Probabilitas dan Proses Stokastik
Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, 2014
Tim ProStok
OUTLINE 1. Capaian Pembelajaran
2. Pengantar dan Teori
3. Contoh
4. Ringkasan
5. Latihan 2
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Capaian Pembelajaran
Mahasiswa mampu:
menganalisis respons sistem LTI kontinu bila diberi input stokastik
Respon LTI dengan Input Stokastik
3
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Pengantar
Dalam bahasan tentang respon sistem linear kontinu dengan input stokastik ini akan dikembangkan suatu metode untuk
mendeskripsikan respon dari sistem linear bila input sinyal yang diberikan adalah acak (stokastik). Respon impulse sistem dalam
bahasan ini diasumsikan merupakan fungsi real dan karakteristik respon dari sistem dibatasi pada nilai mean, fungsi autokorelasi dan fungsi kepadatan spektral daya. Respon LTI dengan Input Stokastik
4
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Respon Sistem LTI
X(t)
LTI
Proses stokastik
Output Y(t)
Y (t ) =
Y(t) ?
∞
∫
h(u ) X (t − u ) du
−∞
Respon LTI dengan Input Stokastik
5
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Mean Respon Sistem
Bila X(t) WSS, mean dari Y(t)
∞ E[Y (t )] = E ∫ h(u ) X (t − u ) du −∞
=
∞
∫ h(u ) E[ X (t − u )] du
−∞
=X
∞
∫ h(u ) du = Y
−∞
Respon LTI dengan Input Stokastik
6
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Autokorelasi Respon Sistem
Bila X(t) WSS, fungsi autokorelasi dari Y(t) RYY (t , t + τ ) = E[Y (t )Y (t + τ )]
∞ ∞ = E ∫ h(u ) X (t − u ) du ∫ h(v) X (t + τ − v) dv −∞ −∞
RYY (τ ) =
∞ ∞
∫ ∫
−∞ −∞
RXX (τ +u − v) h(u )h(v) du dv
RYY (τ ) = RXX (τ ) ∗ h(−τ ) ∗ h(τ ) Respon LTI dengan Input Stokastik
7
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Korelasi Silang Input-Output
Korelasi silang X(t) dan Y(t)
RXY (t , t + τ ) = E[ X (t )Y (t + τ )] ∞ = E X (t ) ∫ h(u ) X (t + τ − u ) du −∞
RXY (τ ) =
∞
∫
−∞
RXX (τ − u ) h(u ) du
RXY (τ ) = RXX (τ ) ∗ h(τ ) Respon LTI dengan Input Stokastik
8
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Kepadatan Spektral Daya Respon Sistem
Kepadatan spektral daya output Y(t) SYY (ω ) = S XX (ω ) H (ω )
2
dengan – SXX(ω) psd dari X(t) – |H(ω)| fungsi transfer daya Daya rata-rata output Y(t) PYY
1 ∞ 2 = S ( ω ) H ( ω ) dω XX ∫ 2π −∞ Respon LTI dengan Input Stokastik
9
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Soal
Untuk rangkaian RL seri seperti pada gambar, diketahui bahwa input X(t) adalah proses stokastik wide sense stationer dengan fungsi autokorelasi R XX (τ ) = 10e
1H
X(t)
1Ω
Y(t)
−2 τ
Dapatkan: a) fungsi kepadatan spektral daya (PSD) output. b) daya rata-rata output. c) autokorelasi output Respon LTI dengan Input Stokastik
10
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Solusi
Mean X(t) adalah
lim RXX (τ ) = X 2
τ →∞
lim 10e
−2τ
τ →∞
Daya rata-rata X(t)
Varians X(t)
=0
X =0
PXX = RXX (0) = 10e0 = 10
σ X2 = E[ X 2 ] − X 2 = 10 − 0 = 10 Respon LTI dengan Input Stokastik
11
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Solusi
Kepadatan spektral daya input X(t) S XX (ω ) = ℑ[ RXX (τ )] =
10(2)(2)
ω +2 2
2
=
40
ω2 + 4
Fungsi transfer sistem H (ω ) = =
1 1 1 − jω 1 − jω R = = = R+ jωL 1+ jω 1 + jω 1 − jω 1 + ω 2 1
1+ ω
− 2
jω 1+ ω 2
Respon LTI dengan Input Stokastik
12
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Solusi
Konjugasi fungsi transfer H * (ω ) =
1
1+ ω
Fungsi transfer daya
+ 2
jω 1+ ω 2
2
1 ω H (ω ) = H (ω ) ⋅ H (ω ) = + 2 2 1+ω 1+ω =
∗
1+ω 2
[1+ω ]
22
=
2
1 1+ ω2
Respon LTI dengan Input Stokastik
13
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Solusi
Mean dari output Y(t)
Y = H (0) X = 1(0) = 0
Spektral daya output Y(t)
SYY (ω ) = H (ω ) S XX (ω ) 2
=
1
40
1+ ω 2 ω 2 + 4
=
40 (ω 2 + 1)(ω 2 + 4)
Respon LTI dengan Input Stokastik
14
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Solusi
Daya rata-rata Y(t) PYY
1 ∞ 1 ∞ 40 SYY (ω )dω = dω = ∫ ∫ 2 2 2π −∞ 2π −∞ (ω + 1)(ω + 4) 20 −1 1 ∞ d (ω 2) = tan ω − ∫ 2 2−∞ (ω 2) +1 3π
20 10 = [π −(π 2) ] = 3π 3 Respon LTI dengan Input Stokastik
15
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Solusi
Fungsi autokorelasi Y(t) −1
RYY (τ ) = ℑ [ SYY (ω )] = ℑ 2 2 ( ω 1 )( ω 4 ) + + −1
40
−1 40 / 3 − 40 / 3 −1 40 / 3 =ℑ 2 + 2 =ℑ 2
ω +1 ω +4
−1 40 / 3 −ℑ 2 ω + 4 ω + 1
20 − τ 10 −2 τ = e − e 3 3
Respon LTI dengan Input Stokastik
16
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Respon Sistem LTI dengan Input Stokastik
Respon sistem linear diberikan oleh integral konvolusi dari input stokastik dan respon impulse dari sistem
Bila input X(t) pada sistem linear adalah wide-sense stasioner, maka nilai mean dari output Y(t) sama dengan nilai mean dari X(t) dikalikan dengan luas dibawah respon impulse h(t) Jika input X(t) merupakan WSS, fungsi autokorelasi dari respon Y(t) adalah konvolusi dari fungsi autokorelasi input dengan h(τ) dan h(-τ) Respon LTI dengan Input Stokastik
17
CP
Teori
Contoh
Ringkasan
Latihan
Soal Latihan
Proses stokastik X(t) wide-sense stasioner dengan fungsi autokorelasi:
R XX (τ ) = e
−b τ
merupakan input pada filter RC dengan respon impulse
(1 RC )e −t h(t ) = 0
RC
t≥0 yang lain
Asumsikan b>0 dan b ≠ 1/RC. Dapatkan: a) Fungsi kepadatan spektral daya (PSD) output. b) Daya rata-rata output. Respon LTI dengan Input Stokastik
18
CP
Teori
Contoh
Respon LTI dengan Input Stokastik
Ringkasan
Latihan
19
