LIMIT DAN KEKONTINUAN
Departemen Matematika FMIPA IPB
Bogor, 2012
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
1 / 37
Topik Bahasan
1
Limit Fungsi
2
Hukum Limit
3
Kekontinuan Fungsi
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
2 / 37
Limit Fungsi
Limit Fungsi di Suatu Titik Menggambarkan perilaku fungsi jika peubahnya mendekati suatu titik Ilustrasi: Diketahui f (x) =
x3 x
1 1
Dari tabel dan gra…k: nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 1, tetapi x 6= 1. Notasi: lim f (x) = 3 x!1
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
3 / 37
Limit Fungsi
De…nisi (Limit fungsi di suatu titik) Misalkan fungsi f terde…nisi pada interval terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, ditulis lim f (x) = L
x!a
apabila nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi x 6= a. Catatan: 1
Notasi lain untuk limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L adalah f (x) ! L,
2 3
bila x ! a.
Fungsi f tidak harus terde…nisi di a. Jika f terde…nisi di a, f (a) tidak harus sama dengan L.
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
4 / 37
Limit Fungsi
Kasus-kasus Limit yang Sama Ketiga kasus di bawah ini memberikan limit yang sama, yaitu lim f (x) = L Kasus 1
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kasus 2
Kalkulus I
x!a
Kasus 3
Bogor, 2012
5 / 37
Limit Fungsi
Contoh Tentukan limit berikut. 1 2 3
4
5 6
lim (x + 1)
x!0
lim x2 p lim x
x!1 x!4
lim
x2
x
6
x 3 x 1 lim p x!1 x 1 lim [[x]] x!3
x!2
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
6 / 37
Limit Fungsi
Limit Satu Sisi Menggambarkan perilaku fungsi jika peubahnya mendekati suatu titik dari satu arah saja, kiri atau kanan Ilustrasi: Diketahui: f (x) = [[x]], x 2 [ 1, 2)
Dari gra…k: nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 1, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0 dari arah kiri dan x 6= 0. Notasi: lim f (x) = 1 x!0
nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 0, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0 dari arah kanan dan x 6= 0. Notasi: lim f (x) = 0 x ! 0+
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
7 / 37
Limit Fungsi
De…nisi (Limit kanan) Misalkan fungsi f terde…nisi pada interval [a, b), kecuali mungkin di a. Limit kanan f (x) ketika x mendekati a (atau Limit f (x) ketika x mendekati a dari sisi kanan) sama dengan L, ditulis lim f (x) = L
x ! a+
apabila nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a dan x > a.
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
8 / 37
Limit Fungsi
De…nisi (Limit kiri) Misalkan fungsi f terde…nisi pada interval (b, a], kecuali mungkin di a. Limit kiri f (x) ketika x mendekati a (atau Limit f (x) ketika x mendekati a dari sisi kiri) sama dengan L, ditulis lim f (x) = L
x!a
apabila nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a dan x < a.
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
9 / 37
Limit Fungsi
Teorema (Hubungan limit di suatu titik dengan limit satu sisi) lim f (x) = L jika dan hanya jika lim f (x) = L = lim f (x). +
x!a
x!a
x!a
Contoh Tentukan limit berikut. 1 2 3 4 5 6
lim f (x)
x ! 1+
lim f (x)
x!1
lim f (x)
x!1
lim f (x)
x ! 3+
lim f (x)
x!3
lim f (x)
x!3
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
10 / 37
Limit Fungsi
Contoh Tentukan limit berikut jika ada. Jika tidak ada jelaskan mengapa. 1
2 3 4
lim jx
x!2
2j
x 1 x!1 j x 1j p lim x lim
x!0
lim [[x]]
x!2
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
11 / 37
Limit Fungsi
Limit Tak-hingga Menggambarkan perilaku nilai fungsi yang membesar atau mengecil tanpa batas jika peubahnya mendekati suatu titik Ilustrasi: Diketahui: f (x) =
1 x2
Dari gra…k: nilai f (x) dapat dibuat sebesar mungkin, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0, tetapi x 6= 0. Notasi: lim f (x) = ∞ x!0
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
12 / 37
Limit Fungsi
De…nisi Misalkan fungsi f terde…nisi pada interval terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan ∞, ditulis lim f (x) = ∞
x!a
apabila nilai f (x) dapat dibuat sebesar mungkin, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi x 6= a. Catatan: Notasi lain untuk limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan ∞ adalah f (x) ! ∞, bila x ! a.
