Pengantar Proses Stokastik Bab 4: Distribusi Eksponensial
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Pendahuluan
Pendahuluan
Distribusi eksponensial dapat dipandang sebagai analog (kontinu) dengan distribusi geometrik. Kita ketahui bahwa distribusi geometrik memodelkan banyaknya percobaan yang dibutuhkan oleh suatu proses diskrit untuk mengubah keadaan. Sedangkan distribusi eksponensial menjelaskan waktu untuk proses kontinu untuk mengubah keadaan. (Khreshna, 2011)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Pendahuluan
Distribusi eksponensial sering digunakan untuk menggambarkan waktu tunggu, lama seseorang mengantre, masa hidup suatu produk, dsb. Jika masa hidup suatu produk berdistribusi eksponensial, maka suatu produk yang sudah digunakan selama sekian jam, akan memiliki kondisi yang sama baiknya dengan sebuah produk baru dalam hal lamanya waktu yang tersisa sampai dengan produk tersebut gagal (rusak).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial
Sebuah peubah acak kontinu X dikatakan berdistribusi Eksponensial dengan parameter λ, λ > 0, jika fungsi peluangnya diberikan ( λ e −λx , x ≥ 0 f (x) = 0, x <0 atau, jika fungsi distribusinya diberikan Zx F (x) = −∞
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
( 1 − e −λx , f (y )dy = 0,
Pengantar Proses Stokastik
x ≥0 x <0
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial
Beberapa karakteristik distribusi Eksponensial adalah sebagai berikut: Mean, E (X ) =
1 λ
Variansi, Var (X ) =
1 λ2
Fungsi pembangkit momen, MX (t) =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
λ λ−t
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
Memoryless Property
Sebuah peubah acak X dikatakan memiliki sifat tanpa memori (memoryless property) jika P(X > s + t|X > t) = P(X > s), untuk semua s, t ≥ 0
(1)
Jika X merupakan masa hidup suatu produk, maka persamaan (1) menyatakan bahwa peluang suatu produk hidup selama minimal s + t jam diberikan bahwa produk tersebut sudah bertahan (mampu beroperasi) selama t jam adalah sama dengan peluang bahwa produk tersebut akan hidup minimal selama s jam lagi.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
Persamaan (1) di atas memiliki kondisi yang sama dengan P(X > s + t, X > t) = P(X > s) P(X > t) atau P(X > s + t) = P(X > s)P(X > t)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
Apakah distribusi eksponensial memiliki sifat tanpa memori? Tunjukkan!
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
Misalkan X ∼ Eksp(λ), maka P(X > s + t) = 1 − P(X ≤ s + t) = 1 − (1 − e −λ(s+t) ) = e −λ(s+t) = e −λs e −λt = P(X > s)P(X > t) Jadi, distribusi eksponensial memiliki sifat tanpa memori.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
Bagaimana dengan distribusi yang lain? misalkan distribusi uniform (0,1)?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
Misalkan X ∼ U(0, 1) maka fX (x) = 1 dan FX (x) = x sehingga P(X > s + t) = 1 − P(X ≤ s + t) = 1 − (s + t) 6= (1 − s)(1 − t) = (1 − FX (s))(1 − FX (t)) = P(X > s)P(X > t) Jadi, distribusi uniform (0,1) tidak memiliki sifat tanpa memori.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
Contoh
1. Misalkan lamanya waktu tunggu seseorang di bank berdistribusi eksponensial dengan mean 10 menit. Berapa peluang bahwa seorang nasabah akan menghabiskan waktu lebih dari 15 menit di bank? Berapa peluang bahwa seorang nasabah akan menghabiskan waktu lebih dari 15 menit di bank jika dia masih berada di bank setelah lebih dari 10 menit?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Misalkan X ∼ Eksp
