PEMODELAN STOKASTIK PERTUMBUHAN PENDUDUK DI KOTA REMBANG DENGAN MEMPERTIMBANGKAN PROSES KELAHIRAN, KEMATIAN, DAN MIGRASI PENDI PRASETYA

PEMODELAN STOKASTIK PERTUMBUHAN PENDUDUK DI KOTA REMBANG DENGAN MEMPERTIMBANGKAN PROSES KELAHIRAN, KEMATIAN, DAN MIGRASI

PENDI PRASETYA

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul “Pemodelan Stokastik Pertumbuhan Penduduk di Kota Rembang dengan Mempertimbangkan Proses Kelahiran, Kematian, dan Migrasi” adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Februari 2015 Pendi Prasetya G54100083

ABSTRAK PENDI PRASETYA. Pemodelan Stokastik Pertumbuhan Penduduk di Kota Rembang dengan Mempertimbangkan Proses Kelahiran, Kematian, dan Migrasi. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO. Pertumbuhan penduduk dapat dihitung menggunakan angka kelahiran, kematian, dan juga migrasi. Proses kelahiran dan kematian tersebut merupakan proses Poisson. Pertumbuhan penduduk mengakibatkan penurunan pada lahan tempat tinggal, dan lapangan pekerjaan. Oleh karena itu diperlukan model stokastik untuk memperkirakan tingkat penduduk di kota Rembang, Jawa Tengah. Penelitian ini bertujuan untuk menyusun model stokastik pertumbuhan penduduk melalui proses kelahiran dan kematian serta migrasi sehingga dapat meramalkan jumlah penduduk yang akan datang. Data tersebut diolah dengan menggunakan analisis tren dan metode penggabungan. Dalam tugas akhir ini, hasil analisis menunjukkan bahwa jumlah penduduk di Kota Rembang pada tahun 2013 sebesar 603784 jiwa. Setahun kemudian penduduk kota ini diduga mencapai 610895 jiwa. Kata kunci: analisis tren, metode penggabungan, model stokastik, pertumbuhan penduduk, proses Poisson

ABSTRACT

PENDI PRASETYA. Stochastic Modeling of Population Growth in Rembang using Birth, Death, and Migration Processes. Supervised by I WAYAN MANGKU and HADI SUMARMO. The Population growth can be determined using birth and death rates and also the factor of migration. Both birth and death proceses are considered within Poisson process. An increase of population level would decrease the land residence, the number of homes, and the job opportunities. Therefore, we need stochastic models to estimate the population level in the Rembang city, Central Java province. This study is to draw up a stochastic population growth model through birth, death and migration process to predict the level of population. The data are processed using the trend analysis and the merger methods. The result of stochastic modeling shows that the level of population in the city of Rembang in 2013 are 603784, and in the following year was 610895. Keywords: trend analysis, stochastic model, population growth, Poisson process.

PEMODELAN STOKASTIK PERTUMBUHAN PENDUDUK DI KOTA REMBANG DENGAN MEMPERTIMBANGKAN PROSES KELAHIRAN, KEMATIAN, DAN MIGRASI

PENDI PRASETYA

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT berkat rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penelitian tugas akhir ini yang berjudul “Pemodelan Stokastik Pertumbuhan Penduduk di Kota Rembang dengan Mempertimbangkan Proses Kelahiran, Kematian, dan Migrasi” dapat diselesaikan dengan baik, sebagai salah satu syarat menjadi sarjana IPB. Terima kasih penulis ucapkan kepada Ayah, Ibu dan keluarga yang selalu memberikan kasih sayang, semangat dan dukungan untuk menyelesaikan tugas akhir ini. Penulis ucapkan terima kasih kepada Bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc, Bapak Dr Ir Hadi Sumarno, MS, dan Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS sebagai dosen pembimbing dan penguji yang senantiasa memberikan bimbingan, masukan, pengetahuan, saran dan arahan kepada penulis. Terima kasih juga penulis sampaikan kepada temen-temen Departemen Matematika Angkatan 47, temanteman Departemen Statistika Angkatan 48, teman-teman Himpunan Keluarga Rembang di Bogor (HKRB) Angkatan 47, dan seseorang yang selalu mendukung terlaksananya penelitian tugas akhir ini. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan tugas akhir ini. Semoga penelitian tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi penulis dan pembaca.

Bogor, Februari 2015 Pendi Prasetya

DAFTAR ISI DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Perumusan Masalah

1

Tujuan Penelitian

2

Manfaat Penelitian

2

Ruang Lingkup Penelitian

2

TINJAUAN PUSTAKA

2

Asumsi Pembuatan Model Stokastik Pertumbuhan Penduduk

2

Analisis Gerombol

3

Analisis Tren

4

Ukuran Kesalahan

6

METODE PENELITIAN

6

HASIL DAN PEMBAHASAN

7

Model Stokastik Pertumbuhan Penduduk

7

Analisis Gerombol

8

Pendugaan Pertumbuhan Penduduk Kota Rembang, Jawa Tengah

10

Peramalan Jumlah Penduduk Kota Rembang yang Akan Datang

11

SIMPULAN

13

DAFTAR PUSTAKA

14

LAMPIRAN

15

LAMPIRAN

13

RIWAYAT HIDUP

16

DAFTAR TABEL 1 Data kepadatan penduduk, Child Birth Ratio (CBR), dan Child Dead Ratio (CDR) setiap kecamatan di kota Rembang per tahun tahun 2001 2 Cluster Membership 3 Nilai parameter 4 Nilai dugaan pertumbuhan penduduk 5 Ringkasan Standard Error pola tren rata-rata kelahiran 6 Ringkasan Standard Error pola tren rata-rata kematian 7 Ringkasan Standard Error pola tren rata-rata migrasi 8 Nilai ramalan parameter-parameter 9 Hasil peramalan pertumbuhan populasi per hari

10 10 12 12 13 13 14 14 14

DAFTAR GAMBAR 1 Hasil dendogram dengan metode penggabungan

11

DAFTAR LAMPIRAN 1 2 3 4 5 6 7 8

Data kelahiran, kematian, dan migrasi Data setiap Kecamataan Kota Rembang per Tahun Output dari rata-rata kelahiran per hari setiap kecamatan Output dari rata-rata kematian per hari setiap kecamatan Output dari rata-rata migrasi per hari setiap kecamatan Pembuktian kostanta pada analisis tren linear Pembuktian kostanta pada analisis tren kudratik Pembuktian kostanta pada analisis tren eksponensial

