Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi

Review Teorema Limit Pusat Teorema Limit Distribusi

Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi pendekatan dengan kasus

Andi Kresna Jaya [email protected] Jurusan Matematika

September 22, 2014 Andi Kresna Jaya [email protected]

Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi


Outline

1

Review

2

Teorema Limit Pusat

3

Teorema Limit Distribusi

Back

Andi Kresna Jaya [email protected]



Outline

1

Review

2

Teorema Limit Pusat

3


Back




Outline

1

Review

2

Teorema Limit Pusat

3


Back




Sasaran pembelajaran: Kemampuan mahasiswa menjelaskan konsep limit distribusi 1 2

Kemampuan memahami teorema limit pusat Ketepatan dalam penjelasan limit distribusi untuk penaksir

Metode: Kuliah dan Diskusi Text book: Hogg dan Craig, Introduction to Mathematical Statistics; Casella dan Berger, Statistical Inference




Opening

”It is a capital mistake to theorize before one has data. Insensibly one begins to twist facts to suit theories, instead of theories to suit facts.” - Sherlock Holmes, ”A Scandal in Bohemia” Sir Arthur Conan Doyle Planning a statistical analysis after you’ve collected the data is like developing plans for a structure after you’ve purchased the materials. Andi Kresna Jaya [email protected]



Opening

”It is a capital mistake to theorize before one has data. Insensibly one begins to twist facts to suit theories, instead of theories to suit facts.” - Sherlock Holmes, ”A Scandal in Bohemia” Sir Arthur Conan Doyle Planning a statistical analysis after you’ve collected the data is like developing plans for a structure after you’ve purchased the materials. Andi Kresna Jaya [email protected]



Ada dua teorema penting dalam Teori Peluang, yang pertama adalah Teorema Limit Pusat dan yang kedua adalah Hukum Bilangan Besar. (Hukum bilangan besar akan dipelajari pada mata kuliah tingkat lanjut) Teorema limit pusat menyatakan bahwa Distribusi dari jumlah (atau rata-rata) variabel yang distribusinya saling bebas dan identik adalah berdistribusi (hampiran) normal. Untuk memahami ini akan diberikan tinjauan untuk kasus sederhana. Misalkan X adalah peubah acak dengan fmp 0, 45 x = 1 f (x) = 0, 55 x = 2 dan nol untuk yang lain. Jika diambil sampel acak berukuran n dari distribusi Andi Kresna Jaya [email protected]















Untuk n = 2, 3, 4, bentuk grafik fmp untuk X¯ adalah:




Untuk n = 40, bentuk grafik fmp untuk X¯ adalah:

Bentuk kurva menyerupai kurva normal. Andi Kresna Jaya [email protected]



Pada materi distribusi untuk X¯ , mean sampel distribusi N(µ, θ2 ), bentuk peubah acak √ ¯ n(X − µ) Z= σ untuk sembarang bilangan bulat positif n, akan berdistribusi N(0, 1). p

Jika n → ∞ maka Z → Z0 , dimana Z0 ∼ N(0, 1) Walaupun kondisi X bukan dari distribusi Normal, bentuk √ ¯ n(X − µ) Y = σ akan mempunyai distribusi hampiran normal dengan mean 0 dan variansi 1.














teorema limit pusat Teorema 1 Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah sampel acak dari sebuah distribusi peluang yangPmeannya µ dan variansinya σ 2 > 0. Maka peubah √ √ acak Yn = ( Xi − nµ)/ nσ = n(X¯ − µ)/σ konvergen dalam distribusi ke peubah acak yang berdistribusi N(0, 1). Misalkan X¯ adalah mean sampel acak yang berukuran n = 75 dari distribusi dengan fkp 1 0<x <1 f (x) = 0 yang lain Aproksimasi nilai P(0.45 < X¯ < 0.55)




