611.22.033 Pengantar Proses Stokastik Bab 3: Rantai Markov Diskrit Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Rantai Markov
Rantai Markov
Misalkan sebuah proses stokastik {Xt } dengan t = 0, 1, 2, . . .. Nilai yang mungkin dari Xt adalah hingga atau terhitung Memiliki peluang transisi atau peluang berpindahnya keadaan ”i” (pada waktu t) ke keadaan ”j” (pada waktu t + 1) adalah Pij yaitu P(Xt+1 = j|Xt = i, Xt−1 = it−1 , . . . , X1 = i1 , X0 = i0 ) = Pij Distribusi bersyarat Xt+1 diberikan keadaan-keadaan lampau X0 , X1 , . . . , Xt−1 dan keadaan sekarang Xt , hanya bergantung pada keadaan sekarang (Sifat Markov) Maka proses stokastik demikian dikenal dengan nama Rantai Markov.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Matriks Peluang Transisi
Matriks Peluang Transisi
Pij adalah peluang bahwa proses akan berada di keadaan j dari keadaan i Pij ≥ 0, i, j ≥ 0;
∞ X
Pij = 1, i = 0, 1, . . .
j=0
Perhatikan P(Xt+1 = j|Xt = i, Xt−1 = it−1 , . . . , X1 = i1 , X0 = i0 ) = P(Xt+1 = j|Xt = i) = Pij disebut peluang transisi satu langkah.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Matriks Peluang Transisi
Misalkan P menyatakan matriks peluang transisi satu langkah Pij , maka P00 P01 P02 . . . P10 P11 P12 . . . .. .. .. . . P= . Pi0 Pi1 Pi2 . . . .. .. .. . . .
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Matriks Peluang Transisi
Atau dapat pula digambarkan sebagai berikut
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Matriks Peluang Transisi
Contoh 1
Jika hari ini hujan, peluang besok hujan adalah α. Jika hari ini tidak hujan, peluang besok hujan adalah β. Misal: ’0’ : hujan ’1’ : tidak hujan Maka matriks peluang transisinya adalah α 1−α P= β 1−β
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Matriks Peluang Transisi
Contoh 2
Dalam suatu hari, Gary bisa ceria (C ), biasa saja (B), atau murung (M). Jika hari ini ceria, maka dia akan C , B, atau M besok dengan peluang masing-masing 0.5, 0.4, 0.1. Jika dia merasa biasa saja hari ini, maka dia akan C , B, atau M besok dengan peluang masing-masing 0.3, 0.4, 0.3. Jika dia merasa murung hari ini, maka dia akan C , B, atau M besok dengan peluang masing-masing 0.2, 0.3, 0.5.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Matriks Peluang Transisi
Misalkan keadaan 0 = C , keadaan 1 = B, matriks peluang transisinya adalah 0.5 0.4 P = 0.3 0.4 0.2 0.3
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
dan keadaan 2 = M, maka 0.1 0.3 0.5
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Matriks Peluang Transisi
Contoh 3
Keadaan pada suatu hari: Jika dua hari terakhir hujan, peluang besok hujan 0.7 Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan, peluang besok hujan 0.5 Jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan, peluang besok hujan 0.4 Jika hari ini dan kemarin tidak hujan, peluang besok hujan 0.2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Matriks Peluang Transisi
Misal: ’0’ : hujan ’1’ : tidak hujan Maka matriks peluang transisinya adalah 0.7 0 0.3 0 0.5 0 0.5 0 P= 0 0.4 0 0.6 0 0.2 0 0.8
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Matriks Stokastik
Matriks Stokastik
Perhatikan matriks-matriks berikut: 0.7 0 0.3 0 0.5 0.4 0.1 0.5 0 0.5 0 P = 0.3 0.4 0.3 , P = 0 0.4 0 0.6 0.2 0.3 0.5 0 0.2 0 0.8
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Matriks Stokastik
