3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan barisan bilangan real. Sebagaimana telah diketahui bahwa barisan merupakan bentuk khusus fungsi, yaitu fungsi bernilai real dengan domain bilangan asli. Pada bab ini kita memperluas konsep limit kepada bentuk fungsi bernilai real secara umum. Karena konsep kekontinuan terkait erat dengan konsep limit maka kedua topik ini dibahas secara simultan pada bab ini.
3.1 Pengertian Limit Fungsi dan Fungsi Kontinu Biasanya, notasi
lim f (x) = L
x→c
dipahami secara intuitif dengan berbagai pernyataan berikut 1. Jika
x
mendekati
f (x)
dekat pula 2. Nilai-nilai
f (x)
c
f (x)
maka
kepada
adalah dekat dengan
Pada pernyataan pertama, dekatnya
c.
mendekati
L,
semakin dekat
x
kepada
c
semakin
L. L
untuk
x
dekat dengan
c.
f (x) terhadap L disebabkan oleh dekatnya x kepada
Pernyataan ini banyak diambil sebagai denisi limit khususnya bagi mereka yang
belum belajar analisis. Padahal sesungguhnya pernyataan kedua lebih sesuai untuk denisi limit. Pada pernyataan ini ada dua kriteria atau ukuran dekat. Kriteria dekatnya terhadap dengan
L
memberikan kriteria dekatnya
x
kepada
c.
x
Kemudian, setiap
c dalam kriteria ini mengakibatkan nilai f (x) dekat dengan L.
f (x)
yang dekat
Sebelum masuk ke
cluster point )
denisi formal limit fungsi, diberikan terlebih dahulu pegertian titik limit ( suatu himpunan.
Denisi 3.1. [Titik Limit] Misalkan A ⊂ R. A
jika setiap persekitaran
selain
c,
Sebuah titik
Vδ (c) := (c − δ, c + δ)
c∈R
dikatakan
titik limit
memuat paling sedikit satu anggota
A
atau
(c − δ, c + δ) ∩ A \ {c} = 6 ∅, ∀δ > 0.
Catatan 1. Titik limit A boleh jadi anggota A atau bukan anggota A. Sebaliknya, suatu anggota A dapat menjadi titik limit atau bukan titik limit A.
Sebelum diberikan contoh diperhatikan teorema yang menjamin adanya barisan di dalam
A
yang konvergen ke titik limit
A
yang dapat dijadikan kriteria titik limit.
Teorema 3.1. Sebuah bilangan c ∈ A titik limit A bila hanya bila terdapat barisan (an )
dalam A dengan an 6= c untuk setiap n ∈ N sehingga lim(an ) = c.
c titik limit. Untuk setiap n ∈ N, bentuk persekitaran radius δ := n1 , 1 1 yaitu V 1 (c) = (c− , c+ ). Selalu ada an ∈ A∩V 1 dengan an 6= c. Karena berlaku n n
Bukti.
Misalkan n
|an − c| <
1 n maka disimpulkan
n
lim(an ) = c.
1
Sebaliknya, diketahui terdapat barisan
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
(an ) dalam A, an 6= c dan lim(an ) = c, dibuktikan c seperti ini adalah titik limit A. Karena diketahui lim(an ) = c maka untuk sebarang δ > 0 terdapat bilangan asli K sehingga |an − c| < δ untuk setiap n ≥ K . Ini berarti, khususnya aK ∈ A, aK 6= c dan aK ∈ Vδ yaitu A ∩ Vδ \ {c} = 6 ∅. Terbukti c titik limit A.
Contoh 3.1.
Diberikan himpunan
A
yang didenisikan sebagai
A = {−1} ∪ {x ∈ R : 0 ≤ x < 1} ∪ {2}. Tentukan himpunan semua titik limit
A.
Penyelesaian.
Diperhatikan bahwa setiap x ∈ [0, 1] dan setiap δ > 0 maka berlaku (x − δ, x + δ) ∩ A \ {x} = 6 ∅. Jadi setiap x ∈ [0, 1] merupakan titik imit A. Diperhatikan x = −1 ∈ A. Kita dapat memilih δ1 > 0 sehingga (−1 − δ1 , −1 + δ1 ) ∩ A = {−1} sehingga (−1 − δ1 , −1 + δ1 ) ∩ A \ {−1} = ∅, jadi x = −1 bukan titik limit A. Argumen yang sama diterapkan untuk x = 2. Diperoleh himpunan titik lmit A adalah [0, 1].
Gambar 3.1: Ilustrasi titik limit pada garis bilangan Diperhatikan pada contoh ini,
2
bukan titik limit
sekaligus titik limit
A. A.
1 ∈ / A
tetapi
1
titik limit
Bilangan di dalam interval
[0, 1)
A.
Sebaliknya
2 ∈ A
kesemuanya anggota
tetapi
A
dan
Berikut diberikan beberapa fakta sederhana tentang titik limit:
I
Himpunan yang banyak anggotanya berhingga tidak mempunyai titik limit.
I
Himpunan bilangan asli
I
Himpunan bilangan rasional
tidak mempunyai titik limit.
N
Q
mempunyai titik limit semua bilangan real. Hal ini
disebabkan sifat kepadatan bilangan rasional di dalam
I
Himpunan
A=
1
satupun anggota
n
:n∈N
A
menjadi titik limitnya.
R.
hanya mempunyai titik limit
0.
Dalam kasus ini tidak
Selanjutnya denisi limit fungsi diberikan sebagai berikut.
Denisi 3.2. [Limit Fungsi] Misalkan A ⊆ R dan f L
dikatakan limit fungsi
f
di
c,
: A −→ R, c titik limit A.
ditulis
L = lim f (x) x→c
adalah bilamana diberikan
Bilangan
>0
terdapat
δ>0
(3.1)
sehingga berlaku
0 < |x − c| < δ → |f (x) − L| < .
