3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
INF228 Kalkulus Dasar
1
3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian limit secara intuisi Perhatikan fungsi
x2 1 f ( x) x 1 Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk 0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1 Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut 0.9 0.99 0.999 0.9999
1
1.0001 1.001 1.01
1.1
f(x) 1.9 1.99 1.999 1.9999
?
2.0001 2.001 2.01
2.1
x
INF228 Kalkulus Dasar
2
Secara grafik Dari tabel dan grafik disamping terlihat bahwa f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1
f(x) 2 f(x)
Secara matematis dapat dituliskan Sebagai berikut
º
x
1
x2 1 lim 2 x 1 x 1
x
x2 1 Dibaca “ limit dari untuk x mendekati x 1 1 adalah 2
Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa lim f ( x) L berarti x c bahwa bilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L INF228 Kalkulus Dasar
3
Contoh 1. lim 3x 5 8 x 1
2 x 2 3x 2 (2 x 1)( x 2) lim lim 2. x2 x 2 x2 x2
3.
lim x 9
x9 x 3
lim x 9
x9
x 3
lim 2 x 1 5 x 2
x 3 x 3 lim x 9
( x 9)( x 3) lim x 3 6 x 9 x9
sin(1 / x) 4. lim x0
Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut x
sin(1 / x)
2/
2 / 2
2 / 3
2 / 4
2 / 5
2 / 6
1
0
-1
0
1
0
2 / 7
-1
2 / 8
0
0
?
Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju ke satu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada INF228 Kalkulus Dasar
4
Definisi limit
lim f ( x) L jika 0 , 0 0 | x c | | f ( x) L | x c
L
º
L
c
c
Untuk setiap 0
L
º
º
Terdapat 0 sedemikian sehingga L L
L
º c
c c c
0 | x c |
| f ( x) L | INF228 Kalkulus Dasar
5
Limit Kiri dan Limit Kanan x
Jika x menuju c dari arah kiri (dari arah bilangan yang lebih kecil dari c, limit disebut limit kiri, notasi
c
lim f ( x)
x c
c
Jika x menuju c dari arah kanan (dari arah bilangan yang lebih besar dari c, limit disebut limit kanan, notasi
x
lim f ( x)
x c
Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)
lim f ( x) L lim f ( x) L dan lim f ( x) L x c
Jika
x c
x c
lim f ( x) lim f ( x) maka lim f ( x) tidak ada
x c
x c
xc
INF228 Kalkulus Dasar
6
Contoh Diketahui
1.
x2 , x 0 f ( x) x , 0 x 1 2 x 2 , x 1
a. Hitung lim f ( x) x0
f ( x) b. Hitung) lim x1
Jika ada
f ( x) c. Hitung lim x2 d. Gambarkan grafik f(x)
Jawab a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=0
INF228 Kalkulus Dasar
7
lim f ( x) lim x 2 0
x 0
x 0
lim f ( x) 0 x 0
x0 lim f ( x) lim x 0
x 0
b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=1
lim f ( x) lim x 1
x 1
lim f ( x)
x 1
x 1
lim 2 x 3 2
Karena lim f ( x) lim x 1
x 1
lim f ( x) Tidak ada x1
x 1
c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=2
lim f ( x) lim 2 x 2 6 x2
x 2
INF228 Kalkulus Dasar
8
d.
3
di x=1 limit tidak ada
º 1
Untuk x
0
f ( x) x
Untuk 0<x<1 2
Grafik: parabola
f(x)=x Grafik:garis lurus INF228 Kalkulus Dasar
Untuk
0
f ( x) 2 x 2 Grafik: parabola 9
2. Tentukan konstanta c agar fungsi
3 cx, x 1 f ( x) 2 x c, x 1 mempunyai limit di x=-1 Jawab Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama dengan limit kanan
lim f ( x) lim 3 cx 3 3c
x 1
x 1
Agar limit ada
3+3c=1-c
lim f ( x) lim x 2 c 1 c x 1 x 1
C=-1/2
INF228 Kalkulus Dasar
10
Soal Latihan A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .
Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilai fungsi tidak ada.
f ( x) 1. xlim 3
5.
2. lim f ( x)
6.
f(-3)
7.
f(-1)
8.
f(1)
x 1
f ( x) 3. lim x1
f ( x) 4. xlim 1
lim f ( x)
x 1
INF228 Kalkulus Dasar
11
Soal Latihan B. x 2 1, x 1 1. Diketahui : f ( x) 2 x x 2, x 1 a.Hitung
lim f ( x) dan lim f ( x) x 1
x 1
b. Selidiki apakah lim f ( x) ada, jika ada hitung limitnya x1
2. Diketahui g ( x) x 2 3x , hitung ( bila ada ) : a.
lim
x 2
g( x)
x 2
3. Diketahui f ( x) a.
lim
x 2
b. lim g( x )
f ( x)
x2 x2
b.
c.
lim
x 2
g( x )
, hitung ( bila ada )
lim
x 2
f ( x)
INF228 Kalkulus Dasar
c.
lim f ( x) x 2
12
Sifat limit fungsi Misal
lim f ( x) L dan lim g ( x) G (limit dari f , g ada dan berhingga) x a x a maka 1.
