3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
1
3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian limit secara intuisi Perhatikan fungsi
x2 1 f ( x) x 1 Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk 0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1 Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut 0.9 0.99 0.999 0.9999
1
1.0001 1.001 1.01
1.1
f(x) 1.9 1.99 1.999 1.9999
2
2.0001 2.001 2.01
2.1
x
2
Secara grafik Dari tabel dan grafik disamping terlihat bahwa f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1
f(x) 2 f(x)
Secara matematis dapat dituliskan Sebagai berikut
º
x
1
x
x2 1 lim 2 x 1 x 1 x2 1 Dibaca “ limit dari untuk x mendekati x 1 1 adalah 2
Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa lim f ( x) L berarti x c bahwa bilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L 3
Contoh 1. lim 3 x 5 8 x 1
2 x 2 3x 2 (2 x 1)( x 2) lim lim 2. x2 x2 x2 x2
3.
lim x 9
x9 x 3
lim x 9
x9
x 3
lim 2 x 1 5 x2
x 3 x 3 lim x 9
( x 9)( x 3) lim x 3 6 x 9 x9
sin(1 / x ) 4. lim x 0
Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut x sin(1 / x )
2/
2 / 2
2 / 3
2 / 4
2 / 5
2 / 6
1
0
-1
0
1
0
2 / 7
-1
2 / 8
0
0
?
Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju ke satu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada 4
Definisi limit
lim f ( x ) L jika 0 , 0 0 | x c | | f ( x ) L | xc
L
º
L
c
c Untuk setiap 0 L
º
c c c
0 | x c |
º
Terdapat 0 sedemikian sehingga L
L
L
º c | f ( x) L | 5
Limit Kiri dan Limit Kanan x
Jika x menuju c dari arah kiri (dari arah bilangan yang lebih kecil dari c, limit disebut limit kiri, notasi
c
lim f ( x )
x c
c
Jika x menuju c dari arah kanan (dari arah bilangan yang lebih besar dari c, limit disebut limit kanan, notasi
x
lim f ( x)
x c
Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)
lim f ( x) L lim f ( x) L dan lim f ( x) L x c
Jika
x c
x c
lim f ( x ) lim f ( x) maka lim f ( x ) tidak ada
x c
x c
x c
6
Contoh Diketahui 1.
x2 , x 0 f ( x) x , 0 x 1 3 , x 1
a. Hitung lim f ( x ) x 0
f ( x) b. Hitung lim x1
Jika ada
c. Hitung lim f ( x) x 2
d. Gambarkan grafik f(x) Jawab a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=0
7
lim f ( x ) lim x 2 0
x 0
x 0
lim f ( x ) lim x 0
x 0
lim f ( x) 0 x 0
x 0
b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=1
lim f ( x) lim x 1
x 1
lim f ( x)
x 1
x 1
lim 3 3
Karena lim f (x) lim f (x) x1
x1
lim f ( x ) Tidak ada x1
x 1
c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=2
lim f ( x) x 2
lim 3 3 x2
8
d.
3
º 1
Untuk x
0
f ( x) x 2 Grafik: parabola
Untuk 0<x<1 f(x)=x Grafik:garis lurus Kalkulus 1
di x=1 limit tidak ada Untuk
x 1
f ( x) 3 Grafik: garis lurus 9
2. Tentukan konstanta c agar fungsi
3 cx, x 1 f ( x) 2 x c , x 1 mempunyai limit di x=-1 Jawab Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka lim f ( x ) lim f ( x) x 1
lim f ( x ) lim 3 cx 3 c
x 1
x 1
lim f ( x ) lim x 2 c 1 c x 1
x 1
Agar limit ada
3+ c=1-c
x 1
c=-1 10
Soal Latihan A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .
Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilai fungsi tidak ada.
f ( x) 1. xlim 3
5.
x 1
2. lim f ( x )
6.
f(-3)
7.
f(-1)
8.
f(1)
x 1
f ( x) 3. lim x1
f ( x) 4. xlim 1
lim f ( x)
11
Soal Latihan B. x 2 1, x 1 1. Diketahui : f ( x) 2 x x 2, x 1 a.Hitung
lim f ( x) dan lim f ( x) x 1
x 1
b. Selidiki apakah lim f ( x ) ada, jika ada hitung limitnya x 1
2. Diketahui g ( x ) x 2 3 x , hitung ( bila ada ) : a.
lim
x2
g( x)
x2
3. Diketahui f ( x) a.
lim
x 2
b. lim g( x )
f ( x)
x2 x2 b.
c.
lim
x 2
g( x )
, hitung ( bila ada )
lim
x 2
f ( x)
c.
lim x 2
f ( x)
12
Sifat limit fungsi Misal
lim f ( x ) L dan lim g ( x ) G (limit dari f , g ada dan berhingga) xa xa maka 1.
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) L G xa
xa
xa
2. lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) LG xa
xa
xa
f ( x) L f ( x) lim xa 3. lim , bila G 0 xa g ( x) lim g ( x) G xa
4.
lim( f ( x)) n (lim f ( x)) n ,n bilangan bulat positif xa
xa
5. lim n f ( x) n lim f ( x) n L xa
xa
bila n genap L harus positif 13
Limit Fungsi Trigonometri sin x 1. lim 1 x 0 x 2. lim cos x 1 x 0
tan x 3. lim 1 x 0 x Contoh: lim x 0
sin 4 x ... tan 2 x
sin 4 x sin 4 x lim lim Jawab: x0 tan 2 x x0 tan 2 x
=1
sin 4 x lim .4 x 4 x 0 4x 2 tan 2 x lim .2 x 2 x 0 2x
x 0 ekivalen dgn 4x 0
14
Soal Latihan Hitung 1.
tan 2 3t lim t 0 2t
2.
tan x lim x 0 sin 2 x
15
Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Limit Tak Hingga
f ( x) Misal lim f ( x) L 0 dan lim g ( x) 0 , maka lim x a g ( x) x a x a
(i ) , jika L 0 dan g ( x) 0 dari arah atas (ii ) , jika L 0 dan g ( x ) 0 dari arah bawah
(iii ) , jika L 0 dan g ( x ) 0 dari arah bawah (iv ) , jika L 0 dan g ( x ) 0 dari arah atas Ctt :
g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif. g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) negatif. 16
Contoh: Hitung a. lim x 1
1 x 1
b. xlim 1
x2 x2 1
x c. lim x sin x
Jawab a.
lim 1 1 0
x 1
Sehingga
1 lim x 1 x 1
b. lim x 2 1 0 x 1
Sehingga
,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x 1 dari kiri berarti x kurang dari 1, akibatnya x-1 akan bernilai negatif
g ( x) x 2 1 akan menuju 0 dari arah atas, karena x -1 dari kiri berarti x kurang dari -1, tapi bilangan negatif yang kurang dari -1 jika dikuadrat kan pastilah lebih dari 1 sehingga x 2 1 bernilai positif
x2 lim 2 x 1 x 1
17
c.
Karena
f(x)=sinx
lim x 0
x
dan
x
Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arah bawah(arah nilai sinx negatif) sehingga
x lim x sin x
18
Limit di Tak Hingga a. lim f ( x) L x
0 M 0 x M | f ( x ) L |
jika
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga L x Contoh: Hitung x 2 2x 5 lim x 2x 2 4
Jawab:
2 5 1 2 x (1 2x x52 ) x 2 2x 5 x x lim lim lim x 4 x x 2x 2 4 x 2 (2 x42 ) 2 2 x 2
= 1/2 19
b.
lim f ( x) L
x
jika
0 M 0 x M | f ( x ) L |
atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga L x Contoh: Hitung 2x 5 x 2 x 2 4 Jawab: lim
x (x 2x 5 lim lim 2 x 2 x 2 4 x x ( 2 2 2
5 x2 4 x2
) )
lim
x
( 2x (2
5 x2 4 x2
) )
=0 20
Soal Latihan Hitung:
3 x lim 1. x 3 3 x 2.
lim
3
.