(3.2)
δ biasanya bergantung pada nilai yang diberikan sehingga kadangkadang ditulis sebagai δ() untuk menunjukkan ketergantungan δ pada yang diberikan. Bila limit L ini ada maka fungsi f dikatakan juga konvergen ke L di c. Secara praktis, dapat dikatakan f (x) mendekati L bilamana x mendekati c. Ukuran dekat f (x) terhadap L diberikan oleh , dan kedekatan x dengan c diukur oleh δ . Pada ekspresi Pada denisi ini, nilai
2
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
diberikan V(L) L+ |f(x) -L|<
L L-
terdapat V (c)
c+ c c+
Gambar 3.2: Ilustrasi denisi limit fungsi (3.3) kita dapat membuat dengan
f (x) sedekat mungkin dengan L dengan memilih x yang dekat
c.
0 < |x − c| < δ |f (x) − L| < tidak memperhitungkan x yang sama dengan c. Artinya pada denisi limit, nilai f (c) tidak perlu ada. Ingat, titik limit himpunan domain A tidak harus di dalam A. Oleh karena itulah, ilustrasi grak denisi limit menggunakan dot ◦” di titik x = c. Ilustrasi denisi limit fungsi diberikan pada Gambar 3.2. Pernyataan pada (3.3) menunjukkan bahwa untuk berlakunya
Pengertian yang hampir sama untuk fungsi kontinu di
x = c, seperti diungkapkan berikut
ini.
Denisi 3.3. [Fungsi Kontinu] Misalkan A ⊆ R dan f : A −→ R, c ∈ A . Fungsi f dikatakan kontinu di c, adalah bilamana diberikan > 0 terdapat δ > 0 sehingga berlaku
|x − c| < δ → |f (x) − f (c)| < . Kontinu pada himpunan Dalam kasus
c ∈ A
dan
A
berarti kontinu di setiap
c
titik limit
A
(3.3)
c ∈ A.
maka kedua pengertian limit dan kekontinuan
sangat terkait seperti diungkapkan pada teorema berikut. Berdasarkan denisi ini, syarat perlu agar fungsi
f
kontinu di
c
adalah
f (c)
harus ada
atau terdenisi. Syarat ini tidak berlaku pada kasus limit, yakni nilai limit fungsi di dapat saja ada walaupun nilai
f (c)
tidak ada.
Ilustrasi fungsi kontinu di
c
c
diberikan
pada Gambar 3.3.
Teorema 3.2. Misalkan A ⊆ R dan f pernyataan berikut ekuivalen. (i) f
kontinu di
: A −→ R, c ∈ A. Bila c titik limit A maka kedua
c
(ii) limx→c f (x) = f (c) Bukti.
Untuk mudahnya kita bentuk dua himpunan berikut
E1 := {x ∈ A : 0 < |x − c| < δ}, E2 := {x ∈ A : |x − c| < δ}. E2 ⊂ E1 . Diketahui f kontinu di c berarti x ∈ E2 → |f (x) − f (c)| < . Misalkan x ∈ E1 maka x ∈ E2 atau x = c. Bila x ∈ E2 maka (3.2) berlaku dengan
Jadi
3
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
diberikan V(f(c)) f(c)+ |f(x) -f(c)|<
f(c) f(c) -
terdapat V (c)
c+ c c+
Gambar 3.3: Ilustrasi fungsi f
kontinu di
c
|f (x) − f (c)| = |f (c) − f (c)| = 0 < sehingga (3.2) juga dipenuhi. Terbukti limx→c f (x) = f (c). Sebaliknya, diketahui limx→c f (x) = f (c) yaitu x ∈ E1 → |f (x) − f (c)| < . Karena E2 ⊂ E1 maka berlaku x ∈ E2 → |f (x) − f (c)| < , yaitu f kontinu di c.
L = f (c).
Contoh 3.2.
Untuk kemungkinan
Misalkan
f
Buktikan untuk sebarang kontinu di
x=c
berlaku
R, katakan f (x) = b limx→c b = b. Kemudian
x ∈ R. f
fungsi konstan pada
untuk setiap
c ∈ R,
simpulkan bahwa
berlaku
c.
Penyelesaian.
Diberikan
>0
sebarang, ambil
δ := 1
maka diperoleh
0 < |x − c| < δ → |f (x) − L| = |b − b| = 0 < . Jadi terbukti
limx→c f (x) = f (c). Karena c ∈ R merupakan titik limit maka dengan f kontinu di c.
teorema 3.2 maka disimpulkan
Catatan 2. Pengambilan
δ pada pembuktian di atas dapat selain 1, bahkan berapapun boleh. Pembuktian ini menggunakan pola p → q dimana q sudah dipastikan benar.
Contoh 3.3. bahwa
Buktikan untuk sebarang
f (x) := x
Penyelesaian.
kontinu di
Untuk setiap
c ∈ R, limx→c x = c.
Kemudian simpulkan
c. >0
yang diberikan, ambil
δ := .
Diperoleh
0 < |x − c| < δ → |f (x) − L| = |x − c| < δ = . limx→c x = c. Karena berlaku limx→c f (x) = f (c) disimpulkan f kontinu di c.
Karena itu terbukti limit maka
Contoh 3.4. Bukti.
Misalkan
Misalkan
c ∈ R.
f (x) = x2 , x ∈ R.
Buktikan
f
kontinu pada
dan
c
titik
R.
Kita perhatikan dulu penjabaran berikut
|f (x) − f (c)| = |x2 − c2 | = |x + c||x − c|. Karena sudah ada suku
|x + c|.
|x − c|
maka kita perlu melakukan estimasi pada suku
Untuk itu diasumsikan dulu
|x − c| < 1,
maka berlaku
||x| − |c|| ≤ |x − c| < 1 → −1 < |x| − |c| ≤ 1 → |x| ≤ |c| + 1. | {z }
4
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Untuk asumsi ini diperoleh estimasi pada
|x + c|,
yaitu
|x + c| ≤ |x| + |c| ≤ 2|c| + 1. Secara keseluruhan diperoleh estimasi
|f (x) − f (c)| = |x + c||x − c| < (2|c| + 1) |x − c|. (∗) Agar kuantitas terakhir ini kurang dari
|x − c| < Agar kedua
|x − c| < 1
dan
|x − c| <
maka haruslah
. (∗∗) 2|c| + 1 2|c|+1 dipenuhi maka diambil
δ = δ() := min 1,
2|c| + 1
.