teorema limit pusat Teorema 1 Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn adalah sampel acak dari sebuah distribusi peluang yangPmeannya µ dan variansinya σ 2 > 0. Maka peubah √ √ acak Yn = ( Xi − nµ)/ nσ = n(X¯ − µ)/σ konvergen dalam distribusi ke peubah acak yang berdistribusi N(0, 1). Misalkan X¯ adalah mean sampel acak yang berukuran n = 75 dari distribusi dengan fkp 1 0<x <1 f (x) = 0 yang lain Aproksimasi nilai P(0.45 < X¯ < 0.55)




contoh 1 Diketahui f (x) = 1, 0 < x < 1 dan nol untuk yang lain. maka Z

1

µ =

xdx = 0

σ2 =

Z

1 2

1

(x − 1/2)2 dx =

0

1 12

Maka aproksimasi nilai P(0.45 < X¯ < 0.55) adalah √ ¯ n(X − µ) ¯
catatan a =

n(0.45−µ) σ

√

dan b =


n(0.55−µ) σ




1

µ =

xdx = 0

σ2 =

Z

1 2

1

(x − 1/2)2 dx =

0

1 12

catatan a =

n(0.45−µ) σ

√

dan b =


n(0.55−µ) σ




1

µ =

xdx = 0

σ2 =

Z

1 2

1

(x − 1/2)2 dx =

0

1 12

catatan a =

n(0.45−µ) σ

√

dan b =


n(0.55−µ) σ



Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn menyatakan sampel acak dari distribusi b(1, p). Misalkan Yn = X1 + X2 + · · · + Xn , maka Yn ∼ b(n, p). Untuk menghitung peluang Yn akan lebih sederhana menggunakan fakta bahwa (Y − np) p n ∼ N(0, 1) np(1 − p) dibandingkan dengan melakukan hampiran peluang dari pendekatan Poisson. Kerap kali, para statiskawan percaya bahwa Yn mempunyai distribusi hampiran normal dengan mean np dan variansi np(1 − p). Perhatikan untuk n = 10 (ini cukup kecil untuk menyatakan bahwa peluang untuk Yn dapat diaproksimasi dengan distribusi Poisson) dan p = 0.5. Perbandingan b(10, 1/2) dengan N(5, 5/2) mempunyai luasan yang (nyaris) sama. Andi Kresna Jaya [email protected]









Grafik fmp b(10, 1/2) dengan fkp N(5, 5/2)




contoh 2 Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn menyatakan sampel acak berukuran n = 100 dari distribusi b(1, 1/2). Misalkan Y = X1 + X2 + · · · + Xn , maka Yn ∼ b(n, p). Tentukan peluang P(Y = 48, 49, 50, 51, 52) Perhatikan bahwa dalam distribusi binomial untuk Y (Y ∼ b(100, 1/2)), maka nilai diskrit {Y = 48, 49, 50, 51, 52} dengan selang (47, 5; 52, 5) pada distribusi N(50, 25) adalah ekuivalen. P 100 100 = 0, 3827 P(Y = 48, 49, 50, 51, 52) = 52 y =48 y (1/2) P(47, 5 < Y < 52, 5) = 0, 3829 dikerjakan dengan menggunakan distribusi N(0, 1) P(Y = 48, 49, 50, 51, 52) = P(47, 5 < Y < 52, 5) = P(−0.5 < Z < 0.5) = 0.3829 Andi Kresna Jaya [email protected]












teorema dan bukti Teorema 2 Misalkan Fn (u) adalah fungsi distribusi dari peubah acak Un yang p bergantung pada n. Jika Un → c, di mana c 6= 0, maka peubah p acak Un /c → 1. Untuk sembarang ε > 0 maka Un 1 P − 1 < ε = P |Un − c| < ε c c = P (|Un − c| < |c|ε) maka Un lim P − 1 < ε = lim P (|Un − c| < |c|ε) . n→∞ n→∞ c Andi Kresna Jaya [email protected]









Karena untuk sembarang > 0, maka limn→∞ P (|Un − c| < ) = 1, maka Un lim P − 1 < ε = 1. n→∞ c Un p c →

1.