16 16 21 23 25 26 27 29

1

PENDAHULUAN Latar Belakang Pertumbuhan penduduk adalah perubahan jumlah penduduk di suatu wilayah pada waktu tertentu dibandingkan dengan waktu sebelumnya. Dalam kehidupan nyata pertumbuhan penduduk suatu daerah tidak hanya ditentukan dari faktor kelahiran dan kematian. Tetapi pertumbuhan penduduk juga dipengaruhi adanya faktor migrasi. Migrasi adalah perpindahan penduduk dari daerah satu ke daerah lain. Migrasi ada 2 macam bentuk yaitu migrasi masuk dan migrasi keluar. Orang yang melakukan migrasi biasanya dipengaruhi beberapa faktor yaitu ingin mencari pekerjaan, ingin melanjutkan pendidikan ke jenjang yang lebih tinggi, ingin mencari pengalaman di kota, dan ingin lebih banyak mendapatkan hiburan dan sebagainya. Menurut data dari Badan Pusat Statistik (BPS) Kota Rembang jumlah penduduk tahun 2008 (586587 jiwa), tahun 2009 (589819 jiwa) dan tahun 2010 (592514 jiwa) dengan luas wilayah 101408 ha. Dari data di atas bisa kita lihat bahwa dari tahun ke tahun penduduk kota Rembang semakin bertambah. Dengan bertambahnya penduduk dan ketersedian tempat tinggal yang terbatas, mengakibatkan kepadatan penduduk wilayah tersebut akan semakin tinggi dan jumlah lapangan pekerjaan semakin berkurang. Proses kelahiran dan kematian tersebut dapat dimodelkan dengan model pertumbuhan stokastik. Proses kelahiran sederhana pertama kali dipelajari oleh Yule pada tahun 1924 dan Furry pada tahun 1937 (Ricciardi 1986). Kelemahan dari teori Yuly-Furry adalah mereka tidak memperhitungkan peluang kematian dan mengabaikan perbedaan banyaknya spesies yang ada pada setiap populasi. Sehingga Feller pada tahun 1939 memperkenalkan suatu teori tentang proses kelahiran dan kematian (Ricciardi 1986). Sejak saat itu, proses ini digunakan sebagai model untuk pertumbuhan populasi, antrian, dan masih banyak lagi kasuskasus sebagai aplikasi dari proses ini. Hal ini bertumpu pada teori dari proses stokastik yang mempresentasikan kasus penting dari proses Markov dengan ruang state diskret ataupun kontinu. Deskripsikan terlebih dahulu tentang proses kelahiran dan kematian, yang kemudian dijadikan dasar untuk pengembangan beberapa kasus nyata yang lebih luas. Ide penelitian ini diperoleh dari Rahmawati dan Bekti (2013). Metode yang digunakan adalah memodelkan pertumbuhan penduduk, menduga pertumbuhan penduduk dan meramalkan jumlah penduduk di waktu yang akan datang.

Perumusan Masalah Jumlah penduduk dikota Rembang dari tahun ke tahun selalu mengalami peningkatan. Peningkatan jumlah penduduk dapat mengakibatkan ketersediaan tempat tinggal dan lapangan pekerjaan semakin sempit. Sehingga perlu membuat model tentang pertumbuhan penduduk guna mengetahui pertumbuhan penduduk di kota tersebut. Model yang dibuat mengunakan model stokastik dengan asumsiasumsi matematika. Kemudian data-data yang didapat diaplikasikan kedalam model yang sudah dibuat.

2

Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah: 1 Memodelkan pertumbuhan stokastik untuk proses kelahiran, kematian dan migrasi. 2 Menduga pertumbuhan penduduk kota Rembang dan membandingkan nilai dugaan pertumbuhan penduduk dengan pertumbuhan penduduk yang sebenarnya. 3 Meramalkan jumlah penduduk kota Rembang yang akan datang.

Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah untuk memberikan informasi pembuatan model stokastik pertumbuhan penduduk, karakteristik kota Rembang, dan jumlah penduduk yang akan datang.

Ruang Lingkup Penelitian Ruang lingkup penelitian ini antara lain: 1 Asumsi pembuatan model stokastik pertumbuhan penduduk dan analisis tren. 2 Menganalisis ada tidaknya gerombol. 3 Menghitung nilai dugaan pertumbuhan penduduk dan nilai ramalan jumlah penduduk yang akan datang.

TINJAUAN PUSTAKA Asumsi Pembuatan Model Stokastik Pertumbuhan Penduduk Misalkan X(t,t+h) adalah variabel acak yang menyatakan jumlah individu pada selang waktu (t,t+h) dengan asumsi-asumsi sebagai berikut (Rahmawati dan Bekti 2013): 1 N(t,t+h) menyatakan banyaknya kelompok pada waktu (t,t+h), dan N(t,t+h) merupakan proses Poisson dengan nilai harapan (𝜆 + µ + )h dimana 𝜆 adalah rata-rata kelahiran, µ adalah rata-rata kematian, dan  = 1 - 2 adalah rata-rata migrasi (dengan migrasi masuk (1) dan migrasi keluar (2)). 2 Peubah acak 𝑋𝑖 yang menyatakan banyaknya peristiwa yang terjadi pada kelompok ke-i. Banyaknya peristiwa yang terjadi pada kelompok yang berbeda adalah saling bebas dan berdistribusi peluang sama. 3 Parameter {n = ndan {µn = nµ} adalah urutan bilangan positif yang menyatakan tingkat kelahiran dan kematian dengan efek migrasi, dengan keadaan awal adalah M(0) = i dan M(t) = E[X (t)]. Untuk menentukan nilai M(t+h) digunakan nilai harapan dengan syarat X(t),sehingga diperoleh persamaan (1):

3

𝑀(𝑡 + ℎ) = 𝐸[𝑋(𝑡 + ℎ)] = 𝐸[𝐸[𝑋(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)]]. (1) Dengan demikian, dalam selang waktu (t,t+h) kemungkinan peristiwa yang terjadi dalam proses kelahiran dan kematian kelompok dengan efek migrasi adalah terjadi satu atau lebih kelahiran individu, atau terjadi satu atau lebih kematian individu, atau terjadi satu atau lebih migrasi individu, dan atau tidak terjadi satu atau lebih kelahiran atau kematian atau migrasi individu. Setiap kejadian terhadap anggota populasi mempunyai peluang sebagai berikut: 1 Peluang untuk lahirnya satu individu atau lebih, 1 𝐸[𝑋𝑖 ]𝑋(𝑡)𝜆ℎ + 𝑜(ℎ) dengan ℎ → 0. 𝑁(𝑡) ∑𝑖=1 𝑋𝑖

2

Peluang untuk matinya satu individu atau lebih, 1 𝐸[𝑋𝑖 ]𝑋(𝑡)𝜇ℎ + 𝑜(ℎ) dengan ℎ → 0. 𝑁(𝑡) ∑𝑖=1 𝑋𝑖

3

Peluang untuk migrasinya satu individu atau lebih, 1 𝐸[𝑋𝑖 ]𝜃ℎ + 𝑜(ℎ) dengan ℎ → 0. 𝑁(𝑡) ∑𝑖=1 𝑋𝑖

4

Peluang untuk tidak ada kelahiran, kematian ,dan migrasi. 1 1 − 𝑁(𝑡) 𝐸[𝑋𝑖 ][𝑋(𝑡)(𝜆 + 𝜇) + 𝜃]ℎ + 𝑜(ℎ) dengan ℎ → 0 . ∑𝑖=1 𝑋𝑖

Sehingga jika X(t) diketahui, maka jumlah individu pada saat t+h adalah: 𝑁(𝑡)

𝑋(𝑡) + ∑ 𝑋𝑖 , dengan peluang 𝑖=1 𝑁(𝑡)

𝑋(𝑡 + ℎ) =

1 ∑𝑁(𝑡) 𝑖=1 𝑋𝑖

𝑋(𝑡) − ∑ 𝑋𝑖 , dengan peluang 𝑖=1

𝐸[𝑋𝑖 ][𝑋(𝑡)𝜆 + 𝜃]ℎ + 𝑜(ℎ)

1 ∑𝑁(𝑡) 𝑖=1 𝑋𝑖

𝐸[𝑋𝑖 ][𝑋(𝑡)𝜇]ℎ + 𝑜(ℎ)

1 𝑋(𝑡), dengan peluang 1 − 𝑁(𝑡) 𝐸[𝑋𝑖 ][𝑋(𝑡)(𝜆 + 𝜇) + 𝜃]ℎ + 𝑜(ℎ). ∑𝑖=1 𝑋𝑖 {

Analisis Gerombol Pengertian Analisis Gerombol Analisis gerombol merupakan salah satu teknik multivariat metode interdependensi (saling ketergantungan). Oleh karena itu, dalam analisis gerombol tidak ada pembedaan antara variabel bebas (independent variable) dan variabel terikat (dependent variable). Analisis gerombol digunakan untuk mengelompokkan data observasi yang hanya berdasarkan pada informasi yang ditemukan dalam data, di mana data tersebut harus menggambarkan observasi dan hubungannya. Oleh karena itu, tujuan dari analisis ini adalah observasi dalam satu kelompok mirip satu sama lain dan berbeda dari observasi dalam kelompok lain. Semakin besar kemiripan (homogenitas) dalam kelompok dan semakin besar perbedaan (heterogenitas) antar kelompok maka penggerombolan akan lebih baik atau lebih berbeda (Tan et al. 2006).