0 < |x − c| < δ maka (*) dan (**) berlaku sehingga disimpulkan |f (x) − f (c)| < . Jadi, limx→c f (x) = f (c), dan terbukti f kontinu di c.
Jadi jika
c dikarenakan ia tidak terdenisi c ada maka fungsi tersebut dapat
Ada kalanya sebuah fungsi tidak kontinu di suatu titik di
c,
yaitu
f (c)
tidak ada. Tetapi, asalkan limitnya di
diperluas menjadi fungsi kontinu.
Contoh 3.5.
Diberikan fungsi
f (x) =
x2 −1 x−1 , x
6= 0
tidak kontinu di
1
karena
f (1)
tidak
ada. Namun, berlaku
x2 − 1 = lim (x + 1) = 2. x→1 x − 1 x→1
lim f (x) = lim
x→1
Jadi fungsi ini dapat diperluas menjadi fungsi kontinu pada
( f (x) =
x2 −1 x−1
R
sebagai berikut
6 0 = x = 0.
untukx
2
untuk
3.2 Kriteria Barisan untuk Limit dan Kekontinuan Untuk mengetahui limit dan kekontiunuan fungsi di suatu titik dapat dideteksi melalui limit barisan yang sudah dipelajari pada bab sebelumnya.
Teorema 3.3. Misalkan f ekuivalen.
: A −→ R dan c titik limit A. Maka kedua pernyataan berikut
(i) limx→c f (x) = L (ii)
(xn ) di dalam A yang konvergen barisan (f (xn )) konvergen ke L.
Untuk setiap barisan
n ∈ N, Bukti.
maka
(i)→(ii). Diberikan
>0
ke
c, xn 6= c
untuk setiap
limx→c f (x) = L, maka terdapat δ > 0 sehingga jika 0 < |x − c| < δ berlaku |f (x) − L| < . Misalkan lim(xn ) = c, xn 6= c. Berdasarkan denisi limit barisan, untuk δ > 0 sebelumnya terdapat K ∈ N sehingga |xn − c| < δ untuk setiap n ≥ K . Karena xn 6= c maka dapat ditulis 0 < |xn − c| < δ , sehingga berlaku |f (xn ) − L| < untuk setiap n ≥ K . Ini menunjukkan bahwa barisan (f (xn )) konvergen ke L. (ii)→(i). Dibuktikan melalui kontraposisinya. Diketahui limx→c f (x) 6= L, berarti sebarang. Karena diketahui
5
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
0 > 0 sehingga setiap δ > 0 terdapat xδ ∈ A, 0 < |x − xδ | < δ tetapi |f (x) − xδ | ≥ 0 . Bila para δ > 0 tersebut diambil sebagai δ := n1 > 0 untuk 1 setiap n ∈ N maka terbentuk barisan (xn ) dengan sifat 0 < |xn − c| < n , xn ∈ A tetapi |f (xn ) − L| ≥ 0 untuk setiap n ∈ N. Ini berarti barisan (f (xn )) tidak mungkin konvergen ke L. Jadi ada barisan (xn ) dalam A, xn 6= c tetapi (f (xn )) tidak konvergen ke L. Pernyataan (ii) salah. Bukti teorema selesai. ada
Dengan demikian diperoleh kriteria divergen sebagai berikut:
(a) limx→c f (x) 6= L konvergen ke
(b) limx→c f (x)
c
tetapi barisan
f (xn )
dalam
A
dengan
xn 6= c, (xn )
(xn ) dalam A dengan xn 6= c, (xn )
tidak konvergen.
(xn ), (yn ) dalam A lim (f (xn )) 6= lim (f (yn )).
tidak ada bila hanya bila ada dua barisan
xn , yn 6= c, (xn )
Contoh 3.6.
(xn ) lim (f (xn )) 6= L.
bila hanya bila ada barisan
tetapi barisan
tidak ada bila hanya bila ada barisan
konvergen ke
(c) limx→c f (x)
c
dan
Buktikan
(yn )
konvergen ke
limx→0
c
tetapi
dengan
1 x tidak ada.
f (x) = x1 . Ambil barisan (xn ) dengan xn := n1 . Jelas barisan ini konvergen ke 0, xn 6= 0. Sekarang perhatikan barisan (f (xn )) = 1 = (n) = (1, 2, 3, · · · ) tidak konvergen. Berdasarkan kriteria (b) maka ter1/n bukti limitnya tidak ada.
Bukti.
Di sini kita mempunyai
Contoh 3.7.
Diberikan fungsi signum yang didenisikan sebagai berikut
+1 sgn(x) : = 0 −1 Buktikan
limx→0 sgn(x)
untuk untuk untuk
x > 0, x = 0, x < 0.
tidak ada.
(xn ) dan (yn ) dengan xn := n1 dan yn := − n1 . Jelas kedua barisan ini konvergen ke 0 dan setiap sukunya tidak ada yang sama dengan 0. Diper 1 hatikan barisan (sgn(xn )) = sgn = (1) = (1, 1, · · · ) konvergen ke 1, tetapi n (sgn(yn )) = sgn(− n1 ) = (−1) = (−1, −1, · · · ) konvergen ke −1. Berdasarkan kriteria (c) maka terbukti limitnya tidak ada.
Bukti.
Ambil dua barisan
Cara lain dapat menggunakan sifat bahwa sgn(x)
=
x |x| untuk
(−1)n bil xn := maka barisan (xn ) konvergen ke 0, n (−1)n sgn = (−1)n = (−1, +1, −1, · · · ) divergen. n
Contoh 3.8. Bukti.
Buktikan
lim sin x1
dimana
xn :=
yn :=
xn 6= 0.
Dengan mengam-
Tetapi
(sgn(xn )) =
tidak ada.
f (x) = sin x1 , x 6= 0.