1 10
Memoryless Property
, maka
a. Peluang nasabah menunggu lebih dari 15 menit 1
3
P(X > 15) = e − 10 (15) = e − 2 b. Peluang nasabah menunggu lebih dari 15 menit setelah ia menunggu lebih dari 10 menit 1
1
P(X > 15|X > 10) = P(X > 5) = e − 10 (5) = e − 2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
2. Di dalam sebuah kantor pos terdapat dua orang petugas yang melayani. Misalkan ketika Pak Santoso masuk ke dalam kantor pos, dia mendapati bahwa Pak Joko sedang dilayani oleh salah seorang petugas dan Pak Bara dilayani oleh petugas yang lain. Misalkan pula bahwa Pak Santoso diberitahu bahwa dia akan dilayani oleh salah seorang petugas segera setelah Pak Joko atau Pak Bara selesai dilayani. Jika lama waktu layanan seorang petugas berdistribusi eksponensial dengan mean λ1 , berapa peluang bahwa dari ketiga pelanggan, Pak Santoso adalah yang terakhir meninggalkan kantor pos?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
Perhatikan bahwa pada waktu di mana Pak Santoso dilayani oleh petugas yang sudah selesai melayani pelanggan sebelumnya, maka salah satu dari Pak Joko atau Pak Bara telah meninggalkan kantor pos dan yang lainnya masih dilayani. Namun demikian, berdasarkan sifat tanpa memori dari distribusi eksponensial, maka lamanya waktu yang masih akan dihabiskan oleh pelanggan yang lain (Pak Joko atau Pak Bara) adalah berdistribusi eksponensial dengan mean λ1 . Dengan demikian, berdasarkan kesimetrisan, maka peluang bahwa Pak Santoso adalah pelanggan terakhir yang meninggalkan kantor pos adalah sebesar 12 .
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
Secara matematis, persoalan tersebut akan diselesaikan kemudian.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
3. Misalkan X1 ∼ Eksp(λ1 ) saling bebas dengan X2 ∼ Eksp(λ2 ), tentukan P(X1 < X2 ).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
Z∞ Z∞ fX1 ,X2 (x1 , x2 )dx2 dx1
P(X1 < X2 ) = 0 x1
Z∞ Z∞ =
λ1 e −λ1 x1 λ2 e −λ2 x2 dx2 dx1
0 x1
Z∞ =
λ1 e −λ1 x1
−e −λ2 x2
∞ x1
dx1
0
Z∞ =
λ1 e −λ1 x1 e −λ2 x1 dx1 = λ1
Z∞
e −x1 (λ1 +λ2 ) dx1
0
0
λ1 −λ2 x1 ∞ λ1 =− e = λ1 + λ2 λ1 + λ2 0 Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
Secara umum, P(Xi = minj Xj ) = P(Xi < minj6=i Xj ) λi = Pn j=1 λj
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
Kembali ke Contoh 2: Misalkan XA dan XB adalah waktu layanan petugas A dan B. Peluang Pak Santoso adalah pelanggan terakhir yang meninggalkan kantor pos sama artinya dengan peluang waktu layanan Pak Santoso di petugas A (atau B), setelah Pak Joko (atau Pak Bara) selesai dilayani, lebih besar dari waktu layanan Pak Joko (atau Pak Bara) di petugas B (atau A).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
Dengan kata lain, P(XS > XJ + XB ) = P(XS > XJ |XJ > XB )P(XJ > XB ) + P(XS > XB |XB > XJ )P(XB > XJ ) = P(XS > XJ )P(XJ > XB ) + P(XS > XB )P(XB > XJ ) λ λ λ λ = . + . λ+λ λ+λ λ+λ λ+λ λ λ λ λ = . + . 2λ 2λ 2λ 2λ 1 1 1 = + = 4 4 2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
Berapa peluang bahwa Pak Santoso bukan pelanggan terakhir yang meninggalkan kantor pos?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
