LIMIT DAN KEKONTINUAN
10.1 PENDAHULUAN Sebelum mambahas limit fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi
bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril
c tertentu. Misal terdapat suatu fungsi ( ) = bila
+ 4. Untuk menentukan harga
mendekati bilangan ril tertentu, misal 2, kita dapat mengamatinya
dengan bantuan tabel dan Gambar berikut : x 1,9 1,99 1,999 1,9999
f(x) 5,9 5,99 5,999 5,9999
x 2,1 2,01 2,001 2,0001
f(x) 6,1 6,01 6,001 6,0001
y
0,0001 6,0001 6 5,9999 0,0001
x
0 0,0001
0,0001 1,9999
2,0001
Gambar 10.1 Matematika Dasar
Page 134
Dari Tabel atau Gambar 4.1 dapat dilihat bahwa untuk x mendekati 2 (baik dari arah kiri mulai dari 1,9 maupun dari arah kanan mulai dari 2,1) didapat harga f yang mendekati 6. Sedangkan untuk x = 2 harga f adalah 6. Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa: 1. Jika sebuah fungsi terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat bilangan ril c tertentu, kecuali mungkin di titik c itu sendiri, dan 2. bila f(x) mendekati bilangan ril L tertentu pada saat x mendekati c, maka dapat ditulis, limx→c fx=L dibaca “limit adalah L bila x mendekati c” atau “f (x) mendekati L bila x mendekati c”. 10.2 DEFINISI LIMIT Perhatikan Gambar 4.3 berikut!
Gambar 10.3 Untuk x < c , maka : 0 < c – x <δ atau 0 > x – c > -δ Untuk x > c , maka : 0 < c – x <δ Dari kedua persamaan diatas didapat 0 < |x – c| <δ Untuk f(x)
-ε Matematika Dasar
Page 135
Untuk f(x) > L, maka f(x) – L <ε Sehingga didapat |f(x) – L | <ε Dari gambar 4.3 dan persamaan 4.1 s/d 4.3 maka didapat definisi sebagai berikut :
Pernyataan lim→Â F = Ì, berarti untuk setiap ε> 0 terdapat δ> 0 Sedemikian rupa sehingga jika 0 < |x – c| <δ maka |f(x) – L| <ε
10.3 TEOREMA-TEOREMA 1. lim x=c x→c
2. lim k=k=c x→c
3. limÄfx+gxÅ=limfx+lim g(x) x→c
x→c
x→c
x→c
x→c
x→c
x→c
x→c
x→c
4. limÆfx-gxÇ=lim fx-lim g(x)
5. limÈfx.gxÉ=lim fx.lim g(x) lim f(x)
f(x)
x→c 6. lim g(x) = lim g(x)
x→c
7. limÄafxÅ = a lim fx x→c
x→c
x→c
x→c
x→c
8. lim ÄfxÅM = Êlim fxË
M
Contoh 10.1 a. lim x=5 x→5
b. lim x=-7 x→-7
Contoh 10.2
a) lim 4 = 4 x→-3
b) lim 9 = 9 x→2
Contoh 10.3
lim x+6=lim x+lim 6=5+6=11
x→5
Matematika Dasar
x→5
x→5
Page 136
Contoh 10.4
lim ®7-x°=lim 7-lim x=7-5=2
x→5
x→5
x→5
Contoh 10.5
limÈ7 − + 1 = lim 7 − . lim + 1 = 26 = 12
x→5
x→5
x→5
Contoh `10.6 lim
x→-4
= Ko
lim
x→-4
lim Ko
x→-4
=
o< *
=−
< *
Contoh 10.7
a. lim 9x = 9 lim x = 9e x→e
x→e
b. lim 34 − x = 3 lim 4 − x = 34 − π x→π
x→π
Contoh 10.8
*
lim x − 3* = Êlim x − 3Ë = 2 − 3* = −1* = −1
x→2
x→2