4

Metode Pengelompokan Dalam analisis gerombol, terdapat banyak metode untuk mengelompokkan observasi ke dalam gerombol. Secara umum metode pengelompokkan dalam analisis gerombol dibedakan menjadi metode hirarki (Hierarchical Clustering Method) dan metode non hirarki (Nonhierarchical Clustering Method). Metode hirarki digunakan apabila belum ada informasi jumlah gerombol yang dipilih. Sedangkan metode non hirarki bertujuan untuk mengelompokan n objek ke dalam k gerombol (k < n), di mana nilai k telah ditentukan sebelumnya. Metode analisis gerombol membutuhkan suatu ukuran ketakmiripan (jarak) yang didefinisikan untuk setiap pasang objek yang akan dikelompokkan. Jarak yang biasa digunakan dalam analisis penggerombolan diantaranya (Johnson dan Wichern 2007) adalah: Jarak Euclid Jarak Euclid adalah jarak yang paling umum dan paling sering digunakan dalam analisis gerombol. Jarak Euclid antara dua titik dapat terdefinisikan dengan jelas. Jarak digunakan adalah peubah kontinu. Jarak Euclid antara gerombol ke-i dan ke-j dari p peubah didefinisikan: [∑𝑝𝑡=1(𝑥̅𝑡𝑗

1

)2 ]2 ,

𝑑(𝑖, 𝑗) = − 𝑥̅𝑡𝑖 dengan: 𝑑(𝑖, 𝑗) = jarak antara objek i ke objek j 𝑥̅𝑡𝑗 = nilai tengah pada peubah ke-t gerombol ke-j 𝑥̅𝑡𝑖 = nilai tengah pada peubah ke-t gerombol ke-i p = banyaknya peubah yang diamati.

Metode Hirarki Pada dasarnya metode ini dibedakan menjadi dua metode pengelompokan, yaitu metode penggabungan dan metode pemecahan (Everrit et al. 2011). Pada penelitian ini digunakan metode penggabungan untuk menganalisis gerombol. Metode Penggabungan Proses pengelompokan dengan pendekatan metode penggabungan (Down to Top) dimulai dengan n gerombol sehingga masing-masing gerombol memiliki tepat satu objek, kemudian tentukan dua gerombol terdekat dan gabungkan gerombol tersebut menjadi satu gerombol baru. Proses penggabungan dua gerombol diulangi sampai diperoleh satu gerombol yang memuat semua himpunan data. Perlu diperhatikan bahwa setiap penggabungan dalam metode ini selalu diikuti dengan perbaikan matriks jarak. Hasil analisis gerombol dari metode ini dapat disajikan dalam bentuk dendogram. Analisis Tren Analisis tren merupakan suatu metode analisis statistika yang digunakan untuk melakukan suatu estimasi atau peramalan pada masa yang akan datang. Untuk melakukan peramalan dengan baik maka dibutuhkan berbagai macam informasi (data) yang cukup banyak dan diamati dalam periode waktu yang relatif cukup panjang, sehingga hasil analisis tersebut dapat mengetahui sampai berapa besar fluktuasi yang terjadi dan faktor-faktor apa saja yang memengaruhi terhadap

5

perubahan tersebut. Analisis tren ini terdapat 3 model yaitu tren linear, tren kuadratik, dan tren eksponensial (Juanda dan Junaidi 2012). Tren Linear Tren linear adalah kecenderungan data dimana perubahannya berdasarkan waktu adalah tetap (konstan). Model persamaan tren linier yaitu (Draper dan Smith 1992): Yt = a+bt. Keterangan: Yt = data time series pada periode t t = waktu (hari/bulan/ tahun) = konstanta. a, b Nilai a dan b diperoleh dari: 𝑏=

𝑛 ∑𝑛𝑡=1 𝑌𝑡 𝑡 − ∑𝑛𝑡=1 𝑌𝑡 ∑𝑛𝑡=1 𝑡 𝑛 ∑𝑛𝑡=1 𝑡 2 − (∑𝑛𝑡=1 𝑡)2 dan

𝑎=

∑𝑛𝑡=1 𝑌𝑡 ∑𝑛𝑡=1 𝑡 −𝑏 𝑛 𝑛

Untuk pembuktian kostanta a dan b dapat dilihat pada Lampiran 6. Nilai t untuk waktu awal diberi nilai 1, waktu berikutnya diberi nilai 2, dan seterusnya waktu terakhir diberi nilai n (n banyaknya data). Catatan : berlaku juga untuk jenis tren lainnya Tren Kuadratik Tren kuadratik adalah kecenderungan data yang kurvanya berpola lengkungan. Secara matematik, tren kuadratik merupakan hubungan antara peubah takbebas dengan t dan t2. Model persamaan tren kuadratik yaitu (Draper dan Smith 1992): 𝑌𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑡 + 𝛽2 𝑡 2 . Keterangan: Yt = data time series pada periode t t = waktu (hari/bulan/ tahun) 𝛽0 , 𝛽1 , 𝛽2 = konstanta. Untuk pembuktian kostanta 𝛽0 , 𝛽1 , dan β2 terdapat pada Lampiran 7. Tren Eksponensial Tren eksponensial adalah kecenderungan perubahan data semakin lama semakin bertambah secara eksponensial. Terdapat dua model untuk tren eksponensial yaitu: Untuk peubah diskret: 𝑌𝑡 = 𝛽0 + (1 + 𝛽1 )𝑡 . Untuk peubah kontinu: 𝑌𝑡 = 𝛽0 𝑒 𝛽1 𝑡 .

6

Keterangan: Yt t 𝛽0 , 𝛽1

= data time series pada periode t = waktu (hari/bulan/ tahun) = konstanta.

Untuk pembuktian kostanta 𝛽0 dan 𝛽1 terdapat pada Lampiran 8. Pemilihan model analisis tren untuk mendapatkan nilai peramalan terbaik didasarkan pada nilai Standard Error of the Estimate (SEE) yang paling kecil.

Ukuran Kesalahan Ukuran akurasi hasil peramalan yang merupakan ukuran kesalahan peramalan merupakan ukuran tentang tingkat perbedaan antara hasil peramalan dengan nilai yang sebenarnya. Ada 4 ukuran yang biasa digunakan yaitu rata-rata deviasi mutlak (Mean Absolute Deviasion = MAD), rata-rata kuadrat kesalahan (Mean Square Error = MSE), rata-rata kesalahan peramalan (Mean Forecast Error = MSF), dan rata-rata persentase kesalahan absolute (Mean Absolute Persentage Error = MAPE) (Makridakis et al. 1999). Pada penelitian ini ukuran kesalahan yang digunakan adalah MAPE (Mean Absolute Percentage Error), adapun persamaannya, yaitu: |𝑃𝐸 | 𝑀𝐴𝑃𝐸 = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 , 𝑛 dengan 𝑋 −𝐹 𝑃𝐸𝑖 = ( 𝑖 𝑖 ). 𝑋𝑖

Keterangan: 𝑋𝑖 = data aktual pada periode ke-i 𝐹𝑖 = nilai ramalan pada periode ke-i n = banyaknya periode waktu.