Matriks-matriks tersebut memiliki sifat-sifat berikut: Memiliki jumlah baris dan kolom sama, atau matriks bujursangkar Jumlah unsur-unsur di setiap baris adalah satu Tidak selalu memiliki jumlah unsur-unsur di setiap kolom sama dengan satu Nilai setiap unsurnya diantara nol dan satu Matriks dengan sifat-sifat tersebut dikatakan sebagai matriks stokastik.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Matriks Stokastik
Contoh 4
Suatu rantai Markov dengan keadaan-keadaan ’0, 1, 2’ mempunyai matriks peluang transisi 0.1 0.2 0.7 P = 0.9 0.1 0 0.1 0.8 0.1 dan P(X0 = 0) = 0.3, P(X0 = 1) = 0.4, P(X0 = 2) = 0.3. Hitung P(X0 = 0, X1 = 1, X2 = 2).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Matriks Stokastik
Penyelesaian: P(X0 = 0, X1 = 1, X2 = 2) = P(X2 = 2|X1 = 1, X0 = 0)P(X1 = 1, X0 = 0) = P(X2 = 2|X1 = 1, X0 = 0)P(X1 = 1|X0 = 0)P(X0 = 0) = P(X2 = 2|X1 = 1)P(X1 = 1|X0 = 0)P(X0 = 0) = 0(0.2)(0.3) =0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Matriks Stokastik
Contoh 5
Suatu rantai Markov dengan keadaan-keadaan ’0, 1, 2’ 0.7 0.2 0.1 P = 0 0.6 0.4 0.5 0 0.5 Hitung P(X2 = 1, X3 = 1|X1 = 0) dan P(X1 = 1, X2 = 1|X0 = 0).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Matriks Stokastik
Penyelesaian: a. P(X2 = 1, X3 = 1|X1 = 0) = P(X3 = 1|X2 = 1)P(X2 = 1|X1 = 0) = 0.6(0.2) = 0.12 b. P(X1 = 1, X2 = 1|X0 = 0) = P(X2 = 1|X1 = 1)P(X1 = 1|X0 = 0) = 0.6(0.2) = 0.12
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Matriks Stokastik
Contoh 6
Suatu matriks stokastik dengan keadaan-keadaan ’0, 1, 2’ 1 1 1 3
P = 12 1
3 1 4
3 1 4
0
0
Hitung E (X2 |X1 = 2)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Matriks Stokastik
Penyelesaian:
E (X2 |X1 = 2) =
2 X
x2 P(X2 = x2 |X1 = 2)
x2 =0
= 0 + (1) P(X2 = 1|X1 = 2) + (2) P(X2 = 2|X1 = 2) =0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Matriks Stokastik
Matriks Stokastik n-langkah
Pandang matriks stokastik satu-langkah: 0.3 0.7 P= 0.5 0.5 Selanjutnya, kita dapat menentukan matriks stokastik dua-langkah yaitu matriks yang didefinisikan pada ruang keadaan yang sama namun ruang waktu dua-langkah atau {t, t + 2}.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Matriks Stokastik
Ingat kembali matriks stokastik satu-langkah Pij = P(Xt+1 = j|Xt = i) Kita dapat menentukan matriks stokastik dua-langkah yaitu Pij2 = P(Xt+2 = j|Xt = i) Dalam kasus ini
2 2 P00 P01 P = 2 2 P10 P11 2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Matriks Stokastik
Kita bisa menggunakan law of total probability yaitu 2 P00 = P(Xt+2 = 0|Xt = 0)
= P(Xt+2 = 0, Xt+1 = 0|Xt = 0) + P(Xt+2 = 0, Xt+1 = 1|Xt = 0) = P(Xt+2 = 0|Xt+1 = 0, Xt = 0)P(Xt+1 = 0|Xt = 0) + P(Xt+2 = 0|Xt+1 = 1, Xt = 0)P(Xt+1 = 1|Xt = 0) = P(Xt+2 = 0|Xt+1 = 0)P(Xt+1 = 0|Xt = 0) + P(Xt+2 = 0|Xt+1 = 1)P(Xt+1 = 1|Xt = 0) = P00 P00 + P10 P01 = P00 P00 + P01 P10
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Matriks Stokastik
2 , P 2 dan P 2 . Atau sama Penyelesaian tersebut berlaku pula untuk P01 10 11 saja dengan mengalikan dua matriks P yaitu
P 2 = P.P P00 P01 P00 = . P10 P11 P10 P00 P00 + P01 P10 = P10 P00 + P11 P10
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
P01 P11
P00 P01 + P01 P11 P10 P01 + P11 P11
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Matriks Stokastik
Jadi, untuk contoh di atas 2 P00 = P00 P00 + P01 P10
= 0.3(0.3) + 0.7(0.5) = 0.44 atau, matriks stokastik dua-langkahnya adalah 0.3 0.7 0.3 0.7 2 P = . 0.5 0.5 0.5 0.5 0.44 0.56 = 0.4 0.6
