua ruas, sehingga:

18

∫ 𝑑 (𝑀2 (𝑡)) = ∫(λ + 𝜇)𝑘 𝑑𝑡 𝑀2 (𝑡)

= (λ + 𝜇)𝑘 + 𝐶

𝑀2 (0)

= (λ + 𝜇)𝑖 + 𝐶

C

= 𝑖 2 − (λ + 𝜇)𝑖

Dengan 𝑀2 (0) = 𝑖 2 , dan dievaluasi pada 𝑡 = 0, maka 𝑖2

= (λ + 𝜇)𝑖 + 𝐶


𝑀2 (𝑡)

= (λ + 𝜇)𝑖 + 𝑖 2 − (λ𝑝 + 𝜇)𝑖 =

𝑖2

dan diperoleh varian dari 𝑋(𝑡) sebagai berikut: 𝑉𝑎𝑟 𝑋(𝑡) = =

=

=

𝐸(𝑋 2 (𝑡)) − 𝐸(𝑋(𝑡))2 𝑀2 (𝑡) – (𝑀𝑥(𝑡))2 𝑖2 − 𝑖2

0

Jika λ = µ , artinya tingkat kelahiran seimbang dengan tingkat kematian dan pada akhirnya jumlah penduduk akan konstan.

19

BAB V APLIKASI MODEL

5.1 Model Kelahiran Murni Pada bab sebelumnya telah diperoleh model kelahiran murni dengan 𝐸[𝑋(𝑡)] = 𝑖𝑒 λ𝑡 dan 𝑉𝑎𝑟 𝑋(𝑡) = 𝑖𝑒 λ𝑡 (𝑒 λ𝑡 − 1). Selanjutnya akan diaplikasikan

pada data penduduk Indonesia, dan mengambil λ = 0,0257 yang merupakan angka kelahiran kasar (CBR) data BPS tahun 1990. Sedangkan angka kematian dan migrasi di anggap tidak ada. Hasil proyeksi yang diperoleh disajikan pada Tabel 1.

Tabel 1 Hasil simulasi model kelahiran murni dari tahun 1990 -2010 Tahun

Jumlah penduduk ( data BPS)

1990 1995 2000 2005 2010

179.378.946 194.754.808 205.132.458 218.868.791 237.641.326

Jumlah penduduk (model) 179.378.946 203.975.642 231.945.072 263.749.709 299.915.444

Batas bawah

Batas atas

179.378.946 203.965.276 231.928.913 231.928.914 231.928.915

179.378.946 203.986.007 231.961.231 263.771.540 299.943.269

|Error| (%) 0 4,73 13,07 20,51 26,21

Berdasarkan hasil pada tabel tersebut, dapat dilihat bahwa jika dibandingkan dengan data penduduk riil tahun 1995-2000, tingkat kesalahan yang diperoleh semakin membesar seiring bertambahnya waktu. Hal ini adalah wajar dalam sebuah proyeksi, karena dengan semakin bertambahnya waktu berarti jarak tahun yang diproyeksi terhadap angka awal yang diambil semakin besar. Hasil selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 2.

5.2 Model Kelahiran dan Kematian tanpa Migrasi Selanjutnya dilakukan proyeksi berdasarkan data BPS tahun 1990 dengan λ = 0,0257 dan 𝜇 = 0,007, yang merupakan angka kelahiran kasar (CBR) dan

angka kematian kasar (CDR), sedangkan angka migrasi dianggap tidak ada. Hasil

proyeksi yang diperoleh disajikan pada Tabel 2.

20

Tabel 2 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian tanpa migrasi dari tahun 1990- 2010

Tahun 1990 1995 2000 2005 2010

Jumlah penduduk ( data BPS) 179.378.946 194.754.808 205.132.458 218.868.791 237.641.326


Batas bawah 179.378.946 196.948.597 216.246.868 237.437.605 260.705.778

Batas atas 179.378.946 196.971.372 216.281.435 237.483.058 260.762.146

|Error| (%) 0 1,13 5,43 8,49 9,72

Berdasarkan hasil pada tabel tersebut, pada saat dibandingkan dengan data hasil BPS tingkat kesalahan yang diperoleh semakin membesar seiring bertambahnya waktu. Tetapi tingkat kesalahannya masih lebih kecil jika dibandingkan dengan model sebelumnya, karena pada model ini sudah dikombinasi antara kelahiran dan kematian. Hasil selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 3.