METODE PENELITIAN Dalam penelitian ini digunakan data sekunder yang diambil dari Badan Pusat Statistik (BPS) Kota Rembang. Data yang digunakan adalah data penduduk kota Rembang sejak tahun 2001 sampai 2011. Pembangunan model pertumbuhan stokastik kelahiran dan kematian dengan migrasi menggunakan asumsi-asumsi model pertumbuhan stokastik. Kemudian dilakukan analisis gerombol untuk mengetahui karakteristik Kota Rembang. Analisis data dilakukan menggunakan model yang sudah dibuat untuk memperoleh nilai dugaan pertumbuhan penduduk dan memprediksi jumlah penduduk yang akan datang.

7

HASIL DAN PEMBAHASAN Model Stokastik Pertumbuhan Penduduk Dengan mengunakan asumsi-asumsi yang dibuat dan persamaan (1) sehingga diperoleh model stokastik pertumbuhan penduduk untuk proses kelahiran dan kematian dengan migrasi: 𝜃 𝑀(𝑡) = [𝑒𝐸[𝑋𝑖 ](𝜆−𝜇)𝑡 − 1] + 𝑖𝑒 𝐸[𝑋𝑖 ](𝜆−𝜇)𝑡 . 𝜆−𝜇 Bukti, 𝑁(𝑡)

𝐸[𝑋(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)] = [𝑋(𝑡) + ∑ 𝑋𝑖 ] [ 𝑖=1 𝑁(𝑡)

1 ∑𝑁(𝑡) 𝑖=1 𝑋𝑖

[𝑋(𝑡) − ∑ 𝑋𝑖 ] [ 𝑖=1

𝑋(𝑡) [1 −

=

𝑋(𝑡) ∑𝑁(𝑡) 𝑖=1 𝑋𝑖 𝑋(𝑡) ∑𝑁(𝑡) 𝑖=1 𝑋𝑖

1 ∑𝑁(𝑡) 𝑖=1 𝑋𝑖

1 ∑𝑁(𝑡) 𝑖=1 𝑋𝑖

𝐸[𝑋𝑖 ][𝑋(𝑡) 𝜆 + 𝜃]ℎ] +

𝐸[𝑋𝑖 ][𝑋(𝑡) 𝜇]ℎ]

𝐸[𝑋𝑖 ][𝑋(𝑡) (𝜆 + 𝜇) + 𝜃]ℎ] + 𝑜(ℎ)

𝐸[𝑋𝑖 ][𝑋(𝑡)𝜆 + 𝜃]ℎ + 𝐸[𝑋𝑖 ][𝑋(𝑡)𝜆 + 𝜃]ℎ + 𝐸[𝑋𝑖 ][𝑋(𝑡)𝜇]ℎ − 𝐸[𝑋𝑖 ][𝑋(𝑡)𝜇]ℎ + 𝑋(𝑡)

𝐸[𝑋𝑖 ][𝑋(𝑡)(𝜆 + 𝜇) + 𝜃]ℎ + 𝑜(ℎ) ∑𝑁(𝑡) 𝑖=1 𝑋𝑖 = 𝐸[𝑋𝑖 ][𝑋(𝑡)𝜆 − 𝑋(𝑡)𝜇 + 𝜃]ℎ + 𝑋(𝑡) + 𝑜(ℎ). 𝑋(𝑡) −

Sehingga, 𝑀(𝑡 + ℎ) = 𝐸[𝐸[𝑋(𝑡 + ℎ)|𝑋(𝑡)]] = 𝐸[𝐸[𝑋𝑖 ][𝑋(𝑡)𝜆 − 𝑋(𝑡)𝜇 + 𝜃]ℎ + 𝑋(𝑡) + 𝑜(ℎ)] = 𝐸[𝐸[𝑋𝑖 ][𝑋(𝑡)(𝜆 − 𝜇) + 𝜃]ℎ + 𝑋(𝑡) + 𝑜(ℎ) 𝑀(𝑡 + ℎ) = 𝐸[𝑋𝑖 ][𝑀(𝑡)(𝜆 − 𝜇) + 𝜃]ℎ + 𝑀(𝑡) + 𝑜(ℎ) 𝑀(𝑡 + ℎ) − 𝑀(𝑡) = 𝐸[𝑋𝑖 ][𝑀(𝑡)(𝜆 − 𝜇) + 𝜃]ℎ + 𝑜(ℎ) 𝑀(𝑡+ℎ)−𝑀(𝑡) 𝑜(ℎ) = 𝐸[𝑋𝑖 ][𝑀(𝑡)(𝜆 − 𝜇) + 𝜃] + ℎ . ℎ 𝑜(ℎ) Dengan mengambil ℎ → 0 maka lim = 0. ℎ→0 ℎ Jadi, 𝑀(𝑡 + ℎ) − 𝑀(𝑡) lim = 𝐸[𝑋𝑖 ][𝑀(𝑡)(𝜆 − 𝜇) + 𝜃] ℎ→0 ℎ = 𝐸[𝑋𝑖 ][𝑀(𝑡)(𝜆 − 𝜇) + 𝐸[𝑋𝑗 ]𝜃. Sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut: 𝑀′ (𝑡) = 𝐸[𝑋𝑖 ]𝑀(𝑡)(𝜆 − 𝜇) + 𝐸[𝑋𝑖 ]𝜃. (2) Penyelesaian persamaan (2) dengan menggunakan persamaan diferensial biasa (Farlow 1994).

8

Misalkan ℎ(𝑡) = 𝐸[𝑋𝑖 ]𝑀(𝑡)(𝜆 − 𝜇) + 𝐸[𝑋𝑖 ]𝜃. Maka ℎ′ (𝑡) = 𝐸[𝑋𝑖 ]𝑀′ (𝑡)(𝜆 − 𝜇). Jadi persamaan (2) dapat ditulis sebagai berikut:

(3)