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Chapman-Komogorov Equations
Chapman-Komogorov Equations
Misalkan Pijn menyatakan peluang bahwa proses pada keadaan i akan berada pada keadaan j setelah n-transisi, Pijn = P (Xt+n = j|Xt = i) ,
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
n ≥ 0, i, j ≥ 0
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Chapman-Komogorov Equations
Persamaan Chapman-Kolmogorov memberikan metode untuk menghitung peluang transisi n + m-langkah, yaitu Pijn+m
=
∞ X
m Pikn Pkj
untuk semua n, m ≥ 0, semua i, j
k=0 m menyatakan peluang bahwa proses bermula pada keadaan i akan Pikn Pkj berpindah ke keadaan j dalam n + m transisi melalui keadaan k pada transisi ke-n.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Chapman-Komogorov Equations
Pijn+m = P(Xn+m = j|X0 = i) = = =
∞ X k=0 ∞ X k=0 ∞ X k=0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
P(Xn+m = j, Xn = k|X0 = i) P(Xn+m = j|Xn = k, X0 = i)P(Xn = k|X0 = i) m n Pkj Pik =
∞ X
m Pikn Pkj
k=0
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Chapman-Komogorov Equations
Contoh 7
Misalkan pada Contoh 1 diketahui α = 0.7 dan β = 0.4, maka tentukan peluang bahwa akan hujan pada empat hari dari hari ini diberikan bahwa hari ini hujan!
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Chapman-Komogorov Equations
0.7 0.3 0.7 0.3 0.61 0.39 = = 0.4 0.6 0.4 0.6 0.52 0.48 0.61 0.39 0.61 0.39 0.5749 0.4251 4 P = = 0.52 0.48 0.52 0.48 0.5668 0.4332 4 = 0.5749 Jadi, P00
P2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Chapman-Komogorov Equations
Contoh 8
Perhatikan Contoh 3, diberikan pada hari Senin dan Selasa hujan, berapa peluang bahwa pada hari Kamis akan hujan?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
0.7 0.5 P2 = 0 0 0.49 0.35 = 0.20 0.10
Senin ’0’
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Chapman-Komogorov Equations
0.7 0 0.3 0 0 0.3 0 0 0.5 0 0.5 0 0.5 0 0 0.4 0 0.6 0.4 0 0.6 0 0.2 0 0.8 0.2 0 0.8 0.12 0.21 0.18 0.20 0.15 0.30 0.12 0.20 0.48 0.16 0.10 0.64
Selasa ’0’
Rabu ’0’ atau ’1’
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Kamis ’0’
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Chapman-Komogorov Equations
Peluang bahwa Kamis hujan adalah: 2 2 P00.00 P00.00 + P00.01 P01.10 = P00.00 + P00.10
= 0.49 + 0.12 = 0.61
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Peluang Transisi Tak Bersyarat
Peluang Transisi Tak Bersyarat Peluang transisi Pijn yang sudah kita hitung di atas merupakan peluang bersyarat. Jika kita ingin menghitung peluang transisi tak bersyaratnya yaitu P(Xn = j), maka kita bisa menggunakan law of total probability yaitu P(Xn = j) =
∞ X
P(Xn = j|X0 = i) P(X0 = i)
i=0
=
∞ X
Pijn αi
i=0
dengan αi = P(X0 = i), i ≥ 0 adalah peluang tak bersyarat pada keadaan ∞ P awal atau t = 0, dan αi = 1 i=0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Peluang Transisi Tak Bersyarat
Sebagai contoh, berdasarkan Contoh 7, jika α0 = 0.4, α1 = 0.6, maka peluang (tak bersyarat) bahwa akan hujan empat hari setelah kita mempunyai data perubahan cuaca adalah P(X4 = 0) = P(X4 = 0|X0 = 0)P(X0 = 0) + P(X4 = 0|X0 = 1)P(X0 = 1) 4 4 = P00 α0 + P10 α1 4 4 = 0.4P00 + 0.6P10
= (0.4)(0.5749) + (0.6)(0.5668) = 0.57
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Peluang Transisi Tak Bersyarat
Kebebasan dalam Matriks Stokastik Misalkan
0.4 0.6 P= 0.4 0.6