Ambil dua barisan (xn ) dan (yn ) 1 (π/2+2πn) . Maka jelas kedua barisan ini konvergen ke nol
Di sini kita mempunyai
1 nπ ,
x 6= 0.
dan suku-sukunya tidak pernah sama dengan nol. Namun, barisan
(f (xn )) = (sin nπ) = (1, 1, · · · ) → 1 (f (yn )) = (sin (π/2 + 2πn)) = (0, 0, · · · ) → 0 sehingga berdasarkan kriteria (c) maka disimpulkan limitnya tidak ada.
f (x) = sin x1 diberikan pada Gambar 3.4 . Pada gambar ini terlihat jelas bahwa nilai fungsi f selalu berada di dalam interval [−1, 1], semakin dekat x kepada 0 semakin cepat oskilasinya tetapi nilai f (x) tidak menuju titik apapun. Ilustrasi grak fungsi
6
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1 −0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Gambar 3.4: Grak fungsi f (x) = sin(1/x) Teorema 3.4. Misalkan ekuivalen. (i) f (ii)
c
kontinu di
Untuk setiap barisan konvergen ke
Bukti.
f : A −→ R dan c ∈ A. Maka kedua pernyataan berikut
di dalam
A
yang konvergen ke
c,
maka barisan
(f (xn ))
f (c).
Gunakan fakta
L := f (c).
(xn )
f
kontinu di
c
bila hanya bila
limx→c f (x) = f (c)
dan ambil
Selanjutnya gunakan teorema kriteria barisan untuk limit.
Dengan demikian diperoleh kriteria diskontinu sebagai berikut Fungsi
f
c jika hanya jika terdapat barisan (xn ) (f (xn )) tidak konvergen ke f (c).
tidak kontinu di
konvergen ke
Contoh 3.9. (a)
c
tetapi
A
sehingga
(xn )
Beberapa fungsi tidak kontinu
Fungsi
ϕ(x) := 1/x
Fungsi
s(x) :=
0
tidak kontinu di
tidak mempunyai limit di (b)
dalam
sebab
ϕ(0)
tidak ada. Juga, fungsi ini
0.
sgn(x) tidak kontinu di
0,
karena
limx→0 s(x)
tidak ada,
seperti telah dibahas sebelumnya. Berikut ini diberikan contoh fungsi yang tidak kontinu dimana-mana pada
Contoh 3.10.
Diberikan fungsi Dirichlet sebagai berikut
( 1 f (x) := 0 Buktikan
Bukti.
f
R.
x x
bila bila
rasional irrasional.
tidak kontinu dimana-mana.
Misalkan
c
bilangan real sebarang.
Ditunjukan
f
tidak kontinu di
c.
Bila
c
bilangan rasional maka dengan sifat kepadatan bilangan rasional, selalu terda-
(xn ) (f (xn )) = (0, 0, 0, · · · )
c. Jadi lim(xn ) = c, lim (f (xn )) = 0 6= f (c) = 1. Seterdapat barisan bilangan rasional (yn )
pat barisan bilangan irrasional
yang konvergen ke
tetapi barisan
sehingga
baliknya bila
c
bilangan irrasional maka
c. Dengan argumen yang sama seperti sebelumnya, diperoleh lim (f (xn )) = 1 6= f (c) = 0. Jadi f tidak kontinu di c untuk setiap c ∈ R. yang konvergen ke
7
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
3.3 Teorema tentang Limit Pada pembahasan limit barisan, berlaku bahwa jika barisan konvergen maka ia terbatas tetapi tidak berlaku sebaliknya. Sifat yang sama berlaku pada fungsi yang mempunyai limit, tetapi keterbatasan dalam arti lokal.
Denisi 3.4. Misalkan f : A −→ R, dan c ∈ R titik limit A. Fungsi f dikatakan terbatas lokal di c jika terdapat persekitaran Vδ (c) dan konstanta M > 0 sehingga |f (x)| ≤ M
Teorema 3.5. Bila f Bukti.
x ∈ A ∩ Vδ (c).
untuk setiap
: A −→ R mempunyai limit di c ∈ R maka f terbatas lokal di c.
L := limx→c f (x), maka berdasarkan denisi untuk = 1, terdapat δ > 0 sehingga untuk setiap x ∈ A dengan 0 < |x − c| < δ berlaku |f (x) − L| < 1, yang berakibat |f (x)| < |L| + 1. Sedangkan untuk x = c maka |f (x)| = |f (c)|. Dengan mengambil M := sup {|f (c)|, |L| + 1} maka diperoleh |f (x)| ≤ M untuk setiap x ∈ A ∩ Vδ (c). Misalkan
Operasi penjumlahan, perkalian, perkalian skalar dan pembagian fungsi-fungsi didenisikan sebagai berikut
f f (x) (f + g) (x) := f (x) + g(x), (f g) (x) := f (x)g(x), (αf ) (x) := αf (x), (x) := h h(x) dimana domain fungsi-fungsi tersebut sama.
h(x) 6= 0
untuk setiap
Khusus untuk pembagian, disyaratkan
x.
Teorema 3.6. Misalkan
f, g : A −→ R, c ∈ R titik limit A. Bila f dan g mempunyai limit di c, katakan limx→c f (x) = F dan limx→c g(x) = G maka berlaku 1.
limx→c (f ± g) (x) = F ± G
2.
limx→c (f g) (x) = F G
3.
limx→c (αf ) (x) = αF untuk suatu konstanta α. F limx→c fg (x) = G asalkan G 6= 0 dan g(x) 6= 0
4.
Bukti.
untuk setiap
x.
Teorema ini dapat dibuktikan dengan menggunakan denisi limit fungsi, tetapi
lebih mudah menggunakan kriteria barisan untuk limit. barisan dalam
A
dimana
xn 6= c
dan
lim(xn ) = c,
lim (f (xn )) = F,
dan
Misalkan
(xn )
suatu
maka berlaku
lim (g(xn )) = G.