5.3 Model Kelahiran dan Kematian dengan Migrasi Selanjutnya dilakukan proyeksi berdasarkan data BPS tahun 1990 dengan

λ = 0,0257 , 𝜇 = 0,007 , dan 𝑟 = 0,0136. Angka migrasi (𝜃) diduga dengan cara 𝜃 = 𝑟 − λ + 𝜇, sehingga diketahui 𝜃 = −0,0015. Hasil proyeksi yang diperoleh disajikan pada Tabel 3.

Tabel 3 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian dengan migrasi dari tahun 1990- 2010 Tahun 1990 1995 2000 2005 2010

Jumlah penduduk ( data BPS) 179.378.946 194.754.808 205.132.458 218.868.791 237.641.326


Batas bawah

Batas atas

179.306.164 196.883.719 216.184.237 237.376.592 260.646.214

179.451.728 197.036.249 216.344.067 237.544.072 260.821.709

|Error| (%) 0 1,13 5,43 8,49 9,72

Tingkat kesalahan yang diperoleh model ini tidak jauh berbeda dengan model kelahiran dan kematian tanpa migrasi. Hal ini karena nilai migrasi di Indonesia yang sangat kecil. Hasil selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 4.

21

5.4 Proyeksi Penduduk Menggunakan Data BPS Tahun 2000 Selanjutnya dilakukan proyeksi berdasarkan data BPS tahun 2000 dengan

λ = 0,0206,

𝜇 = 0,007, dan 𝜃 = 0. Hasil penghitungan dapat dilihat pada

Gambar 1, dan hasil penghitungan lengkap dapat dilihat pada Lampiran 5. 350,000,000 300,000,000

Jumlah Penduduk

250,000,000 200,000,000 Proyeksi BPS 150,000,000

Model

100,000,000 50,000,000 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2015 2017 2019 2021 2023 2025 Tahun

Gambar 1 Perbandingan antara data hasil proyeksi memakai model dengan data proyeksi BPS tahun 2000-2025 Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa semakin bertambahnya tahun proyeksi, selisih antara data hasil proyeksi memakai model dan data hasil proyeksi BPS semakin besar.

5.5 Proyeksi Penduduk Menggunakan Data BPS Tahun 2010 Data hasil sensus terakhir yang ada di Indonesia adalah data tahun 2010, maka akan dilakukan proyeksi berdasarkan data tahun 2010 tersebut. Dengan

λ = 0,0184, 𝜇 = 0,0063 , dan 𝑟 = 0,0122 dimana 𝑟 merupakan angka laju

pertumbuhan penduduk dan digunakan untuk mencari angka migrasi, sehingga

22

diketahui 𝜃 = 0,0001. Hasil penghitungan dapat dilihat pada Gambar 2, dan hasil penghitungan lengkap dapat dilihat pada Lampiran 6. 350,000,000 300,000,000

Jumlah Penduduk

250,000,000 200,000,000 Model

150,000,000 100,000,000 50,000,000 -

2010 2012 2015 2017 2019 2021 2023 2025 2027 2029 2031 2033 2035 Tahun

Gambar 2 Proyeksi memakai model dengan data hasil proyeksi BPS tahun 2010 Dari Gambar 2 dapat dilihat bahwa jumlah penduduk Indonesia diprediksi akan semakin meningkat dari tahun 2010-2035. Selanjutnya seperti disajikan pada Lampiran 6, proyeksi penduduk tahun 2015, 2020, 2025, 2030 dan 2035 berturut turut mempunyai hasil 252.462.445; 268.207.921; 284.935.404; 302.706.141 dan 321.585.196; [268.185.287;

dengan

selang

268.230.554],

kepercayaan

[252.446.931;

252.477.958],

[284.906.789;

284.964.020],

[302.672.011;

302.740.271] dan [321.545.757; 321.624.634].