Maka, P(Xt = 0|Xt−1 = 0) = P(Xt = 0|Xt−1 = 1) = 0.4 Kemudian, dengan law of total probability P(Xt = 0) = P(Xt = 0|Xt−1 = 0)P(Xt−1 = 0) + P(Xt = 0|Xt−1 = 1)P(Xt−1 = 1) α = 0.4 α + 0.4 (1 − α) Jadi, α = 0.4 Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Peluang Transisi Tak Bersyarat
Dengan kata lain P(Xt = 0|Xt−1 = 0) = 0.4 = P(Xt = 0) Ini berarti bahwa peubah acak Xt saling bebas.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Peluang Transisi Tak Bersyarat
Contoh-contoh Lain
1. Jika pada waktu t, Vanes mengajukan klaim asuransi, maka Vanes akan mengajukan klaim pada waktu t + 1 dengan peluang α; jika Vanes tidak mengajukan klaim asuransi saat ini maka di masa depan Vanes akan mengajukan klaim asuransi dengan peluang β. Matriks peluang transisinya adalah Keadaan: ’0’ : tidak mengajukan klaim ’1’ : mengajukan klaim P=
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
1−β β 1−α α
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Peluang Transisi Tak Bersyarat
2. Percobaan-percobaan dilakukan secara berurutan. Jika dalam dua percobaan terakhir SUKSES, maka peluang GAGAL pada percobaan berikut adalah 0.8. Dalam keadaan YANG LAIN, peluang GAGAL adalah 0.4.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Peluang Transisi Tak Bersyarat
Keadaan-keadaan: 0 0
0 (SS) : kemarin S, sekarang S
0 0
1 (SG ) : kemarin S, sekarang G
0 0
2 (GS) : kemarin G, sekarang S
0 0
3 (GG ) : kemarin G, sekarang G 0.2 0.8 0 0 0 0 0.6 0.4 P= 0.6 0.4 0 0 0 0 0.6 0.4
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Peluang Transisi Tak Bersyarat
3. Tim sepakbola IKS UII akan memainkan tujuh rangkaian pertandingan. Hasil setiap pertandingan saling bebas. Setiap pertandingan akan dimenangkan oleh tim A dengan peluang α dan oleh tim B dengan peluang 1 − α. Misalkan keadaan suatu sistem direpresentasikan oleh pasangan (a, b) di mana a menyatakan banyak pertandingan yang dimenangkan oleh A dan b adalah banyak pertandingan yang dimenangkan B. Bentuklah Rantai Markov untuk masalah tersebut. Catatan: a + b ≤ 7 dan rangkaian pertandingan akan berakhir jika a = 4 atau b = 4.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Peluang Transisi Tak Bersyarat
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Latihan
Latihan 1
1. Laila adalah mahasiswa tingkat akhir di Farmasi UII. Dia tinggal tidak jauh dari kampus, cukup berjalan kaki saja dari tempat kos ke kampus dan sebaliknya. Akhir-akhir ini hujan datang hampir setiap hari. Mau tidak mau, Laila menggunakan payung dalam perjalanan kos-kampus atau kampus-kos. Jika hari hujan dan payung ada di tempat Laila berada, maka Laila akan menggunakan payung tersebut. Jika hari tidak hujan, Laila selalu lupa untuk membawa payung. Misalkan θ adalah peluang hujan setiap kali Laila akan menuju kampus atau kos. Jika Laila memiliki 3 buah payung, bentuklah suatu rantai Markov dari proses di atas!
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Latihan
2. Tiga bola putih dan tiga bola hitam diletakkan ke dalam dua kotak sedemikian rupa sehingga masing-masing kotak terdiri atas tiga bola. Kita katakan bahwa sistem berada pada keadaan i, i = 0, 1, 2, 3, jika kotak pertama terdiri atas i bola putih. Pada masing-masing langkah, kita ambil sebuah bola dari masing-masing kotak dan meletakkan bola dari kotak kedua ke kotak pertama dan sebaliknya. Buatlah matriks peluang transisi dari kejadian tersebut!