10.4 TEOREMA SANDWICH (TEOREMA APIT) Misal terdapat f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) untuk setiap harga x pada suatu selang terbuka yang mengandung c, kecuali mungkin di titik c itu sendiri. Jika lim fx = L = lim gx, maka lim hx = L x→c
Bukti :
x→c
x→c
Untuk setiap ε > 0 terdapat δ1>0 dan δ2>0 sedemikian rupa sehingga,
jika 0 < |x − c| < δ: maka |fx − L| < Õ Ö (*) jika 0 < |x − c| < δ( maka |gx − L| < Õ untuk δ = min (δ1, δ2) dan 0 < |x – c | <δ , maka ketidaksamaan (*) menjadi : Ñ
-ε < f(x) – L < ε dan -ε < g(x) – L < ε Sehingga : 0 < |x – c| < δ L-ε < f(x) dan g(x) < L + ε Karena f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), sehingga jika 0 < |x – c | < δ, maka L - ε < h(x) < L + ε atau |h(x) – L| < ε (terbukti)
Matematika Dasar
Page 137
Contoh 10.9 Selesaikan lim -x2 = cos x→0
1 x
Penyelesaian : 1
-1≤ cos x ≤1, x ≠ 0 1
-x2 ≤x2 cos x ≤x2 (kalikan semua suku dengan x2)
Karena maka lim -x2 = lim x2 = 0, maka lim x2 cos x = 0 1
x→0
x→0
x→0
10.5 LIMIT SEPIHAK
limÄfxÅ = L⇔ lim½ ÄfxÅ = limÀ ÄfxÅ = L
x→c -
x→Â
x→Â
x→c artinya mendekati c dari arah kiri
x→c+ artinya mendekati c dari arah kanan Contoh 10.10
1-2x jika x<-2Ö x+7 jika x>-2 tentukan lim fx, jika ada
jika fx= ×
x→-2
lim 1 − 2x = 5 (limit kiri)
penyelesaian : x→(½
lim x − 7 = 5 (limit kanan)
x→(À
Karena limit kiri = limit kanan = 5, maka lim fx = 5 x→o(
1. 2. 3. 4. 5.
lim √7
x→2
lim 5
x→√K
lim 3x
Latihan: 6. 7. 8.
x→-5
lim 3 − 5x
x→e
lim x ( − 4x − 12
x→5
Matematika Dasar
9.
lim x − 1x ( + 5x + 6
x→1
x→4 o(
lim
lim 5x − 9K
x→π
lim x ( sin ¢
x→0
:
10. Tentukan lim fx, jika f(x) = × x→4
2x-5 jika x≤4Ö 7-x jika x>4
Page 138
10.6 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI 1. lim
x→0
]M
Bukti :
=1
Perhatikan gambar 10.4
y T Q r P
0
0
x
Ø
0<0<( Gambar 10.4 Luas ∆OPQ < Sektor OPQ < ∆OPT 1
(*)
1
Luas ∆OPQ = r. r sin θ= r2 sin θ 2 2 Luas sektor
1 2
(**)
θ r2
(***)
1
1
Luas ∆OPT r. 2 r tan θ = 2 r2 tan θ
(****)
Substitusi persamaan (**) s/d (****) ke persamaan (*) didapat, 1
1
1
r. 2 r2 sin θ< 2 θr2 < 2 r2 tan θ
(#) 1
jika pers.(#) dibagi dengan 2 r2 sin θ, didapat θ
1
1< sin θ < cos θ atau 1>
sin θ θ
cos θ
gunakan teorema apit!
lim 1 = 1 dan lim cos θ = 1, maka lim
0→0
2. lim cos x = 1
0→0
0→0
]M θ θ
= 1 atau lim
x→0
]M
=1
x→0
3. lim sin x = 0 x→0
Matematika Dasar
Page 139
4. lim tan x = 0 x→0
Bukti lim tan x = lim ÙB = lim sin x . lim ÙB x→0
5. lim
x→0
lim
x→0
¶/M
¶/M
x→0 ¶/M
6. lim
x→0
= lim sin x . x→0
=1
= lim
x→0
=1
]M
7. lim
x→0
ÙB o:
x→0
lim
x→0
¢
o(]M¢
ÙB o:
= lim
x→0
x→0
:
ÚÛ Ü Ü
= lim
x→0
:
lim ÙB
:
x→0
]M
. lim
¢
¢
ÙB¢ o]M¢ o:
¢ (l n ¢
= 1.1 = 1 (terbukti)
:
x→0 ÙB
. cos x = 1.1 = 1 (terbukti)
¢
o(]M .]M
(terbukti)
= 0 = 0 (terbukti)
lim
x→0
:
x→0
x→0
= lim
:
ÙB
x→0
=0
Bukti : lim
.