ℎ′ (𝑡) = 𝐸[𝑋𝑖 ]𝑀′ (𝑡)(𝜆 − 𝜇) ℎ′(𝑡) ⇔ = 𝑀′(𝑡) 𝐸[𝑋𝑖 ](𝜆 − 𝜇) ℎ′(𝑡) ⇔ = ℎ(𝑡) 𝐸[𝑋𝑖 ](𝜆 − 𝜇) ℎ′(𝑡) ⇔ ∫ ℎ(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝐸[𝑋𝑖 ](𝜆 − 𝜇)𝑑𝑡 ⇔ log[ℎ(𝑡)] = 𝐸[𝑋𝑖 ](𝜆 − 𝜇)𝑡 + 𝐶 ℎ(𝑡) = 𝑒 𝐸[𝑋𝑖 ](𝜆−𝜇)𝑡+𝐶 = 𝐾𝑒 𝐸[𝑋𝑗](𝜆−𝜇)𝑡 . Dari persamaan (3), ℎ(𝑡) = 𝐸[𝑋𝑖 ]𝑀(𝑡)(𝜆 − 𝜇) + 𝐸[𝑋𝑖]𝜃 𝐸[𝑋𝑗 ](𝜆−𝜇)𝑡 𝐾𝑒 = 𝐸[𝑋𝑖 ]𝑀(𝑡)(𝜆 − 𝜇) + 𝐸[𝑋𝑗 ]𝜃. (4) Dengan nilai awal M(0) = i, dimana t = 0 sehingga diperoleh: 𝐾 = 𝐸[𝑋𝑖 ]𝑖(𝜆 − 𝜇) + 𝐸[𝑋𝑖 ]𝜃 = 𝐸[𝑋𝑖 ][𝑖(𝜆 − 𝜇) + 𝜃]. Kemudian substitusikan nilai K ke dalam persamaan (4): 𝐸[𝑋𝑖 ]𝑀(𝑡)(𝜆 − 𝜇) + 𝐸[𝑋𝑖 ]𝜃 = 𝐾𝑒 𝐸[𝑋𝑖 ](𝜆−𝜇)𝑡 ⇔ 𝐸[𝑋𝑖 ]𝑀(𝑡)(𝜆 − 𝜇) + 𝐸[𝑋𝑖 ]𝜃 = 𝐸[𝑋𝑖 ][𝑖(𝜆 − 𝜇) + 𝜃]𝑒 𝐸[𝑋𝑖 ](𝜆−𝜇)𝑡 ⇔ 𝐸[𝑋𝑖 ]𝑀(𝑡)(𝜆 − 𝜇) = 𝐸[𝑋𝑖 ][𝑖(𝜆 − 𝜇) + 𝜃]𝑒 𝐸[𝑋𝑖 ](𝜆−𝜇)𝑡 − 𝐸[𝑋𝑖 ]𝜃 𝐸[𝑋𝑖 ][𝑖(𝜆 − 𝜇) + 𝜃]𝑒 𝐸[𝑋𝑖 ](𝜆−𝜇)𝑡 − 𝐸[𝑋𝑖 ]𝜃 𝑀(𝑡) = 𝐸[𝑋𝑖 ](𝜆 − 𝜇) 𝜃 𝜃 = [𝑖 + ] 𝑒 𝐸[𝑋𝑖 ](𝜆−𝜇)𝑡 − 𝜆−𝜇 𝜆−𝜇 𝜃 𝜃 = 𝑖𝑒 𝐸[𝑋𝑖 ](𝜆−𝜇)𝑡 + 𝑒 𝐸[𝑋𝑖 ](𝜆−𝜇)𝑡 − 𝜆−𝜇 𝜆−𝜇 𝜃 𝑀(𝑡) = [𝑒𝐸[𝑋𝑖 ](𝜆−𝜇)𝑡 − 1] + 𝑖𝑒 𝐸[𝑋𝑖 ](𝜆−𝜇)𝑡 . (5) 𝜆−𝜇 Jadi diperoleh model stokastik pertumbuhan penduduk untuk proses kelahiran dan kematian dengan migrasi adalah 𝜃 𝑀(𝑡) = [𝑒𝐸[𝑋𝑖 ](𝜆−𝜇)𝑡 − 1] + 𝑖𝑒 𝐸[𝑋𝑖 ](𝜆−𝜇)𝑡 . 𝜆−𝜇

Analisis Gerombol Pada penelitian ini dilakukan penggerombolan dengan menggunakan metode penggabungan. Data yang digunakan adalah Child Birth Ratio (CBR) dan Child Dead Ratio (CDR) setiap kecamatan dapat dilihat pada Tabel 1. Hasil dari penggerombolan dapat dilihat pada Tabel 2 dan Gambar 1.

9

Tabel 1 Data Child Birth Ratio (CBR) dan Child Dead Ratio (CDR) setiap kecamatan di kota Rembang per tahun tahun 2001 No

Kecamatan

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Sumber Bulu Gunem Sale Sarang Sedan Pamotan Sulang Kaliori Rembang Pancur Kragan Sluke Lasem

Child Birth Ratio (CBR)

Child Death Ratio (CDR)

17.08 17.1 16 16.47 19.71 16.83 18.42 12.46 15.85 18.61 18.54 17.99 17.11 15.71

7.3 7.25 6.91 6.69 7.06 6.7 6.1 5.03 6.32 6.37 7.81 6.25 6.3 5.96

Tabel 2 Cluster Membership No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Case Membership Sumber Bulu Gunem Sale Sarang Sedan Pamotan Sulang Kaliori Rembang Pancur Kragan Sluke Lasem

2 Clusters 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2

10

Gambar 1 Hasil dendogram dengan metode penggabungan Berdasarkan hasil pada Tabel 2 dan Gambar 1 Hasil dendogram dengan metode penggabungan diperoleh bahwa jika jaraknya ditentukan sebesar 25 maka setiap kecamatan di kota Rembang pada tahun 2001 dapat digerombolkan menjadi satu gerombol. Sehingga dapat diasumsikan setiap kecamatan kota Rembang adalah homogen.

Pendugaan Pertumbuhan Penduduk Kota Rembang, Jawa Tengah Perhitungan nilai dugaan pertumbuhan penduduk per hari di kota Rembang menggunakan model yang sudah dibuat yaitu persamaan (6). Dengan nilai parameter-parameter yang dapat dilihat pada Tabel 3. Setelah memperoleh nilai dugaan pertumbuhan penduduk kemudian menghitung nilai kesalahan nilai dugaan dengan menggunakan MAPE (Mean Absolute Percentage Error).

11

Tabel 3 Nilai parameter Tahun

Rata-rata kelahiran untuk setiap kecamatan per hari (𝜆)

2001 2002 2003 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

1.8673 1.7273 1.8794 1.6871 1.7068 1.6696 1.6896 1.6845 1.7434 1.7639

Rata-rata kematian untuk setiap kecamataan per hari (𝜇) 0.7172 0.6166 0.5966 0.5806 0.6035 0.6191 0.6078 0.6322 0.5254 0.5614

Rata-rata migrasi untuk setiap kecamatan per hari (𝜃) -0.4587 -0.3587 -0.5735 -0.4421 -0.5101 -0.3943 -0.4493 -0.5248 -0.1017 -0.1150

Tabel 4 Nilai dugaan pertumbuhan penduduk Tahun

Pertumbuhan penduduk per hari

2001 2002 2003 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

9.6795 9.8986 9.9315 9.3013 8.3178 9.1863 8.8547 7.3835 15.6273 15.2246 MAPE

Nilai dugaan pertumbuhan penduduk per hari 10.5000 8.7854 11.7357 8.9995 9.3342 8.4554 8.9143 8.9704 7.1117 7.3209

Error

8.4766% 11.2460% 18.1664% 3.2447% 12.2195% 7.9564% 0.6730% 21.4925% 54.4918% 51.9140% 18.9880%

Berdasarkan hasil pada Tabel 4 bisa dilihat bahwa nilai dugaan pertumbuhan populasi per hari pada tahun 2001, 2002, 2003, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, dan 2011 dengan nilai 𝜆 > 1, 𝜇 < 1, dan 𝜃 < 0 dapat dikatakan cukup mendekati dengan nilai pertumbuhan penduduk sebenarnya dengan nilai MAPE sebesar 18.988 %.