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Latihan
3. Menurut George, Christ, dan John, tanah Australia diberkahi dengan banyak hal kecuali cuaca yang baik. Mereka tidak pernah memiliki dua hari bercuaca baik secara berturut-turut. Jika mereka mendapatkan hari bercuaca baik, maka esok hari akan bersalju atau hujan dengan peluang sama. Jika hari ini mereka mengalami salju atau hujan maka besok akan bercuaca sama dengan peluang separuhnya. Jika terdapat perubahan cuaca dari salju atau hujan, hanya separuh dari waktu besok akan menjadi hari bercuaca baik. Tentukan matriks peluang transisi dari Rantai Markov yang dibentuk dari keadaan-keadaan di atas.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Latihan
4. Sebuah Rantai Markov {Xn , n ≥ 0} dengan keadaan-keadaan 0, 1, 2 mempunyai matriks peluang transisi sebagai berikut: 1 1 1 2
P = 0 1 2
3 1 3
0
6 2 3 1 2
Jika P(X0 = 0) = P(X0 = 1) = 41 , tentukan E (X2 ).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Latihan
5. Seorang SPG berjuang untuk menjual suatu produk sebanyak i = 0, 1, 2 buah. Proses jumlah produk yang terjual {Xn } membentuk Rantai Markov dengan matriks peluang transisi sebagai berikut: 0 1/2 1/2 P = 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 a. Hitung P(Xn = 0|X0 = 0) untuk n = 0, 1, 2 b. Hitung P(X3 = 1|X1 = 0)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Latihan
Penyelesaian 1. Keadaan-keadaan: 0 0
0 : 0 payung di tempat Laila berada
0 0
1 : 1 payung di tempat Laila berada
0 0
2 : 2 payung di tempat Laila berada
0 0
3 : 3 payung di tempat Laila berada
Matriks peluang transisi:
0 0 0 0 0 1 − θ P= 0 1−θ θ 1−θ θ 0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
1 θ 0 0
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Latihan
2. Keadaan-keadaan: 0 0
0 : terdapat 0 bola putih di kotak pertama
0 0
1 : terdapat 1 bola putih di kotak pertama
0 0
2 : terdapat 2 bola putih di kotak pertama
0 0
3 : terdapat 3 bola putih di kotak pertama
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Latihan
P10 = P(Xn = 0|Xn−1 = 1)
P11
P12
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
= P(P12 H21 ) 1 1 1 = . = 3 3 9 = P(P12 P21 ) + P(H12 H21 ) 1 2 2 1 4 = . + . = 3 3 3 3 9 = P(H12 P21 ) 2 2 4 = . = 3 3 9
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Latihan
Jadi matriks peluang transisinya adalah: 0 1 0 1 4 4 9 9 9 P= 0 4 4 9 9 0 0 1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
0 0 1 9 0
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Latihan
3. Keadaan-keadaan: 0 0
0 : hujan
0 0
1 : baik
0 0
2 : salju 1
P=
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
2 1 2 1 4
1 4
0 1 4
1 4 1 2 1 2
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Latihan
4. Matriks peluang transisi 2-langkah nya adalah: 1 1 1 1 1 2
P 2 = 0
=
1 2 1 3 1 3 1 2
3 1 3
0 5 18 1 9 1 6
6 2 2 0 3 1 1 2 2 7 18 5 9 1 3
3 1 3
0
1 6 2 3 1 2
Untuk menghitung E (X2 ) maka E (X2 ) =
2 X
x2 P(X2 = x2 )
x2 =0
= 0.P(X2 = 0) + 1.P(X2 = 1) + 2.P(X2 = 2)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Latihan
P(X2 = 1) = P(X2 = 1|X0 = 0)P(X0 = 0) + P(X2 = 1|X0 = 1)P(X0 = 1) + P(X2 = 1|X2 = 2)P(X2 = 2) 5 1 1 1 1 1 = . + . + . 18 4 9 4 6 2 13 = 72
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Latihan
P(X2 = 2) = P(X2 = 2|X0 = 0)P(X0 = 0) + P(X2 = 2|X0 = 1)P(X0 = 1) + P(X2 = 2|X2 = 2)P(X2 = 2) 7 1 5 1 1 1 = . + . + . 18 4 9 4 3 2 29 = 72 Jadi, E (X2 ) =
2 X
x2 P(X2 = x2 ) = 1.P(X2 = 1) + 2.P(X2 = 2)
x2 =0
=
13 29 71 + 2. = 72 72 72
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Rantai Markov
Latihan
5. Solusi a. Matriks peluang transisi 2-langkahnya adalah 0 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 = 1/4 P 2 = 1/2 0 1/2 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1/2 0 1/4
1/4 1/2 1/4
1/4 1/4 1/2
P(X0 = 0|X0 = 0) = P(X0 = 0) P(X1 = 0|X0 = 0) = 0 P(X2 = 0|X0 = 0) = 1/2 2 b. P(X3 = 1|X1 = 0) = P01 = 1/4
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Kelas Keadaan
Kelas Keadaan
Keadaan j dikatakan ”dapat diakses” dari keadaan i jika Pijn > 0 untuk suatu n ≥ 0. i →j Perhatikan bahwa hal ini mengakibatkan keadaan j dapat diakses dari keadaan i jika dan hanya jika, dimulai pada keadaan i, proses akan pernah masuk ke keadaan j. Dua keadaan i dan j yang dapat diakses satu sama lain dikatakan dapat berkomunikasi. i ↔j
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Contoh:
Kelas Keadaan
0.7 0.3 P= 1 0
Apakah keadaan ’1’ bisa berkomunikasi dengan dirinya sendiri? Solusi: P11 = 0 2 P11 = P10 P01 + P11 P11 = 1(0.3) + 0 = 0.3 > 0
Jadi, 1 ↔ 1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Kelas Keadaan
Jenis keadaan: 1
Keadaan i berkomunikasi dengan keadaan i untuk semua i ≥ 0
2
Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j, maka keadaan j berkomunikasi dengan keadaan i
3
Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j dan keadaan j berkomunikasi dengan keadaan k, maka keadaan i berkomunikasi dengan keadaan k.