Diperoleh
lim ((f ± g) (xn )) = lim (f (xn ) ± g(xn )) = lim (f (xn )) ± lim (g(xn )) = F ± G. Dengan menggunakan kriteria barisan untuk limit, hasil terakhir ini memberikan kesimpulan bahwa
limx→c (f ± g) (x) = F ± G,
yang membuktikan pernyataan (i).
Untuk pernyataan lainnya dapat dibuktikan dengan cara yang sama. Diperhatikan khusus untuk perkalian, bila terdapat beberapa fungsi
f1 , f2 , · · · , fn dengan
limx→c fk (x) = Fk maka berlaku lim (f1 f2 · · · fn ) (x) = lim f1 (x) lim fk (x) · · · lim fn (x) = F1 F2 · · · Fn .
masing-masing
x→c
x→c
x→c
8
x→c
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
f1 = f2 = · · · = fn := f maka diperoleh n lim (f (x))n = lim f (x) = F n .
Lebih khusus, jika
x→c
Jika
p
suatu polinomial pada
x→c
R,
yaitu
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
maka
dengan menggunakan sifat limit hasil kali fungsi diperoleh
lim p(x) = an cn + an−1 cn−1 + · · · + a1 c + a0 = p(c).
x→c Selanjutnya, jika
p(x)
dan
q(x)
polinomial dan jika
lim
x→c
q(c) 6= 0
maka berlaku
p(x) p(c) = . q(x) q(c)
Teorema berikut memberikan kepastian bahwa bila nilai fungsi
f (x) terbatas dalam suatu
interval, maka begitu juga nilai limitnya.
Teorema 3.7. Misalkan
f : A −→ R, c ∈ R titik limit A. Bila a ≤ f (x) ≤ b untuk semua x ∈ A, x 6= 0 dan limx→c f (x) ada maka a ≤ lim f (x) ≤ b. x→c
Bukti.
(xn ) suatu barisan dalam A dimana xn 6= c dan lim(xn ) = c maka lim (f (xn )) = limx→c f (x). Karena a ≤ f (xn ) ≤ b untuk setiap n ∈ N a ≤ limx→c (f (xn )) ≤ b. Jadi, a ≤ limx→c (f (x)) ≤ b.
Misalkan
berlaku maka
Teorema 3.8. Misalkan f, g, h : A −→ R dan c ∈ R titik limit A. Bila diketahui f (x) ≤ g(x) ≤ h(x)
untuk setiap x ∈ A, x 6= c dan limx→c f (x) = L = limx→c h(x) maka limx→c g(x) = L. Bukti.
Teorema ini adalah teorema squeeze untuk limit fungsi. Pembuktiannya meng-
gunakan teorema squeeze untuk limit barisan. Untuk sebarang barisan
A
dimana
xn 6= c
dan
lim(xn ) = c,
(xn ) dalam
maka berlaku
f (xn ) ≤ g(xn ) ≤ h(xn ). Dengan memandang
(f (xn )) , (g(xn ))
dan
(h(xn ))
sebagai tiga barisan bilangan
real maka berlaku
lim (g(xn )) = lim (f (xn )) = lim (h(xn )) = L, sehingga disimpulkan
limx→c g(x) = L.
Teorema squeeze ini biasanya digunakan untuk membuktikan nilai limit suatu fungsi dengan cara membangun dua fungsi lainnya yang selalu mendominasi dari bawah dan dari atas. Kedua fungsi tersebut mempunyai nilai limit yang sama. Berikut diberikan beberapa contoh limit yang memuat fungsi trigonometri yang sering muncul sebagai rumus limit.
Namun, sebelumnya diberikan beberapa fakta pembatas
yang berkaitan dengan fungsi sinus dan cosinus.
(i) −x ≤ sin x ≤ x x2
untuk setiap
(ii) 1 − 2 ≤ cos x ≤ 1untuk
x ≥ 0.
setiap
x ≥ 0.
9
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN 3 (iii) x − x6 ≤ sin x ≤ x
Contoh 3.11.
Buktikan limit sebagai berikut :
1.
limx→0 sin x = 0,
2.
limx→0 cos x = 1, limx→0 cos xx−1 = 0, limx→0 sinx x = 1, limx→0 x sin x1 = 0.
3. 4. 5.
x ≥ 0.
untuk setiap
Bukti.
Karena berlaku −x ≤ sin x ≤ x untuk setiap x ≥ 0 (berdasarkan (i)) limx→0 −x = limx→0 x = 0 maka dengan menggunakan teorema squeeze di
dan per-
oleh
0 = lim −x ≤ lim sin x ≤ lim x = 0 x→0
x→0
x→0
limx→0 sin x = 0. Untuk limx→0 cos x menggunakan (ii), yaitu 2 x2 1 − 2 ≤ cos x ≤ 1. Karena limx→0 (1 − x2 ) = limx→0 1 = 1 maka diperoleh limx→0 cos x = 1. Selanjutnya, dengan (ii) diperoleh sehingga terbukti
− Untuk
x>0
x2 2
≤ cos x − 1 ≤ 0,
berlaku
− dan untuk
x<0
cos x − 1 x ≤ . x 2
0≤ f dan h ( − x2 f (x) : = 0
maka untuk
x 6= 0
sebagai berikut untuk untuk
(
x≥0 , x<0
h(x) :=
limx→0 f (x) = limx→0 h(x) = 0
x ≤ sin x ≤ x −
x3 6 untuk
x ≤ 0. 1−
Karena
limx→0 1 − z.
x2 6
Jadi untuk
= limx→0 1 = 1
Dengan mengganti
Gunakan denisi nilai mutlak.