Peramalan Jumlah Penduduk Kota Rembang yang Akan Datang Untuk peramalan jumlah penduduk kota Rembang yang akan datang diperlukan data masa lalu. Data masa lalu yang diukur secara periodik akan membentuk suatu deret waktu data (time series). Rangkai waktu merupakan suatu pengamatan terhadap variabel tunggal yang diukur secara teratur selama periode tertentu. Perhitungan nilai ramalan jumlah penduduk kota Rembang menggunakan

12

analisis tren. Analisis tren ini terdapat 3 model yaitu tren linear, tren kuadratik, dan tren eksponensial (Juanda dan Junaidi 2012). Perhitungan peramalan pertumbuhan penduduk kota Rembang dengan menggunakan nilai ramalan parameter-parameter yang dapat dilihat pada Tabel 2. Hasil analisis tren rata-rata kelahiran per hari setiap kecamatan kota Rembang dapat dilihat pada Lampiran 3. Nilai Standard Error of the Estimate (SEE) dari setiap model dapat dilihat pada Tabel 5. Tabel 5 Ringkasan Standard Error pola tren rata-rata kelahiran Tren Linear Kuadratik Eksponensial

Standard Error of the Estimate (SEE) 0.027 0.018 0.016

Berdasarkan Tabel 5 model tren eksponensial memiliki nilai SEE yang paling kecil yaitu 0.016 dibandingkan dengan model tren linear dan kuadratik. Jadi model eksponensial adalah model terbaik untuk mencari nilai peramalan rata-rata kelahiran per hari setiap kecamatan. Pada Lampiran 3 dapat dilihat nilai koefisien 𝛽0=1.662 dan 𝛽1=0.007 sehingga dapat dirumuskan tren ekponensial menjadi: 𝜆𝑡 = 1.662𝑒 0.007𝑡 . Hasil analisis tren rata-rata kematian per hari setiap kecamatan kota Rembang dapat dilihat pada Lampiran 4. Nilai Standard Error of the Estimate (SEE) dari setiap model dapat dilihat pada Tabel 6. Tabel 6 Ringkasan Standard Error pola tren rata-rata kematian Tren Linear Kuadratik Eksponensial

Standard Error of the Estimate (SEE) 0.037 0.032 0.063

Berdasarkan Tabel 6 model tren kuadratik memiliki nilai SEE yang paling kecil yaitu 0.032 dibandingkan dengan model tren linear dan eksponensial. Jadi model kuadratik adalah model terbaik untuk mencari nilai peramalan rata-rata kematian per hari setiap kecamatan. Pada Lampiran 4 dapat dilihat nilai koefisien 𝛽0 = 0.551, 𝛽1 = 0.038, dan 𝛽2 = -0.006 sehingga dapat dirumuskan tren kuadratik menjadi: 𝜇𝑡 = 0.551 + (0.038)𝑡 − (0.006 )𝑡 2 . Hasil analisis tren rata-rata migrasi per hari setiap kecamatan kota Rembang dapat dilihat pada Lampiran 5. Nilai Standard Error of the Estimate (SEE) dari setiap model dapat dilihat pada Tabel 7.

13

Tabel 7 Ringkasan Standard Error pola tren rata-rata migrasi Tren

Standard Error of the Estimate (SEE) 0.136 0.118

Linear Kuadratik

Berdasarkan Tabel 7 model tren kuadratik memiliki nilai SEE yang paling kecil yaitu 0.118 dibandingkan dengan model tren linear. Jadi model kuadratik adalah model terbaik untuk mencari nilai peramalan rata-rata kematian per hari setiap kecamatan. Pada Lampiran 5 dapat dilihat nilai koefisien 𝛽0 = -0.348, 𝛽1 = -0.109, dan 𝛽2 = 0.021 sehingga dapat dirumuskan tren kuadratik menjadi: 𝜃𝑡 = −0.348 + ( −0.109)𝑡 − (0.021)𝑡 2 . Hasil peramalan parameter-parameter dapat dilihat pada Tabel 8. Tabel 8 Nilai ramalan parameter-parameter tahun

Rata-rata kelahiran untuk setiap kecamatan per hari (𝜆)

2012 2013

1.7577 1.7701

Rata-rata kematian untuk setiap kecamataan per hari (𝜇) 0.471 0.407

Rata-rata migrasi untuk setiap kecamatan per hari (𝜃) 0.124 0.372

Hasil peramalan pendugaan pertumbuhan penduduk yang akan datang dapat dilihat pada Tabel 9. Tabel 9 Hasil peramalan pertumbuhan populasi per hari Tahun 2012 2013

Nilai ramalan pertumbuhan populasi per hari 9.0817 10.4241

Sehingga jumlah penduduk pada tahun 2013 dan 2014 yang belum diketahui jumlahnya adalah sebesar 603784 jiwa dan 610895 jiwa.

SIMPULAN Pembangunan model stokastik proses kelahiran dan kematian dengan migrasi dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat proses Poisson dan beberapa manipulasi matematika. Dengan menggunakan nilai awal yang dipilih, model yang dibuat dapat memberikan pendugaan yang sangat baik bagi pertumbuhan penduduk dengan nilai 𝜆 > 1, 𝜇 < 1, dan 𝜃 < 0 di setiap kecamatan per hari. Nilai pendugaan pertumbuhan penduduk dari model yang dibuat pada tahun pada tahun 2001, 2002, 2003, 2005, 2006, 2008, 2009, 2010 dan 2011 cukup mendekati dengan

14

nilai pertumbuhan penduduk yang sebenarnya dengan nilai MAPE sebesar 18.988 %. Peramalan jumlah penduduk kota Rembang yang akan datang dapat dihitung dengan nilai peramalan pertumbuhan penduduk yang akan datang. Nilai peramalan pertumbuhan penduduk per hari tahun 2012 dan 2013 sebesar 9.0817 dan 10.4241. Sehingga nilai peramalan jumlah penduduk yang belum diketahui jumlah penduduknya pada tahun 2013 dan 2014 sebesar 603784 jiwa dan 610895 jiwa.

DAFTAR PUSTAKA Draper N, Smith H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Edisi Ke-2. Jakarta (ID): PT Gramedia. Everrit BS, Landau S, Leese M, Stahl D. 2011. Cluster Analysis. Edisi Ke-5. London: King’s College. Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equations and Their Applications. Singapore: McGraw-Hill. Johnson RA, Wichern DW. 2007. Aplied Multivariate Statistical Analysis. Ed Ke6. Amerika (US): Pearson Prentice Hall. Juanda B, Junaidi. 2012. Ekonometrika Deret Waktu. Bogor: IPB Press. Makridakis S, Wheelwright S.C, McGee V.E. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan, Jilid Satu. Ed Ke-2. Jakarta (ID): Binarupa Aksara. Ricciardi LM. 1986. Stochastic Population Theory: Birth and Death Processes Mathematical Ecology an Introduction. 17:155-190. Rachmawati RN, Bekti RD. 2013. Stochastic Growth Model for Spatial Cluster Birth and Death Process with Migration. Journal of Mathematics and Statistics. 9(2):112-118.doi:10.3844/jmssp.2013.112.118. Tan P, Steinbach M, Kumar V. 2006. Introduction to Data Mining. Boston: Pearson Addison Wesley.

15

LAMPIRAN Lampiran 1 Data kelahiran, kematian, dan migrasi Tahun Kelahiran Kematian 2001 9542 3665 2002 8827 3381 2003 9605 3049 2005 8621 2967 2006 8722 3084 2007 8634 3106 2008 8532 3164 2009 8608 3231 2010 8909 2685 2011 9014 2869 Sumber : Badan Pusat Statistika (BPS) Rembang.