Dua keadaan yang saling berkomunikasi dikatakan berada dalam kelas yang sama. Rantai Markov dikatakan tidak dapat direduksi jika hanya terdapat satu kelas keadaan, yaitu jika semua keadaan saling berkomunikasi satu sama lain. Sebuah keadaan yang tidak bisa berpindah ke keadaan yang lain dikatakan sebagai keadaan absorbing.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Kelas Keadaan
Tentukan kelas keadaan dari Rantai Markov dengan peluang transisi 0.7 0 0.3 0 0.5 0 0.5 0 P= 0 0.4 0 0.6 0 0.2 0 0.8
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Kelas Keadaan
a. 0 ↔ 1
P01 = 0 2 P01 = P00 P01 + P01 P11 + P02 P21
= 0 + 0 + 0.3(0.4) = 0.12 > 0 ∴0→1 P10 = 0.5 > 0 ∴0←1 Jadi, 0 ↔ 1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Kelas Keadaan
b. 1 ↔ 2 P12 = 0.5 > 0 P21 = 0.4 > 0 Jadi, 1 ↔ 2 c. 2 ↔ 3 P23 = 0.6 > 0 P32 = 0 2 P32 = P30 P02 + P31 P12 + P32 P22 + P33 P32
= 0 + 0.2(0.5) + 0 + 0 = 0.1 > 0 Jadi, 2 ↔ 3
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Kelas Keadaan
Karena 0 ↔ 1, 1 ↔ 2 , dan 2 ↔ 3, maka masing-masing keadaan saling berkomunikasi sehingga kelas keadaannya adalah {0, 1, 2, 3} dan Rantai Markov tersebut tidak dapat direduksi.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Kelas Keadaan
Tentukan kelas keadaan dari matriks peluang transisi berikut 1 0 0 P = 1/2 1/4 1/4 1/4 1/4 1/2
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Kelas Keadaan
Solusi: Kelas keadaannya: {0} dan {1, 2}. Keadaan {0} bersifat absorbing.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Sifat Keadaan
Keadaan Recurrent dan Transient
Untuk setiap keadaan i, misalkan fi peluang bahwa dimulai dari keadaan i proses akan pernah kembali ke keadaan i. Keadaan i dikatakan recurrent jika fi = 1 dan dikatakan transient jika fi < 1. Jika keadaan i recurrent, maka proses akan terus kembali ke keadaan i dengan peluang satu. Dengan definisi Rantai Markov, proses akan dimulai lagi ketika kembali ke keadaan i, dan seterusnya, sehingga keadaan i akan dikunjungi lagi. Jika keadaan i recurrent maka dimulai dari keadaan i maka proses akan kembali ke keadaan i terus dan terus sebanyak tak hingga kali.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Sifat Keadaan
Misalkan keadaan i transient. Setiap kali proses kembali ke keadaan i terdapat kemungkinan (peluang yang positif) sebesar 1 − fi bahwa proses tidak pernah kembali ke keadaan i. Dengan demikian, dimulai dari keadaan i, peluang bahwa proses berada di i sebanyak tepat n periode/kali adalah fi n−1 (1 − fi ), n ≥ 1. Jika keadaan i transient maka , dimulai dari keadaan i, banyak periode/kali bahwa proses akan berada di keadaan i adalah peubah acak geometri dengan parameter 1 − fi
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Sifat Keadaan
Keadaan i recurrent jika dan hanya jika, dimulai dari keadaan i, maka banyak periode/kali yang diharapkan (expected number of time periods) bahwa proses akan berada di keadaan i adalah tak hingga.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Misalkan
Misalkan
Sifat Keadaan
