Pengantar Proses Stokastik

Diskusi Pustaka

Pengantar Proses Stokastik Diskusi 1: Dasar-dasar Probabilitas Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Pengantar Proses Stokastik

Diskusi Pustaka

Diskusi 1 Penyelesaian

Diskusi 1 1. Misalkan sebuah koin yang mempunyai peluang muncul muka sebesar 0.7, dilantunkan tiga kali. Misalkan X menyatakan banyaknya muka yang muncul pada tiga kali lantunan. Tentukan fungsi massa peluang dari X . 2. Diketahui

 1  2x, 0 ≤ x ≤ 2 fX (x) = 34 , 2 < x < 3   0, x yang lain

.

Tentukan: a. P X > 41 b. Tentukan FX (x)



Diskusi Pustaka


3. Di dalam sebuah kantong terdapat n + m bola, dengan n bola merah dan m bola hitam. Bola-bola tersebut akan diambil dari kantong, satu kali pengambilan setiap waktu dan pengambilan dilakukan tanpa pengembalian. Misalkan X menyatakan banyaknya bola merah yang diambil sebelum bola hitam pertama terambil. Kita akan menentukan E (X ). Untuk mendapatkannya, beri nomor untuk bola merah dari 1 sampai n. Sekarang definisikan peubah acak Xi , i = 1, 2, . . . , n dengan ( 1, jika i bola merah terambil sebelum bola hitam Xi = 0, lainnya



Diskusi Pustaka


a. Nyatakan X dalam bentuk Xi b. Tentukan E (X ) 4. Maskapai penerbangan mengetahui bahwa 5% dari pemesan tiket tidak datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang?



Diskusi Pustaka


5. Medibank, perusahaan asuransi kesehatan terbesar di Australia, memiliki polis yang menanggung 100% biaya kesehatan hingga maksimal 1 juta dolar/th polis. Diketahui total tagihan kesehatan X /th memiliki fungsi peluang: fX (x) =

x(4 − x) ,0 < x < 3 9

Jika Y menyatakan total pembayaran yang dilakukan Medibank, tentukan nilai yang mungkin untuk Y ! Tentukan ekspektasi dari Y !



Diskusi Pustaka


Penyelesaian

1. Fungsi massa peluang X P(X = 0) = (0.3)3 = 0.027 P(X = 1) = 3(0.3)2 (0.7) = 0.189 P(X = 2) = 3(0.3)(0.7)2 = 0.441 P(X = 3) = (0.7)3 = 0.343



Diskusi Pustaka


2. Pertama, cek apakah fungsi tsb merupakan fungsi peluang 3 Z1/2 Z3 2 1/2 3 3 dx = x 0 + x 2x dx + 4 4 2 0

2

=

a. Nilai P X >

1 4

1 9 6 + − =1 4 4 4

adalah

1 P X > 4

1 =1−P X ≤ 4

Z1/4 =1− 2x dx 0

1/4 1 15 = 1 − x2 0 = 1 − = 16 16



Diskusi Pustaka


b. F (x) nya adalah Untuk x < 0 Zx F (x) =

Zx f (t)dt =

−∞

Untuk 0 ≤ x ≤

−∞

1 2

Zx F (x) =

Z0 f (t)dt =

−∞

Untuk

1 2

0 dt = 0

Zx 0 dt +

−∞

2t dt = x 2

0

<x <2 Z0 F (x) = −∞

Z1/2 Zx 0 dt + 2t dt + 0 dt 0

1/2

1/2 1 = 0 + x2 0 + 0 = 4 Atina Ahdika, S.Si, M.Si


Diskusi Pustaka


Untuk 2 ≤ x ≤ 3 Z1/2 Z2 Zx 3 dt 0 dt + 2t dt + 0 dt + 4

Z0 F (x) = −∞

0

2

1/2

x 2 1/2 3 1 3 3 3 5 =0+ t 0 +0+ t = + x − = x − 4 2 4 4 2 4 4 Untuk x > 3 Z0 F (x) = −∞

Z1/2 Z2 Z3 Zx 3 0 dt + 2t dt + 0 dt + dt + 0 dt 4 0

1/2 3 = 0 + x2 0 + 0 + t 4 Atina Ahdika, S.Si, M.Si

2

1/2

3 +0= 2

3

1 9 3 + − =1 4 4 2


Diskusi Pustaka


  0, x < 0    1 2   x , 0 ≤ x ≤ 2 Jadi, F (x) = 14 , 21 < x < 2   3 5    4x − 4, 2 ≤ x ≤ 3   1, x > 3



Diskusi Pustaka

3.

a. X =

n P


Xi

i=1

b. E (Xi ) =

1 X

xi P(Xi = xi ) = 0 · P(Xi = 0) + 1 · P(Xi = 1)

xi =0

=

1 n+1

Jadi, E (X ) =

n X i=1


E (Xi ) =

n n+1


Diskusi Pustaka


4. Misalkan X merupakan peubah acak yang menyatakan banyaknya orang yang tidak datang (peluang sukses), maka X ∼ B(52, 0.05) Banyaknya yang tidak datang adalah 5%x52 = 2.6 sehingga peluang ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang adalah jika paling sedikit ada 2 orang yang tidak datang yaitu P(X ≥ 2) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1)] 52 52 0 52 (0.05) (0.95) − (0.05)1 (0.95)51 =1− 0 1 = 0.74



Diskusi Pustaka


5. Jika Y menyatakan total pembayaran yang dilakukan Medibank, maka nilai yang mungkin untuk Y adalah Y = min{X , 1} dan ekspektasi Y adalah Z3

Z1 x fX (x) dx +

E (Y ) =

1

0

Z1 =

1.fX (x) dx

x(4 − x) x dx + 9

0

Z3 1.

x(4 − x) dx 9

1

.. . =

101 108



Diskusi Pustaka

Pustaka

Pustaka

Ross, Sheldon M. 2007. Introduction to Probability Models; 9th Edition. New York: Academic Press. Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 Pengantar Proses Stokastik. Departemen Matematika ITB, Bandung. Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin. 1975. A First Course in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic Press. Virtamo, J. 38.143 Queueing Theory/ Probability Theory.



Pengantar Proses Stokastik

Recommend Documents