Migrasi -2344 -1833 -2931 -2259 -2607 -2296 -2015 2682 -520 -588

Lampiran 2 Data setiap Kecamataan Kota Rembang per Tahun Tahun 2002 No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Kecamatan Sumber Bulu Gunem Sale Sarang Sedan Pamotan Sulang Kaliori Rembang Pancur Kragan Sluke Lasem



4.51 5.15 5.05 6 7.31 6.8 6.41 4.37 5.03 6.36 7.28 6.76 6.1 5.98

2.39 2.3 2.24 2.16 2.59 2.44 2.4 1.97 2.11 2.24 3.04 2.38 2.19 2.11

16

Tahun 2003 No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14




13.05 14.85 13.66 15.78 16.83 19.11 17.74 12.45 14.67 17.07 17.27 17.3 15.37 17.08

5.3 5.26 6.21 5.29 5.49 5.73 5.57 4.85 5.05 4.92 5.73 5.11 5.19 5.05



12.83 14.62 12.98 15.81 14.11 14.3 16.74 12.22 14.97 15.31 16.25 15.25 14.17 14.11

5.09 5.02 4.97 5.12 5.19 5.13 5.52 5.07 5.11 4.61 5.31 5.02 5.1 4.75

Tahun 2005 No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14


17

Tahun 2006 No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14




14.59 13.4 14.38 14.39 15.2 15.74 15.54 13.15 14.4 14.97 15.7 14.45 15.32 13.6

5.38 5.36 5.14 5.31 5.24 5.33 5.05 5.13 5.3 4.65 5.31 5.24 5.91 5.24



12.64 13.99 12.51 12.33 14.32 14.78 14.49 11.55 14.7 14.99 15.64 15.96 14.16 14.89

5.21 5.15 5.05 5.02 5.26 5.27 5.07 4.88 5.13 4.98 5.3 5.21 5.22 5.2

Tahun 2008 No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14


18

Tahun 2009 No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14




13.63 12.63 12.46 12.57 14.21 14.18 14.87 11.83 15.37 14.73 15.22 14.95 14.52 14.13

5.39 5.12 5.02 5.05 5.14 5.11 5.44 5.21 5.27 5.13 5.73 5.19 6 5.77



15,57 12,75 12,75 13,33 14,27 14,87 17,06 12,59 13,9 15,69 17,62 17,01 16,6 14,67

5,24 4,33 4,44 5,03 4,13 4,28 4,39 4,81 4,06 4,79 5,08 4,02 4,39 4,92

Tahun 2010 No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14


19

Tahun 2011 No

Kecamatan


1 Sumber 15.46 2 Bulu 12.94 3 Gunem 13.22 4 Sale 12.85 5 Sarang 14.61 6 Sedan 14.75 7 Pamotan 17.05 8 Sulang 13.48 9 Kaliori 15.26 10 Rembang 16.31 11 Pancur 17.11 12 Kragan 16.08 13 Sluke 14.71 14 Lasem 15.1 Sumber : Badan Pusat Statistika (BPS) Rembang.

Child Death Ratio (CDR) 5.4 4.78 4.99 5.77 4.1 4.14 4.42 5.86 4.61 4.94 5.4 3.86 4.49 5.83

20

Lampiran 3 Output dari rata-rata kelahiran per hari setiap kecamatan Linear R 0.711

Model Summary Adjusted R Square Standard Error of the Estimate 0.407 0.027

R Square 0.506

Regression Residual Total

Sum of Squares 0.004 0.004 0.007

ANOVA df Mean Square 1 0.004 5 0.001 6

F 5.116

Significance 0.073

Coefficients Unstandardized Standardized Coefficients Coefficients Case Sequence (Constant)

B 0.011 1.661

Standard Error 0.005 0.022

Beta 0.711

t Significance 2.262 0.073 73.847 0.000

Quadratic

R 0.905


R Square 0.819


Sum of Squares 0.006 0.001 0.007


F 9.059

Significance 0.033

Coefficients Unstandardized Standardized Coefficients Coefficients Case Sequence Case Sequence ** 2 (Constant)

B Standard Error -0.030 0.016 0.005 0.002 1.723

0.028

Beta -1.875 2.646

t Significance -1.866 0.136 2.633 0.058 61.431

0.000

21

Exponential

R 0.709

R Square 0.503



ANOVA Sum of Squares df Mean Square 0.001 1 0.001 0.001 5 0.000 0.002 6

F 5.055

Significance 0.074

Coefficients Unstandardized Standardized Coefficients Coefficients B Standard Error Beta t Significance Case Sequence 0.007 0.003 0.709 2.248 0.074 (Constant) 1.662 0.022 76.146 0.000 The dependent variable is ln(rata_kelahiran).

22

Lampiran 4 Output dari rata-rata kematian per hari setiap kecamatan Linear R R Square 0.419 0.175



Sum of Squares 0.001 0.007 0.008


F 1.063

Coefficients Unstandardized Standardized Coefficients Coefficients B Standard Error Beta t Case Sequence -0.007 0.007 -0.419 -10.031 (Constant) 0.619 0.031 19.897

Significance 0.350

Significance 0.350 0.000

Quadratic

R R Square 0.709 0.503



Sum of Squares 0.004 0.004 0.008


F 2.022

Significance 0.247


B Standard Error 0.038 0.029 -0.006 0.003 0.551

0.050

Beta 2.224 -2.704

t Significance 1.335 0.253 -1.623 0.180 11.066

0.000

23

Exponential R 0.430

R Square 0.185



Sum of Squares 0.005 0.020 0.025


F 1.134

Significance 0.336

Coefficients Unstandardized Standardized Coefficients Coefficients B Standard Error Beta t Significance Case Sequence -0.013 0.012 -0.430 -1.065 0.336 (Constant) 0.620 0.033 18.669 0.000 The dependent variable is ln(rata_kematian).

24

Lampiran 5 Output dari rata-rata migrasi per hari setiap kecamatan Linear R 0.719


R Square 0.517

Sum of Squares 0.099 0.093 0.192



F 5.342

Coefficients Unstandardized Standardized Coefficients Coefficients B Standard Error Beta t Case Sequence 0.060 0.026 0.719 2.311 (Constant) -0.601 0.115 -5.213

Significance 0.069

Significance 0.069 0.003

Quadratic

R 0.843


R Square 0.710


Sum of Squares 0.137 0.056 0.192


F 4.903

Significance 0.084


B -0.109 0.021

Standard Error 0.105 0.013

-0.348

0.184

Beta -1.314 2.080

t Significance -1.033 0.360 1.636 0.177 -1.892

0.131

25

Lampiran 6 Pembuktian kostanta pada analisis tren linier Rumus: 𝑌𝑡 = 𝑎 + 𝑏𝑋𝑡 + 𝑒𝑡 Bukti, 𝑛

𝑛

𝑆 = ∑(𝑒𝑡 )2 = ∑(𝑌𝑡 − 𝑎 − 𝑏𝑋𝑡 )2 𝑡=1

(6)

𝑡=1

Untuk mendapatkan nilai a dan b dengan cara mendiferensialkan persamaan (6) terhadap a dan b dan kemudian menyamakan hasil pendiferensialkan itu dengan nol. 𝑛

𝜕𝑆 = −2 ∑(𝑌𝑡 − 𝑎 − 𝑏𝑋𝑡 ) = 0 𝜕𝑎 𝑡=1

𝑛

⇔

∑ 𝑌𝑡 − 𝑎𝑛 − 𝑏 ∑ 𝑋𝑡 = 0 𝑡=1 𝑛

⇔

𝑛

𝑡=1 𝑛

∑ 𝑌𝑡 = 𝑎𝑛 + 𝑏 ∑ 𝑋𝑡 𝑡=1

𝑡=1

(7)