( 1, Xn = i In = 0, Xn = 6 i ∞ P
In menyatakan banyak periode/kali bahwa proses berada
n=0
dalam keadaan i, dan "∞ # ∞ X X E In |X0 = i = E [In |X0 = i] n=0
=
n=0 ∞ X
P(Xn = i|X0 = i)
n=0
=
∞ X
Piin
n=0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Sifat Keadaan
Proposisi
Keadaan i adalah Recurrent jika
∞ P
Transient jika
n=1 ∞ P n=1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Piin = ∞ Piin < ∞
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Sifat Keadaan
Misalkan Rantai Markov yang terdiri atas keadaan-keadaan 0, 1, 2, 3 mempunyai matriks peluang transisi 0 0 1/2 1/2 1 0 0 0 P= 0 1 0 0 0 1 0 0 Tentukan keadaan mana yang transient dan mana yang recurrent.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Sifat Keadaan
Solusi: Semua keadaan saling berkomunikasi dan semua keadaan bersifat recurrent
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Sifat Keadaan
Matriks peluang transisi 1/2 1/2 0 0 0 1/2 1/2 0 0 0 0 1/2 1/2 0 P= 0 0 0 1/2 1/2 0 1/4 1/4 0 0 1/2
Tentukan kelas keadaan dan sifat-sifatnya
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Sifat Keadaan
Solusi: Rantai Markov tersebut terdiri atas tiga kelas yaitu {0, 1}, {2, 3}, dan {4}. Sifat-sifatnya: Kelas {0, 1} dan {2, 3} bersifat recurrent Kelas {4} bersifat transient
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Limit Peluang Transisi
Limit Peluang Transisi
Misalkan matriks peluang transisi pada Rantai Markov adalah 0.5 0.5 P= 0.7 0.3 Maka matriks peluang transisi 4 dan 8 langkahnya adalah 0.5840 0.4160 4 P = 0.5824 0.4176 0.5833 0.4167 P = 0.5833 0.4167 8
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Limit Peluang Transisi
Perhatikan bahwa matriks P 8 hampir identik dengan matriks P 4 . Selain itu, setiap baris dari P 8 memiliki unsur yang identik. Pada kenyataannya, sepertinya Pijn konvergen ke suatu nilai, untuk n → ∞, yang sama untuk semua i. Dengan kata lain, terdapat limit peluang bahwa proses akan berada di keadaan j setelah sekian langkah (transisi). Nilai limit ini saling bebas dengan nilai pada keadaan awal.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Limit Peluang Transisi
Jika waktu kembali yang pertama dari keadaan i hanya dapat berupa kelipatan dari integer d > 1, keadaan tersebut disebut periodik. Keadaan yang memiliki periode 1 disebut aperiodik.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Limit Peluang Transisi
Jika keadaan i recurrent, maka keadaan tersebut akan dikatakan positive recurrent jika, dimulai dari keadaan i, waktu harapan hingga proses kembali ke i adalah hingga. Pada Rantai Markov yang memiliki keadaan hingga, semua keadaan recurrent adalah positive recurrent. Suatu keadaan yang positive recurrent dan aperiodik disebut ergodik.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Limit Peluang Transisi
Teorema Untuk Rantai Markov yang ergodik dan tidak dapat direduksi, lim Pijn
n→∞
ada dan saling bebas dari i. Misalkan πj = lim Pijn , j ≥ 0, n→∞
maka πj adalah solusi nonnegatif tunggal dari πj =
∞ X
πi Pijn , j ≥ 0,
i=0
dengan
∞ P
πj = 1.
