LIMIT DAN KEKONTINUAN

BAB 4 LIMIT DAN KEKONTINUAN Everything should made as simple as possible, but no simpler. Albert EINSTEIN

Menurut Bartle dan Sherbet (1994), “Analisis matematika” secara umum dipahami sebagai tubuhnya matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan dan kekonvergenan barisan bilangan real. Sebagaimana diketahui bahwa barisan merupakan bentuk khusus fungsi, yaitu fungsi bernilai real dengan domain bilangan asli. Pada bab ini kita memperluas konsep limit kepada bentuk fungsi bernilai real secara umum. Karena konsep kekontinuan terkait erat dengan konsep limit maka kedua topik ini dibahas secara simultan pada bab ini.

4.1

Pengertian Limit Fungsi dan Fungsi Kontinu

Biasanya, notasi lim f (x) = L

x→c

dipahami secara intuitif dengan berbagai pernyataan berikut 1. Jika x mendekati c maka f (x) mendekati L, semakin dekat x kepada c semakin dekat pula f (x) kepada L. 2. Nilai-nilai f (x) adalah dekat dengan L untuk x dekat dengan c. 163

164

BAB 4. LIMIT DAN KEKONTINUAN

Pada pernyataan pertama, dekatnya f (x) terhadap L disebabkan oleh dekatnya x kepada c. Pada pernyataan ini, jika ada dua bilangan x1 dan x2 di mana x1 lebih dekat dengan c daripada x2 maka f (x1 ) lebih dekat dengan L daripada f (x2 ). Konsekuensinya, jika x = c maka f (x) = L. Pernyataan ini banyak diambil sebagai pengertian limit khususnya bagi mereka yang belum belajar analisis. Padahal pengertian limit secara formal tidak demikian. Sesungguhnya pernyataan kedua lebih sesuai untuk definisi limit. Pada pernyataan ini ada dua kriteria untuk ukuran dekat. Kriteria dekatnya f (x) terhadap L memberikan kriteria dekatnya x kepada c. Kemudian, setiap x yang dekat dengan c dalam kriteria ini mengakibatkan nilai f (x) dekat dengan L. Sebelum masuk ke definisi formal limit fungsi, diberikan terlebih dahulu pegertian titik limit (cluster point) suatu himpunan. Pengertian titik limit sudah dibahas pada bab sebelumnya. Namun untuk menyegarkan ingatan atau barangkali bab pengantar topologi tidak sempat dipelajari maka ada baiknya konsep ini diberikan terlebih dahulu sebelum masuk pengertian limit fungsi. Definisi 4.1. [Titik Limit] Misalkan A ⊂ R. Sebuah titik c ∈ R dikatakan

titik limit A jika setiap persekitaran Vδ (c) := (c − δ, c + δ) memuat paling sedikit satu anggota A selain c, atau (c − δ, c + δ) ∩ A \ {c} ̸= ∅, ∀δ > 0.

(4.1.1)

Titik limit A boleh jadi anggota A atau bukan anggota A. Sebaliknya, suatu anggota A dapat menjadi titik limit atau bukan titik limit A. Sebelum diberikan contoh, diperhatikan teorema yang menjamin adanya barisan di dalam A yang konvergen ke titik limit A. Teorema ini dapat dijadikan sebagai kriteria titik limit. Teorema 4.1. Sebuah bilangan real c ∈ A adalah titik limit A bila hanya

bila terdapat barisan (an ) dalam A dengan an ̸= c untuk setiap n ∈ N dan lim(an ) = c. Bukti. (→)Misalkan c titik limit. Untuk setiap n ∈ N, bangun persekitaran dengan radius δ := n1 , yaitu V 1 (c) = (c − n1 , c + n1 ). Berdasarkan definisi c n

titik limit, selalu ada an ∈ A ∩ V 1 dengan an ̸= c (lihat 4.1.1). Karena berlaku n |an −c| < n1 maka disimpulkan lim(an ) = c. (←)Sebaliknya, diketahui terdapat