= lim
x→0 ¶/M
Bukti : lim
]M
=
= lim − sin ( x x→0
:
¢
]M ¢
= 01 = 0
10.7 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI INVERS 1. lim
x→0
/9Ù]M
Bukti :
=1
y = arcsin x ⇔ x = sin y untuk − 1 ≤ x ≤ 1 dan
jadi lim
x→0
2. lim
x→0
/9Ù]M
/9Ù¶/M
Bukti :
=1
= lim ]M Þ = lim y→0
Þ
y→0
:
ÚÛ ß ß
x→0
/9Ù¶/M
= lim ¶/M Þ = lim
3. lim arcsin x = 0
y→0
Þ
y→0
:
(
= 1 (terbukti)
y = arctan x ⇔ x = tan y untuk nilai x dan jadi lim
oπ
ÚÛ ß ß
=
oπ (
<Á<
lim ÙB Þ
y→0
ÚÛ ß y→0 ß
lim
≤y≤( π
π
(
= 1 (terbukti)
x→0
Matematika Dasar
Page 140
Bukti :
y = arcsin x ⇔ x = sin y untuk − 1 ≤ x ≤ 1 dan
jadi lim arcsin x = lim y = 0 (terbukti) x→0
4. lim arccos x = x→0
Bukti :
oπ (
≤y≤
π
(
y→0
π
(
y = arccos x ⇔ x = cos y untuk − 1 ≤ x ≤ 1 dan 0 ≤ y ≤ π
jadi lim arccos x = lim y = ( (terbukti) π
x→0
5. lim arctan x = x→0
Bukti
y→π/2
π
(
y = arctan x ⇔ x = tan y untuk setiap x dan Jadi lim arctan x = lim y = 0 (terbukti) x→0
6. lim arccot x = (
oπ (
<Á<( π
y→0
π
x→0
y = arccot x ⇔ x = cot y untuk setiap x dan 0 < Á < á
(4.27)
Jadi lim arccot x = lim y = (terbukti) π
x→0
(
y→π/2
Latihan Hitunglah limit berikut, jika ada! 1. lim
x→2
6. lim
x→0
]M ( A
:oÙB ( A
(
x→0 ]M K
2. lim 7. lim
x→4
¶/M K <
]M <
3. lim ]M K x→0
:oÙB (
8. lim ]M(oπ x→0
4. lim
x→0
9. lim
x→0
]M¼ ¢
/9Ù]M K *
¢
5. lim ]M¢ * x→0
/9Ù¶/M
x→0 :o*
10. lim
10.8 LIMIT TAK HINGGA Jika kita lakukan pengamatan terhadap limx→c- fx dan limx→c+ f(x) mungkin akan didapatkan bahwa f(x) membesar atau mengecil tanpa batas. Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada gambar 10.5
Matematika Dasar
Page 141
fx
y
1 x-2
0
x
2
Gambar 10.5 X
f(x)
2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001
10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
x 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999
f(x) -10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000
Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa pada saat x mendekati titik 2 dari arah kanan maka f(x) membesar tanpa batas (menuju ∞). Sedangkan pada saat x mendekati 2dari arah kiri maka f(x) mengecil tanpa batas (menuju –∞). Selanjutnya dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 dari arah kanan adalah ∞ atau lim+ f(x)=∞. Sedangkan limit f(x) untuk x mendekati 2 dari x→2
arah kiri adalah –∞ atau lim f(x)=-∞. x→2-
Contoh 10.11 Tentukan lim
x→∞
Matematika Dasar
2x4 m3x3 mxo7 5x4 mxo4
Page 142
Penyelesaian : am =2; bn =5;m=4;n=4 Karena m = n, maka lim
x→∞
Matematika Dasar
2x4 +3x3 +x-7 5x4 +x-4
=
am bn
=
2 5
Page 143