23

BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN 6.1 Kesimpulan 1. Kelebihan dari model kelahiran dan kematian dengan migrasi yang dibahas dalam tulisan ini mampu memberikan selang kepercayaan, di samping memberikan nilai estimasinya. 2. Setelah diaplikasikan pada data sebenarnya, model ini memberikan tingkat kesalahan dibawah 10% dibandingkan dengan data sebenarnya dalam jangka waktu 20 tahun. 3. Berdasarkan data tahun 2000, dapat dibuat proyeksi penduduk Indonesia sampai tahun 2025. Hasil dari proyeksi ini memberikan selisih dibawah 6% dibandingkan dengan proyeksi dari BPS.

6.2 Saran Dalam penelitian ini, penulis tidak memisahkan antara laki-laki dan perempuan, selanjutnya disarankan untuk diadakan penelitian lebih lanjut dengan memisahkan antara laki-laki dan perempuan.

24

25

DAFTAR PUSTAKA

Adioetomo SM & Samosir OB. 2010. Dasar-dasar Demografi. Lembaga Demografi, Jakarta. Bain LJ & Engelhart M. 2001. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. Oxford University Press, USA. Bappenas. 2005. Jakarta

Proyeksi Penduduk Indonesia 2000-2025. BPS-Bappenas, (http://www.bps.go.id

dan

http://www.

Datastatistik-

Indonesia.com/proyeksi) [23 Juli 2012] Farlow SJ. 2006. An Intoduction to Differential Equation and their Aplication. Dover Publication, New York. Grimmet GR. & Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. 3rd Ed. Oxford University Press, USA. Hogg RV, Mc Kean JW, & Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistic. 6th Ed. Pearson Education, Michigan. Ricciardi LM. 1986. Stochastic Population Theory: Birth and Death Processes Mathematical Ecology an Introduction. Springer-Verlag. Berlin. Ross SM. 1996. Stochastic Processes. 2nd Ed. John Wiley & Sons, Inc, New York. Susilawati W. 2005. Pemodelan stokastik suatu populasi dengan proses kelahiran

dan kematian. [Skripsi] Bogor : Program Sarjana, Institut

Pertanian Bogor. Taylor HM. 1998. An Introduction to Stochastic Modeling. 3th Ed. Academic Press, New York . United Nations. 1983. Manual x : Indirect techniques for demographic estimation. NewYork.

LAMPIRAN

27

Lampiran 1 Definisi-definisi Definisi 1 Sensus Penduduk Sensus Penduduk adalah suatu proses pengumpulan, pengolahan, dan penyajian data kependudukan termasuk ciri-ciri sosial ekonominya yang dilaksanakan dalam suatu

waktu tertentu terhadap semua orang dalam suatu negara atau suatu

teritorial tertentu. [Lembaga Demografi FE UI 2010] Definisi 2 Survei Survei adalah suatu kegiatan yang berhubungan dengan suatu metode pengumpulan data. Dalam bidang kependudukan, survei dilakukan untuk memperoleh data yang terperinci dan spesifik serta untuk memenuhi kebutuhan antar sensus (Survei Penduduk Antar Sensus atau SUPAS). [Lembaga Demografi FE UI 2010]

Definisi 3 Percobaan Acak Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan, yang biasanya dilakukan dalam kondisi yang sama. Walaupun dapat mengetahui semua kemungkinan hasil yang akan muncul, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama semacam ini, disebut percobaan acak. [Hogg , Mc Kean & Craig 2005]

Definisi 4 Ruang Contoh dan Kejadian Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω.. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang contoh Ω. [Grimmet & Stirzaker 2001]

Definisi 5 Medan-σ dan Peubah Acak Medan-σ adalah suatu himpunan Ƒ yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, serta memenuhi kondisi berikut: 1. φ ∈ Ƒ.