4.1. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI DAN FUNGSI KONTINU

165

barisan (an ) dalam A, an ̸= c dan lim(an ) = c, dibuktikan c seperti ini adalah titik limit A. Karena diketahui lim(an ) = c maka berdasarkan definisi limit barisan, untuk sebarang δ > 0 terdapat bilangan asli K sehingga |an − c| < δ untuk setiap n ≥ K. Ini berarti, khususnya aK ∈ A, aK ̸= c dan aK ∈ Vδ yaitu A ∩ Vδ \ {c} ̸= ∅. Terbukti c titik limit A. Contoh 4.1. Diberikan himpunan A yang didefinisikan sebagai A = {−1} ∪ {x ∈ R : 0 ≤ x < 1} ∪ {2}. Tentukan himpunan semua titik limit A. Penyelesaian. Diperhatikan bahwa setiap x ∈ [0, 1] dan setiap δ > 0 maka

berlaku (x − δ, x + δ) ∩ A \ {x} ̸= ∅. Jadi setiap x ∈ [0, 1] merupakan titik imit A. Diperhatikan x = −1 ∈ A. Kita dapat memilih δ1 > 0 (misalnya δ1 = 12 )

sehingga (−1 − δ1 , −1 + δ1 ) ∩ A = {−1}. Akibatnya, (−1 − δ1 , −1 + δ1 ) ∩ A \ {−1} = ∅. Disimpulkan x = −1 bukan titik limit A. Argumen yang sama diterapkan untuk x = 2. Diperoleh himpunan titik lmit A adalah [0, 1].

Gambar 4.1: Ilustrasi titik limit pada garis bilangan Diperhatikan pada contoh ini, 1 ∈ / A tetapi 1 titik limit A. Sebaliknya 2 ∈ A tetapi 2 bukan titik limit A. Bilangan di dalam interval [0, 1) kesemuanya anggota A dan sekaligus titik limit A. Berikut diberikan beberapa fakta sederhana tentang titik limit: 1. Himpunan A yang banyak anggotanya berhingga tidak mempunyai titik limit. Kita dapat mengambil δ > 0 lebih kecil dari jarak antara ketiga bilangan yang berdekatan. Untuk menunjukkan c ∈ A bukan titik limit, misalkan ketiga bilangan yang berdekatan tersebut adalah x1 , c dan x2 dengan x1 < c < x2 . Ambil δ := 12 min{|x1 − c|, |c − x2 |}. Maka pasti berlaku (c − δ, c + δ) ∩ A \ {c} = ∅.

166


2. Himpunan bilangan asli N tidak mempunyai titik limit. 3. Himpunan bilangan rasional Q mempunyai titik limit semua bilangan real. Hal ini dikarenakan adanya sifat kepadatan bilangan rasional di dalam R. " ! 4. Himpunan A = n1 : n ∈ N hanya mempunyai titik limit 0. Dalam kasus ini tidak satupun anggota A menjadi titik limitnya. Selanjutnya definisi limit fungsi diberikan sebagai berikut. Definisi 4.2. [Limit Fungsi] Misalkan A ⊆ R dan f : A −→ R, c titik limit A. Bilangan L dikatakan limit fungsi f di c, ditulis L = lim f (x) x→c

(4.1.2)

adalah setiap diberikan ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga berlaku 0 < |x − c| < δ → |f (x) − L| < ε.

(4.1.3)

Pada definisi ini, nilai δ biasanya bergantung pada nilai ε yang diberikan sehingga kadang-kadang ditulis sebagai δ = δ(ε) untuk menunjukkan ketergantungan δ pada ε yang diberikan. Bila limit L ini ada maka fungsi f dikatakan juga konvergen ke L di c. Secara praktis, dapat dikatakan “f (x) mendekati L” bilamana “x mendekati c”. Ukuran dekat f (x) terhadap L diberikan oleh ε, dan kedekatan x dengan c diukur oleh δ. Pada ekspresi (4.1.4) kita dapat membuat f (x) sedekat mungkin dengan L dengan memilih x yang dekat dengan c. Ilustrasi definisi limit fungsi diberikan pada Gambar 4.2. Pernyataan 0 < |x − c| < δ pada (4.1.4) menunjukkan bahwa untuk berlakunya |f (x) − L| < ε

tidak memperhitungkan x yang sama dengan c. Diperhatikan pada gambar tersebut x = c dibolongi. Artinya pada definisi limit, nilai f (c) tidak perlu ada. Ingat, titik limit himpunan domain A tidak harus di dalam A. Oleh karena itulah, ilustrasi grafik definisi limit menggunakan dot “◦” di titik x = c. Contoh 4.2. Prosedur menghitung limit berikut sering dilakukan pada pelajaran kalkulus atau sewaktu di SMA dulu. x2 − 4 (x − 2)(x + 2) = lim = lim (x + 2) = 2 + 2 = 4. x→2 x − 2 x→2 x→2 (x − 2) lim