P(XJ > XS |XJ > XB )P(XJ > XB ) + P(XB > XS |XB > XJ )P(XB > XJ ) = P(XJ > XS )P(XJ > XB ) + P(XB > XS )P(XB > XJ ) λ λ λ λ = . + . λ+λ λ+λ λ+λ λ+λ λ λ λ λ = . + . 2λ 2λ 2λ 2λ 1 1 1 = + = 4 4 2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
4. Pandang soal sebelumnya, misalkan distribusi waktu layanan petugas A dan petugas B mempunyai parameter yang berbeda (misal λ1 dan λ2 ), berapa peluang Pak Santoso bukan pelanggan terakhir yang keluar dari kantor pos?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
P(XJ > XS |XJ > XB )P(XJ > XB ) + P(XB > XS |XB > XJ )P(XB > XJ ) = P(XJ > XS )P(XJ > XB ) + P(XB > XS )P(XB > XJ ) λ1 λ1 λ2 λ2 = . + . λ1 + λ2 λ1 + λ2 λ1 + λ2 λ1 + λ2 2 2 λ1 λ2 = + λ1 + λ2 λ1 + λ2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
5. Umur (masa hidup) sebuah motor bermerk Y dan H adalah peubah acak eksponensial yang saling bebas dengan parameter λY dan λH . Sebuah motor baru saja rusak. Hitung sisa masa hidup yang diharapkan dari motor yang lain!
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
E (sisa umur motor) = E (sisa umur motor Y | H rusak)P(H rusak) + E (sisa umur motor H | Y rusak)P(Y rusak) = E (TY |TH < TY )P(TH < TY ) + E (TH |TY < TH )P(TY < TH ) 1 λH 1 λY = + λY λH + λY λH λH + λY
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
6. Seorang dosen memiliki janji dengan seorang mahasiswa pada pukul 09.00 dan dengan mahasiswa lain pada pukul 10.00. Lamanya waktu yang dihabiskan mahasiswa-mahasiswa tersebut saling bebas dengan mean 60 (menit). Asumsikan bahwa mahasiswa-mahasiswa tersebut datang tepat waktu. Hitung lama waktu yang diharapkan yang dihabiskan mahasiswa kedua (yang datang pukul 10.00) di ruangan dosen tersebut.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
Misalkan Ti adalah lama waktu janjian mahasiswa ke-i, i = 1, 2. Diketahui 1 Ti ∼ Eksp 60 , E (T ) = E (T2 |T1 < 60)P(T1 < 60) + E (T2 |T1 > 60)P(T1 > 60) 1
1
= E (T2 )(1 − e − 60 (60) ) + E (T1 + T2 )e − 60 (60) = 60(1 − e −1 ) + (60 + 60)e −1 = 60(1 + e −1 )
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
7. Mesin 1 (M1 ) sedang bekerja. Mesin 2 (M2 ) akan dipasang untuk dipakai pada waktu t dari sekarang. Jika masa hidup Mesin i berdistribusi eksponensial dengan parameter λi , i = 1, 2, berapa peluang M1 adalah mesin pertama yang akan rusak (tidak dipakai lagi)?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
P(M1 rusak pertama) = P(M1 rusak pertama | M1 masih bekerja sampai waktu t) P(M1 masih bekerja sampai waktu t) + P(M1 rusak pertama | M1 rusak pada waktu t) P(M1 rusak pada waktu t) = P(M1 < M2 |M1 > t)P(M1 > t) + P(M1 < M2 |M1 < t)P(M1 < t) = P(M1 < M2 )P(M1 > t) + P(M1 < M2 )P(M1 < t) λ1 = e −λ1 t + (1)(1 − e −λ1 t ) λ1 + λ2 λ1 = e −λ1 t + (1 − e −λ1 t ) λ1 + λ2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
8. Xi berdistribusi eksponensial dengan parameter θi , di mana i = 1, 2, 3. Hitung P(X1 < X2 < X3 )
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Memoryless Property
P(X1 < X2 < X3 ) = P(X2 < X3 |X1 = min(X1 , X2 , X3 )) × P(X1 = min(X1 , X2 , X3 )) θ2 θ1 = θ 2 + θ3 θ1 + θ2 + θ3
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Latihan
Latihan
1. Misalkan di sebuah Bank terdapat 2 orang teller yang sibuk melayani nasabah. Tidak ada orang lain yang antri. Seseorang K yang datang akan dilayani salah satu teller yang telah selesai dengan nasabah sebelumnya. Jika waktu melayani dari teller ke-i adalah peubah acak eksponensial dengan parameter θi , hitung E (T ) di mana T adalah waktu yang dihabiskan K di Bank.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Latihan