limx→0 cos xx−1 = 0. ≤ sin x ≤ x untuk x ≥ 0
3
x − x6 x 6= 0 berlaku
x2 sin x ≤ ≤ 1. 6 x limx→0 sinx x −1 ≤ sin z ≤ 1 untuk
maka disimpulkan
z = x1 , x 6= 0
−1 ≤ sin
x>0
untuk
x≥0 x<0
maka disimpulkan
Untuk pertanyaan 5, gunakan kenyataan bahwa bilanga real
untuk
cos x − 1 ≤ h(x). x
Untuk soal 4, dengan menggunakan (iii) berlaku dan
0 − x2
berlaku
f (x) ≤ Karena
x≥0
cos x − 1 x ≤ ≤0 2 x
diperoleh
Bila diambil fungsi
untuk
= 1.
semua
maka diperoleh
1 ≤ 1. x
Kalikan ketiga ruas ekspresi terakhir ini dengan
diperoleh
−|x| = −x ≤ x sin
10
1 ≤ x = |x|. x
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Bila dikalikan dengan
x<0
diperoleh
1 ≥ x = −|x| x
|x| = −x ≥ x sin Jadi untuk setiap
x∈R
dan
x 6= 0
berlaku
−|x| ≤ x sin Karena Fungsi
x sin x1
1 ≤ |x|. x 1 x
limx→0 −|x| = limx→0 |x| = 0 maka disimpulkan limx→0 x sin berkelakuan seperti fungsi
sin x1
sebelumnya tetapi ia semakin dekat kepada
nol nilainya semakin mengecil mengikuti corong yang terbentuk oleh garis
y = −x.
= 0.
y = x
dan
Pola ini ditunjukkan pada Gambar 3.5. 0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4 −0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
Gambar 3.5: Grak fungsi y = x sin
1 x
0.4
3.4 Sifat-sifat Fungsi Kontinu Sifat-sifat fungsi kontinu banyak yang mengikuti sifat-sifat yang berlaku pada limit fungsi.
Jumlahan, perkalian, perkalian skalar fungsi-fungsi kontinu membentuk fungsi
kontinu yang baru. Pembagian dua fungsi kontinu juga merupakan fungsi kontinu asalkan fungsi penyebutnya tidak pernah nol.
Sifat aljabar fungsi kontinu
Teorema 3.9. Misalkan f, g : A −→ R, c ∈ A. Bila f dan g kontinu di c maka 1. Fungsi-fungsi 2. Bila
f ± g, f g
h : A −→ R c.
dan
kontinu di
αf
kontinu di
c∈A
dan
c.
h(x) 6= 0
untuk semua
x∈A
maka fungsi
f h kontinu di
Bukti.
Hanya akan dibuktikan bagian 2, sisanya dapat dibuktikan sendiri.
fakta
limx→c f (x) = f (c),
maka berlaku
sehingga disimpulkan
dan
limx→c h(x) = h(c).
Karena
f f (c) limx→c f (x) f (c) = = = lim (x) h h(c) limx→c h(x) x→c h f g kontinu di
c.
11
c ∈ A
dan
Gunakan
f (c) 6= 0
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Contoh 3.12.
Bentuk-bentuk fungsi kontinu :
1. Fungsi polinomial real 2. Bila
p(x) = an xn +an−1 xn−1 +· · ·+a1 x+a0 kontinu di setiap bilangan
c. p(x) dan q(x) fungsi rasional dan α1 , α2 , · · · , αm akar q(x) maka fungsi rasional r(x) =
kontinu di setiap
c
p(x) ,x∈ / {α1 , α2 , · · · , αm } q(x)
yang bukan akar
3. Fungsi
s(x) = sin x
4. Fungsi
tan x, cot x, sec x
c(x) = cos x
dan
dan
csc x
q(x). kontinu pada
R.
kontinu dimana mereka terdenisi.
Kekontinuan fungsi nilai mutlak dan fungsi akar
Teorema 3.10. Misalkan
fungsi akar sebagai berikut
f : A −→ R, kemudian didenisikan fungsi nilai mutlak dan
|f |(x) := |f (x)|, dan 1. Bila 2. Bila
Bukti.
f
kontinu pada
f (x) ≥ 0
dan
Gunakan sifat
f
A
p p f (x) := f (x).
maka demikian juga dengan
kontinu pada
A
√
maka
||f (x)| − |L|| ≤ |f (x) − L|
f
|f |.
kontinu pada
A.
untuk menunjukkan berlaku
lim |f |(x) = | lim f (x)|,
x→c
x→c
sehingga diperoleh
lim |f | (x) = lim f (x) = |f (c)| = |f |(c).
x→c Jadi
|f |
c.
kontinu di
x→c
p √ f (x) − L = p bahwa limx→c f (x) =
Untuk fungsi akar, gunakan hubungan
√ 1 √ |f (x) − L| ≤ √1 |f (x) − L| untuk menunjukkan L pf (x)+ L limx→c f (x). Selanjutnya, gunakan fakta ini untuk menunjukkan nya.
kekontinuan-
Kekontinuan fungsi komposisi Berikut diberikan syarat kontinu agar komposisi fungsi kontinu juga kontinu.
Teorema 3.11. Bila A, B ⊆ R, f
: A −→ R dan g : B −→ R. Bila f kontinu di c ∈ A, g kontinu f (c) dan f (A) ⊆ B maka komposisi g ◦ f : A −→ R kontinu di c. Bukti.
Diberikan
> 0
sebarang.
Karena
g
kontinu di
f (c)
maka terdapat
sehingga
y∈B Karena
f
kontinu di
dan
c
x∈A
|y − f (c)| < δ1 → |g(y) − g(f (c))| < . (∗)
maka untuk dan
δ1 > 0
di atas, terdapat
δ>0
|x − c| < δ → |f (x) − f (c)| < δ1 . (∗∗)
12
sehingga
δ1 > 0
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
f (A) ⊆ f (B) maka f (x) ∈ B sehingga ruas kiri (∗∗) dipenuhi oleh y = f (x). ruas kanan (∗) berlaku, yaitu
Karena Jadi
|g(f (x) − g(f (c))| = |g ◦ f (x) − g ◦ f (c)| < . >0
Kesimpulannya, setiap
x∈A g◦f
yakni
Contoh 3.13.
kontinu di
dan
terdapat
δ>0
sehingga
|x − c| < δ −→ |g ◦ f (x) − g ◦ f (c)| < ,
c.