28

2. Jika A1, A2, … 𝜖 Ƒ maka ⋃∞ 𝑖=1 𝐴𝑖 𝜖 Ƒ. 3. Jika A 𝜖 Ƒ, maka Ac ∈ Ƒ.

Suatu peubah acak X adalah

suatu fungsi X : Ω → R dengan sifat bahwa

{𝑤 ∈ Ω; X(w) ≤ x} ∈ Ƒ, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅

[Grimmet & Stirzaker 2001]

Definisi 6 Ukuran Peluang Ukuran peluang adalah suatu fungsi 𝑃: Ƒ → [0,1] pada (Ω, Ƒ) yang memenuhi: 1. 𝑃(∅) = 0, 𝑃(Ω) = 1

2. Jika A1, A2, … ∈ Ƒ adalah himpunan saling lepas, yaitu 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅ untuk ∞ setiap pasangan i≠j, maka 𝑃�⋃∞ 𝑖=1 𝐴𝑖 � = ∑𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖 ). Pasangan (Ω, Ƒ, 𝑃)

disebut ruang peluang.


Definisi 7 Kejadian Saling Bebas Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) . Secara umum, himpunan kejadian {𝐴𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼} dikatakan saling bebas jika 𝑃�⋂𝑖𝜖𝐽 𝐴𝑖 � = ∏𝑖∈𝐽 𝑃(𝐴𝑖 ), untuk setiap himpunan bagian berhingga J dari I.


Definisi 8 Peubah Acak Diskret Jika himpunan nilai semua kemungkinan dari peubah acak X adalah himpunan yang dapat dicacah, maka X disebut peubah acak diskret.

[Bain & Engelhardt 2001]

Definisi 9 Peubah Acak Kontinu Suatu peubah acak X disebut kontinu jika fungsi sebarannya dapat dinyatakan 𝑥

sebagai 𝐹𝑋 (𝑥) = ∫−∞ 𝐹𝑋 (𝑢)𝑑𝑢 , 𝑥 ∈ 𝑅, dengan 𝑓: 𝑅 → [0, ∞) adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X.


29

Definisi 10 Fungsi Kerapatan Peluang Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi 𝑃: 𝑅 → [0,1]

yang diberikan oleh 𝑃𝑋 (𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥).


Definisi 11 Nilai Harapan Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang 𝑃𝑋 (𝑥), maka

nilai harapan dari X adalah: 𝑬[𝑋] = ∑𝑥 𝑥𝑝𝑋 (𝑥) dengan syarat jumlahnya

konvergen. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang ∞

𝐹𝑋 (𝑥), maka nilai harapan dari X adalah: 𝐄[𝑋] = ∫−∞ 𝑥𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥, dengan syarat integral tersebut konvergen mutlak.


Definisi 12 Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak Misalkan X dan Y adalah peubah acak, fungsi sebaran bersama dari X dan Y

adalah 𝐹𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥, 𝑌 ≤ 𝑦 ).


Definisi 13 Fungsi Kepekatan Peluang Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret dengan fungsi kepekatan peluang bersama 𝑃𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦), maka fungsi kerapatan peluang bersyarat dari X dengan syarat

Y=y adalah 𝑝𝑋|𝑌 (𝑥|𝑦) =

𝑝𝑋,𝑌 (𝑥,𝑦) 𝑝𝑌 (𝑦)

, dengan syarat 𝑝𝑌 (𝑦) > 0.


Definisi 14 Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersama 𝐹𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦), maka fungsi peluang bersyarat dari X dengan syarat Y=y

adalah 𝑓𝑋|𝑌 (𝑥|𝑦) =

𝑓𝑋,𝑌 (𝑥,𝑦) 𝑓𝑌 (𝑦)

, dengan syarat 𝑓𝑌 (𝑦) > 0.


30

Definisi 15 Nilai Harapan Bersyarat Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dan 𝑓𝑋|𝑌 (𝑥|𝑦) adalah fungsi

kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat Y =y. Nilai harapan dari X ∞

dengan syarat Y=y adalah 𝐸[𝑋|𝑌 = 𝑦] = ∫−∞ 𝑥 𝑓𝑋|𝑌 (𝑥|𝑦)𝑑𝑥.

Jika X dan Y

adalah peubah acak diskret dengan 𝑃𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦), adalah fungsi kerapatan peluang bersyarat dari X dengan Syarat Y=y, maka nilai harapan dari X dengan syarat Y=y

adalah 𝐸[𝑋|𝑌 = 𝑦] = ∑𝑥 𝑥 𝑝𝑋|𝑌 (𝑥|𝑦).

