KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY
III. LIMIT DAN KEKONTINUAN
3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian limit secara intuisi Perhatikan fungsi
x 2 1 f ( x) x 1 Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk 0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1 Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut 0.9 0.99 0.999 0.9999
1
1.0001 1.001 1.01
1.1
f(x) 1.9 1.99 1.999 1.9999
2
2.0001 2.001 2.01
2.1
x
Dari tabel dan grafik disamping terlihat bahwa f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1
Secara grafik f(x) 2 f(x)
Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut
º
x
1
x2 1 lim 2 x1 x 1
x
2 x 1 untuk x mendekati Dibaca “ limit dari x 1 1 adalah 2
Definisi (limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa lim f ( x) L berarti bahwa bilamana x dekat, xc
tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L.
Contoh
1. lim3x 5 8 x 1
(2x 1)(x 2) 2x 2 3x 2 lim lim 2. x2 x2 x2 x2
3.
lim x9
x 9 x 3
lim x9
x 9
x 3
lim2x 1 5 x2
x 3 x 3 lim x9
( x 9)( x 3) lim x 3 6 x9 x 9
4. limsin(1/ x) x0
Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut x
sin(1/ x)
2/
2 / 2
2 / 3
2 / 4
2 / 5
2 / 6
1
0
-1
0
1
0
2 / 7
-1
2 / 8
0
0
?
Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju ke satu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada
Definisi Limit lim f ( x ) L jika x c
L
0, 0 | x c | | f ( x ) L | L
º
c
c Untuk setiap
L
º
0
º
c c c
| x c |
Terdapat 0 sedemikian sehingga L L
L
º c
| f ( x) L |
Limit Kiri dan Limit Kanan x
Jika x menuju c dari arah kiri (dari arah bilangan yang lebih kecil dari c) limit disebut limit kiri,
c
notasi c
lim f ( x)
xc
Jika x menuju c dari arah kanan (dari arah bilangan yang lebih besar dari c) limit disebut limit kanan,
x
notasi lim f ( x) xc
Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)
lim f ( x) L lim f ( x) L dan lim f ( x) L xc
Jika
xc
xc
lim f ( x) lim f ( x) , maka lim f ( x) tidak ada
xc
xc
xc
Contoh 1.
x2 , x 0 f ( x) x , 0 x 1 2 x2 , x 1 a. Hitung lim f ( x) x0
b. Hitung lim f ( x) x1
c. Hitung lim f ( x) x2
d. Gambarkan grafik f(x)
Jawab a. Karena aturan fungsi berubah di x = 0, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x= 0 lim f ( x) lim x2 0 x0 x0 lim f ( x) 0 lim f ( x) lim x 0 x0 x0 x0
b. Karena aturan fungsi berubah di x = 1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x = 1
lim f ( x) lim x 1
lim f ( x) tidak ada karena lim f ( x) lim f ( x) 2 x1 x1 lim f ( x) lim 2 x 3 x1 x1 x1 x1
x1
c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x = 2, maka tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x = 2
lim f ( x) lim 2 x 2 6
x 2
x 2
d.
f ( x) 2 x2
3
di x=1 limit tidak ada º 1
Untuk x
0
f ( x) x 2 Grafik: parabola
Untuk 0<x<1
Untuk
x 1
f(x)=x Grafik:garis lurus
Grafik: parabola
2. Tentukan konstanta c agar fungsi
3 cx, x 1 f ( x) 2 x c, x 1 mempunyai limit di x=-1 Jawab: Agar f(x) mempunyai limit di x = -1, maka lim f ( x) lim f ( x) x 1
x 1
lim f ( x) lim 3 cx 3 c
x1
x1
lim f ( x) lim x2 c 1 c x1
x1
Agar limit ada
3+c=1-c C = -1
Soal Latihan A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .
Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilai fungsi tidak ada. 1. lim f ( x) x3
2.
lim f ( x)
x1
3. lim f ( x) x1
4. f(-3) 5. f(-1) 6. f(1)
x2 1, x 1 B. 1. Diketahui : f ( x) 2 x x 2, x 1 a. Hitung lim f ( x) dan x1
lim
x1
f ( x)
b. Selidiki apakah lim f ( x) ada, jika ada hitung limitnya x1
2. Diketahui a.
lim
x2
g ( x) x 2 3x, hitung (bila ada) : g( x)
b.
lim x2
g( x)
c. lim
x2
x 2 , hitung (bila ada) 3. Diketahui f ( x) x2 a.
lim
x 2
f ( x)
b. lim f ( x) x 2
c.
g( x)
lim f ( x) x2
Sifat limit fungsi Misal
lim f ( x) L dan lim g ( x) G (limit dari f dan g ada serta berhingga) xa
xa
maka 1.
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) L G xa
xa
xa
2. lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) LG xa
xa
xa
lim f ( x) L f ( x ) 3. lim xa , bila G 0 xa g ( x) lim g ( x) G xa
4.
lim( f ( x))n (lim f ( x))n , n bilangan bulat positif xa
xa
5. lim n f ( x) n lim f ( x) n L xa
xa
bila n genap dan L harus positif
Prinsip Apit Misal
f ( x) g ( x) h( x) untuk x disekitar c dan
lim f ( x) L serta lim h( x) L maka
xc
xc
lim g ( x) L x c
Contoh : Hitung
1 lim( x 1) sin x 1 x 1 2
1 Karena 1 sin( ) 1 x 1 dan
( x 1)2 ( x 1)2 sin
lim ( x 1)2 0, lim( x 1)2 0 x1
maka lim( x 1)2 sin x1
x1
1 0 x 1
1 ( x 1)2 x 1
Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga a. Limit Tak Hingga
f ( x) Misal lim f ( x) L 0 dan lim g( x) 0 , maka lim x a g ( x) x a x a (i ) , jika L 0 dan g ( x) 0 dari arah atas
(ii) , jika L 0 dan g ( x) 0 dari arah bawah
(iii) , jika L 0 dan g ( x) 0 dari arah bawah (iv) , jika L 0 dan g ( x) 0 dari arah atas Cttn : g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) positif. g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x) negatif.
Contoh: Hitung x2 1 x2 1 b. lim 2 a. lim x1 x 1 x 1 x 1
Jawab
c.lim x
x sin x
a. lim x 2 1 2 0 , g(x) = x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x1 x 1 dari kiri berarti x kurang dari 1, akibatnya x-1 akan bernilai negatif Sehingga
x2 1 lim x1 x 1
b. lim x2 1 2 0 x1
Sehingga
, g ( x) x2 1 akan menuju 0 dari arah atas karena
x -1 dari kiri berarti x kurang dari -1, tapi bilangan negatif yang kurang dari -1 jika dikuadrat kan pastilah lebih dari 1 sehingga x 2 1 bernilai positif
x2 1 lim 2 x1 x 1
c.