167

diberikan V (L) L+ |f(x) -L|<

L L-

terdapat V (c)

c+

c c+

Gambar 4.2: Ilustrasi definisi limit fungsi Ada 2 hal kritis yang jarang dipedulikan oleh mahasiswa, yaitu ☛ Pada langkah kedua terjadi proses “pencoretan” atau kanselasi pembagian dua bilangan yang sama yaitu (x − 2). Padahal secara teoritis pencoretan ini tidak berlaku untuk bilangan bernilai nol. Dalam kasus limit, hal ini tidak masalah karena notasi x → 2 dipahami atau dibaca x mendekati 2 tidaklah berarti x = 2. Hal ini ditegaskan pada definisi yang menyatakan 0 < |x − 2| < δ. 2

−4 . Faktanya f (2) tidak ada karena terjadinya pem☛ Di sini f (x) = xx−2 bagian dengan nol. Tetapi limit f (x) untuk x → 2 ada, yaitu 4. Jadi walaupun nilai fungsi di titik tersebut tidak ada, namun nilai limitnya

dapat saja ada. Antara nilai fungsi dan nilai limit tidak mempunyai hubungan implikasi. Dalam kasus keduanya ada dan nilainya sama maka fungsi tersebut bersifat kontinu. Pengertian yang hampir sama untuk fungsi kontinu di x = c, seperti diungkapkan berikut ini. Definisi 4.3. [Fungsi Kontinu] Misalkan A ⊆ R dan f : A −→ R, c ∈ A .

Fungsi f dikatakan kontinu di c, adalah bilamana diberikan ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga berlaku |x − c| < δ → |f (x) − f (c)| < ε.

(4.1.4)

168

BAB 4. LIMIT DAN KEKONTINUAN diberikan V (f(c)) f(c)+ |f(x) -f(c)|<

f(c) f(c) -

terdapat V (c)

c+

c c+

Gambar 4.3: Ilustrasi fungsi f kontinu di c Kontinu pada himpunan A berarti kontinu di setiap c ∈ A. Berdasarkan definisi ini, syarat perlu agar fungsi f kontinu di c adalah f (c) harus ada atau terdefinisi. Syarat ini tidak berlaku pada kasus limit, yakni nilai limit fungsi di c dapat saja ada walaupun nilai f (c) tidak ada. Ilustrasi fungsi kontinu di c diberikan pada Gambar 4.3. Perhatikan pada gambar ini x = c tidak dibolongi alias masuk dalam interval domain syarat. Dalam kasus c ∈ A dan c titik limit A maka kedua pengertian limit dan kekontinuan sangat terkait seperti diungkapkan pada teorema berikut.

Teorema 4.2. Misalkan A ⊆ R dan f : A −→ R, c ∈ A. Bila c titik limit A maka kedua pernyataan berikut ekuivalen. 1. f kontinu di c 2. limx→c f (x) = f (c) Bukti. Untuk mudahnya kita bentuk dua himpunan berikut E1 := {x ∈ A : 0 < |x − c| < δ}, E2 := {x ∈ A : |x − c| < δ}. Jadi E2 ⊂ E1 . (→) Diketahui f kontinu di c berarti x ∈ E2 → |f (x)−f (c)| < ε.

Misalkan x ∈ E1 maka x ∈ E2 atau x = c. Bila x ∈ E2 maka (4.1.3) berlaku dengan L = f (c). Untuk kemungkinan x = c berlaku |f (x) − f (c)| = |f (c) −


169

f (c)| = 0 < ε sehingga (4.1.3) juga dipenuhi. Terbukti limx→c f (x) = f (c). (←) Sebaliknya, diketahui limx→c f (x) = f (c) yaitu x ∈ E1 → |f (x) − f (c)| < ε. Karena E2 ⊂ E1 maka berlaku x ∈ E2 → |f (x) − f (c)| < ε, yaitu f kontinu di c.