Pada contoh ini diberikan cara lain membuktikan kekontinuan fungsi nilai
mutlak dan fungsi akar kontinu.
(a)
g1 := |x|
Dengan mendensikan kontinu pada
A,
maka dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa
g1
yaitu menggunakan ketidaksamaan segitiga
|g1 (x) − g1 (c)| = ||x| − |c|| ≤ |x − c|. Bila
(b)
f :A→R
sebarang fungsi kontinu pada
Dengan mengambil setiap
c ≥ 0,
g2 (x) :=
√
x, x ≥ 0
A
maka
maka
g2
g1 ◦ f = |f |
kontinu pada
A.
dapat ditunjukkan kontinu di
yaitu dengan menggunakan hubungan
√ √ x−c 1 1 x − c = √ x + √c = √x + √c |x − c| ≤ √c |x − c| . f : A → R, dengan f (x) ≥ 0 sebarang fungsi kontinu pada A maka g2 ◦f = kontinu pada A.
Bila
Bila syarat
√
f
f (A) ⊆ B atau g kontinu di f (c) tidak terpenuhi maka ada kemungkinan kom-
posisi dua fungsi kontinu tidak kontinu, seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut.
Contoh 3.14.
Buktikan
g
f
Misal diberikan fungsi
dan
f
( 0 g(x) := 2
bila
0
tetapi
kontinu di
bila
g
dan
x=1 , x 6= 1 g◦f
yang didenisikan sebagai berikut
f (x) := x + 1, x ∈ R.
tidak kontinu di
0.
Apakah hasil ini berten-
tangan dengan teorema sebelumnya?
Bukti.
f
Untuk fungsi
g , limx→0 g(x) = limx→0 2 = 2 = g(0)
yakni
g
kontinu di
0.
Karena
berupa fungsi linier atau polinomial derajat satu maka ia pasti kontinu di
Sekarang bentuk komposisi
g◦f
0.
sebagai berikut
( 0 (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = 2
bila bila
f (x) = 1 = f (x) 6= 1
( 0 2
bila bila
x=0 . x 6= 0
Uji kekontinuan sebagai berikut
lim g ◦ f (x) = lim 2 = 2 6= g ◦ f (0) = 0,
x→0
x→0
g ◦ f tidak kontinu di 0. Diperhatikan salah satu syarat g kontinu di f (c). Karena f (0) = 1 dan limx→1 g(x) = 2 6= g(1) = 0 maka g tidak kontinu di f (0) = 1. Karena ada syarat pada teorema tidak dipenuhi maka fakta ini tidak bertentangan dengan teorema. sehingga disimpulkan
teorema adalah
13
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Eksistensi ekstrim mutlak Eksistensi nilai maksimum dan minimum mutlak sangat banyak digunakan dalam teori optimasi. Teori optimasi merupakan salah satu kajian dalam matematika yang banyak digunakan dalam bidang terapan, khususnya dalam menentukan nilai yang mengoptimumkan suatu fungsi objektif.
Sebelumnya diberikan pengertian fungsi terbatas dan
kaitannya dengan fungsi kontinu.
Denisi 3.5. konstanta
Sebuah fungsi
M >0
f : A −→ R
dikatakan terbatas pada
A
jika terdapat
sehingga
|f (x)| ≤ M f
Dengan kata lain, fungsi
untuk semua
x ∈ A.
range )
terbatas jika rentang (
bayangannya merupakan him-
punan terbatas.
Contoh 3.15.
f (x) := x1 kontinu pada A := (0, ∞) tetapi tidak terbatas pada A 1 karena setiap bilangan real α > 0 terdapat x ∈ A, misalnya x = α+1 sehingga |f (x)| > α. Namun, ia terbatas dan kontinu pada himpunan takterbatas B := (1, ∞) yaitu dengan mengambil M = 1. Pada himpunan terbatas C = (0, 1], fungsi f kontinu tetapi tidak Fungsi
terbatas. Keterbatasan fungsi kontinu pada suatu interval akan terjamin bila interval tersebut terbatas dan tertutup seperti diungkapkan pada teorema berikut.
Teorema 3.12. Jika I := [a, b] suatu interval tertutup dan f terbatas pada I .
: I −→ R kontinu maka f
Bukti.
Andai f tidak terbatas pada I . Maka, untuk sebarang n ∈ N terdapat bilangan xn ∈ I sehingga |f (xn )| > n. Karena I terbatas maka ia memuat barisan bagian X 0 = (xnr ) dari X = (xn ) yang konvergen ke suatu bilangan x (Teorema BolzanoWierestrass). Karena I tertutup dan xnr ∈ I maka x ∈ I . Karena f kontinu di setiap anggota I maka f kontinu di x sehingga barisan (f (xnr )) konvergen ke f (x). Jadi, (f (xnr )) barisan terbatas. Padahal berlaku
|f (xnr )| > n ≥ nr yang menyatakan bahwa Jadi, pengandaian
Denisi 3.6.
Misalkan
f
(f (xnr ))
untuk setiap
tidak terbatas.
r∈N
Diperoleh suatu kontradiksi.
tidak terbatas adalah salah. Kesimpulan, teorema terbikti.
f : A −→ R.
Kita katakan
f
mempunyai sebuah maksimum
absolute maximum ) pada A jika terdapat titik x∗ ∈ A sehingga
mutlak (
f (x∗ ) ≥ f (x) Dikatakan
f
untuk semua
mempunyai minimum mutlak pada
f (x∗ ) ≤ f (x) Selanjutnya, titik
x∗
A
x ∈ A.
jika terdapat titik
untuk setiap
x∗ ∈ A
sehingga
x ∈ A.
disebut titik maksimum mutlak dan
x∗
disebut titik minimum
mutlak.