2 x 2 x 4
3.
lim ( x 1 x ) x x 4. lim x 1 x 2 x2 x 5. lim x 1 x
x2 1 6. lim x x 1 Kalkulus 1
21
Kekontinuan Fungsi Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika (i)
f(a) ada
(ii)
lim f ( x) ada x a
(iii) lim f ( x) f (a ) xa
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan tidak kontinu di x=a (i) º a
f(a) tidak ada f tidak kontinu di x=a 22
(ii) L2
L1
a
Karena limit kiri(L1) tidak sama dengan limit kanan(L2) maka f(x) tidak mempunyai limit di x=a Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a
(iii)
f(a)
●
L
º
lim f ( x ) ada
a
Tapi nilai fungsi tidak sama dengan limit fungsi
f(a) ada x a
Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a 23
f(a) ada
(iv)
lim f ( x ) ada x a
f(a)
lim f ( x ) f ( a ) xa
a f(x) kontinu di x=a
º a
Ketakkontinuan yang terhapuskan Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapus dengan cara mendefinisikan nilai fungsi dititik tersebut = limit fungsi
24
Contoh: Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkan alasannya 2 2 x 4 x 1, x 2 x 4 , x 2 a. f ( x) b. f ( x) x 2 c. f ( x) 2 x2 x 1, x 2 3 ,x 2 Jawab : a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0)
f(x) tidak kontinu di x=2
b. - f(2) = 3 x2 4 ( x 2)( x 2) lim lim x 2 4 - lim x2 x 2 x2 x2 ( x 2) - lim f ( x ) f ( 2) x2
f(x) tidak kontinu di x=2
25
c.
- f ( 2) 2 2 1 3 -
lim f ( x) lim x 1 3
x2
x2
lim f ( x) lim x 1 3 2
x 2
lim f ( x ) 3 x2
x 2
f ( x ) f ( 2) - lim x2 Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2
26
Kontinu kiri dan kontinu kanan Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika
lim f ( x) f (a )
xa
Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika
lim f ( x) f (a )
xa
Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi x a, x 2 f ( x) 2 ax 1, x 2
Kontinu di x=2
27
Jawab : Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah f kontinu kiri di x=2
lim f ( x ) f ( 2)
x2
lim f ( x) lim x a 2 a
x2
x2
f kontinu kanan di x=2
lim f ( x) f (2)
x2
f ( 2) a 2 2 1 4 a 1
2 + a = 4a – 1 -3a = -3 a=1
f (2) a 2 2 1 4a 1
lim f ( x) lim ax 2 1 4a 1
x 2
x 2
Jadi agar f(x) kontinu di x = 2, maka a = 1.
Selalu dipenuhi 28
Soal Latihan
x 2 1, x 1 1. Diketahui f ( x) 2 x 2, x 1 selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1 2. Agar fungsi
x 1, x 1 f ( x) ax b,1 x 2 3 x, x 2
kontinu pada R, tentukan nilai a dan b!
29
Kekontinuan pada interval
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.
Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila : 1. f(x) kontinu pada ( a,b ) 2.
f(x) kontinu kanan di x = a
3.
f(x) kontinu kiri di x = b
Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x R maka dikatakan f(x) kontinu ( dimana-mana ). 30
Teorema 3.2 Fungsi Polinom kontinu dimana-mana Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya Misalkan f ( x ) n x , maka f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap. Contoh : tentukan selang kekontinuan f ( x) x 4 Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-4>0 atau x>4. lim f ( x) lim x 4 0 f (4)
x4
x4
f(x) kontinu kanan di x=4
Sehingga f(x) kontinu pada [4, ) 31
Soal Latihan Carilah titik diskontinu dari fungsi
x 2 3x 1. f ( x ) x3 2. f ( x )
x2 4 x3 8
32
Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi
Teorema Limit Fungsi Komposisi: Jika lim g ( x ) L dan f(x) kontinu di L, maka x a
lim f ( g ( x )) f ( lim g ( x )) f ( L ) x a
x a
Teorema kekontinuan fungsi komposisi: Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi ( f g )( x ) kontinu di a. Bukti lim( f g )( x ) lim f ( g ( x )) xa
xa
f (lim g ( x)) x a
= f(g(a)) = (fog)(a)
karena f kontinu di g(a) karena g kontinu di a
33
Contoh: Tentukan dimana fungsi
x4 3x 1 kontinu f ( x ) cos 2 x 3x 4 Jawab : Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau
f ( x ) ( g h )( x ) dengan
x 4 3x 1 h( x ) 2 x 3x 4
dan g(x) = cos x
Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana maka fungsi f(x) kontinu di R-{-4,1} 34