[Hogg , Mc Kean & Craig 2005]

Definisi 16 Fungsi Pembangkit Suatu barisan bilangan real 𝑎 = {𝑎𝑖 , 𝑖 = 0, 1, 2, … } berisi banyak informasi. Cara

singkat untuk menceritakan semua informasi yang ada pada bilangan-bilangan tersebut secara bersamaan dinyatakan dalam suatu fungsi pembangkit. Fungsi

pembangkit dari barisan 𝑎 adalah fungsi 𝐺𝑎 yang didefinisikan oleh 𝑖 𝐺𝑎 (𝑠) = ∑∞ 𝑖=0 𝑎𝑖 𝑠 , untuk 𝑠 ∈ 𝑅 jika jumlahnya konvergen. Barisan 𝑎 dapat

dibentuk dari fungsi 𝐺𝑎 , dengan membuat 𝑎𝑖 = turunan ke 𝑖 dari fungsi 𝐺.

(𝑖)

𝐺𝑎 (0) 𝑖!

(𝑖)

, dimana fungsi 𝐺𝑎 adalah

[Grimmett & Stirzaker 2001]

Definisi 17 Varian Varian dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X

dengan

nilai

harapannya.

Secara

𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))2 ].

matematis

dinyatakan sebagai


Definisi 18 Fungsi Pembangkit Momen Jika 𝑋 adalah peubah acak, maka 𝑀𝑋 (𝑡) = 𝐸[𝑒 𝑡𝑋 ] disebut fungsi pembangkit

momen dari 𝑋 jika nilai harapannya ada untuk semua nilai 𝑡 pada suatu interval −ℎ < 𝑡 < ℎ dengan ℎ > 0.


31

Definisi 19 Fungsi Pembangkit Peluang Misalkan 𝑋 adalah peubah acak diskret yang nilainya berupa bilangan bulat tak negatif {0,1,2, … } dan fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh 𝑃(𝑋 = 𝑡) = 𝑃𝑡 . Fungsi pembangkit peluang dari peubah acak 𝑋 didefinisikan oleh 𝐺𝑋 (𝑠) = ∞ 𝑡 𝑡 𝐸(𝑠 𝑋 ), dengan 𝐸(𝑠 𝑋 ) = ∑∞ 𝑡=0 𝑠 𝑃(𝑋 = 𝑡) = ∑𝑡=0 𝑠 𝑃𝑡 .

[Grimmett & Stirzaker 2001]

Definsi 20 Sebaran Eksponensial Peubah acak 𝑋 disebut memiliki sebaran Eksponensial, jika fungsi kepekatan peluangnya adalah 𝑓(𝑥) = λ 𝑒 −λ𝑥 dengan λ > 0, 0 < 𝑥 < ∞.


Definisi 21 Sebaran Bernoulli Suatu percobaan acak yang hanya menghasilkan dua kemungkinan (sukses dan gagal) disebut percobaan Bernoulli. Peubah acak 𝑋 disebut mempunyai sebaran

Bernoulli jika 𝑋

merupakan peubah acak pada percobaan Bernoulli dengan 𝑋=�

1, jika sukses . 0, jika gagal

Jika 𝑝 menyatakan peluang sukses, maka 𝑋 mempunyai fungsi kerapatan peluang 𝑝𝑥 (𝑥) = 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)1−𝑥 , 𝑥 = 0, 1.


Definisi 22 Sebaran Binom Jika percobaan Bernoulli diulang 𝑛 kali, dan setiap percobaan saling bebas, maka

peubah acak 𝑋 yang menyatakan banyaknya sukses dari 𝑛 kali percobaan Bernoulli, disebut peubah acak Binom. Jika 𝑝 menyatakan peluang sukses dari setiap percobaan Bernoulli, maka fungsi kerapatan peluang dari 𝑋 adalah 𝑝𝑋 (𝑥) = �𝑛𝑥�𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 dengan 𝑥 = 0, 1, 2, …


32

Definisi 23 Sebaran Binom Negatif Sebaran Binom Negatif diperoleh dari percobaan Bernoulli yang dilakukan terus menerus sampai 𝑟 sukses tercapai. Jika peubah acak 𝑌 menyatakan banyaknya

percobaan sampai r sukses tercapai, maka 𝑌 disebut memiliki sebaran Binom

Negatif. Jika 𝑝 menyatakan peluang sukses dari setiap percobaan Bernoulli, maka

�𝑝𝑟 (1 − fungsi kerapatan peluang dari 𝑌 adalah 𝑝𝑌 (𝑦) = 𝑃(𝑌 = 𝑦) = �𝑦−1 𝑟−1 𝑝)𝑦−𝑟 .