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) L G x a
x a
x a
2. lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) LG x a
x a
x a
f ( x) L f ( x) lim x a 3. lim , bila G 0 x a g ( x) lim g ( x) G x a
4.
lim ( f ( x)) n (lim f ( x)) n ,n bilangan bulat positif x a
x a
5. lim n f ( x) n lim f ( x) n L x a
x a
bila n genap L harus positif
INF228 Kalkulus Dasar
13
Prinsip Apit Misal f ( x) g ( x) h( x) untuk x disekitar c dan
lim f ( x) L serta lim h( x) L maka
x c
x c
lim g ( x) L x c
Contoh Hitung Karena dan
1 lim ( x 1) sin x 1 x 1 2
1 1 sin( ) 1 x 1 lim ( x 1) 2 0 x 1
maka
lim ( x 1) 2 sin x 1
( x 1) 2 ( x 1) 2 sin
1 ( x 1) 2 x 1
, lim ( x 1) 2 0 x 1
1 0 x 1 INF228 Kalkulus Dasar
14
Limit Fungsi Trigonometri sin x 1. lim 1 x 0 x 2. lim cos x 1 x 0
tan x 1 x 0 x
3. lim
Contoh sin 4 x sin 4 x .4 3 lim .4 3x sin 4 x x 0 4 x 4 x lim lim x 0 5 x tan 2 x x 0 tan 2 x tan 2 x 5 .2 5 lim .2 x 0 2x 2x x 0 ekivalen dgn 4x 0 sin 4 x 3 lim .4 7 4 x 0 4 x tan 2 x 5 lim .2 3 2 x 0 2x 3
INF228 Kalkulus Dasar
15
Soal Latihan Hitung 1.
tan 2 3t lim t 0 2t
2.
lim
3.
cos 2 t lim t 0 1 sin t
4.
sin 3t 4t lim t 0 t sec t
5.
lim
t 0
cot t sin t 2 sec t
tan x x 0 sin 2 x
INF228 Kalkulus Dasar
16
Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Limit Tak Hingga
Misal lim f ( x) L 0 dan lim g ( x) 0 , maka lim x a
x a
xa
f ( x) g ( x)
(i) , jika L 0 dan g ( x) 0 dari arah atas (ii ) , jika L 0 dan g ( x) 0 dari arah bawah
(iii ) , jika L 0 dan g ( x) 0 dari arah bawah (iv ) , jika L 0 dan g ( x) 0 dari arah atas Ctt :
g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif. g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) negatif. INF228 Kalkulus Dasar
17
Contoh Hitung x2 1 a. lim x 1 x 1
x2 1 b. xlim 1 x 2 1
c. lim x
x sin x
Jawab a. lim x 2 1 2 0 x 1
Sehingga
x2 1 lim x 1 x 1
2 b. lim x 1 2 0 x 1
Sehingga
,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnya x-1 akan bernilai negatif
g ( x) x 2 1 akan menuju 0 dari arah atas, karena x -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapi bilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadrat kan lebih besar dari 1 sehingga x 2 1 bernilai positif
x2 1 lim 2 x 1 x 1 INF228 Kalkulus Dasar
18
c.
Karena
f(x)=sinx
lim x 0
x
dan
x
Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arah bawah(arah nilai sinx negatif) sehingga
x lim x sin x
INF228 Kalkulus Dasar
19
Limit di Tak Hingga a. lim f ( x) L x
0 M 0 x M | f ( x) L |
jika
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga L x Contoh Hitung x 2 2x 5 lim x 2x 2 4
Jawab
2 5 2 2 x ( 1 ) x 2x 5 x x lim lim lim x 4 x x 2x 2 4 x 2 (2 x42 ) 2 2 x 2
2 x
INF228 Kalkulus Dasar
5 x2
1
= 1/2 20
b.
lim f ( x) L
x
jika
0 M 0 x M | f ( x) L |
atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga L x Contoh Hitung 2x 5 x 2 x 2 4 Jawab lim
x 2 ( 2x x52 )
2x 5 lim lim 2 x 2 x 2 4 x x ( 2
4 x2
)
lim
x
INF228 Kalkulus Dasar
( 2x (2
5 x2 4 x2
) )
=0 21
Contoh Hitung
x2 x 3 x
lim
x
Jawab : Jika x
lim
x
, limit diatas adalah bentuk (
x x 3 x lim x 2 x 3 x ( 2
x
x2 x 3 x2
lim x | x | 2
x2 x 3 x x(1 3x )
x
lim
x
lim
x
)
x2 x 3 x x x3 x 2
lim
x
x3 x2 x 3 x
x 2 (1 1x x32 ) x xlim 1 3x
( 1 1x x32
INF228 Kalkulus Dasar
)
x(1 3x ) x 1 1x x32 x
1 2 1) 22
Soal Latihan Hitung
3 x lim 1. x 3 3 x 2.
lim
3
.