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
13 / 37
Limit Fungsi
Ilustrasi: Diketahui: f (x) =
1 x2
Dari gra…k: nilai f (x) dapat dibuat sekecil mungkin, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0, tetapi x 6= 0. Notasi: lim f (x) = ∞ x!0
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
14 / 37
Limit Fungsi
De…nisi Misalkan fungsi f terde…nisi pada interval terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan ∞, ditulis lim f (x) =
x!a
∞
apabila nilai f (x) dapat dibuat sekecil mungkin, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi x 6= a. Catatan: Notasi lain untuk limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan adalah f (x) ! ∞, bila x ! a.
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
∞
15 / 37
Limit Fungsi
Catatan: De…nisi serupa dapat diberikan untuk limit tak-hingga satu sisi: 1 2 3 4
lim f (x) = ∞
x!a+
lim f (x) = ∞
x!a
lim f (x) =
∞
lim f (x) =
∞
x!a+ x!a
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
16 / 37
Limit Fungsi
Contoh Tentukan limit berikut. 2 1 lim + 3 x!3 x 1 2 lim x 1 ) (x 2) x!1 ( x 1 3 lim 2 + x! 1 x (x + 2 )
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
17 / 37
Hukum Limit
Teorema Limit Utama Teorema Misalkan c konstanta, n bilangan bulat positif dan kedua limit lim f (x)
dan
x!a
lim g (x)
x!a
ada, maka lim c = c
x!a
lim x = a
x!a
lim (cf (x)) = c lim f (x)
x!a
x!a
lim (f (x) + g (x)) = lim f (x) + lim g (x)
x!a
lim (f (x)
x!a
x!a
x!a
x!a
x!a
g (x)) = lim f (x)
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
lim g (x)
Kalkulus I
Bogor, 2012
18 / 37
Hukum Limit
Teorema lim (f (x) g (x)) = lim f (x)
x!a
x!a
lim f (x) f (x) = x!a x!a g (x ) lim g (x) lim
lim xn = an
x!a
x!a
lim g (x)
x!a
asalkan lim g (x) 6= 0 x!a
n
lim (f (x))n = lim f (x) x!a x!a p p n n lim x = a asalkan a > 0 ketika n genap x!a q p lim n f (x) = n lim f (x) asalkan lim f (x) > 0 ketika n genap x!a
x!a
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
x!a
Kalkulus I
Bogor, 2012
19 / 37
Hukum Limit
Contoh Dengan menggunakan sifat-sifat limit, tentukan limit berikut: 1 2
3 4
lim 7x + 1
x!3
lim
x!2
x2
1 (x + 1)
2x 2x + 1 p lim 3x 4 lim
x!1 x!2
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
20 / 37
Hukum Limit
Teorema Substitusi Teorema Jika f adalah polinom atau fungsi rasional dan a di dalam daerah asal f , maka lim f (x) = f (a). x!a
Contoh Tentukan limit berikut. x 1 1 lim x ! 1 x2 1 (2 + h)2 2 2 lim h h!0 2 x 2x 3 lim x ! 2 x2 4 (Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
21 / 37
Hukum Limit
Pertidaksamaan Limit
Teorema Jika f (x) g (x) pada waktu x dekat a (kecuali mungkin di a) dan limit f dan g keduanya ada untuk x mendekati a, maka lim f (x)
x!a
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
lim g (x) .
x!a
Kalkulus I
Bogor, 2012
22 / 37
Hukum Limit
Teorema Apit Teorema Jika f (x) g (x) h (x) pada waktu x dekat a (kecuali mungkin di a) dan lim f (x) = L = lim h (x), maka x!a
x!a
lim g (x) = L.
x!a
Contoh 1 Tentukan limit berikut. 1 a. lim x2 sin x!0 x p 2π b. lim x 1 + sin2 + x x!0 3 2 Jika 3x f (x) x + 2 untuk 0 (Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
x
2, tentukan lim f (x). x!1
Bogor, 2012
23 / 37
Kekontinuan Fungsi
Kekontinuan di Satu Titik De…nisi (Kekontinuan di satu titik) Misalkan fungsi f terde…nisi pada interval I yang memuat a. Fungsi f disebut kontinu di a, bila lim f (x) = f (a). x!a
Catatan: 1
Secara implisit de…nisi di atas mensyaratkan: f (a) terde…nisi lim f (x) ada
x!a
lim f (x) = f (a)
2
lim f (x) = lim f (x)
x ! a+
x!a
x!a
Ciri fungsi kontinu di suatu titik adalah gra…k fungsinya tersambung di titik tersebut.