Definisi 24 Proses Stokastik Proses Stokastik {𝑋(𝑡), 𝑡 𝜖 𝑇} adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke ruang state 𝑆.

[Ross 1996]

Definisi 25 Rantai Markov dengan Waktu Diskret Proses Stokastik {𝑋𝑛 , 𝑛 = 0, 1, 2, … } dengan ruang state {0, 1, 2, … }, disebut rantai markov dengan waktu diskret

jika untuk setiap 𝑛 = {0, 1, 2, … } berlaku

𝑃(𝑋𝑛 + 1 = 𝑗 | 𝑋𝑛 = 𝑖, 𝑋𝑛 − 1 = 𝑖 − 1, … , 𝑋0 = 𝑖0 ) = 𝑃(𝑋𝑛+1 = 𝑗 | 𝑋𝑛 = 𝑖).

[Ross 1996]

Definisi 26 Rantai Markov dengan Waktu Kontinu Suatu proses Stokastik dengan waktu kontinu {𝑋(𝑡), 𝑡≥0}, dengan ruang state

diskret {0, 1, 2, … }, disebut rantai markov dengan waktu kontinu jika untuk setiap

t, 𝑠 > 0 dan 𝑖, 𝑗, 𝑥(𝑢) 𝜖 {0, 1, 2, … }, 0 ≤ 𝑢 < 𝑠 berlaku 𝑃(𝑋(𝑡, 𝑠) = 𝑗 | 𝑋(𝑠) = 𝑖, 𝑋(𝑢) = 𝑥(𝑢); 0 ≤ 𝑢 < 𝑠 ) = 𝑃(𝑋(𝑡 + 𝑠) = 𝑗 | 𝑋(𝑠) = 𝑖).

[Ross 1996]

Definisi 27 Proses Pencacahan Suatu proses stokastik {𝑁(𝑡), 𝑡≥0} disebut proses pencacahan jika 𝑁(𝑡) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu 𝑡.

[Ross 1996]

33

Definisi 29 Proses Poisson Suatu proses stokastik {𝑁(𝑡), 𝑡≥0} disebut proses Poisson dengan laju λ, λ≥0, jika

memenuhi syarat berikut: i) 𝑁(0) = 0

ii) Memiliki inkremen bebas dan inkremen stationer. iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu 𝑡 memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan λ𝑡.

[Ross 1996]

Definisi 28 Persamaan Diferensial Biasa Suatu persamaan yang melibatkan variabel x dengan suatu fungsi tak bebas y dan turunan-turunannya 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 (1) , 𝑦 (2) , … disebut persamaan diferensial biasa.

[ Farlow 2006]

Definisi 29 Persamaan Diferensial Biasa Linear Jika persamaan diferensial dapat dituliskan dalam bentuk

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 𝑃𝑦 = 𝑄, dimana P

dan Q merupakan fungsi dalam x, maka persamaan tersebut disebut persamaan diferensial linear orde satu. [Farlow 2006]

Definisi 30 Persamaan Diferensial Parsial (PDP) Adalah suatu persamaan yang memiliki bentuk sebagai berikut:

yaitu

𝐹(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝑢, 𝑢𝑥1 , … , 𝑢𝑥 , 𝑢𝑥1 𝑥1 , 𝑢𝑥1 𝑥2 , … ) = 0

persamaan yang

1, … , 𝑛 ,

menghubungkan

𝑛

nilai-nilai variabel bebas

fungsi 𝑢(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) dan turunan-turunan parsialnya.