Karena untuk sembarang > 0, maka limn→∞ P (|Un − c| < ) = 1, maka Un lim P − 1 < ε = 1. n→∞ c Un p c →

1.




Teorema 3 Misalkan Fn (u) adalah fungsi distribusi dari peubah acak Un yang p bergantung pada n. Jika Un → c, di mana √ c p6=√0 dan P(Un < 0) = 0∀n, maka peubah acak Un → c. Perhatikan bahwa bentuk √ limn→∞ P(|Un − c| ≥ ) = 0, dan √ √ √ (Un − c) = ( Un − c)( Un + c). maka p √ p √ P(|Un − c| ≥ ) = P(|( Un − c)( Un + c)| ≥ ) p √ = P | Un − c| ≥ √ √ ( Un + c) p √ ≥ P | Un − c| ≥ √ . ( c)




√ √ Perhatikan bahwa P | Un − c| ≥ (√c) ≥ 0. Untuk n → ∞ berlaku p √ √ 0 ≤ lim P | Un − c| ≥ ≤ lim P(|Un −c| ≥ ) = 0. n→∞ n→∞ ( c) Sehingga

Un p c →

1.




Teorema 4 Misalkan Fn (u) adalah fungsi distribusi dari peubah acak Un yang bergantung pada n. Jika limit distribusi Un adalah F (u) dan p misalkan terdapat peubah acak Vn → 1,maka limit distribusi dari peubah acak Wn = Un /Vn adalah F (w ). Berikut adalah sebuah penerapan 4 teorema di atas, untuk X1 , X2 , · · · P , Xn sampel acak dari distribusi Bernoulli, b(1, π) dan Yn = Xi . Misalkan Yn ∼ b(n, π) untuk 0 < π < 1, maka dengan teorema 1 diperoleh Yn − nπ Un = p ∼ N(0, 1). nπ(1 − π) p

p

Perhatikan pula bahwa Yn /n → π dan (1 − Yn /n) → (1 − π), maka Yn Yn p 1− → π(1 − π). n n Andi Kresna Jaya [email protected]




p





p




Maka dengan teorema 2 diperoleh (Yn /n)(1 − Yn /n) p → 1. π(1 − π) Selanjutnya dengan memakai teorema 2, misalkan Vn =

(Yn /n)(1 − Yn /n) π(1 − π)

1/2

p

Vn → 1. Jika peubah acak Wn = Un /Vn , maka dengan teorema 4, diperoleh bahwa Wn ∼ N(0, 1).





(Yn /n)(1 − Yn /n) π(1 − π)

1/2

p






(Yn /n)(1 − Yn /n) π(1 − π)

1/2

p






(Yn /n)(1 − Yn /n) π(1 − π)

1/2

p





contoh 3 Misalkan Y ∼ b(n, p) Tentukan nilai peluang bahwa Y − np q n Yn 1 − Yn terletak di selang (−2, 1), jika n → ∞. Untuk menjawab ini dapat dimanfaatkan bentuk Y − np Wn = Un /Vn = q . n Yn 1 − Yn Sehingga untuk n → ∞ maka Y − np q ∼ N(0, 1), n Yn 1 − Yn Andi Kresna Jaya [email protected]













Y − np  = P(−2 < Z < 1) P −2 < q <1 Y Y nn 1− n = Φ(1) − Φ(−2) = Φ(1) + Φ(2) − 1 = 0, 8413 + 0, 9772 − 1 = 0, 8186.




Closing

Statistics really is like rocket science; it isn’t easy, even to us who have studied it for a long time. Anybody who think it’s easy surely lacks a deep enough knowledge to understand why it isn’t! If your scientific integrity matters, and statistics is a mystery to you, then you need expert help. Find a statistician in your company or at a nearby university, and talk to her face-to-face if possible. It may well cost money. It’s worth it. Russ Lenth Andi Kresna Jaya [email protected]


Teorema Limit Pusat dan Limit Distribusi

Recommend Documents