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
24 / 37
Kekontinuan Fungsi
Contoh Periksa kekontinuan fungsi f berikut. Di titik mana fungsi tersebut tidak kontinu, jelaskan alasannya. 1
2
3
4
f (x) =
f (x) =
x2
x x
8 < x2 :
1,
2 2 x
x
2 2
( 1 , f (x) = x2 1,
,
x 6= 2 x=2
x 6= 0 x=0
f (x) = [[x]]
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
25 / 37
Kekontinuan Fungsi
Operasi Aljabar Fungsi Kontinu di Satu Titik
Teorema Jika fungsi f dan g kontinu di x = a dan c adalah konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu pada a: 1
f +g
2
f
3
cf
4
fg f g
5
g
jika g (a) 6= 0
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
26 / 37
Kekontinuan Fungsi
Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposit
Teorema (Limit fungsi komposit) Jika f kontinu pada b dan lim g (x) = b, maka x!a
lim f (g (x)) = f lim g (x) = f (b) .
x!a
x!a
Teorema (Kekontinuan fungsi komposit) Jika fungsi g kontinu pada a dan f kontinu pada g (a), maka fungsi komposit f g kontinu pada a.
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
27 / 37
Kekontinuan Fungsi
Contoh Diketahui fungsi f dan g dengan p dan f (x) = x
1
Tentukan lim (f
2
Periksa kekontinuan fungsi f
x! 1
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
g (x) = 4
x2 .
g) (x). g di 0.
Kalkulus I
Bogor, 2012
28 / 37
Kekontinuan Fungsi
Kontinu Kiri dan Kontinu Kanan
De…nisi (Kontinu kiri) Misalkan fungsi f terde…nisi pada interval (b, a]. Fungsi f disebut kontinu kiri di a, bila lim f (x) = f (a) . x!a
De…nisi (Kontinu kanan) Misalkan fungsi f terde…nisi pada interval [a, b). Fungsi f disebut kontinu kanan di a, bila lim f (x) = f (a) . x ! a+
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
29 / 37
Kekontinuan Fungsi
Contoh Diketahui fungsi f dengan f (x) = [[x]]. Fungsi f kontinu kanan di x = 1, 2, 3, tetapi tidak kontinu kiri di titik-titik tersebut.
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
30 / 37
Kekontinuan Fungsi
Kekontinuan pada Interval De…nisi (Kekontinuan pada interval) 1
Fungsi f kontinu pada interval (a, b), jika f kontinu di setiap titik pada interval tersebut.
2
Fungsi f kontinu pada interval [a, b], jika f kontinu pada interval (a, b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b.
Contoh Tentukan daerah kekontinuan fungsi f , jika p f ( x ) = 1 x2 .
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
31 / 37
Kekontinuan Fungsi
Teorema Fungsi-fungsi berikut kontinu pada daerah asalnya: 1
fungsi polinom
2
fungsi rasional
3
fungsi trigonometri
4
fungsi akar
5
fungsi eksponen
6
fungsi logaritma
7
fungsi nilai mutlak
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
32 / 37
Kekontinuan Fungsi
Contoh 1
2
p Tunjukkan bahwa fungsi f dengan f (x) = 5 interval [4, 5], tetapi f tidak kontinu di x = 5.
x kontinu pada
Tentukan konstanta A dan B sehingga f kontinu pada R 8 2 A, x 0 < x Ax + B, 0<x 1 f (x) = : p x B, x>1
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
33 / 37
Kekontinuan Fungsi
Contoh Tentukan daerah kekontinuan fungsi berikut: 1
f (x) = sin (x + 1)
2
f (x) = x2 3x + 6 p f ( x ) = 1 x2 + x2 r 1 x f (x) = x2
3 4
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
34 / 37
Kekontinuan Fungsi
Teorema Nilai Antara Teorema Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [a, b] dan N adalah bilangan di antara f (a) dan f (b), maka terdapat c 2 (a, b) sedemikian sehingga f (c) = N.
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
35 / 37
Kekontinuan Fungsi
Kegunaan Teorema Nilai Antara
1
Menunjukkan keberadaan akar suatu persamaan pada suatu interval.
2
Menunjukkan keberadaan penyelesaian suatu persamaan pada suatu interval.
3
Menunjukkan keberadaan titik potong dua kurva pada suatu interval.
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
36 / 37
Kekontinuan Fungsi
Contoh 1 Dengan menggunakan Teorema Nilai Antara, tunjukkan bahwa fungsi f dengan f (x) = x5 3x4 2x3 + x + 1 memiliki akar real pada interval [0, 1]. 2
Dengan menggunakan Teorema Nilai Antara, buktikan bahwa jika f (x) = x3 x2 + x, maka terdapat bilangan real c sehingga f (c) = 10.
3
Dengan menggunakan Teorema Nilai Antara, buktikan bahwa gra…k fungsi f dan g dengan f (x) = x3 5x 1 dan g (x) = x5 + 1 berpotongan di x = c dengan c 2 [ 2, 0].
(Departemen Matematika FMIPA IPB)
Kalkulus I
Bogor, 2012
37 / 37