𝑥𝑖 , 𝑖 =

[Farlow 2006]

Definisi 31 PDP Linear dan Quasi linier PDP adalah linier jika hubungan antara sebuah fungsi dan turunan-turunannya adalah linear. Suatu PDP berorde k disebut Quasi Linear jika turunan parsial ke k adalah linear [Farlow 2006]

34

Lampiran 2 Hasil simulasi model kelahiran murni tahun 1990-2010 berdasarkan data tahun 1990*

Zhitung =

1,96

λ1990

=

0,0257

µ1990

=

0

θ1990

=

0

Tahun

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 |𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟| =

*Sumber :

Jumlah Penduduk* (Data BPS) 179.378.946

194.754.808

205.132.458

218.868.791

237.641.326

Jumlah penduduk (Model) 179.378.946 184.048.735 188.840.092 193.756.184 198.800.257 203.975.642 209.285.759 214.734.114 220.324.307 226.060.030 231.945.072 237.983.319 244.178.761 250.535.489 257.057.703 263.749.710 270.615.930 277.660.900 284.889.272 292.305.821 299.915.445

Batas bawah

179.378.946 184.044.444 188.833.907 193.748.460 198.791.164 203.965.277 209.274.181 214.721.363 220.310.408 226.044.997 231.928.913 237.966.037 244.160.353 250.515.950 257.037.024 263.727.880 270.592.936 277.636.726 284.863.900 292.279.233 299.887.621

𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 (𝑑𝑎𝑡𝑎 𝐵𝑃𝑆)− 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘 (𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙) 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑑𝑢𝑘(𝑑𝑎𝑡𝑎 𝐵𝑃𝑆)

Batas atas

|Error| (%)

179.378.946 184.053.025 188.846.278 193.763.908 198.809.350 203.986.008 209.297.336 214.746.865 220.338.207 226.075.063 231.961.231 238.000.602 244.197.169 250.555.029 257.078.382 263.771.540 270.638.925 277.685.074 284.914.643 292.332.408 299.943.269 𝑥 100%

Data BPS [http://www.datastatistik-Indonesia.com/proyeksi dan http://bps.go.id]

0

4,73

13,07

20,51

26,21

35

Lampiran 3 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian tanpa migrasi tahun 1990-2010 berdasarkan data tahun 1990*

Zhitung =

1,96

λ1990

=

0,0257

µ1990

=

0,007

θ1990

=

0

Tahun

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 |𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟| = *

Sumber :


194.754.808

205.132.458

218.868.791

237.641.326


Batas bawah

179.378.946 182.760.078 186.207.847 189.721.154 193.301.014 196.948.597 200.665.138 204.451.912 208.310.228 212.241.424 216.246.868 220.327.955 224.486.107 228.722.776 233.039.439 237.437.605 241.918.810 246.484.619 251.136.628 255.876.462 260.705.778


Batas atas

|Error| (%)

179.378.946 182.769.706 186.221.656 189.738.306 193.321.100 196.971.372 200.690.441 204.479.631 208.340.282 212.273.756 216.281.435 220.364.727 224.525.063 228.763.903 233.082.730 237.483.058 241.966.427 246.534.407 251.188.596 255.930.622 260.762.146 𝑥 100%


0

1,13

5,43

8,49

9,72

36

Lampiran 4 Hasil simulasi model kelahiran dan kematian dengan migrasi tahun 1990-2010 berdasarkan data tahun 1990* Zhitung =

1,96

λ1990

=

0,0257

µ1990

=

0,007

θ1990

=

-0,0051

Tahun

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

|𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟| =

*Sumber :


194.754.808

205.132.458

218.868.791

237.641.326


Batas bawah

179.378.946 182.760.078 186.207.847 189.721.154 193.301.014 196.948.597 200.665.138 204.451.912 208.310.228 212.241.424 216.246.868 220.327.955 224.486.107 228.722.776 233.039.439 237.437.605 241.918.810 246.484.619 251.136.628 255.876.462 260.705.778


Batas atas

179.378.946 182.769.706 186.221.656 189.738.306 193.321.100 196.971.372 200.690.441 204.479.631 208.340.282 212.273.756 216.281.435 220.364.727 224.525.063 228.763.903 233.082.730 237.483.058 241.966.427 246.534.407 251.188.596 255.930.622 260.762.146