Berpijak dari teorema ini kita dapatkan syarat cukup dan perlu sebuah fungsi kontinu di x = c ada tiga syarat, yaitu ☛ f (c) ada ☛ limx→c f (x) ada ☛ nilai keduanya harus sama. Contoh 4.3. Misalkan f fungsi konstan pada R, katakan f (x) = b untuk setiap x ∈ R. Buktikan untuk sebarang c ∈ R, berlaku limx→c b = b. Kemudian simpulkan bahwa f kontinu di c. Bukti. Diberikan ε > 0 sebarang, ambil δ := 1 maka diperoleh 0 < |x − c| < δ → |f (x) − L| = |b − b| = 0 < ε. Jadi terbukti limx→c f (x) = f (c). Karena c ∈ R merupakan titik limit maka dengan teorema 4.2 disimpulkan f kontinu di c. Pengambilan δ pada pembuktian di atas dapat selain 1, bahkan berapa pun boleh. Pembuktian ini menggunakan pola p → q di mana q sudah dipastikan benar maka pernyataan p → q disimpulkan benar.

Contoh 4.4. Buktikan untuk sebarang c ∈ R, limx→c αx = c. Kemudian simpulkan bahwa f (x) := αx kontinu di c.

Bukti. Untuk setiap ε > 0 yang diberikan, ambil δ := αε . Diperoleh 0 < |x − c| < δ → |f (x) − L| = |αx − αc| = α|x − c| < αδ = ε. Karena itu terbukti limx→c x = c. Karena berlaku limx→c f (x) = f (c) dan c titik limit maka disimpulkan f kontinu di c. Contoh 4.5. Misalkan f (x) = x2 , x ∈ R. Buktikan f kontinu pada R.

170


Bukti. Misalkan c ∈ R sebarang. Kita perhatikan dulu penjabaran berikut |f (x) − f (c)| = |x2 − c2 | = |x + c||x − c|. Karena sudah ada suku |x − c| maka kita perlu melakukan estimasi pada suku |x + c|. Untuk itu diasumsikan dulu |x − c| < 1, maka berlaku ||x| − |c|| ≤ |x − c| < 1 → −1 < |x| − |c| ≤ 1 → |x| ≤ |c| + 1. # $% &

Untuk asumsi ini diperoleh estimasi pada |x + c|, yaitu |x + c| ≤ |x| + |c| ≤ 2|c| + 1. Secara keseluruhan diperoleh estimasi

|f (x) − f (c)| = |x + c||x − c| < (2|c| + 1) |x − c|. (∗) Agar kuantitas terakhir ini kurang dari ϵ maka haruslah |x − c| <

ε . 2|c| + 1

Agar kedua |x − c| < 1 dan |x − c| <

ε 2|c|+1

'

(∗∗)

dipenuhi maka diambil

ε δ = δ(ϵ) := min 1, 2|c| + 1

(

.

Jadi jika 0 < |x − c| < δ maka (*) dan (**) berlaku sehingga disimpulkan |f (x) − f (c)| < ε. Jadi, limx→c f (x) = f (c), dan terbukti f kontinu di c. Ada kalanya sebuah fungsi tidak kontinu di suatu titik c dikarenakan ia tidak terdefinisi di c, yaitu f (c) tidak ada. Tetapi, asalkan limitnya di c ada maka fungsi tersebut masih dapat diperluas menjadi fungsi kontinu. Diperluas di sini berarti domainnya diperluas. 2

−1 , x ̸= 0 tidak kontinu di 1 karena Contoh 4.6. Diberikan fungsi f (x) = xx−1 f (1) tidak ada atau tidak didefinisikan. Namun, berlaku

x2 − 1 = lim (x + 1) = 2. x→1 x − 1 x→1

lim f (x) = lim

x→1


171

Jadi fungsi ini dapat diperluas menjadi fungsi kontinu pada R sebagai berikut f)(x) =

⎧ ⎨ x2 −1 x−1

⎩ 2

untuk x ̸= 0

untuk x = 0.

f) dibaca “f tilde” merupakan perluasan kontinu fungsi f .

LIMIT DAN KEKONTINUAN

Recommend Documents