j=0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Limit Peluang Transisi
Catatan: Perhatikan bahwa P(Xn+1 = j) = =
∞ X i=0 ∞ X
P(Xn+1 = j|Xn = i) P(Xn = i) Pij P(Xn = i)
i=0
Misalkan n → ∞ dan asumsikan kita bisa menambahkan limit di dalam persamaan, maka πj =
∞ X
Pij πi
i=0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Limit Peluang Transisi
Limit peluang πj adalah peluang jangka panjang (long-run proportion of time) bahwa suatu proses akan berada di keadaan j. Jika Rantai Markov tidak dapatP direduksi, maka terdapat solusi untuk πj = 1, jika dan hanya jika Rantai πj = lim Pijn , j ≥ 0,, dengan n→∞
j
Markov bersifat positive recurrent. Jika solusinya ada, maka solusi tersebut tunggal dan πj adalah proporsi jangka panjang bahwa Rantai Markov berada dalam keadaan j. Jika Rantai Markov aperiodik, maka πj adalah limit peluang bahwa rantai akan berada di keadaan j.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Limit Peluang Transisi
Jika hari ini hujan, peluang besok hujan adalah α. Jika hari ini tidak hujan, peluang besok hujan adalah β. Misal: ’0’ : hujan ’1’ : tidak hujan Maka matriks peluang transisinya adalah α 1−α P= β 1−β dan kita mempunyai persamaan-persamaan π0 = απ0 + βπ1 π1 = (1 − α)π0 + (1 − β)π1 π0 + π1 = 1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Limit Peluang Transisi
Maka diperoleh peluang hujan dan tidak hujan dalam jangka panjang adalah β π0 = 1+β−α dan π1 =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
1−α 1+β−α
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Limit Peluang Transisi
Misalkan keadaan mood Gary disajikan dalam matriks peluang transisi 0.5 0.4 0.1 P = 0.3 0.4 0.3 0.2 0.3 0.5 Berapa peluang jangka panjang untuk masing-masing keadaan?
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Limit Peluang Transisi
Kita mempunyai persamaan: π0 = 0.5π0 + 0.3π1 + 0.2π2 π1 = 0.4π0 + 0.4π1 + 0.3π2 π2 = 0.1π0 + 0.3π1 + 0.5π2 π0 + π1 + π2 = 1 dan diperoleh solusinya yaitu π0 =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
21 , 62
π1 =
23 , 62
π2 =
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
18 62
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Latihan
Latihan 2
6. Tentukan kelas keadaan dan sifat-sifat dari matriks-matriks peluang transisi berikut a.
0.5 0.5 P= 0.25 0 b.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
0.5 0.5 0.25 0
0 0 0.25 0
0 0 0.25 1
0 1 0 0 1/9 4/9 4/9 0 P= 0 4/9 4/9 1/9 0 0 1 0
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Latihan
7. Percobaan-percobaan dilakukan secara berurutan. Jika dalam dua percobaan terakhir SUKSES, maka peluang SUKSES pada percobaan berikut adalah 0.8. Dalam keadaan YANG LAIN, peluang SUKSES adalah 0.5. Hitung peluang percobaan sukses untuk jangka panjang.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Latihan
Penyelesaian
6.
a. Kelas keadaan: {0, 1}, {2}, dan {3} Sifat keadaan: keadaan 0, 1, 3 recurrent dan keadaan 2 transient. b. Kelas keadaan: {0, 1, 2, 3}, Rantai Markov tidak dapat direduksi. Kelas keadaan: semua keadaan bersifat recurrent
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Latihan
7. Keadaan-keadaan: ’0’ (SS) : kemarin S sekarang S ’1’ (SG) : kemarin S sekarang G ’2’ (GS) : kemarin G sekarang S ’3’ (GG) : kemarin G sekarang G
0.8 0.2 0 0 0 0 0.5 0.5 P= 0.5 0.5 0 0 0 0 0.5 0.5
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Latihan
Kita peroleh persamaan-persamaan: π0 = π0 P00 + π1 P10 + π2 P20 + π3 P30 = 0.8π0 + 0.5π2 π1 = π0 P01 + π1 P11 + π2 P21 + π3 P31 = 0.2π0 + 0.5π2 π2 = π0 P02 + π1 P12 + π2 P22 + π3 P32 = 0.5π1 + 0.5π3 π3 = π0 P03 + π1 P13 + π2 P23 + π3 P33 = 0.5π1 + 0.5π3
dan π0 + π1 + π2 + π3 = 1
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Kelas Keadaan dan Limit Peluang
Latihan
Diperoleh: π0 =
23 50
π1 = π2 = π3 =
9 504
Jadi, peluang SUKSES jangka panjang adalah π0 + π1 =
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
32 50
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90
Pustaka
Pustaka
Pustaka
Ross, Sheldon M. 2007. Introduction to Probability Models; 9th Edition. New York: Academic Press. Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 Pengantar Proses Stokastik. Departemen Matematika ITB, Bandung. Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin. 1975. A First Course in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic Press. Virtamo, J. 38.143 Queueing Theory/ Probability Theory.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
611.22.033 Pengantar Proses Stokastik
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 90