26

𝑛

𝜕𝑆 = −2 ∑ 𝑋𝑡 (𝑌𝑡 − 𝑎 − 𝑏𝑋𝑡 ) = 0 𝜕𝑏 𝑡=1

𝑛

𝑛

𝑛

∑ 𝑋𝑡 𝑌𝑡 − 𝑎 ∑ 𝑋𝑡 − 𝑏 ∑(𝑋𝑡 )2 = 0

⇔

𝑡=1

𝑡=1

𝑡=1

𝑛

𝑛

𝑛

∑ 𝑋𝑡 𝑌𝑡 = 𝑎 ∑ 𝑋𝑡 + 𝑏 ∑(𝑋𝑡 )2

⇔

𝑡=1

𝑡=1

(8)

𝑡=1

Kemudian dari pesamaan (7) dan persamaan (8) dilakukan subtitusi sehingga diperoleh kostanta a dan b sebagai berikut: 𝑏=

𝑛 ∑𝑛𝑡=1 𝑌𝑡 𝑋𝑡 − ∑𝑛𝑡=1 𝑌𝑡 ∑𝑛𝑡=1 𝑋𝑡 𝑛 ∑𝑛𝑡=1(𝑋𝑡 )2 − (∑𝑛𝑡=1 𝑋𝑡 )2

𝑎=

∑𝑛𝑡=1 𝑌𝑡 ∑𝑛𝑡=1 𝑋𝑡 +𝑏 𝑛 𝑛

Lampiran 7 Pembuktian kostanta pada analisis tren kuadratik Rumus: 𝑌𝑡 = 𝑎 + 𝑏𝑋𝑡 + 𝑐(𝑋𝑡 )2 + 𝑒𝑡 Bukti, 𝑛

𝑆 = ∑(𝑒𝑡 )2 = 𝑌𝑡 − 𝑎 − 𝑏𝑋𝑡 − 𝑐(𝑋𝑡 )2

(9)

𝑡=1

Untuk mendapatkan nilai a, b, dan c yaitu dengan cara mendiferensialkan persamaan (9) terhadap a, b, dan c kemudian hasil pendiferensialkan itu dengan nol. 𝑛

𝜕𝑆 = −2 ∑(𝑌𝑡 − 𝑎 − 𝑏𝑋𝑡 − 𝑐(𝑋𝑡 )2 ) = 0 𝜕𝑎 𝑡=1

𝑛

⇔

𝑛

∑ 𝑌𝑡 + 𝑎𝑛 − 𝑏 ∑ 𝑋𝑡 − 𝑐 ∑(𝑋𝑡 )2 = 0 𝑡=1

𝑡=1 𝑛

⇔

𝑛

𝑡=1 𝑛

𝑛

𝑎𝑛 + 𝑏 ∑ 𝑋𝑡 + 𝑐 ∑(𝑋𝑡 )2 = ∑ 𝑌𝑡 𝑡=1

𝑡=1

𝑡=1

(10)

27

𝑛

𝜕𝑆 = −2 ∑ 𝑋𝑡 (𝑌𝑡 − 𝑎 − 𝑏𝑋𝑡 − 𝑐(𝑋𝑡 )2 ) = 0 𝜕𝑏 𝑡=1

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

∑ 𝑋𝑡 𝑌𝑡 − 𝑎 ∑ 𝑋𝑡 − 𝑏 ∑(𝑋𝑡 )2 + 𝑐 ∑(𝑋𝑡 )3 = 0

⇔

𝑡=1

𝑡=1

𝑛

𝑡=1

𝑛

𝑎 ∑ 𝑋𝑡 − 𝑏 ∑(𝑋𝑡

⇔

𝑡=1

𝑡=1

𝑛

)2

𝑛

+ 𝑐 ∑(𝑋𝑡

𝑡=1

)3

= ∑ 𝑋𝑡 𝑌𝑡

𝑡=1

(11)

𝑡=1

𝑛

𝜕𝑆 = −2 ∑(𝑋𝑡 )2 (𝑌𝑡 − 𝑎 − 𝑏𝑋𝑡 − 𝑐(𝑋𝑡 )2 ) = 0 𝜕𝑐 𝑡=1

𝑛

⇔

𝑛

𝑛

)2

∑(𝑋𝑡 𝑌𝑡 − 𝑎 ∑(𝑋𝑡 𝑡=1 𝑛

⇔

)2

− 𝑏 ∑(𝑋𝑡

𝑡=1 𝑛

𝑡=1 𝑛

𝑛

)3

− 𝑐 ∑(𝑋𝑡 )4 = 0 𝑡=1 𝑛

𝑎 ∑(𝑋𝑡 )2 + 𝑏 ∑(𝑋𝑡 )3 + 𝑐 ∑(𝑋𝑡 )4 = ∑(𝑋𝑡 )2 𝑌𝑡 𝑡=1

𝑡=1

𝑡=1

(12)

𝑡=1

dari persamaan (10), persamaan (11), dan persamaan (12) dapat memeperoleh nilai kostanta a, b, dan c dengan menggunakan matrik sebagai berikut: 𝑛

𝑛 𝑛

𝑛

∑ 𝑋𝑡

∑(𝑋𝑡

𝑡=1 𝑛

𝑡=1 𝑛

𝑛

)2

∑ 𝑋𝑡

∑(𝑋𝑡 )2

∑(𝑋𝑡 )3

𝑡=1 𝑛

𝑡=1 𝑛

𝑡=1 𝑛

∑(𝑋𝑡 )3

∑(𝑋𝑡 )4

𝑡=1

𝑡=1

∑(𝑋𝑡 )2

( 𝑡=1

∑ 𝑌𝑡 𝑎 (𝑏 ) = 𝑐 )

𝑡=1 𝑛

∑ 𝑋𝑡 𝑌𝑡 𝑡=1 𝑛

∑(𝑋𝑡 )2 𝑌𝑡 (𝑡=1 )

Lampiran 8 Pembuktian kostanta pada analisis tren eksponensial Rumus: 𝑌𝑡 = 𝑎𝑒 𝑏𝑋𝑡

(13)

Untuk memperoleh nilai kostanta a dan b dapat dilakukan dengan cara mentransformasi persamaan (13) menjadi linier bukti sebagai berikut: ⇔

𝑏𝑋𝑡𝑏𝑋𝑡 ln 𝑌 𝑌𝑡𝑡 = = 𝑎𝑒 ln 𝑎𝑒

⇔

ln 𝑌𝑡 = ln 𝑎 + ln 𝑒 𝑏𝑋𝑡

⇔

ln 𝑌𝑡 = ln 𝑎 + 𝑋𝑡

(14)

28

RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Rembang pada 15 April 1992 sebagai anak pertama dari tiga bersaudara dari pasangan Sunardi dan Sih Minarni. Penulis menyelesaikan sekolah menengah atas di SMA Negeri 2 Rembang pada tahun 2010, kemudiaan melanjutkan pendidikan di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalaui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis diterima sebagai mahasiswa Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama masa kuliah, penulis aktif mengikuti kegiatan kampus di luar kegiaatan akademik. Penulis pernah megikuti organisasi sebagai Staf kewirausahaan GUMATIKA IPB 2012-2013. Kepanitian yang pernah diikuti divisi logstran IMC GUMATIKA IPB 2012-2013. Penulis juga aktif dalam Organisasi Mahasiswa daerah Rembang di Bogor (HKRB) selama di IPB.

PEMODELAN STOKASTIK PERTUMBUHAN PENDUDUK DI KOTA REMBANG DENGAN MEMPERTIMBANGKAN PROSES KELAHIRAN, KEMATIAN, DAN MIGRASI PENDI PRASETYA

Recommend Documents