2. Misalkan Lita memasuki Bank dan hanya terdapat seorang teller yang melayani. Di dalam Bank terdapat 7 orang nasabah (tidak termasuk Lita), 1 orang sedang dilayani dan 6 orang yang lain antri, Lita pun juga antri. Jika waktu layanan berdistribusi eksponensial dengan parameter θ, berapa lama waktu (expected amount of time) yang dihabiskan Lita di Bank?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Latihan
3. Seorang nasabah yang datang ke suatu kantor akan dilayani oleh petugas P1 , lalu P2 , lalu pulang. Waktu layanan petugas Pi adalah peubah acak eksponensial dengan parameter βi , i = 1, 2. Ketika Rose datang, terlihat P1 sedang kosong. Sedangkan 2 nasabah ada di P2 (A dilayani, B antri). Hitung peluang nasabah A masih dilayani ketika Rose ke P2 .
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Latihan
4. Pandang soal yang sama dengan soal nomor 3, hanya saja di P2 (petugas 2) terdapat dua orang antri dan satu orang sedang dilayani. Ketika Rose selesai dilayani di P1 , orang yang tadi dilayani di P2 masih dilayani. Berapa waktu yang dihabiskan (expected amount of time) Rose di kantor tersebut?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Latihan
Penyelesaian
1. E (T ) dengan T adalah waktu yang dihabiskan K di Bank adalah E (T ) = E (T |R1 < R2 )P(R1 < R2 ) + E (T |R2 < R1 )P(R2 < R1 ) λ2 λ1 + E (T |R2 < R1 ) = E (T |R1 < R2 ) λ1 + λ2 λ1 + λ2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Latihan
di mana E (T |R1 < R2 ) = E (S + R1 |R1 < R2 ) = E (S|R1 < R2 ) + E (R1 |R1 < R2 ) 1 1 = + λ1 λ1 + λ2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Latihan
Jadi, E (T ) = E (T |R1 < R2 )P(R1 < R2 ) + E (T |R2 < R1 )P(R2 < R1 ) 1 1 λ1 1 1 λ2 = + + + λ1 λ1 + λ2 λ1 + λ2 λ2 λ1 + λ2 λ1 + λ2 3 = λ1 + λ2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Latihan
2. Misalkan T adalah lamanya waktu Lita di Bank dan Si adalah waktu layanan. Maka lamanya waktu (expected amount of time) yang dihabiskan Lita di Bank adalah E (TL ) = E (SL ) +
7 X i=1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
E (Si ) =
8 µ
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Latihan
3. Misalkan Rose saat berada di P1 dan nasabah A di P2 . Waktu layanan Rose di P1 lebih singkat dari waktu layanan A di P2 . Maka P(P1 < P2 ) =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
β1 β1 + β2
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Distribusi Eksponensial
Latihan
4. Lamanya waktu (expected amount of time) yang dihabiskan Rose di Bank E (TR ) = E (SR (di P1 )) + E (SR (di P2 )) +
3 X
E (Si )
i=1
=
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
1 4 + β1 β2
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44
Pustaka
Pustaka
Pustaka
Ross, Sheldon M. 2007. Introduction to Probability Models; 9th Edition. New York: Academic Press. Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 Pengantar Proses Stokastik. Departemen Matematika ITB, Bandung. Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin. 1975. A First Course in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic Press. Virtamo, J. 38.143 Queueing Theory/ Probability Theory.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 44