2 x 2 x 4
lim ( x 1 x ) x x 4. lim x 1 x 2 3.
x2 x 5. lim x 1 x
x2 1 6. lim x x 1 INF228 Kalkulus Dasar
23
Kekontinuan Fungsi Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika
(i)
f(a) ada
(ii)
lim f ( x) ada xa
(iii) lim f ( x) f (a) x a
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan tidak kontinu di x=a (i) f(a) tidak ada
º
a
f tidak kontinu di x=a INF228 Kalkulus Dasar
24
(ii) L2
L1
a
Karena limit kiri(L1) tidak sama dengan limit kanan(L2) maka f(x) tidak mempunyai limit di x=a
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a (iii)
f(a)
●
L
º
f(a) ada
lim f ( x) ada xa
a
Tapi nilai fungsi tidak sama dengan limit fungsi
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a INF228 Kalkulus Dasar
25
f(a) ada
(iv)
lim f ( x) ada xa
f(a)
lim f ( x) f (a) x a
a f(x) kontinu di x=2 Ketakkontinuan terhapus º a
Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapus dengan cara mendefinisikan nilai fungsi dititik tersebut = limit fungsi
INF228 Kalkulus Dasar
26
contoh Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya x2 4 x 1, x 2 x2 4 , x 2 f ( x ) a. f ( x) f ( x ) b. c. 2 x2 x2 x 1, x 2 3 ,x 2
Jawab :
a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0)
f(x) tidak kontinu di x=2
b. - f(2) = 3 x2 4 ( x 2)( x 2) lim lim lim x 2 4 - x 2 x 2 x 2 x2 ( x 2) - lim f ( x) f (2) x 2
Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidak kontinu di x=2 INF228 Kalkulus Dasar
27
c.
- f (2) 2 2 1 3 -
lim f ( x) lim x 1 3
x 2
x 2
lim f ( x) 3
lim f ( x) lim x 1 3 2
x 2
x 2
x 2
f ( x) f (2) - lim x 2 Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2
INF228 Kalkulus Dasar
28
Kontinu kiri dan kontinu kanan Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika
lim f ( x) f (a)
x a
Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika
lim f ( x) f (a)
x a
Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi x a, x 2 f ( x) 2 ax 1, x 2
Kontinu di x=2
INF228 Kalkulus Dasar
29
Jawab : Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah
f kontinu kiri di x=2
lim f ( x) f (2)
x 2
lim f ( x) lim x a 2 a
x 2
x 2
f (2) a2 2 1 4a 1
2 + a = 4a – 1 -3a = -3 a=1
f kontinu kanan di x=2
lim f ( x) f (2)
x 2
f (2) a2 2 1 4a 1
lim f ( x) lim ax 2 1 4a 1
x 2
Selalu dipenuhi
x 2
INF228 Kalkulus Dasar
30
Soal Latihan
x 2 1, x 1 1. Diketahui f ( x) 2 x 2, x 1 selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1 2. Agar fungsi x 1, x 1 f ( x) ax b,1 x 2 3 x, x 2
kontinu pada R, maka berapakah a + 2b ?
3. Tentukan a dan b agar fungsi ax 2 bx 4 , x2 f ( x) x2 2 4 x, x2
kontinu di x = 2 INF228 Kalkulus Dasar
31
Kekontinuan pada interval
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.
Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila : 1. f(x) kontinu pada ( a,b ) 2. f(x) 3.
kontinu kanan di x = a
f(x) kontinu kiri di x = b
Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x R maka dikatakan f(x) kontinu ( dimana-mana ). INF228 Kalkulus Dasar
32
Teorema 3.2 Fungsi Polinom kontinu dimana-mana Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya Misalkan f ( x) n x , maka f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap. Contoh : tentukan selang kekontinuan f ( x) x 4 Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4>0 atau x>4. lim f ( x) lim x 4 0 f (4)
x 4
x 4
f(x) kontinu kiri di x=4
Sehingga f(x) kontinu pada [4, ) INF228 Kalkulus Dasar
33
Soal Latihan A. Carilah titik diskontinu dari fungsi
x 2 3x 1. f ( x ) x3 2. f ( x )
x2 3. f ( x ) | x|2
x2 4 x3 8
B. Tentukan dimana f(x) kontinu 1. f ( x) 2. f ( x)
x 1 4 x2 9
4x x2
INF228 Kalkulus Dasar
34
Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi
Teorema Limit Fungsi Komposisi: Jika lim g ( x) L dan f(x) kontinu di L, maka x a
lim f ( g ( x)) f lim g ( x) f ( L) x a
x a
Teorema kekontinuan fungsi komposisi: Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi ( f g )( x) kontinu di a. Bukti lim ( f g )( x) lim f ( g ( x)) x a
x a
f (lim g ( x)) xa
= f(g(a)) = (fog)(a)
karena f kontinu di g(a) karena g kontinu di a
INF228 Kalkulus Dasar
35
Contoh Tentukan dimana fungsi
x 4 3x 1 f ( x) cos 2 x 3x 4 kontinu Jawab :
Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau
f ( x) ( g h)( x) dengan
x 4 3x 1 h( x ) 2 x 3x 4
dan g(x) = cos x
Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana maka fungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}
INF228 Kalkulus Dasar
36