Karena
f(x)=sinx
lim x 0
x
dan
x
Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sin x menuju 0 dari arah bawah (arah nilai sin x negatif) sehingga
lim
x
x sin x
b. Limit di Tak Hingga a. lim f ( x) L jika 0 M 0 x M | f ( x) L | x
atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga L x Contoh: Hitung
x 2 2x 5 lim x 2 x 2 4 Jawab:
2 5 2 1 2 x ( 1 ) x 2x 5 x x lim lim lim x 4 x 2 x 2 4 x x 2 (2 4 ) 2 2 x x2 2
2 x
5 x2
= 1/2
b. lim f ( x) L jika 0 M 0 x M | f ( x) L | x
atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga L
x Contoh: Hitung
2x 5 x 2 x 2 4 lim
Jawab:
( 2xx x5 ) ( 2x x5 ) 0 0 0 2x 5 lim 2 lim 2 x lim 0 4 4 x 2 x 4 x ( x ) x (2 x ) 2 0 2 x 2
2
2
2
2
2
2
Contoh:
lim x 2 x 3 x
Hitung Jawab :
x
Jika x , limit diatas adalah bentuk (
lim
x
x 2 x 3 x lim
x
lim
x
lim
x
lim
x x
x 1 3x 1 1x
3 x2
1
)
x2 x 3 x x x3 x x2 x 3 x 2
x2 x 3 x2
lim
x2 x 3 x x(1 3x )
x
2
x (1 1x x3 ) x
lim
x
2
1 3x 1 1x x3
2
x 3 x2 x 3 x
lim
x x
x(1 3x )
1 1x x3 x
1 0 1 2 1 1 0 0 1
2
Soal Latihan Hitung:
3 x 1. lim 3 x x3 2. 3. 4. 5.
lim
3
2 x2 x 4
lim( x 1 x ) x x lim x 1 x2 lim
x2 x
x x 1
.
x2 1 6. lim x x 1
2 x 1 7. lim 2 x1 x x 2
x2 2 x 5 8. lim x 2x 5 9. lim x
2x 3 x2 x 2
Limit Fungsi Trigonometri sin x 1. lim 1 x0 x 2. lim cos x 1 x0
tan x 1 x0 x
3. lim
Contoh:
sin 4x sin 4x sin 4x .4x lim .4 4 lim sin 4x 4 lim lim 4x x0 4x 4 x0 4x 2 tan 2x tan 2x 2 x0 tan 2x x0 tan 2x .2x lim .2 2 lim x0 2x 2 x0 2x 2x x 0 ekivalen dgn 4x 0
Soal Latihan Hitung
tan2 3t 1. lim t 0 2t 2.
cot t sin t t 0 2 sect
lim
cos2 t 3. lim t 0 1 sin t tan x 4. lim x0 sin 2 x 5.
tan x x0 x2 3x
lim
Kekontinuan Fungsi Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika (i)
f(a) ada
(ii)
lim f ( x) ada xa
(iii) lim f ( x) f (a) xa
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi, maka f dikatakan tidak kontinu di x=a (i) º a
f(a) tidak ada
f tidak kontinu di x=a
Karena limit kiri (L1) tidak sama dengan limit kanan (L2), maka f(x) tidak mempunyai limit di x = a
(ii) L2
L1 a
Fungsi f(x) tidak kontinu di x = a
(iii)
f(a)
●
L
º
a
f(a) ada
lim f ( x ) ada x a
Tapi nilai fungsi tidak sama dengan limit fungsi Fungsi f(x) tidak kontinu di x = a
(iv)
f(a) ada
lim f ( x) ada
f(a)
xa
lim f ( x) f (a) a
xa
f(x) kontinu di x=a º a
Ketakkontinuan yang terhapuskan Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapus dengan cara mendefinisikan nilai fungsi dititik tersebut = limit fungsi
Contoh: Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x = 2, jika tidak sebutkan alasannya 2 2 4 x x 4 x 1, x 2 ,x 2 a. f ( x) c. f ( x) 2 b. f ( x) x 2 x2 3 x 1, x 2 ,x 2 Jawab : a. Fungsi tidak terdefinisi di x = 2 (bentuk 0/0)
f(x) tidak kontinu di x = 2
b. - f(2) = 3
x2 4 ( x 2)(x 2) lim lim lim x 2 4 - x2 x 2 x2 x2 ( x 2) -
lim f ( x) f (2) x2
f(x) tidak kontinu di x=2
c.
- f (2) 2 2 1 3 -
lim f ( x) lim x 1 3
x2
x2
lim f ( x) lim x 1 3 2
x2
lim f ( x) 3 x2
x2
- lim f ( x) f (2) x2
Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x = 2