Contoh 3.16.
f (x) := x1 A = (0, ∞), tetapi Fungsi
tidak mempunyai maksimum maupun minimum mutlak
B = [1, 2] mempunyai maksimum mutlak x∗ = 1 dan titik minimum x∗ = 2. Fungsi g(x) := x2 mempunyai dua maksimum mutlak pada domain C := [−1, 1] yaitu x∗ = ±1 dan satu minimum mutlak dengan x∗ = 0. Perhatikan Gambar pada domain
pada domain
dan minimum mutlak dengan titik maksimum
14
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Gambar 3.6: Ilsutrasi maksimum dan minimum mutlak Contoh 3.16 Teorema 3.13. Jika I := [a, b] suatu interval tertutup dan f
: I −→ R kontinu maka f
Bukti.
merupakan himpunan ter-
mempunyai maksimum dan minimum mutlak pada I . Karena
batas.
f
terbatas maka range
f (I) := {f (x) : x ∈ I}
Berarti ia mempunyai supremum dan inmum, katakan
s∗ = sup f (I)
∗ ∗ ∗ dan s∗ = inf f (I). Kita tunjukkan terdapat x , x∗ ∈ I sehingga f (x ) = s dan f (x∗ ) = s∗ . Karena s∗ = sup f (I) maka untuk setiap n ∈ N, terdapat xn ∈ I sehingga
1 < f (xn ) ≤ s∗ . (#) n Karena I terbatas maka barisan X := (xn ) terbatas, sehingga ia memuat barisan 0 ∗ ∗ bagian X = (xnr ) yang konvergen ke suatu x ∈ I . Jadi f kontinu di x . Akibat∗ nya, lim(f (xnr )) = f (x ). Mengikuti (#), diperoleh s∗ −
s∗ − Karena
lim(s∗ −
1 < f (xnr ) ≤ s∗ nr
= lim(s∗ ) = s
1 nr )
untuk setiap
r ∈ N.
maka dengan teorema squeeze, disimpulkan
bahwa
lim (f (xnr )) = f (x∗ ) = s∗ . Untuk eksistensi titik minimum
x∗
dibuktikan sejalan.
3.5 Limit Satu Sisi Sebelumnya telah ditunjukkan bahwa limit fungsi signum di domainnya dibatasi pada interval
0
tidak ada.
Tetapi jika
(0, ∞) maka limitnya ada yaitu bernilai 1. Juga, bila (−∞, 0) maka limitnya juga ada yaitu −1. Kasus
domainnya hanya dibatasi pada interval
seperti ini mengilhami pengertian limit kanan dan limit kiri yang dimodikasi langsung dari pengertian limit biasa. Limit kiri dan limit kanan dikenal dengan istilah limit satu sisi, sedangkan limit biasa dikenal dengan limit dua sisi.
Denisi 3.7.
Misalkan
A⊆R
dan
f : A −→ R.
c ∈ R titik limit A∩(c, ∞) = {x ∈ A : x > c}, maka bilangan real L dikatakan limit kanan f di c, ditulis L = lim f (x)
1. Bila
x→c+
>0
adalah jika diberikan dengan 2. Bila
0<x
c ∈ R
dikatakan
δ>0 |f (x) − L| < .
sebarang terdapat
maka berlaku
A ∩ (−∞, c) = {x ∈ A : x < c}, f di c, ditulis
titik limit
limit kiri
sehingga untuk semua
x∈A
maka bilangan real
L
L = lim f (x) x→c−
adalah jika diberikan dengan
c−δ <x<0
>0
δ>0 |f (x) − L| < .
sebarang terdapat
maka berlaku
15
sehingga untuk semua
x∈A
3 LIMIT DAN KEKONTINUAN diberikan
diberikan
L+
L+
L
|f(x) -L|<
L
|f(x) -L|<
L-
L-
terdapat
terdapat
c- c
c c+
Gambar 3.7: Ilustrasi limit kiri (panel kiri) dan limit kanan (panel kanan) L = limx→c+ f (x)
Biasanya notasi
dibaca L adalah limit fungsi
f
untuk
x
mendekati
c
dari kanan. Analog untuk limit kiri. Secara geometri kedua pengertian limit ini diberikan pada Gambar 3.7 . denisi ini, adanya nilai
f (c)
Pada kedua
tetap tidak disyaratkan.
Analog kriteria barisan untuk limit dapat diadaptasikan langsung pada limit satu sisi, seperti diungkapkan pada teorema berikut.
Teorema 3.14. Misalkan A ⊆ R dan f
: A −→ R, maka berlaku pernyataan berikut:
limx→c+ f (x) = L bila hanya bila untuk setiap barisan (xn ) yang konvergen ke c dimana xn ∈ A dan xn > c berakibat barisan (f (xn )) konvergen ke L ∈ R. limx→c− f (x) = L bila hanya bila untuk setiap barisan (xn ) yang konvergen ke c dimana xn ∈ A dan xn < c berakibat barisan (f (xn )) konvergen ke L ∈ R. Bukti.
Dapat dibuktikan sendiri dengan adaptasi teorema yang mirip untuk limit dua
sisi.
Berikut ini hubungan limit satu sisi dan limit dua sisi :
limx→c f (x) = L
Contoh 3.17.
bila hanya bila
limx→c− f (x) = limx→c+ f (x) = L
Diperhatikan kembali fungsi signum. Diperoleh
lim
x→0+
sgn(x)
= 1,
lim
x→0−
sgn(x)
= −1.
Karena limit kiri dan limit kanan tidak sama maka limit dua sisinya
limx→0 sgn(x) tidak
ada. Adakalanya, salah satu limit kiri atau limit kanan tidak ada.
Sebagai ilustrasi amati
contoh berikut.
Contoh 3.18.
g(x) := e1/x , x 6= 0 tidak mempunyai limit kanan di 0 tetapi limit 1 kirinya ada yaitu 0 (Why???). Fungsi h(x) := 1/x , x 6= 0 mempunyai limit kiri di 0 e +1 yaitu 1, sedangkan limit kanannya 0 (Why ???). Karena limit kiri dan kanan tidak sama Fungsi
maka limit dua sisinya tidak ada.
3.6 Kekontinuan Seragam dan Fungsi Lipschitz
16