𝑥 100%


|Error| (%) 0

1,13

5,43

8,49

9,72

37

Lampiran 5 Proyeksi penduduk tahun 2001-2025 berdasarkan data tahun 2000* Zhitung λ1990 µ1990 θ1990

= = = =

Tahun

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025

|𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟| = *

Sumber :

1,96 0,0257 0,007 0 Jumlah Penduduk* (Proyeksi_BPS) 206.264.595 207.927.000 210.736.300 213.550.500 216.381.600 219.204.700 222.051.300 224.904.900 227.779.100 230.632.700 233.447.400 236.331.300 239.174.300 242.013.800 244.814.900 247.572.400 250.342.100 253.088.900 255.792.900 258.437.000 261.005.000 263.585.500 266.102.800 268.564.100 270.917.600 273.219.200

Jumlah penduduk (Model) 206.264.595 209.088.956 211.951.990 214.854.227 217.796.205 220.778.467 223.801.564 226.866.057 229.972.511 233.121.502 236.313.612 239.549.431 242.829.557 246.154.598 249.525.169 252.941.892 256.405.400 259.916.334 263.475.342 267.083.084 270.740.226 274.447.445 278.205.427 282.014.866 285.876.468 289.790.946

Batas bawah

206.264.595 209.082.297 211.942.508 214.842.535 217.782.610 220.763.161 223.784.681 226.847.693 229.952.740 233.100.383 236.291.192 239.525.748 242.804.644 246.128.481 249.497.869 252.913.429 256.375.789 259.885.588 263.443.472 267.050.098 270.706.132 274.412.249 278.169.132 281.977.477 285.837.986 289.751.373


Batas atas

206.264.595 209.095.614 211.961.471 214.865.920 217.809.800 220.793.772 223.818.448 226.884.422 229.992.282 233.142.621 236.336.032 239.573.113 242.854.470 246.180.715 249.552.468 252.970.355 256.435.011 259.947.080 263.507.213 267.116.070 270.774.320 274.482.642 278.241.721 282.052.255 285.914.949 289.830.519

𝑥 100%


|Error| (%) 0 0,56 0,57 0,61 0,65 0,71 0,78 0,86 0,95 1,07 1,21 1,34 1,51 1,68 1,89 2,12 2,36 2,63 2,92 3,24 3,60 3,96 4,35 4,77 5,23 5,72

38

Lampiran 6 Proyeksi penduduk tahun 2001-2035 berdasarkan data tahun 2010* Zhitung λ1990 µ1990 θ1990

= = = =

Tahun

2010 2011 2012 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030 2031 2032 2033 2034 2035

1,96 0,0184 0,0063 0,0001 Jumlah Penduduk* (Model) 237.641.326 240.534.253 243.462.397 249.426.056 252.462.445 255.535.796 258.646.562 261.795.196 264.982.160 268.207.921 271.472.950 274.777.726 278.122.733 281.508.461 284.935.404 288.404.066 291.914.953 295.468.580 299.065.467 302.706.141 306.391.135 310.120.987 313.896.246 317.717.462 321.585.196

Batas bawah

237.641.326 240.527.483 243.452.764 249.412.266 252.446.931 255.518.697 258.627.977 261.775.204 264.960.822 268.185.287 271.449.061 274.752.617 278.096.432 281.480.992 284.906.789 288.374.321 291.884.094 295.436.620 299.032.418 302.672.011 306.355.932 310.084.718 313.858.916 317.679.076 321.545.757

Batas atas

237.641.326 240.541.023 243.472.030 249.439.847 252.477.958 255.552.896 258.665.146 261.815.188 265.003.498 268.230.554 271.496.839 274.802.836 278.149.035 281.535.930 284.964.020 288.433.811 291.945.812 295.500.540 299.098.517 302.740.271 306.426.337 310.157.256 313.933.575 317.755.848 321.624.634

*

Sumber :


PROYEKSI PENDUDUK DENGAN PROSES KELAHIRAN DAN KEMATIAN SITI MARIA ULFA

Recommend Documents